立體幾何專題一：立體幾何求體積一、必備秘籍1．等積變換法等積變換法的思想是：從不同的角度看待原幾何體，通過改變頂點和底面，利用體積不變的原理，來求原幾何體的體積。2.割補法割補法的思想是：通過分割或補形，將原幾何體分割或補成較易計算體積的幾何體，從而求出原幾何體的體積。3.向量法如圖，平面的斜線交平面于點，向量是平面的法向量，設(shè)點到平面的距離為設(shè)，則，，則。二、例題講解1．（2021·陜西寶雞·高三月考（文））如圖（1）所示，已知正方形的邊長為2，延長，使得為中點，連結(jié)．現(xiàn)將沿折起，使平面平面，得到幾何體，如圖（2）所示．（1）求證：平面；（2）求幾何體的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）借助題設(shè)條件運用面面垂直的性質(zhì)定理進行推證；（2）根據(jù)，利用等體積法求解即可.【詳解】解：（1）∵由圖（1）可知，∴，∴又∵平面平面，平面平面平面∴平面（2）∵由（1）可知，平面，則即為幾何體的高感悟升華（核心秘籍）等體積法注意選擇能便捷求底面積，求高。要先分析換哪個點當頂點，才能便捷求高。2．（2021·四川攀枝花·高三三模（文））如圖，三棱錐中，面，△為正三角形，點在棱上，且，、分別是棱、的中點，直線與直線交于點，直線與直線交于點，，．（1）求證：；（2）求幾何體的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【分析】（1）根據(jù)、分別是棱、的中點得到，進一步證明，從而得證；（2）分別求出和，進一步得到答案.【詳解】證明：（1）∵、分別是棱、的中點，∴，∵平面，平面，∴平面，∵平面，平面平面，∴，則；（2）∵△為正三角形，且邊長為6，面，，∴，又，∴，到的距離為，則，到平面的距離為到平面距離的一半，為．∴，則．【點睛】求組合體的體積，要利用到割補法的思想，求三棱錐的體積時要利用等體積法的思想更換頂點，這樣會輕松一點.感悟升華（核心秘籍）求組合體的體積，善于利用到割補法的思想；3．（2022·全國高三專題練習(xí)）在五面體中，四邊形為正方形，平面平面，，，.（1）若平面平面，求的長；（2）在第（1）問的情況下，過點做平行于平面的平面交于點，交于點，求三棱柱的體積.【答案】（1）1；（2）1.【分析】（1）根據(jù)題意，以為原點，以分別為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，分別求得和的法向量，結(jié)合，列出方程，即可求解.（2）由（1）得到平面的法向量，利用向量法求得點到平面的距離結(jié)合柱體的體積公式，即可求解.【詳解】（1）因為平面平面，平面平面，，所以平面，又因為，以為原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)，可得，則設(shè)平面的法向量，可得，不妨，可得，，所以平面的法向量，又由，，設(shè)平面的法向量，則：，不妨，則，，所以平面的法向量.由平面平面，所以，所以.（2）由（1）知，平面的法向量，又由，可得，所以點到平面的距離，又平面平面，且，平面平面，所以平面，又由平面，所以，在梯形中，可得，所以直角三角形的面積，所以.感悟升華（核心秘籍）向量法求解的實際上是幾何體的高，這個是求高的另一種途徑，此法注意公式的記憶，計算的準確。三、實戰(zhàn)練習(xí)1．（2021·浙江高三月考）如圖，多面體中，四邊形為菱形，在梯形中，，，，平面平面．（1）證明：平面；（2）若多面體的體積為，為銳角，求的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）.【分析】由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)得面ABCD，則，再由四邊形ABCD為菱形得，由直線與平面垂直的判定得平面AFC；應(yīng)用組合體的體積求出A到線段CD的距離，求解直角三角形可得的大?。驹斀狻科矫嫫矫鍭BCD，，平面ABEF，平面平面，平面ABCD，又平面ABCD，，又四邊形ABCD為菱形，即，且，平面AFC；該幾何體由三棱錐與四棱錐組合而成，由，，得，又面面ABCD，到AB的距離等于C到平面ABEF的距離．設(shè)A到CD的距離為d，則C到AB的距離也是d，又，多面體ABCDEF的體積為，，解得，∴，又為銳角，得．2．（2021·江西南昌·高三開學(xué)考試（文））如圖，在四棱錐中，底面為正方形，為等邊三角形，為中點，平面平面．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若，求三棱錐的體積．【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）證得平面ABCD，結(jié)合即可得出結(jié)論；（Ⅱ）首先求出三棱錐的體積，進而根據(jù)即可求出結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）連接AC交BD于點O，連接PO、EO，因為為等邊三角形，所以，因為底面ABCD為正方形，所以，因為，所以平面PAC，所以，因為平面平面ABCD，所以平面ABCD，因為E為PC中點，所以，則平面ABCD．（Ⅱ）因為，所以，，由（Ⅰ）知，得，所以，又E為PC的中點，所以．3．（2021·安徽安慶·高三月考（文））如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，，.（1）證明：；（2）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接交于點，連接，結(jié)合已知條件可得，，即可證明面，即可求證；（2）結(jié)合（1）知面，所以三棱錐的高為，根據(jù)已知條件證明，可求出，利用即可求解.【詳解】（1）連接交于點，連接，因為底面是菱形，所以，，又因為，所以，而，所以面，又因為平面，所以.（2）由（1）知面，所以三棱錐的高為，因為底面是邊長為2的菱形，，所以，，所以.因為，所以，在中，，，，所以，所以，又因為，所以，所以.4．（2021·江西高三月考（文））如圖，直三棱柱中，是的中點，，，．（1）求證：//平面；（2）求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析；(2)2.【分析】(1)連接BC1交B1C于點E，連接DE，證明DE//AC1即可作答；(2)在三棱錐C1CDB1中，利用等體積法即可得解.【詳解】(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，連接BC1交B1C于點E，連接DE，如圖，顯然四邊形BCC1B1是矩形，則E是BC1中點，而D是AB的中點，于是得DE//AC1，又平面，平面，所以AC1//平面CDB1；(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC=BC=3，AB=3，則，即，而D是AB的中點，則，又，，，即，面積，顯然，而，平面BCC1B1，于是得平面BCC1B1，點A到平面BCC1B1的距離為AC=3，點D是平面BCC1B1的斜線段BA的中點，從而得點D到平面BCC1B1的距離為，的面積，三棱錐的體積，設(shè)點C1到平面CDB1的距離為h，由，即，亦即，解得，所以點C1到平面CDB1的距離為2.5．（2021·貴州貴陽·高三開學(xué)考試（文））長方體中，，，是上底面內(nèi)的一點，經(jīng)過點在上底面內(nèi)的一條直線滿足．（1）作出直線，說明作法（不必說明理由）；（2）當是中點時，求三棱錐的體積．【答案】（1）作圖見解析；（2）.【分析】（1）在上底面過點作直線即可；（2）連接，，，,交于點，則，易得平面，然后由求解.【詳解】（1）如圖，連接，在上底面過點作直線；（2）連接，，，，若交于點，則，，在該長方體中有底面，所以，又，所以平面，即是三棱錐的高，所以.6．（2021·浙江高三專題練習(xí)）如圖，平面平面，其中為矩形，為直角梯形，，，，.（1）求證：平面；（2）若三棱錐的體積為，求點到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）作于，利用已知條件證明，再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可求證；（2）先證明平面，利用三棱錐的體積可求出的長，進而可得的長，點到平面的距離為，由即可求解.【詳解】（1）作于，因為，.所以可得，因為，所以，所以.所以，即因為面面，面面，面所以面.（2）因為平面平面，，面面，面所以平面，，，所以，因為，所以，因為平面，面，所以，所以，設(shè)點到平面的距離為，由可得，可得，所以點到平面的距離為7．（2021·四川成都·高三其他模擬（文））如圖，在四棱錐中，，，為棱的中點，，．（1）求證：平面；（2）若平面平面，試求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取中點，連接，，通過構(gòu)造平行四邊形得到，進而得出結(jié)果；（2）通過勾股定理得出，由面面垂直性質(zhì)定理得出平面，最后根據(jù)得結(jié)果.【詳解】（1）如圖，取中點，連接，．在中，為的中點，為的中點，為的中位線，又，，且．四邊形為平行四邊形．．又平面，平面，平面．（2），，在中，，在直角梯形中，易得在中，，，．平面平面，平面平面，平面．平面在中，，，．8．（2021·全國高三模擬預(yù)測（文））如圖，在多面體中，四邊形為菱形，四邊形為正方形，，，點為中點，點為中點.（1）求證：平面平面且；（2）求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，證得平面，得到平面平面，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，證得，得到平面平面，證得平面，得到，再由，證得平面，即可證得；（2）證得平面，得到三棱錐的高，利用，即可求解.【詳解】（1）因為四邊形為正方形，所以，由，，可得，所以，因為，且平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面，由是正三角形，因為點為中點，所以，又由平面，且平面平面，所以平面，因為平面，所以，因為四邊形為正方形，點為中點，點為中點，所以，.因為，所以，從而，因為，所以平面，因為平面，所以.（2）由四邊形為正方形，所以，且平面，因為平面平面，可得平面，可得三棱錐的高，因為，，所以，又由，所以的面積，所以.9．（2021·陜西（文））如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形是邊長為4的正方形，，分別為，的中點.（1）求證：平面；（2）若為等邊三角形，求三棱錐的體積.【答案】（）見解析；（2）【分析】（1）連接，由，分別為，的中點，得，再由線面平行的判定定理即可證明所證；（2）如圖建系，利用向量法求出點到平面的距離，再由，從而得出答案.【詳解】解：（1）證明：連接，因為，分別為，的中點，所以，又因平面，所以平面；（2）取的中點，連接，因為為等邊三角形，所以，所以，如圖以為原點，為軸，過作平面的垂線軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，設(shè)平面的一個法向量，則即，令，則，，所以，則點到平面的距離，又，所以.10．（2021·新疆高三模擬預(yù)測（文））如圖所示，四棱錐中，菱形所在的平面，，點?分別是?的中點.（1）求證：平面平面；（2）當時，求多面體的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）由菱形的性質(zhì)易得，由線面垂直的性質(zhì)有，根據(jù)線面垂直、面面垂直的判定即可證平面平面；（2）由多面體由構(gòu)成，即，利用三棱錐的體積公式即可求體積.【詳解】（1）連接，由底面為菱形，，∴△是正三角形，又是的中點，∴，又，∴，∵平面，平面，∴，又，∴面，又面，∴平面平面.（2）∵，而，，∴.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）利用菱形的性質(zhì)證線線垂直，線面垂直的判定及性質(zhì)證線面垂直.（2）將多面體拆分為兩個三棱錐，即可求體積.11．（2021·千陽縣中學(xué)高三模擬預(yù)測（文））如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，為正三角形，且側(cè)面底面，E為線段的中點，M在線段上．（1）求證：；（2）當點滿足時，求多面體的體積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)三線合一可證明，再由面面垂直的性質(zhì)定理可證明平面，證明得；（2）根據(jù)，分別求解，，即可得多面體的體積.【詳解】（1）證明：因為為正三角形，E為的中點，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，又因為平面，所以．（2）由已知得，而，.所以；；所以．【點睛】本題考查了立體幾何中的面面垂直的性質(zhì)和多面體幾何體的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴密推理進行證明。12．（2021·全國高三專題練習(xí)（文））在如圖所示的空間幾何體中，平面平面，與均是等邊三角形，，和平面所成的角為，且點在平面上的射影落在的平分線上．（1）求證：平面；（2）求多面體的體積．【答案】（1）證明過程見解析；（2）.【分析】（1）取中點，連接，先證明平面，再證明即可；（2），分別計算，然后相加即可.【詳解】證明：（1）取中點，連接.由題意，為的平分線，且.設(shè)點是點在平面上的射影，由已知得，點在上，連接，則平面.平面平面，平面平面，，平面，同理可得平面，又平面，.和平面所成的角為，即，，四邊形為平行四邊形，，平面.（2），，又面，，，，.【點睛】（1）證明空間幾何的垂直和平行可以根據(jù)結(jié)論反向推理；（2）求空間組合體體積的割補法，如空間幾何體是組合體，可通過割補法進行計算.13．（2021·全國高三月考（文））如圖，已知直三棱柱的底面為正三角形，側(cè)棱長都為4，、、分別在棱、、上，且，，，過，的中點，且與直線平行的平面截多面體所得的截面為該多面體的一個中截面．（1）證明：中截面是梯形；（2）若直線與平面所成的角為45°，求多面體的體積．【答案】（1）證明見解析：（2）．【分析】（1）通過證明且證明截面是梯形；（2）由直線與平面所成的角為45°，可求出，解法一：將所求多面體的體積拆成兩個棱錐的體積：分別計算求和；解法二：所求多面體的體積為原三棱柱體積的一半，求出棱柱的體積即可求出所求多面體的體積.【詳解】（1）證明：依題意，又，，，因此四邊形，均是梯形，由平面，平面，且平面平面，可得，即．同理可證，所以．又，分別為，的中點，則，，，分別為，，，的中點，即，分別為梯形，的中位線．因此，，故，所以中截面是梯形．（2）解法一：由直線與平面所成的角為45°，過作的平行線交于點，則，故，所以底面正三角形的邊長為2．多面體的體積．解法二：由直線與平面所成的角為45°過作的平行線交于點H，則，故，所以底面正三角形的邊長為2．直三棱柱的體積為．由對稱性知，多面體的體積為直三棱柱的體積的一半，故．【點睛】思路點睛：（1）證明截面為梯形，需證明兩條對邊平行且不相等；（2）求多面體的體積經(jīng)常將所求多面體拆成可求的棱錐或棱柱的組合體.14．（2021·山西陽泉·高三期末（文））如圖，在棱長為的正方體中，，，分別為棱，，的中點.（1）求證：；（2）求四面體的體積.【答案】（1）見解析；（2）.【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，（1）求出的坐標后利用它們的數(shù)量積為0可證.（2）求出平面的法向量后可求到平面的距離，從而可求四面體的體積.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，（1），，故，故.（2），設(shè)平面的法向量為，則，取，則，故.又，故到平面的距離，又，，故，故四面體的體積為.【點睛】方法點睛：利用空間向量求點到平面的距離時，注意先求平面的法向量以及斜線的方向向量，再利用公式可求距離.15．（2021·華東師范大學(xué)第三附屬中學(xué)）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，、與平面所成的角依次是45°和，，、依次是、的中點；（1）求直線與平面所成的角的正弦值；（2）求三