PAGE10.2.2復(fù)數(shù)的乘法與除法必備學(xué)問·自主學(xué)習(xí)導(dǎo)思1.復(fù)數(shù)的乘法與除法的運(yùn)算法則是什么?2.互為共軛復(fù)數(shù)的乘積是實(shí)數(shù)嗎?1.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),稱z1·z2(或z1×z2)為z1與z2的積,并規(guī)定z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對隨意復(fù)數(shù)z1,z2,z3∈C,有交換律z1·z2=z2·z1結(jié)合律(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3)安排律z1(z2+z3)=z1z2+z1z3【提示】復(fù)數(shù)的乘法的兩點(diǎn)說明(1)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多項(xiàng)式乘法運(yùn)算很類似,可仿多項(xiàng)式乘法進(jìn)行,但結(jié)果要將實(shí)部、虛部分開(i2換成-1).(2)多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算律在復(fù)數(shù)乘法中仍舊成立,乘法公式也適用.在進(jìn)行復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算時(shí),多項(xiàng)式運(yùn)算中的完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2是否還適用?提示:仍舊適用.但運(yùn)算結(jié)果中的i2要化為-1.3.復(fù)數(shù)的除法法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(c+di≠0),則QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi(c+di≠0).【提示】復(fù)數(shù)除法的兩點(diǎn)說明(1)分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)c-di,化簡后即得結(jié)果,這個(gè)過程事實(shí)上就是把分母實(shí)數(shù)化,這與根式除法的分母“有理化”很類似.(2)留意最終結(jié)果要將實(shí)部、虛部分開.4.實(shí)系數(shù)一元二次方程:ax2+bx+c=0(a,b,c∈R且a≠0)在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)肯定有兩個(gè)根.Δ=b2-4ac.(1)當(dāng)Δ≥0時(shí)有兩個(gè)實(shí)根.①Δ>0時(shí)有兩個(gè)不相等的實(shí)根:QUOTE;②Δ=0時(shí)有兩個(gè)相等的實(shí)根:-QUOTE.(2)Δ<0時(shí)有兩個(gè)互為共軛的虛數(shù)根:QUOTE.(3)若x1,x2是其兩個(gè)根,總有QUOTE1.辨析記憶(對的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)若z1,z2∈C,且QUOTE+QUOTE=0,則z1=z2=0. ()(2)兩個(gè)共軛虛數(shù)的積是實(shí)數(shù). ()(3)兩個(gè)虛數(shù)的商還是虛數(shù). ()提示:(1)×.反例:如z1=1,z2=i,滿意QUOTE+QUOTE=0,但不滿意z1=z2=0.(2)√.z=a+bi(a,b∈R,b≠0),zQUOTE=a2+b2∈R.(3)×.兩個(gè)虛數(shù)的商也可能是實(shí)數(shù),如2i÷i=2.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿意iz=1,其中i為虛數(shù)單位,則z等于 ()A.-i B.i C.-1 D.1【解析】選A.z=QUOTE=-i.3.計(jì)算:(2-i)(1+i)=.

【解析】(2-i)(1+i)=2-i2+i=3+i.答案:3+i4.(教材二次開發(fā):例題改編)已知復(fù)數(shù)z=QUOTE(i為虛數(shù)單位),則QUOTE=.

【解析】z=QUOTE=QUOTE=-1+2i,QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE關(guān)鍵實(shí)力·合作學(xué)習(xí)類型一復(fù)數(shù)的乘法(數(shù)學(xué)運(yùn)算)1.(2024·江蘇高考)已知i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z=QUOTE的實(shí)部是.

【解析】z=QUOTE=3+i,則實(shí)部為3.答案:32.計(jì)算下列各題.(1)(1-i)(1+i)+(-1+i).(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i.(3)(1-2i)(3+4i)(-2+i).【解析】(1)(1-i)(1+i)+(-1+i)=1-i2-1+i=1+i.(2)(2-i)(-1+5i)(3-4i)+2i=(-2+10i+i-5i2)(3-4i)+2i=(3+11i)(3-4i)+2i=(9-12i+33i-44i2)+2i=53+21i+2i=53+23i.(3)(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.1.兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法(1)首先按多項(xiàng)式的乘法綻開.(2)再將i2換成-1.(3)然后再進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算,化簡為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.2.常用公式(1)(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,b∈R).(2)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R).(3)(1±i)2=±2i.類型二復(fù)數(shù)的除法(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】已知z是純虛數(shù),QUOTE是實(shí)數(shù),求z.【思路導(dǎo)引】設(shè)出復(fù)數(shù)z,依據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及實(shí)數(shù)的概念求解.【解析】設(shè)純虛數(shù)z=bi(b∈R且b≠0)則QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,又QUOTE是實(shí)數(shù),所以b+2=0,即b=-2,所以z=-2i.應(yīng)用復(fù)數(shù)除法法則的兩個(gè)步驟(1)分母實(shí)數(shù)化:分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算.(2)結(jié)果化為復(fù)數(shù)代數(shù)形式.1.(2024·全國卷Ⅰ)設(shè)z=QUOTE,則|z|= ()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】選C.因?yàn)閦=QUOTE,所以z=QUOTE=QUOTE-QUOTEi,所以|z|=QUOTE=QUOTE.2.(2024·合肥高一檢測)已知i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=QUOTE+3i,則復(fù)數(shù)z的虛部是 ()A.i B.1 C.2i D.2【解析】選D.z=QUOTE+3i=QUOTE+3i=1+2i,其虛部為2.3.(2024·天津高考)i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)QUOTE=.

【解析】QUOTE=QUOTE=QUOTE=3-2i.答案:3-2i類型三i的運(yùn)算性質(zhì)(邏輯推理)【典例】計(jì)算:(1)QUOTE+QUOTE.(2)i+i2+…+i2021.【思路導(dǎo)引】利用i的乘方的周期性計(jì)算.【解析】(1)原式=QUOTE+QUOTE=i(1+i)+(-i)1010=i+i2+(-1)1010·i1010=i-1+i4×252+2=i-1-1=i-2.(2)方法一:原式=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=i.方法二:因?yàn)閕n+QUOTE+in+2+in+3=in(1+i+i2+i3)=0(n∈N*),所以原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2017+i2018+i2019+i2020)+i2021=i2021=(i4)505·i=1505·i=i.i的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用(1)i的周期性要記熟,即in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).(2)記住以下結(jié)果,可提高運(yùn)算速度①(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i;②QUOTE=-i,QUOTE=i;③QUOTE=-i.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.(2024·福清高一檢測)i+i2+i3+i4+…+i2018= ()A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i【解析】選C.原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2013+i2014+i2015+i2016)+i2017+i2018=i2017+i2018=i+i2=-1+i.2.(2024·上海高一檢測)已知復(fù)數(shù)z滿意z(1+i2020)=2-4i(其中i為虛數(shù)單位)則z=.

【解析】因?yàn)閦QUOTE=2-4i,所以z=QUOTE=QUOTE=1-2i.答案:1-2i類型四共軛復(fù)數(shù)及其應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】(1)已知復(fù)數(shù)z=QUOTE,QUOTE是z的共軛復(fù)數(shù),則z·QUOTE等于 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.2(2)已知復(fù)數(shù)z滿意|z|=QUOTE且(1-2i)z是實(shí)數(shù),求QUOTE.【思路導(dǎo)引】(1)先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則求出復(fù)數(shù)z,再依據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出QUOTE,最終依據(jù)復(fù)數(shù)的乘法法則求z·QUOTE.(2)可以先設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解;也可以利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)求解.【解析】(1)選A.方法一:因?yàn)閦=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-QUOTE+QUOTE,所以QUOTE=-QUOTE-QUOTE,所以z·QUOTE=QUOTE.方法二:因?yàn)閦=QUOTE,所以|z|=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以z·QUOTE=QUOTE.(2)方法一:設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則(1-2i)z=(1-2i)(a+bi)=(a+2b)+(b-2a)i,又因?yàn)?1-2i)z是實(shí)數(shù),所以b-2a=0,即b=2a,又|z|=QUOTE,所以a2+b2=5.解得a=±1,b=±2,所以z=1+2i或-1-2i,所以QUOTE=1-2i或-1+2i,即QUOTE=±(1-2i).方法二:因?yàn)?1-2i)z是實(shí)數(shù),故可設(shè)z=b(1+2i),b∈R,由|z|=QUOTE可知|b|QUOTE=QUOTE,所以b=±1,即QUOTE=±(1-2i).1.在例題(1)條件不變的狀況下,把例題(1)的結(jié)論改為:求QUOTE.【解析】由例題(1)的解析可知z=-QUOTE+QUOTE,QUOTE=-QUOTE-QUOTE,z·QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE-QUOTEi.2.把例題(2)的條件“(1-2i)z是實(shí)數(shù)”換成“(1-2i)z是純虛數(shù)”,求QUOTE.【解析】設(shè)z=a+bi,則QUOTE=a-bi,由例題(2)的解析可知a=-2b,由|z|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,得b=1,a=-2或b=-1,a=2,所以QUOTE=-2-i,或QUOTE=2+i.共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用(1)由比較困難的復(fù)數(shù)運(yùn)算給出的復(fù)數(shù),求其共軛復(fù)數(shù),可先按復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算,將復(fù)數(shù)寫成代數(shù)形式,再寫出其共軛復(fù)數(shù).(2)留意共軛復(fù)數(shù)的簡潔性質(zhì)的運(yùn)用.類型五復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一元二次方程(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】(1)若1+QUOTEi是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+bx+c=0的一個(gè)復(fù)數(shù)根,則 ()A.b=2,c=3 B.b=-2,c=3C.b=-2,c=-1 D.b=2,c=-1(2)已知關(guān)于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的值為.

【思路導(dǎo)引】(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求解;(2)設(shè)方程的實(shí)數(shù)根,利用復(fù)數(shù)相等的條件求解.【解析】(1)選B.實(shí)系數(shù)方程虛根成對,所以1-QUOTEi也是一根,所以b=-2,c=1+2=3.(2)設(shè)x0是方程的實(shí)數(shù)根,代入方程并整理得(QUOTE+kx0+2)+(2x0+k)i=0.由復(fù)數(shù)相等的充要條件得QUOTE解得QUOTE或QUOTE所以k的值為-2QUOTE或2QUOTE.答案:±2QUOTE解決復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的一元二次方程問題的留意點(diǎn)(1)與在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對比,在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解決實(shí)系數(shù)一元二次方程問題,根與系數(shù)的關(guān)系和求根公式仍舊適用,但是判別式推斷方程根的功能就發(fā)生變更了.(2)解決復(fù)系數(shù)一元二次方程的基本方法是復(fù)數(shù)相等的充要條件.已知a,b∈R,且2+ai,b+i(i是虛數(shù)單位)是實(shí)系數(shù)一元二次方程x2+px+q=0的兩個(gè)根,求p,q的值.【解析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得QUOTE即QUOTE因?yàn)閜,q均為實(shí)數(shù),所以QUOTE解得QUOTE從而有QUOTE課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.已知QUOTE=1+i(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z等于 ()A.1+i B.1-iC.-1+i D.-1-i【解析】選D.因?yàn)镼UOTE=1+i,所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=-1-i.2.若復(fù)數(shù)z滿意(1+i)z=|QUOTE+i|,則在復(fù)平面內(nèi),QUOTE對應(yīng)的點(diǎn)位于 ()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選A.由題意,得z=QUOTE=QUOTE=1-i,所以QUOTE=1+i,其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(1,1),位于第一象限,故選A.3.方程x2+6x+13=0的一個(gè)根是 ()A.-3+2i B.3+2iC.-2+3i D.2+3i【解析】選A.Δ=36-4×13=-16,所以x=QUOTE=-3±2i.4.設(shè)i是虛數(shù)單位,QUOTE是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù),若z=QUOTE,則QUOTE=.

【解析】z=QUOTE=QUOTE=-1-i,所以QUOTE=-1+i.答案:-1+i5.(2024·廣州高一檢測)已知復(fù)數(shù)z=QUOTE-QUOTEi.則z2+z4=.

【解析】因?yàn)閦2=QUOTE=QUOTE-i-QUOTE=-i,所以z4=QUOTE=(-i)2=-1,所以z2+z4=-1-i.答案:-1-i七復(fù)數(shù)的乘法與除法(15分鐘30分)1.(2024·寧夏高一檢測)若a為實(shí)數(shù),則復(fù)數(shù)z=QUOTE在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在 ()A.實(shí)軸上 B.虛軸上 C.第一象限 D.其次象限【解析】選B.因?yàn)閦=a+i+a2i-a=QUOTEi,且a2+1>0,所以復(fù)數(shù)z=QUOTE在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上.2.(2024·青島高一檢測)已知i是虛數(shù)單位,則化簡QUOTE的結(jié)果為 ()A.i B.-i C.-1 D.1【解析】選C.因?yàn)镼UOTE=QUOTE=QUOTE=i,所以QUOTE=i2022=i2=-1.3.(2024·武漢高一檢測)已知i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z滿意QUOTEz=i,則z的虛部是 ()A.QUOTE B.-QUOTEi C.QUOTEi D.-QUOTE【解析】選A.因?yàn)镼UOTEz=i,所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi,則z的虛部為QUOTE.4.若方程x2+x+m=0有兩個(gè)虛根α,β,且|α-β|=3,則實(shí)數(shù)m的值為 ()A.QUOTE B.-QUOTE C.2 D.-2【解析】選A.因?yàn)榉匠蘹2+x+m=0是實(shí)系數(shù)一元二次方程,且有兩個(gè)虛根α,β,所以α,β互為共軛虛數(shù),所以設(shè)α=a+bi,a,b∈R,則β=a-bi,由|α-β|=3,得b=±QUOTE.當(dāng)b=QUOTE時(shí),α=a+QUOTEi,代入方程得QUOTE+a+QUOTEi+m=0,即QUOTE+QUOTEi=0,所以QUOTE所以QUOTE當(dāng)b=-QUOTE時(shí),同理QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】若a為實(shí)數(shù),且QUOTE=3+i,則a= ()A.-4 B.-3 C.3 D.4【解析】選D.QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTEi=3+i,所以QUOTE解得a=4.5.設(shè)復(fù)數(shù)z=1+QUOTEi,則z2-2z=.

【解析】因?yàn)閦=1+QUOTEi,所以z2-2z=z(z-2)=(1+QUOTEi)(1+QUOTEi-2)=(1+QUOTEi)(-1+QUOTEi)=-3.答案:-36.(2024·新泰高一檢測)已知i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z=QUOTE,z的共軛復(fù)數(shù)為QUOTE,則z·QUOTE=.

【解析】由題可知z=QUOTE=i,所以QUOTE=-i,所以z·QUOTE=i·(-i)=1.答案:1(30分鐘60分)一、單選題(每小題5分,共20分)1.(2024·全國卷Ⅰ)設(shè)復(fù)數(shù)z滿意|z-i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),則 ()A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1【解析】選C.因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),所以z=x+yi,所以z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|=QUOTE=1,所以x2+(y-1)2=1.2.(2024·全國卷Ⅲ)設(shè)z=i(2+i),則QUOTE= ()A.1+2i B.-1+2iC.1-2i D.-1-2i【解析】選D.因?yàn)閦=i(2+i)=-1+2i,所以QUOTE=-1-2i.3.(2024·南昌高一檢測)復(fù)數(shù)z=QUOTE的虛部為 ()A.-QUOTEi B.-QUOTE C.QUOTEi D.QUOTE【解析】選D.因?yàn)閦=QUOTE=QUOTE=-QUOTE+QUOTEi,所以復(fù)數(shù)z=QUOTE的虛部為QUOTE.4.(2024·南寧高一檢測)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為QUOTE,且QUOTE=3+i(i為虛數(shù)單位),則QUOTE= ()A.2 B.QUOTE C.QUOTE D.4【解析】選B.因?yàn)镼UOTE=3+i,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=1+i,則QUOTE=QUOTE=QUOTE.二、多選題(每小題5分,共10分,全部選對得5分,選對但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.(2024·膠州高一檢測)若復(fù)數(shù)z滿意(1+i)z=3+i(其中i是虛數(shù)單位),復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為QUOTE,則 ()A.|z|=QUOTEB.z的實(shí)部是2C.z的虛部是1D.復(fù)數(shù)QUOTE在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限【解析】選ABD.因?yàn)?1+i)z=3+i,所以z=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2-i,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,故選項(xiàng)A正確.z的實(shí)部是2,故選項(xiàng)B正確.z的虛部是-1,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.復(fù)數(shù)QUOTE=2+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為QUOTE,在第一象限,故選項(xiàng)D正確.6.(2024·濟(jì)南高一檢測)已知集合M={m|m=in,n∈N},其中i為虛數(shù)單位,則下列元素屬于集合M的是 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選BC.依據(jù)題意,M=QUOTE中n=4kQUOTE時(shí),in=1;n=4k+1QUOTE時(shí),in=i;n=4k+2QUOTE時(shí),in=-1;n=4k+3QUOTE時(shí),in=-i,所以M=QUOTE.選項(xiàng)A中QUOTE=2?M;選項(xiàng)B中QUOTE=QUOTE=-i∈M;選項(xiàng)C中QUOTE=QUOTE=i∈M;選項(xiàng)D中QUOTE=-2i?M.三、填空題(每小題5分,共10分)7.已知1+2i是方程x2-mx+2n=0(m,n∈R)的一個(gè)根,則m+n=.

【解析】由題意,方程另一根為1-2i,所以QUOTE解得QUOTE故m+n=2+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.若QUOTE=1-bi,其中a,b都是實(shí)數(shù),i是虛數(shù)單位,則|a+bi|=.

【解析】因?yàn)閍,b∈R,且QUOTE=1-bi,則a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i,所以QUOTE所