20222023學(xué)年小學(xué)三年級(jí)思維拓展舉一反三精編講義專(zhuān)題09重疊問(wèn)題知識(shí)精講知識(shí)精講專(zhuān)題簡(jiǎn)析：三（1）班準(zhǔn)備給參加班級(jí)繪畫(huà)比賽的16位同學(xué)和參加朗讀比賽的12位同學(xué)每人發(fā)一份紀(jì)念品，當(dāng)中隊(duì)長(zhǎng)玲玲將28份紀(jì)念品發(fā)下去時(shí)，卻多出5份，這是怎么回事？對(duì)了，因?yàn)橛?位同學(xué)既參加了繪畫(huà)比賽，又參加了朗讀比賽，所以獎(jiǎng)品就多出了5份。數(shù)學(xué)中，我們將這樣的問(wèn)題稱(chēng)為重疊問(wèn)題。解答重疊問(wèn)題要用到數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要原理——包含與排除原理，即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。解答重疊問(wèn)題的應(yīng)用題，必須從條件入手進(jìn)行認(rèn)真的分析，有時(shí)還要畫(huà)出圖示，借助圖形進(jìn)行思考，找出哪些是重復(fù)的，重復(fù)了幾次？明確求的是哪一部分，從而找出解答方法。典例分析典例分析【典例分析01】六一兒童節(jié)，學(xué)校門(mén)口掛了一行彩旗。小張從前數(shù)起，紅旗是第8面；從后數(shù)起，紅旗是第10面。這行彩旗共多少面？【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，畫(huà)出下圖：從圖上可以看出，從前數(shù)起紅旗是第8面，從后數(shù)起是第10面，這樣紅旗就數(shù)了兩次，重復(fù)了一次，所以這行彩旗共有8＋10－1=17面?！镜淅治?2】同學(xué)們排隊(duì)做操，每行人數(shù)同樣多。小明的位置從左數(shù)起是第4個(gè)，從右數(shù)起是第3個(gè)，從前數(shù)起是第5個(gè)，從后數(shù)起是第6個(gè)。做操的同學(xué)共有多少個(gè)？【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，畫(huà)出下圖：由圖可看出：小明的位置從左數(shù)第4個(gè)，右數(shù)第3個(gè)，說(shuō)明橫行有4＋3－1=6個(gè)人；從前數(shù)第5個(gè)，從后數(shù)第6個(gè)，說(shuō)明豎行有5＋6－1=10人，所以做操的同學(xué)共有：6×10=60人?！镜淅治?3】把兩塊一樣長(zhǎng)的木板像下圖這樣釘在一起成了一塊木板。如果這塊釘在一起的木板長(zhǎng)120厘米，中間重疊部分是16厘米，這兩塊木板各長(zhǎng)多少厘米？【思路引導(dǎo)】把等長(zhǎng)的兩塊木板的一端釘起來(lái)，釘在一起的長(zhǎng)度就是重疊部分，重疊的部分是16厘米，所以這兩塊木板的總長(zhǎng)度是120＋16=136厘米，每塊木板的長(zhǎng)度是136÷2=68厘米?！镜淅治?4】一次數(shù)學(xué)測(cè)試，全班36人中，做對(duì)第一道聰明題的有21人，做對(duì)第二道聰明題的有18人，每人至少做對(duì)一道。問(wèn)兩道聰明題都做對(duì)的有幾人？【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，畫(huà)出下圖：圖中間重疊部分表示兩道題都做對(duì)的人數(shù)，把做第一道題和做對(duì)第二道題的人數(shù)加起來(lái)得21＋18=39人，這39人比全班總?cè)藬?shù)36多出了39－36=3人，這多出的3人既在做對(duì)第一題的人數(shù)中算過(guò)，也在做對(duì)第二道題的人數(shù)中算過(guò)，即表示兩道題都做對(duì)的人數(shù)?！镜淅治?15】三（1）班訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的有32人，訂《閱讀報(bào)》的有30人，兩份報(bào)紙都訂的有10人，全班每人至少訂一種報(bào)紙。三（1）班有學(xué)生多少人？【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意，畫(huà)出下圖：從上圖可以看出，中間重疊部分表示兩份報(bào)紙都訂的10人，這10人既被包括在訂《數(shù)學(xué)報(bào)》的32人內(nèi)，又被包括在訂《閱讀報(bào)》的30人內(nèi)，重復(fù)算了一次，所以要算出全班人數(shù)，必須從32＋30=62人中去掉被重復(fù)算過(guò)的10人。所以全班人數(shù)應(yīng)是62－10=52人。真題演練真題演練一、選擇題(共6題；共18分)1．（3分）把三塊一樣長(zhǎng)的木板，釘在一起（如圖）．每塊木板的長(zhǎng)10分米，中間釘在一起重疊的部分長(zhǎng)2分米，你知道現(xiàn)在這塊長(zhǎng)木板的長(zhǎng)是（）分米．A．30 B．28 C．26 D．22【答案】C【規(guī)范解答】解：10×3﹣2×2，=30﹣4，=26（分米）；答：現(xiàn)在這塊長(zhǎng)木板的長(zhǎng)是26分米．故選：C．【思路引導(dǎo)】通過(guò)觀察與分析，三塊木板兩個(gè)地方重疊，總共重疊了2×2=4分米，所以現(xiàn)在這塊長(zhǎng)木板的長(zhǎng)是10×3﹣4，計(jì)算即可．此題屬于重疊問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是正確求出重疊部分的長(zhǎng)度，不能誤認(rèn)為兩次重疊部分是8分米．2．（3分）有兩張一樣長(zhǎng)的紙條粘貼起來(lái)，成為長(zhǎng)30厘米的紙條，粘貼部分長(zhǎng)10厘米，求這兩張紙條各長(zhǎng)幾厘米？（）A．20 B．15 C．30【答案】A【規(guī)范解答】解：（30+10）÷2=20（厘米）；故答案應(yīng)選：A．【思路引導(dǎo)】要求這兩張紙條各長(zhǎng)幾厘米，如果粘貼的是兩張紙條的寬邊，粘貼部分是10厘米，粘貼后是30厘米，則原來(lái)的長(zhǎng)度是（30+10）÷2=20（厘米）.3．（3分）有兩張一樣長(zhǎng)的紙條粘貼起來(lái)，成為長(zhǎng)30厘米的紙條，粘貼部分長(zhǎng)10厘米，求這兩張紙條各長(zhǎng)幾厘米？（）A．20 B．15【答案】A【規(guī)范解答】解：（30+10）÷2=20（厘米）；故答案應(yīng)選：A．【思路引導(dǎo)】要求這兩張紙條各長(zhǎng)幾厘米，如果粘貼的是兩張紙條的寬邊，粘貼部分是10厘米，粘貼后是30厘米，則原來(lái)的長(zhǎng)度是（30+10）÷2=20（厘米）.4．（3分）六個(gè)正方形重疊（如圖）連接點(diǎn)正好是正方形的中心．正方形邊長(zhǎng)是a，這個(gè)圖形的周長(zhǎng)是（）A．24a B．14a C．12a D．18a【答案】B【規(guī)范解答】解：3a+3a+2a×4=14a，答：這個(gè)圖形的周長(zhǎng)是14a；故選：B．【思路引導(dǎo)】這六個(gè)正方形重疊在一起，第一個(gè)和最后一個(gè)正方形的長(zhǎng)度為3a+3a，中間4個(gè)正方形的長(zhǎng)度是2a×4=8a，把這些長(zhǎng)度加起來(lái)就是這個(gè)圖形的周長(zhǎng)．5．（3分）（2019三上·滿(mǎn)洲里期末）三（1）班喜歡讀書(shū)的有28人，喜歡運(yùn)動(dòng)的有31人，既喜歡讀書(shū)又喜歡運(yùn)動(dòng)的有12人，三（1）班共有（）人．（每人至少選一項(xiàng)喜歡的）A．59 B．35 C．47【答案】C【規(guī)范解答】解：28+31﹣12＝59﹣12＝47（人）所以三（1）班一共有47人。故答案為：C。

【思路引導(dǎo)】根據(jù)“喜歡讀書(shū)的有28人，喜歡運(yùn)動(dòng)的有31人”可得兩者的總?cè)藬?shù)：28+31＝59人，這其中把兩種都喜歡的人數(shù)多計(jì)算了一次，所以根據(jù)容斥原理可得三（1）班一共有：59﹣12＝47（人），據(jù)此解答即可。6．（3分）一晝夜鐘面上的時(shí)針和分針重疊（）次．A．23 B．12 C．20 D．13【答案】A【規(guī)范解答】解：一晝夜時(shí)針轉(zhuǎn)2圈；時(shí)針每轉(zhuǎn)1圈都會(huì)被分針追上12次；去掉開(kāi)始時(shí)的重疊就是23次；故答案為：A．【思路引導(dǎo)】因?yàn)闀r(shí)針和分針一小時(shí)重疊一次，在最后一次還是回到原來(lái)的位置．二、填空題(共9題；共18分)7．（2分）（2019三上·松桃期末）三（1）班期中檢測(cè)，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的有34人，語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的有37人，語(yǔ)文數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的有28人，至少一科成績(jī)優(yōu)秀的一共有人?！敬鸢浮?5【規(guī)范解答】34+37－28×2

=71－56

=15（人）

故答案為：15。

【思路引導(dǎo)】數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)+語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)－語(yǔ)文數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的人數(shù)×2=至少一科成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)。8．（2分）（2020三上·勃利期末）三年級(jí)有學(xué)生100人，喜歡數(shù)學(xué)的有72人，喜歡語(yǔ)文的有53人．這兩科都喜歡的有人．【答案】25【規(guī)范解答】解：72+53﹣100＝125﹣100＝25（人）

故答案為：25。

【思路引導(dǎo)】?jī)煽贫枷矚g人數(shù)=喜歡數(shù)學(xué)人數(shù)+喜歡語(yǔ)文人數(shù)三年級(jí)總?cè)藬?shù)。9．（2分）（2019三上·西湖期中）兩塊木板各長(zhǎng)70厘米，如圖所示，釘成一塊長(zhǎng)木板，中間重合部分是20厘米，這塊釘在一起的長(zhǎng)木板長(zhǎng)厘米?！敬鸢浮?20【規(guī)范解答】解：70+7020

=14020

=120（厘米）

所以這塊釘在一起的長(zhǎng)木板長(zhǎng)120厘米。

故答案為：120?！舅悸芬龑?dǎo)】這塊釘在一起的長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度=一塊木板的長(zhǎng)度+另一塊木板的長(zhǎng)度中間重合部分的長(zhǎng)度，代入數(shù)值計(jì)算即可。10．（2分）（2019三上·營(yíng)山期末）同學(xué)們到動(dòng)物園玩，參觀熊貓館的有25人，參觀大象館的有28人，兩個(gè)館都參觀的有16人。去動(dòng)物園的一共有人?！敬鸢浮?7【規(guī)范解答】25+2816=37（人）

故答案為：37。

【思路引導(dǎo)】去動(dòng)物園一共有的人數(shù)=參加熊貓館的人數(shù)+參加大象館的人數(shù)兩個(gè)館都參觀的人數(shù)。11．（2分）（2019三上·宜昌期末）三（3）班參加書(shū)法組的有25人，參加美術(shù)組的有22人，兩個(gè)組都參加的有6人。三（3）班參加書(shū)法組和美術(shù)組的一共有人?！敬鸢浮?1【規(guī)范解答】25+226=41（人）。

故答案為：41.

【思路引導(dǎo)】參加書(shū)法組的人數(shù)+參加美術(shù)組的人數(shù)兩個(gè)組都參加的人數(shù)=參加書(shū)法組和美術(shù)組的總?cè)藬?shù)。12．（2分）有10張長(zhǎng)3厘米，寬2厘米的紙片，將它們按照下圖的樣子擺放在桌面上：那么，這10張紙片所蓋住桌面上的面積是平方厘米．【答案】24【規(guī)范解答】解：3×2+2×（10﹣1）=6+2×9=6+18=24（平方厘米）答：這10張紙片所蓋住桌面上的面積是24平方厘米．故答案為：24．【思路引導(dǎo)】第一張紙蓋住桌子的面積是3×2=6平方厘米，第二張紙蓋住的就是2×（3﹣2）=2平方厘米，第三張紙蓋住的也是2×（3﹣2）=2平方厘米，以后每張紙蓋住的面積都是2平方厘米，由此即可得出這10張紙所覆蓋的面積為：第一張紙覆蓋的面積+9個(gè)2平方厘米的面積．13．（2分）用10張同樣長(zhǎng)的紙條接成一條長(zhǎng)31厘米的紙帶，如果每個(gè)接頭都重疊1厘米，那么每張紙條長(zhǎng)厘米．【答案】4【規(guī)范解答】解：（31+9）÷10=4（厘米）．故答案為：4．【思路引導(dǎo)】由題意得，共有9個(gè)接頭，即重疊了9次，據(jù)此可列式解答．14．（2分）六個(gè)正方形（如圖）重疊，連接點(diǎn)正好是正方形的中點(diǎn)，正方形邊長(zhǎng)是a，則圖的周長(zhǎng)是．【答案】14a【規(guī)范解答】解：中間的四個(gè)正方形，只剩下兩條邊，它們的周長(zhǎng)為：（6﹣2）×2a，=4×2a，=8a；兩端的兩個(gè)正方形的周長(zhǎng)是：3a×2=6a．圖的周長(zhǎng)是：8a+6a=14a．故答案為：14a．【思路引導(dǎo)】因?yàn)橹丿B在中間的正方形，只剩下兩條邊的長(zhǎng)度是2a，兩端的剩下三條邊就是3a．據(jù)此求得周長(zhǎng)即可．15．（2分）某門(mén)診部統(tǒng)計(jì)某一天掛號(hào)的病人，內(nèi)科150人，外科92人，其中內(nèi)、外兩科都求診的18人，這一天共來(lái)了個(gè)病人．【答案】224【規(guī)范解答】解：這一天共來(lái)的病人：150+92﹣18，=242﹣18，=224（人）；故答案為：224．【思路引導(dǎo)】先畫(huà)出示意圖，再找出重復(fù)部分（內(nèi)、外兩科都求診的人數(shù)），重復(fù)了兩次，來(lái)診病人總數(shù)等于來(lái)診內(nèi)科的人數(shù)和來(lái)診外科的人數(shù)和減去一個(gè)內(nèi)、外兩科都求診的人數(shù)．三、解答題(共9題；共64分)16．（6分）學(xué)校組織文藝演出，東東的座位從左數(shù)是第6個(gè)，從右數(shù)是第4個(gè)，從前數(shù)是第5個(gè)，從后數(shù)是第5人，這個(gè)會(huì)場(chǎng)有多少人？【答案】解：（6+41）×（5+51）=81（人）答：會(huì)場(chǎng)有81人?！舅悸芬龑?dǎo)】會(huì)場(chǎng)的人數(shù)=每排的座位數(shù)×?xí)?chǎng)座位的排數(shù)。

在計(jì)算每排的座位數(shù)和會(huì)場(chǎng)的排數(shù)時(shí)減去1，因?yàn)閿?shù)的時(shí)候數(shù)了兩次。17．（6分）把2張長(zhǎng)度都是10厘米的彩帶紙重疊粘貼在一起，重疊部分長(zhǎng)多少厘米？如果3張紙同樣重疊，重疊后的彩紙一共有多長(zhǎng)？【答案】解：10+1018=2（厘米）18+102=26（厘米）答：重疊后的彩帶一共有26厘米?！舅悸芬龑?dǎo)】?jī)蓷l彩帶重疊部分的長(zhǎng)度=兩張彩紙的總長(zhǎng)度兩張彩帶粘貼在一起的長(zhǎng)度；

三張彩帶重疊后彩紙的總長(zhǎng)度=兩張彩帶粘貼在一起的長(zhǎng)度+彩帶對(duì)長(zhǎng)度兩條彩帶重疊部分的長(zhǎng)度。18．（10分）（2019三上·南潯期末）如下圖所示，把一些長(zhǎng)8厘米的長(zhǎng)方形紙條連接起來(lái)，每?jī)蓮埣垪l的粘合處都是2厘米。（1）（5分）照這樣連接，6張紙條連起來(lái)的長(zhǎng)是多少厘米？（2）（5分）連接后紙條長(zhǎng)度為62厘米時(shí)，需要多少?gòu)埣垪l？【答案】（1）解：82=6（厘米）8+6+6+6+6+6=38（厘米）答：6張紙條連起來(lái)的長(zhǎng)是38厘米。（2）解：628=54（厘米）54÷6=9（張）9+1=10（張）答：需要10張紙條?！舅悸芬龑?dǎo)】（1）觀察圖可知，從第2張紙條開(kāi)始，每次增加6厘米，用原來(lái)的長(zhǎng)度+增加的長(zhǎng)度=紙條連接起來(lái)的總長(zhǎng)度，據(jù)此列式解答；

（2）根據(jù)題意可知，用連接后的紙條長(zhǎng)度8=剩下的總長(zhǎng)度，然后用剩下的總長(zhǎng)度÷每個(gè)小長(zhǎng)方形增加的長(zhǎng)度=紙的張數(shù)，然后加1即可得到總張數(shù)，據(jù)此解答。19．（7分）小玲有一根長(zhǎng)4厘米5毫米長(zhǎng)的彩帶，小蘭也有一條同樣長(zhǎng)的彩帶。把兩根彩帶用膠水粘成一條彩帶后有多長(zhǎng)？（接頭處長(zhǎng)1厘米）小玲的彩帶：小蘭的彩帶：【答案】解：4厘米5毫米+4厘米5毫米1厘米=8厘米答：把兩根彩帶用膠水粘成一條彩帶后有8厘米?！舅悸芬龑?dǎo)】小玲彩帶長(zhǎng)度+小蘭彩帶長(zhǎng)度接頭處長(zhǎng)度=粘成一條彩帶后的長(zhǎng)度。毫米÷10=厘米。20．（7分）有一根繩子，連續(xù)對(duì)折3次，量得每折長(zhǎng)4米，這根繩子長(zhǎng)幾米？【答案】解：因?yàn)閷⒗K子連續(xù)對(duì)折3次，所以總共是8折，繩子長(zhǎng)是：4×8=32（米）；答：這根繩子長(zhǎng)32米．【思路引導(dǎo)】因?yàn)閷⒗K子折1次是2折，折2次是4折，折3次是8折，而在此題是連續(xù)對(duì)折3次，即總共是8折，每折是4米，根據(jù)整數(shù)乘法的意義，列式解答即可．21．（7分）桌面上放有四張大小不同的正方形紙片邊長(zhǎng)分別為2，3，4，5，若分別取走邊長(zhǎng)為2，3，4，5的正方形紙片中的一個(gè)，則剩下的三張紙片覆蓋的面積分別減少2，3，4，5，那么四張紙片覆蓋的面積是多少？【答案】解：如圖：四張紙的面積分別為4、9、16、25，每張紙片與其他紙片重疊部分的面積分別為2、6、12、20，由于2+6+12=20，所以只能前3張紙片與第四張分別重疊，沒(méi)有三張重疊在一起的部分，重疊部分的面積是20，最大的正方形紙片與其他三張紙片都重疊，而其他三張紙片彼此都不重疊．也就是只存在兩兩重疊的情況，并且重疊的面積是20平方米．所以覆蓋面積用四張正方形紙片總面積減去20平方米，所以總的覆蓋面積為：4+9+16+25﹣20=34答：四張紙片覆蓋的面積是34．【思路引導(dǎo)】通過(guò)分析可知：四張紙的面積分別為4、9、16、25，每張紙片與其他紙片重疊部分的面積分別為2、6、12、20，由于2+6+12=20，所以只能前3張紙片與第四張分別重疊，沒(méi)有三張重疊在一起的部分，重疊部分的面積是20，最大的正方形紙片與其他三張紙片都重疊，而其他三張紙片彼此都不重疊．也就是只存在兩兩重疊的情況，并且重疊的面積是20平方米．所以覆蓋面積用四張正方形紙片總面積減去20平方米，所以總的覆蓋面積為4+9+16+25﹣