2019-2020學年高中數(shù)學第二章解三角形2.1.1正弦定理課后演練提升北師大版一、選擇題(每小題5分，共20分)1．以下關于正弦定理的敘述或變形錯誤的是()A．在△ABC中，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCB．在△ABC中，若sin2A＝sin2B，則a＝bC．在△ABC中，若sinA>sinB，則A>B；若A>B，則sinA>sinB都成立D．在△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b＋c,sinB＋sinC)解析：由正弦定理知A、C、D正確，而sin2A＝sin2B，可得A＝B或2A＋2B＝π，∴a＝b或a2＋b2＝c2，故B錯誤．答案：B2．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，則a∶b∶c為()A．3∶1∶1 B．2∶1∶1C.eq\r(2)∶1∶1 D.eq\r(3)∶1∶1解析：由已知得A＝120°，B＝C＝30°，根據(jù)正弦定理的變形形式，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝eq\r(3)∶1∶1.答案：D3．在△ABC中，a＝2bcosC，則這個三角形一定是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形解析：由正弦定理：sinA＝2sinBcosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC，∴sin(B－C)＝0，∴B＝C.答案：A4．不解三角形，確定下列判斷中正確的是()A．a＝4，b＝5，A＝30°，有一解B．a＝5，b＝4，A＝60°，有兩解C．a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝120°，有一解D．a＝eq\r(3)，b＝eq\r(6)，A＝60°，無解解析：對于A，bsinA＜a＜b，故有兩解；對于B，b＜a，故有一解；對于C，B＝120°且a＞b，故無解；對于D，a＜bsinA，故無解．答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．在△ABC中，已知a＝3eq\r(2)，cosC＝eq\f(1,3)，S△ABC＝4eq\r(3)，則b＝________.解析：cosC＝eq\f(1,3)，∴sinC＝eq\f(2\r(2),3)，∴eq\f(1,2)absinC＝4eq\r(3)，∴b＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)6．在△ABC中，lg(sinA＋sinC)＝2lgsinB－lg(sinC－sinA)，則該三角形的形狀是________．解析：由已知條件，lg(sinA＋sinC)＋lg(sinC－sinA)＝lgsin2B，∴sin2C－sin2A＝sin2B，由正弦定理可得c2＝a2＋b2.故三角形為直角三角形．答案：直角三角形三、解答題(每小題10分，共20分)7．在△ABC中，已知下列條件解三角形．(1)a＝5，b＝2，B＝120°；(2)A＝45°，B＝30°，c＝10.解析：(1)由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(5sin120°,2)＝eq\f(5\r(3),4)>1，∴角A不存在．故此題無解．(2)在△ABC中，A＋B＋C＝180°，∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋30°)＝105°，∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(10sin45°,sin105°)＝eq\f(10sin45°,sin60°＋45°)＝eq\f(10sin45°,sin60°cos45°＋cos60°sin45°)＝eq\f(10×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2)×\f(\r(2),2)＋\f(1,2)×\f(\r(2),2))＝10(eq\r(3)－1)，∴b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(10\r(3)－1sin30°,sin45°)＝5(eq\r(6)－eq\r(2))．8．在△ABC中，已知tanB＝eq\r(3)，cosC＝eq\f(1,3)，AC＝3eq\r(6)，求△ABC的面積．解析：設AB、BC、CA的長分別為c、a、b.由tanB＝eq\r(3)，得B＝60°，∴sinB＝eq\f(\r(3),2)，cosB＝eq\f(1,2).又sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(2\r(2),3)，由正弦定理，得c＝eq\f(bsinC,sinB)＝eq\f(3\r(6)×\f(2\r(2),3),\f(\r(3),2))＝8.又∵A＋B＋C＝180°，∴sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(\r(3),6)＋eq\f(\r(2),3).∴所求面積S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝6eq\r(2)＋8eq\r(3).eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知2B＝A＋C，a＋eq\r(2)b＝2c，求sinC的值．解析：∵2B＝A＋C，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，A＋C＝120°，∴0°<A<120°，0°<C<120°且A＝120°－C.∵a＋eq\r(2)b＝2c，由正弦定理得sinA＋eq\r(2)sinB＝2sinC，∴sin(120°－C)＋eq\f(\r(6),2)＝2sinC，即eq\f(\r(3),2)cosC＋eq\f(1,2)sinC＋eq\f(\r(6),2)＝2sinC，∴eq\f(3,2)sinC－eq\f(\r(3),2)cosC＝eq\f(\r(6),