PAGE熱點(diǎn)(八)平面對(duì)量1．(平面對(duì)量基本定理)設(shè)D為△ABC的邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，則()A.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))B.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D.eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))2．(向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示)已知向量a＝(4,2)，向量b＝(x,3)，且a∥b，則x＝()A．9B．6C．5D．33．[2024·佛山三水區(qū)試驗(yàn)中學(xué)模擬](平面對(duì)量的應(yīng)用)長(zhǎng)江兩岸之間沒(méi)有大橋的地方，經(jīng)常通過(guò)輪渡進(jìn)行運(yùn)輸．如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸A點(diǎn)動(dòng)身，以5km/h的速度沿eq\o(AD,\s\up6(→))方向行駛，到達(dá)對(duì)岸C點(diǎn)，且AC與江岸AB垂直，同時(shí)江水的速度為向東3km/h，則該船實(shí)際行駛的速度大小為()A．2km/hB.eq\r(34)km/hC．4km/hD．8km/h4．[2024·安徽十四校聯(lián)考](平面對(duì)量的模)已知向量a與b方向相反，a＝(1，－eq\r(3))，|b|＝2，則|a－b|＝()A．2B．4C．8D．165．[2024·四川達(dá)州一診](平面對(duì)量平行問(wèn)題)若向量a＝(4,2)，b＝(6，k)，則a∥b的充要條件是()A．k＝－12B．k＝12C．k＝－3D．k＝36．[2024·湖北八校一聯(lián)](平面對(duì)量垂直問(wèn)題)已知平面對(duì)量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，若λa－b與b垂直，則λ＝()A．－1B．1C．－2D．27．[2024·河北邢臺(tái)模擬](平面對(duì)量的投影)已知a＝(－1，eq\r(3))，a·b＝－5，則a＋b在a方向上的投影為()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(3,2)D.eq\f(11,4)8．[2024·廣東六校二聯(lián)](平面對(duì)量的夾角)設(shè)平面對(duì)量a＝(－2,1)，b＝(λ，2)，若a與b的夾角為銳角，則λ的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪(2，＋∞)B．(－∞，－4)∪(－4,1)C．(1，＋∞)D．(－∞，1)9.[2024·石家莊二中三聯(lián)](平面對(duì)量的數(shù)量積)如圖所示，在直角梯形ABCD中，AB＝8，CD＝4，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝()A．32B．48C．80D．6410．(數(shù)量積的應(yīng)用)在△ABC中，設(shè)|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡必通過(guò)△ABC的()A．垂心B．內(nèi)心C．重心D．外心11．[2024·保定市模擬考試](平面對(duì)量與數(shù)列綜合)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若點(diǎn)A，B，C，O滿(mǎn)意：①eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ≠0)；②A(yíng)，B，O確定一個(gè)平面；③eq\o(OB,\s\up6(→))＝a3eq\o(OA,\s\up6(→))＋a98eq\o(OC,\s\up6(→)).則S100＝()A．29B．40C．45D．5012．[2024·鄭州一中期中](平面對(duì)量的數(shù)量積)已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝1，D為BC的中點(diǎn)，且|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，則eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))的最大值為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(3,2)C.eq\r(3)D．213．[2024·武漢市摸底檢測(cè)](平面對(duì)量的模)已知a，b為單位向量，且a，b的夾角為60°，則|2a－b14．(數(shù)量積)設(shè)a，b是相互垂直的單位向量，且(λa＋b)⊥(a＋2b)，則實(shí)數(shù)λ的值是________．15．[2024·云南南靖模擬](平面對(duì)量在物理中的應(yīng)用)在平面直角坐標(biāo)系中，力F＝(2,3)作用于一物體，使該物體從點(diǎn)A(2,0)移動(dòng)到點(diǎn)B(4,0)，則力F對(duì)物體做的功為_(kāi)_______．16．(向量的夾角)已知非零向量a，b滿(mǎn)意|2a＋b|＝|a＋2b|＝eq\r(3)|a|，則a，b的夾角為_(kāi)_______．熱點(diǎn)(八)平面對(duì)量1．答案：C解析：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選C.2．答案：B解析：因?yàn)橄蛄縜＝(4,2)，向量b＝(x,3)且a∥b，所以4×3＝2x，x＝6，故選B.3．答案：C解析：(以下解析中速度按向量處理)不妨設(shè)該船經(jīng)過(guò)1h到達(dá)點(diǎn)C，由題意畫(huà)出向量圖如圖所示，則eq\o(AD,\s\up6(→))為船速，eq\o(AB,\s\up6(→))為水速，eq\o(AC,\s\up6(→))為該船實(shí)際行駛的速度，易知|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4.故選C.4．答案：B解析：方法一因?yàn)閍＝(1，－eq\r(3))，所以|a|＝2.又向量a與b方向相反，且|b|＝2，所以a＝－b，所以|a－b|＝2|b|＝4.故選B.方法二因?yàn)閍＝(1，－eq\r(3))，所以|a|＝2.又|b|＝2，所以|a－b|＝eq\r(a－b2)＝eq\r(a2－2a·b＋b2)＝eq\r(22－2×2×2cosπ＋22)＝4.故選B.5．答案：D解析：因?yàn)橄蛄縜＝(4,2)，b＝(6，k)，若a∥b，則4k－2×6＝0，解得k＝3，即a∥b?k＝3；反之，若k＝3，則a＝(4,2)，b＝(6,3)，所以a＝eq\f(2,3)b，所以a∥b，即k＝3?a∥b.故選D.6．答案：D解析：因?yàn)閍＝(1，－3)，b＝(4，－2)，所以λa－b＝(λ－4，－3λ＋2)．又λa－b與b垂直，所以(λa－b)·b＝4(λ－4)－2(－3λ＋2)＝0，解得λ＝2.故選D.7．答案：B解析：因?yàn)閍＝(－1，eq\r(3))，所以|a|＝eq\r(1＋3)＝2.依據(jù)投影的定義可得，a＋b在a方向上的投影為eq\f(a＋b·a,|a|)＝eq\f(a2＋a·b,|a|)＝eq\f(4－5,2)＝－eq\f(1,2)，故選B.8．答案：B解析：方法一因?yàn)閍與b的夾角為銳角，所以cos〈a，b〉∈(0,1)．又向量a＝(－2,1)，b＝(λ，2)，所以cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－2λ＋2,\r(5)·\r(λ2＋4))∈(0,1)，整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＋2>0，,λ2＋8λ＋16>0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ<1，,λ≠－4，))所以λ的取值范圍為(－∞，－4)∪(－4,1)．故選B.方法二因?yàn)閍與b的夾角為銳角，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a·b>0，,a，b不共線(xiàn).))又向量a＝(－2,1)，b＝(λ，2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2λ＋2>0，,\f(λ,－2)≠\f(2,1)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ<1，,λ≠－4，))所以λ的取值范圍為(－∞，－4)∪(－4,1)．故選B.9．答案：C解析：方法一eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))，由向量的數(shù)量積的幾何意義可得，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的值為|eq\o(AB,\s\up6(→))|與eq\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影的乘積．因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))方向上的投影為eq\f(1,2)|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝4，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝8×4＝32.同理可得，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝8×6＝48，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝32＋48＝80.故選C.方法二依題意，取AD＝4，可得|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4eq\r(2)，∠CAB＝45°.因?yàn)镋是BC的中點(diǎn)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(3,2)\o(AC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\f(3,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)×82＋eq\f(3,2)×8×4eq\r(2)cos45°＝80.故選C.10．答案：D解析：|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－2eq\o(AM,\s\up6(→)))＝0?eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AM,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＝0，設(shè)E為BC的中點(diǎn)，則eq\o(MC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＝2eq\o(ME,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))·2eq\o(ME,\s\up6(→))＝0?eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(ME,\s\up6(→))?ME為BC的垂直平分線(xiàn)，∴M的軌跡必過(guò)△ABC的外心，故選D.11．答案：D解析：通解因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ≠0)，所以A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)．又A，B，O確定一個(gè)平面，即A，B，O不共線(xiàn)，所以A，C，O不共線(xiàn)，即eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))不共線(xiàn)．由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ≠0)，得eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，當(dāng)λ≠－1時(shí)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,1＋λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(λ,1＋λ)eq\o(OC,\s\up6(→))，當(dāng)λ＝－1時(shí)，eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))(舍去)．因?yàn)閑q\o(OB,\s\up6(→))＝a3eq\o(OA,\s\up6(→))＋a98eq\o(OC,\s\up6(→))，所以a3＝eq\f(1,1＋λ)，a98＝eq\f(λ,1＋λ)，則a3＋a98＝1，又?jǐn)?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以a1＋a100＝a3＋a98＝1，所以S100＝eq\f(a1＋a100×100,2)＝50.故選D.優(yōu)解由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))(λ≠0)，得A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，又A，B，O確定一個(gè)平面，所以A，B，C，O四點(diǎn)共面．依據(jù)eq\o(OB,\s\up6(→))＝a3eq\o(OA,\s\up6(→))＋a98eq\o(OC,\s\up6(→))，得a3＋a98＝1，因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以a1＋a100＝a3＋a98＝1，所以S100＝eq\f(a1＋a100×100,2)＝50，故選D.12．答案：C解析：因?yàn)閨eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝1，所以點(diǎn)A，B，C在以點(diǎn)O為圓心、1為半徑的圓上．連接OD，以O(shè)為原點(diǎn)，OD所在直線(xiàn)為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)閨eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝1，D為BC的中點(diǎn)，所以|eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2).則Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2))).設(shè)A(x，y)，則eq\o(AD,