PAGE課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練二十七平面對(duì)量的概念及其線性運(yùn)算一、選擇題(每小題5分，共35分)1．已知a，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說(shuō)法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)＝bC．a(chǎn)與b共線反向D．存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb【解析】選D.因?yàn)閍，b是兩個(gè)非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則a與b共線同向，故D項(xiàng)正確．2.在四邊形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,則四邊形ABCD的形態(tài)是 ()A.矩形 B.平行四邊形C.梯形 D.以上都不對(duì)【解析】選C.因?yàn)?++=-8a-2b=2(-4a-b)=2,所以∥.又與不平行,所以四邊形ABCD是梯形.3．已知O，A，B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿意＋3＝0，則＝()A．eq\f(1,3)－eq\f(2,3)B．eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)C．eq\f(2,3)－eq\f(1,3)D．eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)【解析】選D.因?yàn)橹本€AB上一點(diǎn)C滿意＋3＝0，則位置關(guān)系可用如圖表示：所以B為線段AC上靠近C的三等分點(diǎn)，則由平面對(duì)量的線性運(yùn)算可得＝＋AB→＝＋eq\f(2,3)＝＋eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)．4.已知在△ABC中,D是AB邊上的一點(diǎn),=λ,||=2,||=1.若=b,=a,則用a,b表示為 ()A.QUOTEa+QUOTEb B.QUOTEa+QUOTEbC.QUOTEa+QUOTEb D.QUOTEa+QUOTEb【解析】選A.由題意知,CD是∠ACB的平分線,故=+=+QUOTE=+QUOTE(-)=QUOTE+QUOTE=QUOTEa+QUOTEb.5.在△ABC中,點(diǎn)O在線段BC的延長(zhǎng)線上,且與點(diǎn)C不重合.若=x+(1-x),則實(shí)數(shù)x的取值范圍是 ()A.(-∞,0) B.(0,+∞)C.(-1,0) D.(0,1)【解析】選A.設(shè)=λ(λ>1),則=+=+λ=(1-λ)+λ.又=x+(1-x),所以x+(1-x)=(1-λ)+λ.所以λ=1-x>1,得x<0.6．矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若＝λ＋μ(λ，μ為實(shí)數(shù))，則λ2＋μ2＝()A．eq\f(5,8)B．eq\f(1,4)C．1D．eq\f(5,16)【解析】選A.＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)(＋)＝eq\f(1,4)－eq\f(3,4)，所以λ＝eq\f(1,4)，μ＝－eq\f(3,4)，所以λ2＋μ2＝eq\f(5,8).7．已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實(shí)數(shù)λ的值為()A．1B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)D．－2【解析】選B.由于c與d共線反向，則存在實(shí)數(shù)k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k[a＋(2λ－1)b]，整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.因?yàn)閍，b不共線，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝k，,2λk－k＝1，))整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－eq\f(1,2)，又k＜0，所以λ＜0，所以λ＝－eq\f(1,2).二、填空題(每小題5分，共15分)8．在如圖所示的方格紙中，向量a，b，c的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)(小正方形頂點(diǎn))上，若c與xa＋yb(x，y為非零實(shí)數(shù))共線，則eq\f(x,y)的值為________．【解析】設(shè)e1，e2分別為水平方向(向右)與豎直方向(向上)的單位向量，則向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c與xa＋yb共線，得c＝λ(xa＋yb)，所以e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2λ（x－y）＝1，,λ（x－2y）＝－2，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,λ)，,y＝\f(5,2λ)，))則eq\f(x,y)的值為eq\f(6,5).答案：eq\f(6,5)9．在平行四邊形ABCD中，＝e1，＝e2，＝eq\f(1,4)，＝eq\f(1,2)，則＝________．(用e1，e2表示)【解析】如圖所示，＝－＝＋2＝＋eq\f(2,3)＝－eq\f(1,4)＋eq\f(2,3)(－)＝－eq\f(1,4)e2＋eq\f(2,3)(e2－e1)＝－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e2.答案：－eq\f(2,3)e1＋eq\f(5,12)e210.設(shè)e1與e2是兩個(gè)不共線向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,若A,B,D三點(diǎn)共線,則k的值為.

【解析】由題意,A,B,D三點(diǎn)共線,故必存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得=λ.又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,又因?yàn)閑1與e2不共線,所以QUOTE解得k=-QUOTE.答案:-QUOTE1.(5分)(2024·宜賓模擬)已知△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形,D,P是△ABC內(nèi)的兩點(diǎn),且滿意=QUOTE(+),=+QUOTE,則△APD的面積為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.2QUOTE【解析】選A.取BC的中點(diǎn)E,連接AE,因?yàn)椤鰽BC是邊長(zhǎng)為4的正三角形,所以AE⊥BC,=QUOTE(+).又=QUOTE(+),所以點(diǎn)D是AE的中點(diǎn),AD=QUOTE.取=QUOTE,以AD,AF為鄰邊作平行四邊形,可知=+QUOTE=+.因?yàn)椤鰽PD是直角三角形,AF=QUOTE,所以△APD的面積為QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE.2．在△ABC中，＋＝2，＋＝0，若＝x＋y，則()A．y＝3xB．x＝3yC．y＝－3xD．x＝－3y【解析】選D.因?yàn)椋?，所以點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，又因?yàn)椋?，所以點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，所以有：＝＋＝－＋eq\f(1,2)＝－＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(＋)＝－eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)，因此x＝－eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)?x＝－3y.3．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則＋2＋3＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(3,2)C．eq\f(1,2)D．eq\f(3,2)【解析】選D.因?yàn)镈，E，F(xiàn)分別為△ABC三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，所以＋2＋3＝eq\f(1,2)(＋)＋2×eq\f(1,2)(＋)＋3×eq\f(1,2)×(＋)＝eq\f(1,2)＋＋＋eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋＝eq\f(1,2)＋＝eq\f(3,2)．4．如圖，在△ABC中，D為BC的四等分點(diǎn)，且靠近B點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AC，AD的三等分點(diǎn)，且分別靠近A，D兩點(diǎn)，設(shè)＝a，＝b.(1)試用a，b表示，，．(2)證明：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．【解析】(1)在△ABC中，因?yàn)椋絘，＝b，所以＝－＝b－a，＝＋＝＋eq\f(1,4)＝a＋eq\f(1,4)(b－a)＝eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b，＝＋＝－＋eq\f(1,3)＝－a＋eq\f(1,3)b.(2)因?yàn)椋剑璦＋eq\f(1,3)b，＝＋＝－＋eq\f(2,3)＝－a＋eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a＋\f(1,4)b))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,6)b＝eq\f(1,2)(－a＋eq\f(1,3)b)，所以＝eq\f(1,2)，與共線，且有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線．5.(10分)在△ABC中,點(diǎn)P滿意=2,過(guò)點(diǎn)P的直線與AB,AC所在直線分別交于點(diǎn)M,N,若=m,=n(m>0,n>0),求m+2n的最小值.【解析】因?yàn)?2,所以-=2(-),所以=QUOTE+QUOTE