專題10全等三角形之半角模型模型一、等腰直角三角形中的半角模型如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D，E在BC上，且∠DAE=45°，則：BD2+CE2=DE2.圖示（1）作法1：將△ABD旋轉(zhuǎn)90°作法2：分別翻折△ABD,△ACE模型二、正方形中的半角模型如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF=45°，連接EF，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥于EF于點(diǎn)G，則：EF=BE+DF，AG=AD.圖示（1）作法：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°例1．（2018·四川成都·中考模擬）如圖，正方形ABCD中，已知AB=3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，則△AEF的面積為_(kāi)____．【答案】9﹣3【詳解】解：如圖，把△ADF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABM．則AM=AF，∠FAD=∠MAB=15°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠D=∠ABC=∠ABM=90°，∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠EAF=45°，∠MAE=∠MAB+∠BAE=45°=∠EAF，在△EAF和△EAM中，，∴△EAF≌EAM，∴ME=EF，∵M(jìn)E=BM+BE=BE+DF，設(shè)FE=a，在Rt△ABE中，∵∠ABE=90°，AB=3，∠BAE=30°，∴BE=，DF=a﹣，CF=3﹣（a﹣），∵EF2=EC2+CF2，∴a2=（3﹣）2+[3﹣（a﹣）]2，∴a=6﹣2，∴S△AEF=S△AME=?EM?AB=?（6﹣2）×3=9﹣3．故答案為9﹣3．例2．（2019·四川達(dá)州·中考模擬）某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下：如圖1，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，小敏將一塊三角板中含45°角的頂點(diǎn)放在A上，從AB邊開(kāi)始繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)D，直角邊所在的直線交直線BC于點(diǎn)E．（1）小敏在線段BC上取一點(diǎn)M，連接AM，旋轉(zhuǎn)中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請(qǐng)你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結(jié)論；（2）當(dāng)0°＜α≤45°時(shí)，小敏在旋轉(zhuǎn)中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關(guān)系：BD2+CE2＝DE2．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進(jìn)行解決；小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF，連接EF（如圖2）小亮的想法：將△ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACG，連接EG（如圖3）；請(qǐng)你從中任選一種方法進(jìn)行證明；（3）小敏繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，在探究中得出當(dāng)45°＜α＜135°且α≠90°時(shí)，等量關(guān)系BD2+CE2＝DE2仍然成立，先請(qǐng)你繼續(xù)研究：當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)（如圖4）等量關(guān)系BD2+CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）選擇小穎的方法，見(jiàn)解析；（3）當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)，等量關(guān)系BD2+CE2＝DE2仍然成立，見(jiàn)解析.【詳解】（1）證明：如圖1，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC＝90°．∵∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠EAC＝45°．∵∠BAD＝∠DAM，∴∠BAD+∠EAC＝∠DAM+∠EAC＝45°，∴∠DAM+∠MAE＝∠DAM+∠EAC，∴∠MAE＝∠EAC，即AE平分∠MAC；（2）選擇小穎的方法．證明：如圖2，連接EF．由折疊可知，∠BAD＝∠FAD，AB＝AF，BD＝DF，∵∠BAD＝∠FAD，∴由（1）可知，∠CAE＝∠FAE．在△AEF和△AEC中，，∴△AEF≌△AEC（SAS），∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45°．∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，∴BD2+CE2＝DE2．（3）當(dāng)135°＜α＜180°時(shí)，等量關(guān)系BD2+CE2＝DE2仍然成立．證明如下：如圖4，按小穎的方法作圖，設(shè)AB與EF相交于點(diǎn)G．∵將△ABD沿AD所在的直線對(duì)折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABD＝135°，∠BAD＝∠FAD．又∵AC＝AB，∴AF＝AC．又∵∠CAE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣（45°﹣∠BAD）＝45°+∠BAD＝45°+∠FAD＝∠FAE．∴∠CAE＝∠FAE．在△AEF和△AEC中，∵,∴△AEF≌△AEC（SAS），∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45°．∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝∠135°﹣∠C＝135°﹣45°＝90°．∴∠DFE＝90°．在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，∴BD2+CE2＝DE2．【變式訓(xùn)練1】如圖，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分別在BD，CD上，∠MAN＝45°，則△DMN的周長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】4+4．【詳解】將△ACN繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△ABE，如圖：由旋轉(zhuǎn)得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三點(diǎn)共線，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BD＝4，CD＝BD×tan∠CBD＝4，∴△DMN的周長(zhǎng)為DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝4+4，故答案為4+4．【變式訓(xùn)練2】如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC邊上的點(diǎn)，將△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，得到△AC，連接E．(1)當(dāng)∠BAC＝120°，∠DAE＝60°時(shí)，求證：DE＝E；(2)當(dāng)DE＝E時(shí)，∠DAE與∠BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出，并說(shuō)明理由．(3)在（2）的結(jié)論下，當(dāng)∠BAC＝90°，BD與DE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，△EC是等腰直角三角形？（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）【答案】(1)見(jiàn)解析(2)∠DAE＝∠BAC，理由見(jiàn)解析(3)DE＝BD【詳解】（1）證明：∵△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△AC，∴AD＝A，∠CA＝∠BAD，∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠AE＝∠CA＋∠CAE＝∠BAD＋∠CAE＝∠BAC﹣∠DAE＝120°﹣60°＝60°，∴∠DAE＝∠AE，在△ADE和△AE中，∵，∴△ADE≌△AE（SAS），∴DE＝E；（2）解：∠DAE＝∠BAC．理由如下：在△ADE和△AE中，，∴△ADE≌△AD′E（SSS），∴∠DAE＝∠AE，∴∠BAD＋∠CAE＝∠CAD′＋∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE，∴∠DAE＝∠BAC；（3）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠AC＝45°，∴∠CE＝45°＋45°＝90°，∵△EC是等腰直角三角形，∴E＝C，由（2）DE＝E，∵△ABD繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到△AC，∴BD＝，∴DE＝BD．【變式訓(xùn)練2】學(xué)完旋轉(zhuǎn)這一章，老師給同學(xué)們出了這樣一道題：“如圖1，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°，求證：EF＝BE＋DF．”小明同學(xué)的思路：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°．把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，然后證明，從而可得．，從而使問(wèn)題得證．(1)【探究】請(qǐng)你參考小明的解題思路解決下面問(wèn)題：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，，直接寫(xiě)出EF，BE，DF之間的數(shù)量關(guān)系．(2)【應(yīng)用】如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，，求證：EF＝BE＋DF．(3)【知識(shí)遷移】如圖4，四邊形ABPC是的內(nèi)接四邊形，BC是直徑，AB＝AC，請(qǐng)直接寫(xiě)出PB＋PC與AP的關(guān)系．【答案】(1)BE＋DF＝EF；(2)證明見(jiàn)解析；(3)【解析】（1）解：結(jié)論：BE＋DF＝EF，理由如下：證明：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAD，使得AB與AD重合，點(diǎn)E轉(zhuǎn)到點(diǎn)的位置，如圖所示，可知，∴．由∠ADC+∠=180°知，C、D、共線，∵，∴∠BAF+∠DAF=∠EAF，∴∠+∠DAF=∠EAF=，∴△AEF≌△，∴EF==BE+DF．（2）證明：將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角等于∠BAD，使得AB與AD重合，點(diǎn)E轉(zhuǎn)到點(diǎn)的位置，如圖所示，由旋轉(zhuǎn)可知，∴，，，．∵∠B＋∠ADC＝180°，∴，∴點(diǎn)C，D，在同一條直線上．∵，∴，∴，∴，∴．∵AF＝AF，∴，∴，即BE＋DF＝EF．（3）結(jié)論：，理由如下：證明：將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，使得AB與AC重合，如圖所示，由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)得：∠AC+∠ACP=180°，即P，C，在同一直線上．∴，，∵BC為直徑，∴∠BAC=90°=∠BAP+∠PAC=∠CA+∠PAC=，∴△為等腰直角三角形，∴，即．【變式訓(xùn)練3】（1）閱讀理解如圖1，在正方形ABCD中，若E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的點(diǎn)，∠EAF＝45°，則我們常常會(huì)想到：把ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到ABG．易證AEF≌，得出線段BF，DE，EF之間的關(guān)系為；（2）類(lèi)比探究如圖2，在等邊ABC中，D，E為BC邊上的點(diǎn)，∠DAE＝30°，BD＝1，EC＝2．求線段DE的長(zhǎng)；（3）拓展應(yīng)用如圖3，在ABC中，AB＝AC＝，∠BAC＝150°，點(diǎn)D，E在BC邊上，∠DAE＝75°，若DE是等腰ADE的腰，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BD的長(zhǎng)．【答案】（1）AGF，EF＝DE+BF；（2）DE＝；（3）BD＝2或2【詳解】解：（1）由圖象的旋轉(zhuǎn)知，AG＝AE，∠DAE＝∠GAB，∵∠BAF+∠DAE＝∠BAD﹣∠EAF＝45°，∴∠GAF＝∠GAB+∠BAF＝∠DAE+∠BAF＝90°﹣∠EAF＝45°＝∠EAF，又∵AG＝AE，AF＝AF，∴△AGF≌△AEF（SAS），∴GF＝EF，即GF＝BG+BF＝DE+BF＝EF，即EF＝DE+BF，故答案為：AGF，EF＝DE+BF；（2）將△AEC圍繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AFB的位置，連接FD，由（1）知，△AFB≌△AEC（SAS），則AF＝AE，F(xiàn)B＝EC＝2，∵∠FAD＝∠FAB+∠BAD＝∠EAC+∠BAD＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣30°＝∠DAE，∵AD＝AD，AF＝AE，∴△AFD≌△AED（SAS），∴FD＝DE，∠ABF＝∠C＝60°，在△BDF中，BD＝1，BF＝2，∠FBD＝∠ABF+∠ABC＝60°+60°＝120°，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BD交DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則∠FBH＝60°，在Rt△FBH中，∠FBH＝60°，則BH＝BF＝1，F(xiàn)H＝BFsin60°＝2×＝，則故DE＝；（3）①當(dāng)DE＝AD時(shí)，則∠DAE＝∠DEA＝75°，則∠ADE＝180°﹣2×75°＝30°，在等腰△ABC中，∠BAC＝150°，則∠ABC＝∠ACB＝15°，將△AEC圍繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AFB所在的位置（點(diǎn)F對(duì)應(yīng)點(diǎn)E），連接DF，由（2）同理可得：△ADE≌△ADF（SAS），∴DF＝DE，∵∠ADE＝∠ABC+∠BAD＝15°+∠BAD＝30°，故∠BAD＝15°＝∠ABD，∴AD＝BD＝ED，設(shè)BD＝a，則AD＝BD＝ED＝a，則BE＝2a，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BA交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則∠HAC＝2∠ABC＝30°，在△ABC中，AB＝AC＝，∠HAC＝30°，設(shè)AC＝x，則CH＝x，AH＝x，由BC2＝（AB+AH）2+HC2得：BC2＝（x+x）2+（x）2，將x＝代入上式并解得：BC＝4+2；在△ADE中，AD＝DE＝a，∠ADE＝30°，同理可得：AE＝，∵∠ABE＝15°，∠AEB＝75°，故∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，即（）2+（）2＝（2a）2，解得a＝±2（舍去負(fù)值），故a＝2，則BD＝2，CE＝BC﹣2a＝4+2﹣4＝2；②當(dāng)DE＝AE時(shí)，BD對(duì)應(yīng)①中的CE，故BD＝2；綜上，BD＝2或2．【變式訓(xùn)練4】如圖，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M，N在邊BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，求MN的長(zhǎng)．【答案】【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BC，垂足為點(diǎn)C，截取CE，使CE＝BM．連接AE、EN．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．在△ABM和△ACE中，∴△ABM≌△ACE（SAS）．∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM＋∠CAN＝45°．于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．在△MAN和△EAN中，∴△MAN≌△EAN（SAS）．∴MN＝EN．在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2＋NC2．∴MN2＝BM2＋NC2．∵BM＝1，CN＝3，∴MN2＝12＋32，∴MN＝．課后訓(xùn)練1．如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，BM、DN分別是正方形的兩個(gè)外角的平分線，點(diǎn)P，Q分別是平分線BM、DN上的點(diǎn)，且滿足∠PAQ＝45°，連接PQ、PC、CQ．則下列結(jié)論：①BP?DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB=2，∠BAD=90°，∵∠PAQ＝45°，∴∠BAP+∠QAD=45°，∵BM是正方形的外角的平分線，∴∠MBC=135°，∴∠BAP+∠APB=45°，∴∠QAD＝∠APB，∴②正確；∵BM、DN分別是正方形的兩個(gè)外角的平分線，∴∠ABP=∠QDA=135°，∵∠QAD＝∠APB，∴△ABP∽△QDA，∴BP：DA=BA：DQ，∴BP?DQ＝，∴①錯(cuò)誤；∵△ABP∽△QDA，∴BP：DA=BA：DQ，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∴BP：BC=DC：DQ，∵BM、DN分別是正方形的兩個(gè)外角的平分線，∴∠PBC=∠QDC=45°，∴△BPC∽△DCQ，∴∠BCP=∠DQC，∴∠PCQ=360°∠BCD∠BCP∠DCQ=270°（∠DQC+∠DCQ）=270°（180°∠CDQ）=135°.∴③正確；如圖，將△AQD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，連接PF．則△ABF≌△ADQ．∴∠1=∠3，AF=AQ，BF=DQ，∠AFB=∠AQD．∴∠PAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD∠PAQ=45°．∴∠PAF=∠PAQ．又∵AP=AP，∴△APF≌△APQ．∴PF=PQ．∵∠PBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AQD+∠3）+45°=90°．∴在Rt△BPF中，，∴．∴④正確；故選C．2．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】5【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長(zhǎng)為6，∴，∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，∴，∴點(diǎn)G、B、E三點(diǎn)共線，∵，∴，∵AE=AE，∴，∴，設(shè)，則有，∴在Rt△ECF中，由勾股定理可得，即，解得：，∴；故答案為5．3．折一折：將正方形紙片ABCD折疊，使邊AB、AD都落在對(duì)角線AC上，展開(kāi)得折痕AE、AF，連接EF，如圖1．(1)∠EAF＝°，寫(xiě)出圖中兩個(gè)等腰三角形：（不需要添加字母）；(2)轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)：將圖1中的∠EAF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使它的兩邊分別交邊BC、CD于點(diǎn)P、Q，連接PQ，如圖2．線段BP、PQ、DQ之間的數(shù)量關(guān)系為；(3)連接正方形對(duì)角線BD，若圖2中的∠PAQ的邊AP、AQ分別交對(duì)角線BD于點(diǎn)M、點(diǎn)N，如圖3，則；(4)剪一剪：將圖3中的正方形紙片沿對(duì)角線BD剪開(kāi)，如圖4．求證：BM2＋DN2＝MN2．【答案】(1)45；△AEF，△CEF，(2)PQ＝BP＋D；(3)；(4)見(jiàn)解析【解析】(1)解：如圖1中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，∴ABC，△ADC都是等腰三角形，∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，∴∠EAF（∠BAC＋∠DAC）＝45°，∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，∴△BAE≌△DAF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，∵CB＝CD，∴CE＝CF，∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，故答案為：45，△AEF，△EFC．(2)解：結(jié)論：PQ＝BP＋DQ．理由：如圖2中，延長(zhǎng)CB到T，使得BT＝DQ．∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，∴△ADQ≌△ABT（SAS），∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，∵∠PAQ＝45°，∴∠PAT＝∠BAP＋∠BAT＝∠BAP＋∠DAQ＝45°，∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，∵AP＝AP，∴△PAT≌△PAQ（SAS），∴PQ＝PT，∵PT＝PB＋BT＝PB＋DQ，∴PQ＝BP＋DQ．故答案為：PQ＝BP＋DQ．(3)解：如圖3中，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，ACAB，∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，∴∠BAM＝∠CAQ，∴△CAQ∽△BAM，∴，故答案為：．(4)證明：如圖4中，將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABR，連接RM．∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN＋∠BAM＝45°，∵∠DAN＝∠BAR，∴∠BAM＋∠BAR＝45°，∴∠MAR＝∠MAN＝45°，∵AR＝AN，AM＝AM，∴△AMR≌△AMN（SAS），∴RM＝MN，∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，∴∠RBM＝90°，∴RM2＝BR2＋BM2，∵DN＝BR，MN＝RM，∴BM2＋DN2＝MN2．4．【探索發(fā)現(xiàn)】如圖①，四邊形ABCD是正方形，M，N分別在邊CD、BC上，且，我們把這種模型稱為“半角模型”，在解決“半角模型”問(wèn)題時(shí)，旋轉(zhuǎn)是一種常用的方法．如圖①，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到，連接AM、AN、MN．（1）試判斷DM，BN，MN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在正方形ABCD的邊BC、CD的延長(zhǎng)線上，，連接MN，請(qǐng)寫(xiě)出MN、DM、BN之間的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．（3）如圖③，在四邊形ABCD中，AB=AD，，，點(diǎn)N，M分別在邊BC，CD上，，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BN，DM，MN之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1），證明見(jiàn)解析；（2）,證明見(jiàn)解析；（3）．【詳解】證明：（1）如圖①，∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AD，=將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到∴≌∴∵在和中∵，∴（2）如圖②，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AD，=∵繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到∴≌∴,∵在和中∵，即：；（3）如圖，∵，，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到∴≌∴在和中；5．問(wèn)題背景如圖①，在四邊形中，，，，點(diǎn)，分別是，上的點(diǎn)，且，連接，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．

探究發(fā)現(xiàn)（1）小明同學(xué)的方法是將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，使得與重合，然后再證明，從而得出結(jié)論：______；拓展延伸（2）如圖②，在四邊形中，，，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，且，連接．（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖③，在正方形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，且，連接，已知，，求正方形的邊長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．證明見(jiàn)解析；（3）正方形的邊長(zhǎng)為6．【詳解】（1）解：由旋轉(zhuǎn)得：AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∵，∴∠EAG=120°，∵,∴∠GAF=,又∵AF=AF，∴，∴EF=GF，∵GF=DG+DF，∴，故答案為：；（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立.證明：如解圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至的位置，使與重合.則，，，，又∵，∴，∴，，三點(diǎn)共線.∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴；（3）解：由（1）（2）可知．設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，在中，，∴，解得，（不合題意，舍去），故正方形的邊長(zhǎng)為6.6．請(qǐng)閱讀下列材料：已知：如圖（1）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)D、E分別為線段BC上兩動(dòng)點(diǎn)，若∠DAE＝45°．探究線段BD、DE、EC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系：（1）猜想BD、DE、EC三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系式，直接寫(xiě)出你的猜想；（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)E在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)在線段CB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖（2），其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請(qǐng)說(shuō)明你的猜想并給予證明；（3）已知：如圖（3），等邊三角形ABC中，點(diǎn)D、E在邊AB上，且∠DCE＝30°，請(qǐng)你找出一個(gè)條件，使線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，并求出此時(shí)等腰三角形頂角的度數(shù)．【答案】（1）DE2＝BD2+EC2；（2）關(guān)系式DE2＝BD2+EC2仍然成立，詳見(jiàn)解析；（3）當(dāng)AD＝BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，且頂角∠DFE為120°．【詳解】解：（1）DE2＝BD2+EC2；證明：如圖，將△ADB沿直線AD對(duì)折，得△AFD，連FE，∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，F(xiàn)D＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠CAE＝45°,∠FAD+∠FAE＝45°,∴∠CAE=∠FAE又AE=AE,AF=AB=AC，∴△AFE≌△ACE，∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝45°+45°＝90°，∴DE2＝FD2+EF2∴DE2＝BD2+EC2；（2）關(guān)系式DE2＝BD2+EC2仍然成立．證明：將△ADB沿直線AD對(duì)折，得△AFD，連FE∴△AFD≌△ABD，∴AF＝AB，F(xiàn)D＝DB，∠FAD＝∠BAD，∠AFD＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴AF＝AC，∵∠FAE＝∠FAD+∠DAE＝∠FAD+45°，∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣（∠DAE﹣∠DAB）＝45°+∠DAB，∴∠FAE＝∠EAC，又∵AE＝AE，∴△AFE≌△ACE，∴FE＝EC，∠AFE＝∠ACE＝45°，∠AFD＝∠ABD＝180°﹣∠ABC＝135°∴∠DFE＝∠AFD﹣∠AFE＝135°﹣45°＝90°，∴在Rt△DFE中，DF2+FE2＝DE2，即DE2＝BD2+EC2；（3）當(dāng)AD＝BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形．如圖，與（2）類(lèi)似，以CE為一邊，作∠ECF＝∠ECB，在CF上截取CF＝CB，可得△CFE≌△CBE，△DCF≌△DCA．∴AD＝DF，EF＝BE．∴∠DFE＝∠1+∠2＝∠A+∠B＝120°．若使△DFE為等腰三角形，只需DF＝EF，即AD＝BE，∴當(dāng)AD＝BE時(shí)，線段DE、AD、EB能構(gòu)成一個(gè)等腰三角形，且頂角∠DFE為120°．7．在等邊△ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及△AMN的周長(zhǎng)Q與等邊△ABC的周長(zhǎng)L的關(guān)系．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM＝DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；此時(shí)；（2）如圖2，點(diǎn)M、N在邊AB、AC上，且當(dāng)DM≠DN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？若成立請(qǐng)直接寫(xiě)出你的結(jié)論；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，探索BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系如何？并給出證明．【答案】（1）BM+NC＝MN，；（2）結(jié)論仍然成立，詳見(jiàn)解析；（3）NC﹣BM＝MN，詳見(jiàn)解析【詳解】（1）如圖1，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系BM+NC＝MN．此時(shí)．理由：∵DM＝DN，∠MDN＝60°，∴△MDN是等邊三角形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∵BD＝CD，∠BDC＝120°，∴∠DBC＝∠DCB＝30°，∴∠MBD＝∠NCD＝90°，∵DM＝DN，BD＝CD，∴Rt△BDM≌Rt△CDN，∴∠BDM＝∠CDN＝30°，BM＝CN，∴DM＝2BM，DN＝2CN，∴MN＝2BM＝2CN＝BM+CN；∴AM＝AN，∴△AMN是等邊三角形，∵AB＝AM+BM，∴AM：AB＝2：3，∴；（2）猜想：結(jié)論仍然成立．證明：在NC的延長(zhǎng)線上截取CM1＝BM，連接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N＝M1C+NC＝BM+NC，∴△AMN的周長(zhǎng)為：AM+MN+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC，∴；（3）證明：在CN上截取CM1＝BM，連接DM1．∵∠MBD＝∠M1CD＝90°，BD＝CD，∴△DBM≌△DCM1，∴DM＝DM1，∠MBD＝∠M1CD，M1C＝BM，∵∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，∴∠M1DN＝∠MDN＝60°，∴△MDN≌△M1DN，∴MN＝M1N．∴NC﹣BM＝MN．8．如圖1，在△ABC中，AB=AC，射線BP從BA所在位置開(kāi)始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α（0°<α<180°）．（1）當(dāng)∠BAC=60°時(shí)，將BP旋轉(zhuǎn)到圖2位置，點(diǎn)D在射線BP上．若∠CDP=120°，則∠ACD__________∠ABD（填“＞”“=”“＜”），線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系是__________；（2）當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，將BP旋轉(zhuǎn)到圖3位置，點(diǎn)D在射線BP上，若∠CDP=60°，求證：BDCD=AD；（3）將圖3中的BP繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)30°<α<180°時(shí)，點(diǎn)D是直線BP上一點(diǎn)（點(diǎn)P不在線段BD上），若∠CDP=120°，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BD、CD與AD之間的數(shù)量關(guān)系（不必證明）．【答案】（1）=；BD=CD+AD；（2）證明見(jiàn)解析；（3）BD+CD=AD或CDBD=AD【詳解】解：（1）如圖2，∵∠CDP=120°，∴∠CDB=60°，∵∠BAC=60°，∴∠CDB=∠BAC=60°，∴A、B、C、D四點(diǎn)共圓，∴∠ACD=∠ABD．在BP上截取BE=CD，連接AE．在△DCA與△EBA中，，∴△DCA≌△EBA（SAS），∴AD=AE，∠DAC=∠EAB，∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=60°，∴∠DAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DE=AD．∵BD=BE+DE，∴BD=CD+AD．故答案為：=，BD=CD+AD；（2）如圖3，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，在BP上截取BE=CD，連接AE，過(guò)A作AF⊥BD于F．∵∠CDP=60°，∴∠CDB=120°．∵∠CAB=120°，∴∠CDB=∠CAB，∵∠DOC=∠AOB，∴△DOC∽△AOB，∴∠DCA=∠EBA．在△DCA與△EBA中，，∴△DCA≌△EBA（SAS），∴AD=AE，∠DAC=∠EAB．∵∠CAB=∠CAE+∠EAB=120°，∴∠DAE=120°，∴∠ADE=∠AED==30°．∵在Rt△ADF中，∠ADF=30°，∴DF=AD，∴DE=2DF=AD，∴BD=DE+BE=AD+CD，∴BD﹣CD=AD；（3）①如圖4，BDCD=AD，理由是：在BD上取一點(diǎn)E，使BE=CD，連接AE，過(guò)A作AF⊥BD于F，得△ABE≌△ACD，∴AE=AD，∠BAE=∠CAD，∴DF=FE，∵∠BAC=∠BA