第21講簡單幾何體的表面積與體積7種常考題型【考點分析】考點一：多面體的表面積和體積①柱體1.棱柱的側(cè)面展開圖：棱柱的側(cè)面展開圖是平行四邊形，一邊是棱柱的側(cè)棱，另一邊等于棱柱的底面周長，如圖①所示；圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，其中一邊是圓柱的母線，另一邊等于圓柱的底面周長，如圖②所示．2.柱體的表面積：柱體的表面積S表＝S側(cè)＋2S底．3.柱體的體積柱體的底面積S，高為h，其體積V＝Sh．②錐體1.側(cè)面展開圖：棱錐的側(cè)面展開圖是由若干個三角形拼成的，則側(cè)面積為各個三角形面積的和，如圖①所示；圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，扇形的半徑是圓錐的母線，扇形的弧長等于圓錐的底面周長，如圖②所示．2.錐體的面積：錐體的表面積S表＝S側(cè)＋S底．3.錐體的體積錐體的底面積為S，高為h，其體積V＝eq\f(1,3)Sh．③臺體的表面積1.側(cè)面展開圖：棱臺的側(cè)面展開圖是由若干個梯形拼接而成的，則側(cè)面積為各個梯形面積的和，如圖①所示；圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，其側(cè)面積可由大扇形的面積減去小扇形的面積而得到，如圖②所示．2.臺體的表面積：臺體的表面積S表＝S側(cè)＋S上底＋S下底．3．臺體的體積臺體的上、下底面面積分別是S′、S，高為h，其體積V＝eq\f(1,3)(S＋eq\r(SS′)＋S′)h.③球的表面積和體積1．球的體積球的半徑為R，那么它的體積V＝eq\f(4,3)πR3．2．球的表面積球的半徑為R，那么它的表面積S＝4πR2．【題型目錄】題型一：棱柱表面積體積題型二：棱錐表面積體積題型三：棱臺表面積體積題型四：圓柱表面積體積題型五：圓錐表面積體積題型六：圓臺表面積體積題型七：球的表面積體積【典型例題】題型一：棱柱表面積體積【例1】如圖，棱長為5的正方體無論從哪一個面看，都有兩個直通的邊長為1的正方形孔，則這個有孔正方體的表面積（含孔內(nèi)各面）是（

）A．258 B．234 C．222 D．210【答案】C【分析】先明確題目的含義：正方體共有6個直通小孔，有6個交匯處，計算即可【詳解】正方體無論從哪一個面看，都有兩個直通的邊長為1的正方形孔，正方體共有6個直通小孔，有6個交匯處，表面積等于正方體的表面積減去12個表面上的小正方形面積，加上6個棱柱的側(cè)面積，減去6個通道的6個小正方體的表面積．則故選：C．【例2】已知長方體所有棱的長度之和為28，一條對角線的長度為，則該長方體的表面積為（）A．32 B．20 C．16 D．12【答案】A【詳解】設(shè)長方體的長、寬、高分別為，因長方體所有棱的長度之和為28，所以，即，因一條對角線的長度為，所以，因，解得，所以該長方體的表面積為【例3】如圖1，一個正三棱柱容器，底面邊長為1，高為2，內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個側(cè)面作為底面，如圖2，這是水面恰好是中截面，則圖1中容器水面的高度是______．【答案】【詳解】棱柱的體積公式是，其中是q底面積，是高．在圖2中，水面是中截面，水面以上部分是一個三棱柱，所以這個三棱柱的底面積是原來三棱柱底面的，從而這個小三棱柱的體積是大棱柱體積的（高一樣），所以水的體積是大三棱柱體積的，那么圖1中水面的高度是棱柱高的，即為．故答案為：．【例4】我國古代建筑的屋頂對建筑立面起著特別重要的作用，古代建筑屋頂主要有廡殿式、硬山頂、歇山頂、懸山頂攢尖頂、盝頂、卷棚頂?shù)阮愋?，其中硬山式屋頂造型的最大特點是比較簡單、樸素，只有前后兩面坡，而且屋頂在山墻墻頭處與山墻齊平，沒有伸出部分，山面裸露沒有變化．硬山式屋頂（如圖1）可近似地看作直三棱柱（如圖2），其高為，到平面的距離為，為，則可估算硬山式屋頂?shù)捏w積約為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三棱柱的體積公式求解即可.【詳解】解：如圖，過作于，由題意可知，在直三棱柱中，到平面的距離為，即，又，所以該柱體體積為【例5】某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作食品包裝盒，現(xiàn)有一張邊長為6的正六邊形硬紙片，如圖所示，裁掉陰影部分，然后按虛線處折成高為的正六棱柱無蓋包裝盒，則此包裝盒的表面積為______．【答案】【分析】作出輔助線，求出包裝盒的側(cè)面積和底面積，相加求出表面積.【詳解】如圖，取正六邊形的中心為，連接，則點在上，由正六邊形的每個內(nèi)角為．按虛線處折成高為的正六棱柱，即，所以，可得正六棱柱底面邊長，所以正六棱柱的側(cè)面積，其中，所以底面積為所以無蓋正六棱柱包裝盒的表面積．故答案為：【題型專練】1.已知直三棱柱底面的一邊長為2cm，另兩邊長都為3cm，側(cè)棱長為4cm，它的側(cè)面積為，體積為．【解析】解：如圖，ABC﹣A1B1C1為直三棱柱，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝4．它的側(cè)面積為：4×（2+3+3）＝32cm2．∴VABC?A1B1C1故答案為：32cm2；82cm3．2．如圖，已知正方體的棱長為，沿圖1中對角面將它分割成兩個部分，拼成如圖2的四棱柱，則該四棱柱的全面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】拼成的幾何體比原正方體的表面增加了兩個截面，減少了原來兩個正方形面，據(jù)此變化，進行求解.【詳解】由題意，拼成的幾何體比原正方體的表面增加了兩個截面，減少了原來兩個正方形面，由于截面為矩形，長為，寬為，所以面積為，所以拼成的幾何體的表面積為.故選：C.3.在我國瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見，因為六?八是中國人的吉利數(shù)字，所以許多瓷器都做成六棱形和八棱形的，但是六棱柱形的瓷器只有六棱柱形筆筒，其余的六棱形都不是六棱柱形.如圖為一個正六棱柱形狀的瓷器筆筒，高為，底面邊長為（數(shù)據(jù)為筆筒的外觀數(shù)據(jù)），用一層絨布將其側(cè)面包裹住，忽略絨布的厚度，則至少需要絨布的面積為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)正六棱柱的底面邊長為，得正六棱柱的側(cè)面積為，所以至少需要絨布的面積為故選：C．4．如圖，用若干棱長為的小正方體組成一個模型，該模型的表面積是______.【答案】【分析】由幾何體模型，分別計算側(cè)面積、各部分上底面積，求和即可得解.【詳解】根據(jù)所給幾何體，分別求得每層的側(cè)面積，再加上下底面積，減去覆蓋部分的面積，可知表面積為：故答案為：.5．底面為正方形的直棱柱，它的底面對角線長為，體對角線長為，則這個棱柱的側(cè)面積是______．【答案】8【分析】根據(jù)勾股定理即可求出底面邊長與高，再求出側(cè)面積即可.【詳解】如圖所示：，，又，，解得：，所以棱柱的側(cè)面積.故答案為：86．已知直平行六面體的底面是菱形，若過不相鄰的兩對側(cè)棱的截面面積分別是3和4，則這個平行六面體的側(cè)面積是______．【答案】10【分析】設(shè)直平行六面體的高，根據(jù)直平行六面體的性質(zhì)結(jié)合截面面積得到底面菱形的邊長，從而根據(jù)直平行六面體的側(cè)面積公式求解.【詳解】如圖，因為六面體是直平行六面體，則截面均為矩形，設(shè)側(cè)棱，因為截面的面積分別是4m2和3m2，則.設(shè)AC與BD相交于點O，則由底面ABCD是菱形得，則在Rt△AOB中，有，所以直平行六面體的側(cè)面積為.故答案為：10.7．如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱.若側(cè)面AA1B1B水平放置時，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點.當?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為__________.【答案】9【分析】先根據(jù)條件將水的實際體積算出，再根據(jù)棱柱的體積公式即可算出當?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高度.【詳解】設(shè)的面積為x，底面ABC水平放置時，液面高為h則水的體積為當?shù)酌鍭BC水平放置時，水的體積為，解得故答案為:9題型二：棱錐表面積體積【例1】（2020·新課標Ⅰ）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，設(shè)，則，由題意，即，化簡得，解得（負值舍去）.【例2】如圖，在體積為16的斜三棱柱中，P為棱上一點，三棱錐PABC的體積為4，則三棱錐的體積為（

）A． B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】結(jié)合柱體、錐體體積公式以及幾何體的結(jié)構(gòu)求得正確答案.【詳解】設(shè)三棱柱的底面積為S，其高為h，設(shè)三棱錐的高為，三棱錐的高為，則，，所以，即，又，即，所以，所以．故選：A【例3】“塹堵”“陽馬”和“整臑”是我國古代對一些特殊幾何休的稱謂．《九章算術(shù)．商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為整臑”，即一個長方體沿對角面斜解（圖1）．得到一模一樣的兩個塹堵（圖2），再沿一個塹堵的一個頂點和相對的棱斜解（圖2），得一個四棱錐稱為陽馬（圖3），一個三棱維稱為整臑（圖4）．若長方體的體積為V，由該長方體斜解所得到的塹堵、陽馬和整臑的體積分別為，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)棱錐，棱柱的體積計算公式，結(jié)合題意求解即可.【詳解】設(shè)長方體的長寬高分別為，則，，，故，，，，則ABC錯誤，D正確；故選：D.【例4】距今5000年以上的仰韶遺址表明，我們的先人們居住的一種茅屋如圖1所示，該茅屋主體是一個正四棱錐，側(cè)面是正三角形，且在茅屋的一側(cè)建有一個入戶甬道.甬道形似從一個直三棱柱上由茅屋一個側(cè)面截取而得的幾何體，一頭與茅屋的這個側(cè)面連在一起，另一頭是一個等腰直角三角形.如圖2是該茅屋主體的直觀圖，其中正四棱錐的側(cè)棱長為8m，，，，點D在正四棱錐的斜高PH上，平面且.不考慮建筑材料的厚度，則這個茅屋（含甬道）的室內(nèi)容積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過作交于連接，所求體積，根據(jù)條件求計算體積時所需要的長度.【詳解】設(shè)為正四棱錐底面中心，連接，則，，，取的中點，連接，過作于，則，在直角中，過作交于連接，則，所求體積，故選：C【例5】六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛的用途．六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（每個面都是正三角形的八面體），如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點．若相鄰兩個氟原子之間的距離為，則以六氟化硫分子中6個氟原子為頂點構(gòu)成的正八面體的體積是（

）．（氟原子的大小可以忽略不計）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，連接，設(shè)交于點，連接，令相鄰兩個氟原子之間的距離為，則由正四棱錐的性質(zhì)結(jié)合已知條件可得的長，從而可求出其體積.【詳解】如圖，連接，設(shè)交于點，連接，因為，為的中點，也是的中點，所以，因為，平面，所以平面，令相鄰兩個氟原子之間的距離為，則，，因為，所以，因為四邊形為正方形，所以，所以，所以該正八面體的體積是，故選：D【例6】將邊長為24、20、16的三角形沿三條中位線折疊成一個四面體，則該四面體的體積為______.【答案】【分析】由題意可知該四面體的四個面都是一個邊長分別為的三角形，故該四面體可放置與一個長方體中，即可求解【詳解】由題意可知該四面體的四個面都是一個邊長分別為的三角形，故該四面體可放置與一個長方體中，即圖中的三棱錐，不妨設(shè)，則，設(shè)，則，解得，所以，所以，故答案為：【例7】在三棱錐中，已知，則該三棱錐的體積為___________.【答案】8【分析】如圖，設(shè)長方體的三條棱長為，解方程組求出即得解.【詳解】如圖，設(shè)長方體的三條棱長為，由題得；；，解之得.所以.所以該三棱錐的體積為.故答案為：8【例8】圖中的多面體的底面是邊長為的正方形，上面的棱平行于底面，其長為，其余的棱長都是．已知，則這個多面體的體積是______．【答案】288【分析】將該幾何體分解成一個三棱柱加兩個三棱錐，結(jié)合幾何中的關(guān)系分別計算體積求解即可.【詳解】如圖，在線段上分別取兩點，使得平面平面，中點為，連接.則由題意，，.又，故，.故這個多面體的體積.故答案為：288【題型專練】1.《九章算術(shù)》是我國古代著名的數(shù)學(xué)專著，其卷五“商功”中記載這樣一個問題:今有方錐，下方二丈七尺，高二丈九尺，問積幾何?其含義是:今有正四棱錐，下底邊長為丈尺，高丈尺，問它的體積為多少立方尺（）(注丈尺)A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題可知下底面積為，高為所以由體積公式可知立方尺.故選:A.2.學(xué)生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體挖去四棱錐O—EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點，，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為___________g.【答案】118.8【解析】由題意得，，∵四棱錐O?EFGH的高為3cm，∴．又長方體的體積為，所以該模型體積為，其質(zhì)量為．3.如圖，長方體的體積是120，E為的中點，則三棱錐E?BCD的體積是▲.【答案】10【解析】因為長方體的體積為120，所以，因為為的中點，所以，由長方體的性質(zhì)知底面，所以是三棱錐的底面上的高，所以三棱錐的體積.4.如圖所示，正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為________．【答案】【解析】由圖可知，該多面體為兩個全等正四棱錐的組合體，正四棱錐的高為1，底面正方形的邊長等于，所以該多面體的體積為.5．在三棱錐中，頂點在底面內(nèi)的投影為點，，底面是正三角形，邊長為，，分別是側(cè)棱，的中點，則四棱錐的體積為______．【答案】【分析】根據(jù)錐體體積公式和割補法計算出正確答案.【詳解】由于在平面的投影為，所以平面，所以.設(shè)到平面的距離為，由于是的中點，所以到平面的距離為，由于是的中點，所以，，所以,所以.故答案為：6．為了求一個棱長為的正四面體的體積，某同學(xué)設(shè)計如下解法：構(gòu)造一個棱長為1的正方體，如圖1：則四面體為棱長是的正四面體，且有.(1)類似此解法，如圖2，一個相對棱長都相等的四面體，其三組棱長分別為、、，求此四面體的體積；(2)對棱分別相等的四面體中，，，.求證：這個四面體的四個面都是銳角三角形.【答案】(1)2；(2)證明見解析.【分析】（1）設(shè)四面體所在長方體棱長分別為，，，則長方體的對角線長分別為，，，利用勾股定理列方程求出，，，使用做差法求出四面體體積．（2）在四面體中，由已知可得四面體的四個面為全等三角形，設(shè)長方體的長、寬、高分別為、、，證明為銳角三角形，即可證明這個四面體的四個面都是銳角三角形.【詳解】（1）由于四面體的對棱分別相等，結(jié)合長方體的面對角線性質(zhì)，可以將其置于長方體中，使其頂點與長方體頂點重合，如下圖：設(shè)此四面體所在長方體的棱長分別為，，，則，解得四面體的體積．（2）在四面體中，，，，如下圖，將四面體放置長方體中，使其頂點與長方體頂點重合四面體的四個面為全等三角形，即只需證明一個面為銳角三角形即可．設(shè)長方體的長、寬、高分別為、、，則，，，，，，為銳角三角形，則這個四面體的四個面都是銳角三角形.題型三：棱臺表面積體積【例1】已知一個正三棱臺的兩個底面的邊長分別為4和16，側(cè)棱長為10，則該棱臺的側(cè)面積為（

）A．80 B．240 C．350 D．640【答案】B【分析】根據(jù)已知棱臺的上下底面邊長以及側(cè)棱長，可求得側(cè)面梯形的高，進而求得側(cè)面積.【詳解】由題意可知，該棱臺的側(cè)面為上、下底分別為4和16，腰長為10的等腰梯形，∴等腰梯形的高為，∴等腰梯形的面積為，∴該棱臺的側(cè)面積為.故選：B.【例2】已知正四棱臺上底面邊長為2，下底面邊長4，高為3，則其表面積為（

）A．36 B．C． D．48【答案】B【分析】先求出側(cè)面上的斜高，再求出正四棱臺的上、下底面的面積和側(cè)面積，由表面積公式即可得出答案.【詳解】設(shè)正四棱臺上、下底面的中心為，為側(cè)面上的斜高，過作交邊于點，所以，所以，所以正四棱臺的上、下底面的面積為：，正四棱臺的側(cè)面積為：，則其表面積為：.故選：B.【例3】已知一個正棱臺的上、下底面是邊長分別為2、8的正方形，側(cè)棱長為5，則該棱臺的表面積為（

）A．148 B．168 C．193 D．88【答案】A【分析】先計算棱臺的側(cè)面的高，再計算側(cè)面積和底面積，即可求解.【詳解】棱臺的側(cè)面是等腰梯形，高，所以一個側(cè)面積，所以該棱臺的表面積.故選：A【例4】已知正三棱臺兩底面邊長分別為2，4，側(cè)棱長為2，則該棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用勾股定理得到棱臺的高，然后利用相似得到該棱臺和其所在的棱錐的體積比，最后求體積即可.【詳解】設(shè)上底面邊長為，下底面邊長為，側(cè)棱為l，則，，，所以棱臺的高．因為．所以棱臺體積為其所在棱錐體積的．故．故選：D．【例5】已知正六棱臺的上?下底面邊長分別為2和4，高為2，則其體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)臺體體積公式即可求解.【詳解】設(shè)正六棱臺的上下底面面積分別為,因為正六邊形是由6個全等的等邊三角形組成，所以所以六棱臺的體積.故選:B.【例6】在正方體中，點為側(cè)棱上一點，且，平面將該正方體分成兩部分，其體積分別為，則__________.【答案】【分析】平面延展開后即為平面，將該正方體分成的兩部分一部分是三棱臺，另一部分是剩余的部分，結(jié)合三棱臺的體積公式求解即可.【詳解】由題意，延長線段與的延長線交于點，連接交于，連接，故平面延展開后即為平面，將該正方體分成的兩部分一部分是三棱臺，另一部分是剩余的部分.由于，故，不妨設(shè)正方體棱長為3，，，即.故答案為：.【題型專練】1．正四棱臺的上、下底面邊長分別是和，側(cè)棱長是，則它側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得正四棱臺的側(cè)面為四個等腰梯形，先計算側(cè)面的高，然后利用梯形的面積公式代入計算即可.【詳解】由題意可知，正四棱臺的側(cè)面為四個等腰梯形，已知上、下底面邊長分別是和，側(cè)棱長是，由勾股定理可得側(cè)面的高為，所以側(cè)面積為.故選：B2．已知一個正四棱臺的兩個底面的邊長分別為4和16，側(cè)棱長為10，則該棱臺的側(cè)面積為（

）．A．80 B．240 C．320 D．640【答案】C【分析】在側(cè)面等腰梯形中求得斜高后可得側(cè)面積．【詳解】由題意正四棱臺的斜高為，所以側(cè)面積為．故選：C．3．“斗”不僅是我國古代容量單位，還是量糧食的器具，如圖所示．其可近似看作正四棱臺，上底面是邊長為的正方形，下底面是邊長為的正方形，高為．“斗”的面的厚度忽略不計，則該“斗”的所有側(cè)面的面積之和與下底面的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由正四棱臺性質(zhì)，求得高為，再結(jié)合側(cè)面積公式和正方形的面積公式，即可求解.【詳解】由正四棱臺，上底面是邊長為的正方形，下底面是邊長為的正方形，高為，四棱臺的側(cè)面均為等腰梯形，則其高為，所以“斗”的所有側(cè)面的面積之和為，下底面的面積為，所以.故選:A.4．在正四棱臺中，，則該四棱臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出軸截面，過點作，結(jié)合等腰梯形的性質(zhì)得高，再計算體積即可.【詳解】解：作出軸截面如圖所示，過點作，垂足為，因為正四棱臺中，所以，，，即梯形為等腰梯形，所以，，所以，該四棱臺的體積為故選：B5．如圖，棱錐、棱柱、棱臺的底面積和高均相等，分別為s，h，棱臺上底面的面積為，現(xiàn)將裝滿水的棱錐、棱柱、棱臺中的水分別倒入底面積為s的圓柱里，對應(yīng)的水面高分別記為，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分別計算出棱錐、棱柱、棱臺的體積，進而求得，，即可求解.【詳解】設(shè)棱錐、棱柱、棱臺的體積分別為，則，則，顯然.故選：A.6．某校高一級學(xué)生進行創(chuàng)客活動，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體挖去正四棱臺后所得的幾何體，其中，為增強其觀賞性和耐用性，現(xiàn)對該模型表面鍍上一層金屬膜，每平方厘米需要金屬，不考慮損耗，所需金屬膜的質(zhì)量為____________．【答案】##【分析】根題意計算該幾何體的表面積，再求得質(zhì)量即可【詳解】由題意，該幾何體側(cè)面4個面的面積和為，底面積，正方形面積.考慮梯形，高為，故正四棱臺的側(cè)面積為，故該模型表面積為，故所需金屬膜的質(zhì)量為故答案為：7．如圖，在正四棱臺中，，且四棱錐的體積為48，則該四棱臺的體積為___________.【答案】399【分析】方法一：設(shè)點到平面的距離為，根據(jù)的體積可得，再代入棱臺的體積公式求解即可；方法二：延長交于一點，設(shè)為，根據(jù)臺體體積為錐體體積之差求解即可.【詳解】方法一：由題意，設(shè)點到平面的距離為，由四邊形面積為，得四棱錐的體積為，得.所以棱臺體積為.方法二：由題意，設(shè)點到平面的距離為，由四邊形面積為，得四棱錐的體積為，得.由棱臺定義知，延長交于一點，設(shè)為，設(shè)棱錐的高為，則棱錐的高為，由三角形相似可得，得，于是棱臺體積3）.故答案為：3998．《九章算術(shù)》中將正四棱臺體（棱臺的上下底面均為正方形）稱為方亭.如圖，現(xiàn)有一方亭，其中上底面與下底面的面積之比為，，方亭的四個側(cè)面均為全等的等腰梯形，已知方亭四個側(cè)面的面積之和為，則方亭的體積為______.【答案】【分析】分析可知，設(shè)，則，過點、在平面內(nèi)分別作，，垂足分別為點、，根據(jù)正四棱臺的側(cè)面積計算出的值，再利用臺體的體積公式可求得結(jié)果．【詳解】解：由題意得，設(shè)，則，.過點，在平面內(nèi)分別作，，垂足分別為點、，在等腰梯形中，因為，，，則四邊形為矩形，所以，，則，因為，，，所以，所以，在中，由勾股定理得，所以等腰梯形的面積為，所以.所以，，方亭的高，故方亭的體積為.故答案為：題型四：圓柱表面積體積【例1】如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm.【答案】【解析】正六棱柱體積為圓柱體積為所求幾何體體積為【例2】中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體的上下底面平行，且均為扇環(huán)形（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分），現(xiàn)有一個如圖所示的曲池，它的高為，均與曲池的底面垂直，底面扇環(huán)對應(yīng)的兩個圓的半徑分別為1和2，對應(yīng)的圓心角為，則該幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面積公式以及圓的面積公式即可求解每個面的面積,進而可求表面積.【詳解】此幾何體為兩個半圓柱的組合體：一個大的半圓柱中間挖去一個小的同軸半圓柱，.故選：D【例3】我國古代經(jīng)典數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有一段表述:“今有圓堡壔（d?o），周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一個圓柱，底面周長為4丈8尺，高為1丈1尺.則該圓柱的表面積約為（

）（注:1丈=10尺，取3）A．1088平方尺 B．912平方尺 C．720平方尺 D．656平方尺【答案】B【分析】求出圓柱底面半徑再由圓柱表面積公式求解即可.【詳解】由1丈=10尺，則4丈8尺=48尺，1丈1尺=11尺，如下圖：則，，解得，則圓柱底面積為，側(cè)面積為,則圓柱的表面積(平方尺)，故選：B.【例4】以邊長為2的正方形一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得到的幾何體的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題設(shè)知旋轉(zhuǎn)體為高和底面半徑均為2的圓柱體，利用圓柱體表面積公式求幾何體的表面積.【詳解】由題意，所得幾何體為高和底面半徑均為2的圓柱體，所以幾何體表面積為.故選：D【例5】某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點在正視圖上的對應(yīng)點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應(yīng)點為，則在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為A．B．C．3D．2【答案】B【解析】根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，知點M在上底面上，點N在下底面上，且可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處，所以所求的最短路徑的長度為，故選B．【題型專練】1．用長為4，寬為2的矩形繞其一邊旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個圓柱，則此圓柱的側(cè)面積為（

）A．8π B．16π C．24π D．32π【答案】B【分析】分類討論再結(jié)合圓柱側(cè)面積公式求解即可.【詳解】若以邊長4為軸，旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，則側(cè)面積，若以邊長2為軸，旋轉(zhuǎn)成一個圓柱，則側(cè)面積，故選：B2．過圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是面積為16的正方形，則圓柱的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)截面是面積為16的正方形可求底面圓的半徑以及圓柱的高，進而可求圓柱的側(cè)面積.【詳解】如圖所示，過圓柱的上，下底面圓圓心的平面截圓柱所得的截面是正方形ABCD，面積為16，故邊長，即底面半徑，側(cè)棱長為，則圓柱的側(cè)面積是，故選：B.3．已知一個正方體與一個圓柱的高度均為1，且正方體的表面積與圓柱的側(cè)面積相等，則圓柱的體積為______.【答案】【分析】設(shè)圓柱底圓半徑為r，由正方體的表面積與圓柱的側(cè)面積相等求得r，由體積公式即可求【詳解】設(shè)圓柱底圓半徑為r，由正方體的表面積與圓柱的側(cè)面積相等得，故，故圓柱體積為.故答案為：4．已知一個圓柱的高不變，它的體積擴大為原來的4倍，則它的側(cè)面積擴大為原來的___________倍.【答案】2【分析】求出底面半徑擴大為原來的2倍，從而得到側(cè)面積擴大為原來的2倍.【詳解】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，則體積為，體積擴大為原來的4倍，則擴大后的體積為，因為高不變，故體積，即底面半徑擴大為原來的2倍，原來側(cè)面積為，擴大后的圓柱側(cè)面積為，故側(cè)面積擴大為原來的2倍.故答案為：25.已知四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為．若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_____________．【答案】【解析】由題意，四棱錐的底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長均為，借助勾股定理，可知四棱錐的高為.若圓柱的一個底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點，一個底面的圓心為四棱錐底面的中心，故圓柱的高為，圓柱的底面半徑為，故圓柱的體積為.6.已知圓柱的上、下底面的中心分別為，，過直線的平面截該圓柱所得的截面是面積為16的正方形，則該圓柱的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】根據(jù)題意，所得截面是邊長為4的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面是半徑為的圓，且高為4，所以其表面積.故選：B.7.一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個邊長為4的正方形，則這個圓柱的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，因為圓柱的側(cè)面展開圖是一個邊長為的正方形，所以，，所以，所以圓柱的體積為.故選：C.題型五：圓錐表面積體積【例1】已知圓錐展開圖的側(cè)面積為2π，且為半圓，則底面半徑為_______．【答案】1【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，則，解得.【例2】在一個圓柱內(nèi)挖去一個圓錐，圓錐的底面與圓柱的上底面重合，頂點是圓柱下底面中心．若圓柱的軸截面是邊長為2的正方形，則圓錐的側(cè)面展開圖面積為()A． B． C．3π D．4π【答案】A【解析】圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為，弧長為的扇形，其面積，所以圓錐的側(cè)面展開圖面積為.【例3】已知圓錐的母線長為4，側(cè)面展開圖是一個面積為的扇形，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，母線為，則有，解得，故圓錐的高，故所求體積，故選：B.【例4】一個圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為，弧長為的扇形，則該圓錐的體積等于（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，則，解得，又，解得，所以圓錐的高為，所以圓錐的體積是.故選：C.【例5】如圖所示是一個裝有紅酒的圓錐形酒杯（杯體為一個圓錐），已知該酒杯的杯子杯口直徑為（忽略杯子的厚度），側(cè)面積（不含杯座和杯莖）為，紅酒的高度比杯子的高度低，則紅酒的體積為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)圓錐形酒杯的母線為.作出軸截面圖，如圖所示，因為該酒杯的杯子口徑為，側(cè)面積（不含杯座和杯莖）為，所以，解得，即，.又紅酒的高度比杯子的高度低，所以，所以，即，則紅酒的體積為.故選：B．【例6】（多選題）如圖所示，圓錐的底面半徑，高，是底面圓周的一條直徑，M為底面圓周上與B不重合的一點，則下列命題正確的是（

）A．圓錐的體積為B．圓錐的表面積為C．的面積的最大值是D．有一只螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點A爬行到點B，則螞蟻爬行的最短距離為【答案】AB【分析】由圓錐的底面半徑和高，求出母線長，對于AB，代圓錐的體積公式和表面積公式計算可得；對于C，先求出軸截面的頂角，再代三角形面積公式計算；對于D，根據(jù)側(cè)面展開圖計算可得.【詳解】圓錐的底面半徑，高，所以母線長為2；對于A.圓錐的體積為，所以A正確；對于B.圓錐的表面積為，所以B正確；對于C.由軸截面為等腰三角形，且頂角為，當?shù)妊捻斀菫闀r，的面積取得最大值為：，所以C錯誤；對于D.圓錐的底面圓周長為，所以側(cè)面展開圖的圓心角為，所以圓錐側(cè)面展開圖中圓弧，螞蟻沿圓錐的側(cè)面從點A爬行到點B，則螞蟻爬行的最短距離為線段，且，所以D錯誤；故選：AB.【例7】分別以直角三角形的斜邊和兩直角邊所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積依次為??，則（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】設(shè)直角三角形的三邊分別為、、，，即為斜邊，則以邊所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則，以邊所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則，以邊所在直線為軸，將三角形旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則，，故選：C.【例8】已知一個圓錐的底面半徑為6，其體積為則該圓錐的側(cè)面積為________.【答案】【詳解】∵∴∴∴.故答案為：.【題型專練】1．已知某圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，該圓錐的體積為，則該圓錐的表面積為（

）A．27π B． C． D．16π【答案】A【分析】根據(jù)條件先算出母線長與底面半徑的關(guān)系，再根據(jù)體積計算出底面半徑即可.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，則，所以，所以圓錐的高為，所以，解得，故其表面積；故選：A．2．已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，側(cè)面展開圖的半圓半徑為，根據(jù)側(cè)面積得到，，再根據(jù)體積公式計算即可.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，側(cè)面展開圖的半圓半徑為，則，即.故圓錐的側(cè)面積為，解得，圓錐的高為.故圓錐的體積為.故選：B3．已知一個圓柱與一個圓錐的底面半徑相等，圓柱的高等于其底面直徑，圓錐的高等于其底面直徑的倍．給出下列結(jié)論：①設(shè)圓柱與圓錐的體積分別為、，則；②設(shè)圓柱與圓錐的軸截面面積分別為、，則；③設(shè)圓柱與圓錐的側(cè)面積分別為、，則；④設(shè)圓柱與圓錐表面積分別為、，則.其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．① B．②③ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為，則圓柱的高為，圓錐的高為，圓錐的母線長為，利用圓錐、圓柱的側(cè)面積、表面積、體積公式以及三角形、矩形的面積公式判斷可得出合適的選項.【詳解】設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為，則圓柱的高為，圓錐的高為，圓錐的母線長為.對于①，，，則，①對；對于②，，，則，②錯；對于③，，，則，③對；對于④，，，則，④對.故選：C.4．已知圓錐的體積為，其中S為圓錐的底面積，h為圓錐的高．現(xiàn)有一個空杯子，盛水部分為圓錐（底面半徑為3cm，高為6cm），現(xiàn)向杯中以6ml/s的速度勻速注入水，則注水t（0＜t＜5）s后，杯中水的高度為（

）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】C【分析】利用注入的水的體積與杯中水的體積相等即可求解.【詳解】假設(shè)注水后，杯中水的水面半徑為xcm，則杯中水的高度，則由注入的水的體積與杯中水的體積相等得，解得，故杯中水的高度cm．故選：C.5．某餐廳為了追求時間效率，推出一種液體“沙漏”免單方案（即點單完成后，開始倒轉(zhuǎn)“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所點的菜需全部上桌，否則該桌免費用餐）.“沙漏"是由一個圓錐體和一個圓柱體相通連接而成.某次計時前如圖（1）所示，已知圓錐體底面半徑是，高是；圓柱體底面半徑是，液體高是.計時結(jié)束后如圖（2）所示，求此時“沙漏"中液體的高度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓柱體積公式可得液體的體積為，圓錐的體積為，所以計時結(jié)束后，圓錐中沒有液體的部分的體積為，根據(jù)圓錐體積公式計算可得.【詳解】如圖，圓錐的底面半徑是6cm，高是6cm，所以、是等腰直角三角形，所以，由已知可得：液體的體積為，圓錐的體積為，計時結(jié)束后，圓錐中沒有液體的部分體積為，設(shè)計時結(jié)束后，“沙漏”中液體的高度AD為xcm，則，，，所以，所以計時結(jié)束后，“沙漏”中液體的高度為3cm.故選：B.6．（多選題）已知甲、乙兩個圓錐側(cè)面展開圖的面積相等，母線長分別為l甲和l乙，底面半徑分別為r甲和r乙，高分別為h甲和h乙，表面積分別為S甲和S乙，若，則（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式的，即可判斷A、B，再根據(jù)勾股定理表示出高，即可判斷C、D.【詳解】解：依題意，又，所以，故A錯誤；因為，所以甲圓錐的底面積小于乙圓錐的底面積，又兩圓錐的側(cè)面積相等，所以，故B正確；因為，，所以，，所以，故C正確；因為，所以，所以，故D正確；故選：BCD7．已知某圓錐的軸截面是面積為9的三角形，若該圓錐頂點到底面的距離為3，則其側(cè)面積為______．【答案】【分析】利用軸截面面積出圓錐的底面半徑，從而利用側(cè)面積公式進行求解【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，由題意得圓錐的高，則，解得：，設(shè)圓錐的母線長為l，故該圓錐的側(cè)面積為.故答案為：8．如圖所示，以圓柱的下底面為底面，并以圓柱的上底面圓心為頂點作圓錐，則該圓錐與圓柱等底等高.若圓錐的軸截面是一個正三角形，則圓柱的側(cè)積面與圓錐的側(cè)面積之比為______.【答案】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，求出圓錐與圓柱的側(cè)面積，即可求解【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，由題意圓錐的軸截面是一個正三角形，可知圓錐的側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以圓柱的側(cè)積面與圓錐的側(cè)面積之比為，故答案為：9．如圖，在底面半徑為1，高為的圓錐中，O是底面圓心，P為圓錐頂點，A，B是底面圓周上的兩點，，C為母線PB的中點.(1)求該圓錐的表面積；(2)求在該圓錐的側(cè)面上，從A到C的最短路徑的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）將圓錐側(cè)面展開得到扇形圖，結(jié)合扇形的面積公式即可求出圓錐側(cè)面展開圖面積，加上圓錐底面圓面積，即可得到圓錐的表面積；（2）在側(cè)面展開圖中，由兩點之間線段最短，得到從到的最短路徑是聯(lián)結(jié)AC的線段長．【詳解】（1）圓錐的底面半徑為1，高為，則母線長，因此將圓錐側(cè)面展開得到一個半圓，因此圓錐的側(cè)面積為：，圓錐的底面圓面積為：，所以圓錐的表面積為：.（2）在底面圓中，，側(cè)面展開圖中，如圖，聯(lián)結(jié)AC，即線段的長為最短路徑，設(shè)圓心角為，，，即到的最短路徑長為.題型六：圓臺表面積體積【例1】木桶作為一種容器，在我國使用的歷史已經(jīng)達到了幾千年，其形狀可視為一個圓臺．若某圓臺形木桶上、下底面的半徑分別為15cm，8cm，母線長為25cm，木板厚度忽略不計，則該木桶的容積為（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】由題意可知，圓臺形木桶的高為（cm），所以該木桶的容積為，故選：D．【例2】一個圓臺的母線長等于上、下底面半徑和的一半，且側(cè)面積是，則母線長為（）A．2 B． C．4 D．8【答案】C【詳解】設(shè)圓臺的母線長為，上，下底面的半徑分別為,則圓臺的側(cè)面積為，解得故選：C【例3】已知圓臺下底面的半徑為，高為，母線長為，則這個圓臺的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：設(shè)圓臺上底面的半徑為，下底面半徑為，則有，解得或（舍去）.圓臺的體積為故選：A.【例4】已知圓臺的上底面半徑為2，下底面半徑為6，若該圓臺的體積為，則其母線長為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，圓臺的體積，解得，故圓臺的母線長，故選:．【例5】如果圓臺的上底面半徑為5，下底面半徑為，中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺，它們的側(cè)面積的比為，那么A．10 B．15 C．20 D．25【答案】D【分析】中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺，則兩個圓臺的側(cè)高相等，且中截面半徑等于兩底面半徑和的一半，根據(jù)中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺的側(cè)面積的比為，我們易構(gòu)造出關(guān)于的方程，解方程即可求出的值．【詳解】解：設(shè)中截面的半徑為，則①記中截面把圓臺分為上、下兩個圓臺的側(cè)面積分別為，，母線長均為，又②將①代入②整理得：故選：D．【題型專練】1．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的倍，母線長為，圓臺的側(cè)面積為，則圓臺的體積為（

）參考公式：臺體的體積公式為.A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件得，從而求得圓臺兩個底面的面積及高，進而可求圓臺的體積.【詳解】設(shè)圓臺較小的底面的半徑為，較大的底面的半徑為，母線為，則由得，又因為圓臺的側(cè)面積為，所以，即，解得，故，所以圓臺較小的底面面積為，較大的底面面積為，圓臺的高，所以圓臺的體積.故選：D.2．若圓臺的高是3，一個底面半徑是另一個底面半徑的2倍，母線與下底面成角，則這個圓臺的側(cè)面積是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意，作該圓臺的軸截面，求得上下底面半徑和母線長，根據(jù)側(cè)面積計算公式，可得答案.【詳解】由題意，可作該圓臺的軸截面，如下圖所示：則圓臺的高，上底面半徑，下底面半徑，即，母線，即，在中，，，易知在正方形中，，則，即，綜上，，圓臺的側(cè)面積.故選：B.3．若一個圓臺的高為，母線長為，側(cè)面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，母線為，由圓臺的側(cè)面積得，再由圓臺的高為可得體積．【詳解】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，母線為，則圓臺的側(cè)面積，可得，又因為圓臺的高為，可知，故有，圓臺的體積．故選：B.4．某圓臺上底面圓的半徑為1，下底面圓半徑為2，側(cè)面積為，則該圓臺的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓臺的側(cè)面積和體積公式，結(jié)合題意，準確運算，即可求解.【詳解】設(shè)圓臺的母線長為，高為，因為圓臺上底面圓的半徑為1，下底面圓半徑為2，側(cè)面積為，可得，解得，所以圓臺的高為，所以圓臺的體積為.故選：B.5．某圓錐的側(cè)面積為1，用一個平行于圓錐底面的平面截該圓錐得到一個圓臺，若圓臺上底面和下底面半徑之比為，則該圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓臺的底面半徑之比可得母線之比，進而根據(jù)錐體的側(cè)面積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓臺的上底面半徑為，下底面半徑為，設(shè)圓臺的母線為，則圓錐的底面半徑為，圓錐的母線為，圓錐的側(cè)面積記為，截去的小圓錐的側(cè)面積即為，故圓臺的側(cè)面積為,故選：C6．已知圓臺的上、下底面半徑分別為，若該圓臺的表面積為，母線長為2，且，則________．【答案】3【分析】利用圓臺的表面積公式進行求解.【詳解】圓臺的表面積為，從而，，因此，解得（負值舍）．故答案為：3.題型七：球的表面積體積【例1】如圖，在圓柱內(nèi)有一個球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱的體積為，球的體積為，則的值是.【答案】【解析】設(shè)球半徑為，則．故答案為．【例2】某種藥物呈膠囊形狀，該膠囊中間部分為圓柱，左右兩端均為半徑為的半球．已知該膠囊的表面積為，則它的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)圓柱的高為，，；.故選：.【例3】圓柱形容器內(nèi)盛有高度為的水，若放入三個相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖），則球的半徑是（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)球半徑為，則球體積為，原來水的體積為，淹沒后球與水的體積為，所以，解得（0舍去），故選：D．【例4】一平面截一球得到直徑為的圓面，球心到這個平面的距離是，則該球的體積是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)球心為，截面圓心為，連接，則垂直于截面圓，如圖所示，在中，，，球的半徑，球的體積．故選：B.【例5】等體積的球和正方體的表面積分別為與的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．無法確定【答案】A【詳解】若球體的半徑為r，則，若正方體的棱長為a，則，∵球和正方體的體積相等，∴，則，故，而，∴，即.故選：A【例6】一個圓柱和一個圓錐的底面直徑，以及它們的高都與一個球的直徑相等，下列結(jié)論正確的個數(shù)是（）①圓柱的側(cè)面積為；②圓錐的側(cè)面