專題17橢圓與雙曲線共焦點問題微點1橢圓與雙曲線共焦點常用結論及其應用（一）專題17橢圓與雙曲線共焦點問題微點1橢圓與雙曲線共焦點常用結論及其應用（一）【微點綜述】圓錐曲線是高中數學的重要研究對象，其中具有相同焦點的橢圓與雙曲線更是引人矚目，耐人尋味．在近年高考及全國各地模擬考試中，頻繁出現(xiàn)以共焦點的橢圓與雙曲線為背景的兩離心率之積與兩離心率倒數之和的最值與范圍問題，此類問題因涉及知識的交匯、體現(xiàn)綜合運用能力，學生面對此類問題往往束手無策，本文介紹與此類問題有關的結論，通過具體例子說明結論的應用，供同學們復習時參考．一、常用結論【結論1】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，則．證明：由已知得消去得，又，因此．又．【結論2】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，，則．證明：由橢圓與雙曲線的定義得兩式分別平方再相減得．在中，由余弦定理得，，，同理可得，，．由橢圓與雙曲線的焦點三角形面積公式得．【結論3】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，，則．證明：由結論2得，又．注意到．【結論4】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，則．證明：．【評注】結論4反映之間的等量關系式，等式左邊是兩分式之和，分母分別是，分子分別是，等式右邊是與的平方和．【結論5】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，分別為的離心率，點是與的一個公共點，，則，即．證明：證法1：在中，由余弦定理得，即，，即，亦即．證法2：借助焦點三角形面積公式運用面積公式，設橢圓的短半軸長為，雙曲線的虛半軸長為，則，，所以，，，，整理得：，即．【結論6】已知點是橢圓與雙曲線共同的焦點，點是橢圓與雙曲線的一個公共點，則橢圓與雙曲線在點處的切線相互垂直．證明：橢圓在點處的切線方程為，該切線的斜率為，雙曲線在點處的切線，該切線的斜率為，；又由結論1得，則橢圓與雙曲線在點處的切線相互垂直．【結論7】若點是橢圓與雙曲線的一個公共點，且它們在點處的切線相互垂直，則橢圓與雙曲線有共同的焦點．證明：由已知得消去得，因此．由已知得，橢圓與雙曲線有共同的焦點．二、應用舉例共焦點的橢圓與雙曲線問題一般有如下八類題型：（一）公共點問題；（二）公共焦點三角形問題；（三）角度問題；（四）公共點處切線有關問題；（五）求離心率的值（或取值范圍）；（六）求橢圓、雙曲線離心率之積的取值范圍或最值問題；（七）求（為正常數）型最值問題；（八）求（為正常數）型最值問題.下面我們舉例說明題型（一）至（三）及其解題方法．（一）公共點問題1．已知點，分別為橢圓的左、右焦點，橢圓與雙曲線的一個交點為，為坐標原點，直線的斜率為，則___________．（二）公共焦點三角形問題2．已知橢圓與雙曲線有公共焦點，是它們的一個公共點，則的面積為_________，的形狀是_________．例3．（2022·上海·高三專題練習）3．已知?，設P是橢圓與雙曲線的交點之一，則___________.4．橢圖與雙曲線有相同的焦點，，P為兩曲線的一個公共點，則面積的最大值為（

）A．4 B． C．2 D．（三）角度問題5．設橢圓與雙曲線有公共的焦點，，點P是與的一個公共點，則的值為（

）A． B． C． D．例6．（2022浙江嘉興市·高二月考）6．設橢圓與雙曲線有公共焦點，，是兩條曲線的一個公共點，則等于__________．【強化訓練】一、單選題（2023·全國·高三專題練習）7．已知雙曲線滿足，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．（2022·廣東·惠來縣第一中學高二月考）8．已知橢圓與雙曲線共焦點，設它們在第一象限的交點為，且，則雙曲線的漸近線方程為（

）A． B．C． D．9．若橢圓和雙曲線有相同的焦點、，P是兩條曲線的一個交點，則的面積是A． B． C． D．（2022·全國·高三專題練習（文））10．已知雙曲線與共焦點，則的漸近線方程為（

）A． B．C． D．（2022·四川·閬中中學高二月考（文））11．設橢圓和雙曲線的公共焦點為，，是兩曲線的一個交點，則的值為（

）A． B．C． D．（2022·福建省同安第一中學高二月考）12．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點.則C的方程為（

）A． B．C． D．（2022河北·滄州市一中高二月考）13．若，是橢圓：與雙曲線：的公共焦點，且P是與一個交點，則（

）A． B． C． D．（2022廣東·石門中學高二月考）14．已知雙曲線C：=1(a>0，b>0)的離心率為，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線C的方程為（）A．=1 B．=1 C．=1 D．=1二、多選題（2022江蘇·高二專題練習）15．若雙曲線與橢圓有相同的左右焦點，，且，在第一象限相交于點，則（

）A． B．的漸近線方程為C．直線與有兩個公共點 D．的面積為（2022·全國·高三專題練習）16．已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，點P為橢圓與雙曲線的一個公共點，橢圓與雙曲線的離心率分別為，下列說法中正確的有（

）A．若a＝2，b＝，且，則B．若a＝2，b＝，且，則C．若a＝5，m＝，則D．若，且，則三、填空題（2022·遼寧·鞍山一中模擬預測）17．與橢圓有公共焦點，且離心率的雙曲線方程為______．18．已知橢圓與雙曲線有公共的焦點，，若為兩曲線的一個交點，則______.19．已知有相同焦點、的橢圓和雙曲線，點P是它們的一個交點，則面積的大小是________．（2016·上海市延安中學三模（文））20．已知橢圓與雙曲線有公共焦點，兩曲線在第一象限交于點，是的角平分線，為坐標原點，垂直射線于點，若，則_________．21．已知橢圓與雙曲線有公共焦點，點是兩曲線的一個交點，若，則的值為_____________.（2022寧夏中衛(wèi)·三模（理））2