專項素養(yǎng)綜合全練(九)新定義型試題練趨勢類型一新運算型1.(2024山東聊城東昌府期中)用“☆”定義一種新運算:對

于任意有理數(shù)a和b,規(guī)定a☆b=ab2+a.如:1☆3=1×32+1=10,則(-2)☆3的值為

(

)A.10

B.-15

C.-16

D.-20D解析根據(jù)題意得(-2)☆3=-2×32-2=-18-2=-20,故選D.2.規(guī)定

=a1b2-a2b1,若

=-4,則x=

.2解析

因為

=a1b2-a2b1,

=-4,所以4(2x-3)-2(x+2)=-4.去括號,得8x-12-2x-4=-4.移項、合并同類項,得6x=12.系數(shù)化為1,得x=2.故答案為2.3.(2024河南焦作溫縣期中改編)符號“f”“g”分別表示一

種運算,它對一些數(shù)的運算結(jié)果如下:(1)f(1)=0,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=3,……,f(10)=9,……;(2)g

=2,g

=3,g

=4,g

=5,……,g

=11,…….利用以上規(guī)律計算:g

-f(2028)=

.1解析由題意,可得f(n)=n-1,g

=n,所以g

-f(2028)=2028-2027=1.4.定義一種新的運算:對于任意有理數(shù)a,b,都有a

b=a+b,a

b=a-b,等式右邊是通常的加法、減法運算,例如:a=2,b=1,則a

b=2+1=3,a

b=2-1=1.(1)求(-2)

3+4

(-2)的值.(2)化簡:a2b

3ab+5a2b

4ab.解析

(1)根據(jù)題意得(-2)

3+4

(-2)=(-2)+3+4-(-2)=7.(2)根據(jù)題意得a2b

3ab+5a2b

4ab=a2b+3ab+5a2b-4ab=6a2b-ab.5.(2022安徽阜陽潁州模擬)觀察下列各式,發(fā)現(xiàn)運算“?”

滿足規(guī)律如下:1?3=1×4+3=7;0?6=0×4+6=6;3?(-1)=3×4-1=11;(-8)?5=(-8)×4+5=-27;(-4)?(-3)=(-4)×4-3=-19;……根據(jù)以上規(guī)律,解決下列問題:(1)直接寫出:2?0=

;a?b=

(用含a、b的式子表示);(2)求證:當x=y時,x?y=y?x.解析

(1)由題意得2?0=2×4+0=8,a?b=a×4+b=4a+b.(2)證明:當x=y時,x?y=x×4+y=4x+y=5x,y?x=y×4+x=4y+x=5x,

所以x?y=y?x.類型二新概念型6.(2024山東臨沂臨沭期中)設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù),如

[2.7]=2,[-4.5]=-5,則[3.7]和[-6.5]所對應(yīng)的點在數(shù)軸上的距離

是

.10解析由題意得[3.7]=3,[-6.5]=-7,所以[3.7]和[-6.5]所對應(yīng)的點在數(shù)軸上的距離是3-(-7)=10.7.如圖,射線OC在∠AOB的內(nèi)部,圖中共有3個角:∠AOB,∠AOC和∠BOC,若其中有一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的兩

倍,則稱射線OC是∠AOB的“巧分線”.若∠AOB=60°,且射

線OC是∠AOB的“巧分線”,則∠AOC的度數(shù)為

.

20°或30°或40°解析若∠AOB=60°,且射線OC是∠AOB的“巧分線”,則

由“巧分線”的定義可知有三種情況:①∠BOC=2∠AOC,此時∠AOC=20°;②∠AOB=2∠AOC,此時∠AOC=30°;③∠AOC=2∠BOC,此時∠AOC=40°.故答案為20°或30°或40°.8.(新考法)(2023福建寧德福鼎期中)對于有理數(shù)a,b,n,d,若|a-n|+|b-n|=d,則稱a和b關(guān)于n的“理想值”為d,例如:|2-1|+|3-1|=

3,則2和3關(guān)于1的“理想值”為3.(1)-2和3關(guān)于2的“理想值”為

;(2)若a和-2關(guān)于1的“理想值”為4,求a的值;(3)若a和b關(guān)于1的“理想值”為2,求a+b的最大值.解析本題借助絕對值考查新定義中的整式計算.(1)-2和3關(guān)于2的“理想值”為|-2-2|+|3-2|=5.故答案為5.(2)因為a和-2關(guān)于1的“理想值”為4,所以|a-1|+|-2-1|=4,所以|a-1|=1,所以a=2或a=0.(3)因為a和b關(guān)于1的“理想值”為2,所以|a-1|+|b-1|=2,當a-1>0,b-1>0時,a+b的值最大,此時|a-1|+|b-1|=a-1+b-1=2,所以a+b=4,所以a+b的最大值是4.類型三新方法型9.任何一個無限循環(huán)小數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式,應(yīng)該怎樣

寫呢?我們以無限循環(huán)小數(shù)0.

為例進行說明:設(shè)0.

=x,由0.

=0.7777…可知,10x=7.7777…,所以10x-x=7,解方程,得x=

,于是得0.

=

.將0.

寫成分數(shù)的形式是

.

解析設(shè)0.

=x,則100x=45.

,所以100x-x=45.解得x=

.類型四新知識型10.(中點模型)(2024山東臨沂臨沭期中改編)【知識背景】數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個重要工具,利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完

美結(jié)合.研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了很多重要的規(guī)律:比如數(shù)軸上點

A,B表示的數(shù)為a,b,則A,B兩點之間的距離AB=|a-b|;線段AB的

中點P表示的數(shù)為

.【問題呈現(xiàn)】已知數(shù)軸上兩點A,B表示的數(shù)分別為-20,10,點M從點A出發(fā),以每秒3個單位長度的速度向點B運動,同時點N從點B出發(fā),

以每秒2個單位長度的速度向點A運動.設(shè)線段MN的中點

為P,點N的運動時間為t秒(t>0).(1)線段AB的中點表示的數(shù)為

,點M表示的數(shù)為

,點N表示的數(shù)為

(用含t的代數(shù)式表示);(2)當點P與數(shù)軸上表示-2的點重合時,求t的值;(3)當M,N兩點相距10個單位長度時,求t的值.

解析

(1)線段AB的中點表示的數(shù)為

=-5,由題意得t秒后,點M表示的數(shù)為3t-20,點N表示的數(shù)為10-2t,故答案為-5;3