第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學年甘肅省高二（上）期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.直線23x?2y?1=0的傾斜角是A.π6 B.π3 C.2π32.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a4A.10 B.20 C.30 D.403.已知F為拋物線C：x2=4y的焦點，O為原點，點M在拋物線C上，且|MF|=5，則△OMF的周長為(

)A.6+42 B.7+42 C.4.有5名學生志愿者到2個小區(qū)參加疫情防控常態(tài)化宣傳活動，每名學生只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少安排1名學生，則不同的安排方法為(

)A.10種 B.20種 C.30種 D.40種5.《周髀算經(jīng)》記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣晷長損益相同(晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度)，夏至、小暑、大暑、立秋、處暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是連續(xù)十二個節(jié)氣，其日影子長依次成等差數(shù)列.經(jīng)記錄測算，夏至、處暑、霜降三個節(jié)氣日影子長之和為16.5尺，這十二節(jié)氣的所有日影子長之和為84尺，則大雪的日影子長為(

)A.1尺 B.1.5尺 C.11.5尺 D.12.5尺6.若直線(3a+2)x+ay+6=0和直線ax?y+3=0平行，則(

)A.a=0或a=?13 B.a=?1或a=?2

C.a=?1 7.已知圓C：(x+1)2+y2=2，點P在直線l：x?y?3=0上運動，直線PA，PB與圓C相切，切點為AA.|PA|的最小值為2B.|PA|最小時，弦AB長為6

C.|PA|最小時，弦AB所在直線的斜率為?1D.四邊形PACB的面積最小值為8.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2A.(2,2) B.(1,3)二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知等差數(shù)列{an}的前n項和是Sn，且a9<0A.a1>0 B.a10>0 C.S910.已知點M(1,0)關(guān)于直線mx?y+1=0(m∈R)的對稱點N在直線x+y=0上，則實數(shù)m的值為(

)A.3 B.2 C.?311.瑞士數(shù)學家伯努利于1694年發(fā)現(xiàn)了雙紐線，即在平面直角坐標系xOy中，點P(x,y)到兩個定點A(?a,0)，B(a,0)的距離之積等于a2(a>0)的點P的軌跡稱為雙紐線，則當a=1時，下列結(jié)論正確是(

)A.點(2,0)在雙紐線上

B.點P的軌跡方程為(x2+y2)2=2(x2?y12.已知橢圓C：x29+y25=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線A.橢圓C上的點到F1的最短距離為2 B.F2到直線l距離的最大值為4

C.|PF2|+|QF2三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.直線l1過點(1,1)且與直線l2：6x?4y?3=0平行，則直線l1和l14.(2?1x)(1+x)15.“鶯啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼鶯.”這是清代女詩人吳絳雪的一首回文詩，“回文”是漢語特有的一種使用語序回環(huán)往復的修辭手法，而數(shù)學上也有類似這樣特征的一類“回文數(shù)”，如232，251152等，那么在所有五位正整數(shù)中，有且僅有兩位數(shù)字是偶數(shù)的“回文數(shù)”共有______個.16.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，下列結(jié)論正確的是______(填序號)．

①若a1=1，公比為12，則Sn<2；

②數(shù)列{an2}一定是等比數(shù)列；

③數(shù)列{an+1+an}一定是等比數(shù)列；

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

某校高二年級開設(shè)了《數(shù)學建?！贰峨娪百p析》《經(jīng)典閱讀》《英語寫作》四門校本選修課程，甲、乙、丙三位同學打算在上述四門課程中隨機選擇一門進行學習，已知三人選擇課程時互不影響，且每人選擇每一門課程都是等可能的．

(1)求三位同學選擇的課程互不相同的概率；

(2)若至少有兩位同學選擇《數(shù)學建?！?，則三人共有多少種不同的選課種數(shù)？18.(本小題12分)

已知正項等比數(shù)列{an}的方前n項和為Sn，且a1=2,S3=14,n∈N?．

(1)求數(shù)列{an}的通項公式；

19.(本小題12分)

已知A(6,1),B(1,0),C(3,2)在圓M上．

(1)求圓M的標準方程；

(2)若直線l過點C，且被圓M截得的弦長為2，求直線20.(本小題12分)

已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項和，若數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列，且a2=3a1，n∈N?．

21.(本小題12分)

已知直線l：2x?y=0和圓C：x2+(y?4)2=1．

(1)判斷直線l和圓C的位置關(guān)系，并求圓C上任意一點M到直線l的最大距離；

(2)過直線l上的點P作圓C的切線PA，切點為A，求證：經(jīng)過A，P，C22.(本小題12分)

已知橢圓C的焦點在y軸上，且長軸長為4，離心率為32．

(1)求橢圓C的方程；

(2)若點P(0,?3)，直線l：y=kx+1與橢圓C交于M，N兩點，求△PMN面積的最大值．

參考答案1.B

2.D

3.A

4.C

5.D

6.C

7.B

8.D

9.BD

10.AC

11.BCD

12.BCD

13.1314.10

15.225

16.①②④

17.解：(1)三位同學選擇課程共有43=64種情況，三位同學選擇的課程互不相同共有A43=24種情況，

所以三位同學選擇的課程互不相同的概率為2464=38．

(2)分兩種情況討論：①有兩位同學選擇《數(shù)學建?！?，共有C32×C31=9種不同的情況；

②18.解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q>0，

又S3=14a1=2，所以2+2q+2q2=14a1=2，解得q=2或q=?3(舍)，

所以an=a1qn?1=2n；

(2)證明：由19.解：(1)設(shè)圓M的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，因為點A，B，C在圓M上，

所以6+1+6D+E+F=01+0+D+F+09+4+3D+2E+F=0，解得，D=0E=?6F=?1，

所以圓M的方程為x2+y2?6y?1=0，整理得圓M的標準方程為x2+(y?3)2=10；

(2)由題意，可知圓心(0,3)到直線l的距離d=10?1=3．

若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=3，符合題意；

若直線l的斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線l的方程為20.解：(1)證明：因為數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列，且a2=3a1，

所以S1=a1,S2=a1+a2=2a1，

所以{Sn}的首項為a1，公差為S2?S1=a1，

所以Sn=a1+(n?1)a1=na1，所以Sn=n2a1，

當21.解：(1)由條件直線l：2x?y=0和圓C：x2+(y?4)2=1知：圓心(0,4)到直線l的距離d=|2×0?4|22+(?1)2=455>r=1，

故直線l和圓C相離，則有圓C上任意一點M到直線l的最大距離為d+r=455+1；

(2)證明：設(shè)點P(a,2a)，

過點A，P，C三點的圓，即以PC為直徑的圓，

其方程為x(x?a)+(y?4)(y?2a)=0，

x(x?a)+(y?4)(y?2a)=0與x2+(y?4)2=1相減得到直線的方程為(4?2a)y?ax+8a?15=0，

(4?2a)y?ax+8a?15=