拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·北京平谷·高二期末）拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A解：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；故選：A2．（2022·北京·清華附中高二階段練習(xí)）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】C解：設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)在拋物線上，，，．故選：C．3．（2022·河南洛陽·高二階段練習(xí)（理））拋物線經(jīng)過點(diǎn)（1，2），則此拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（

）A．4 B．2 C．1 D．【答案】D因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過點(diǎn)（1，2），所以，所以，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于.故選：D4．（2022·全國·高二）設(shè)拋物線C:的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為．是拋物線C上異于的一點(diǎn)，過作于，則線段的垂直平分線（

）A．經(jīng)過點(diǎn) B．經(jīng)過點(diǎn)C．平行于直線 D．垂直于直線【答案】A如圖所示：．因?yàn)榫€段的垂直平分線上的點(diǎn)到的距離相等，又點(diǎn)在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn).故選：A.5．（2022·四川遂寧·高二期末（理））已知圓與拋物線的準(zhǔn)線相切，則（

）A． B． C．4 D．8【答案】C因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，拋物線的準(zhǔn)線為，所以，∴，故選：C.6．（2022·北京二中高二期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，直線PF交y軸于點(diǎn)Q，若，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C解：由拋物線，可知，準(zhǔn)線的方程為，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，因?yàn)椋?，所以，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為．故選：C．7．（2022·重慶南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A為拋物線C上一點(diǎn)，直線AF交拋物線C的準(zhǔn)線l于點(diǎn)B，且，則（

）A． B．4 C． D．6【答案】D由題意可知，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn),如圖所示由，得，即.在中，，由，得，即，所以,即,所以,由拋物線的定義知，.故選：D.8．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn)，若，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D解：過點(diǎn)，分別作拋物線準(zhǔn)線的垂線，，垂足分別為，，且，與軸分別相交于，，則，得．（相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用）由拋物線的定義知，，則，解得，故選：D．二、多選題9．（2022·遼寧·本溪市第二高級中學(xué)高二期末）已知拋物線焦點(diǎn)與雙曲線的一個焦點(diǎn)重合，點(diǎn)在拋物線上，則下列說法錯誤的是（

）A．雙曲線的離心率為2B．C．雙曲線的漸近線為D．點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離為6【答案】CD焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率，A正確；的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故，解得：，B正確；雙曲線漸近線方程為，C錯誤；點(diǎn)在拋物線上，故點(diǎn)P點(diǎn)拋物線焦點(diǎn)的距離為，故D錯誤.故選：CD10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2，則a的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】AB拋物線的準(zhǔn)線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為2，所以，解得或，故選AB．三、填空題11．（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)是拋物線上的一個動點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，記點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離之和的最小值為若記的最小值為則____．【答案】##【詳解】如圖所示，過點(diǎn)作垂直于直線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，取到最小值，即．如圖所示，過點(diǎn)作直線垂直于直線，垂足為點(diǎn)，由拋物線的定義可得點(diǎn)到直線的距離為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時，等號成立，即，因此．故答案為：12．（2022·江西省信豐中學(xué)高二階段練習(xí)（文））設(shè)是拋物線上的一個動點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，則的最小值為_________．【答案】3解：拋物線，所以焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，當(dāng)時，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)在拋物線內(nèi)部，如圖，過作準(zhǔn)線的垂線垂足為，交拋物線于，由拋物線的定義，可知，故．即當(dāng)、、三點(diǎn)共線時，距離之和最小值為3．故答案為：．四、解答題13．（2022·全國·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件，求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點(diǎn)為，，離心率為；(2)焦點(diǎn)為，，離心率為3：(3)拋物線的準(zhǔn)線為；(4)橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且短軸長為2．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).(1)由題可知，圓錐曲線為橢圓，可設(shè)方程為，則，∴，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)由題可知，圓錐曲線為雙曲線，可設(shè)方程為，則，∴，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(3)∵拋物線的準(zhǔn)線方程為，即，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(4)∵雙曲線的焦點(diǎn)為，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，∴，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為14．（2022·江蘇·高二）已知點(diǎn)P與點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2．(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)若軌跡C上有兩點(diǎn)A、B在第一象限，且，，求證：直線AB的斜率是．【答案】(1)；(2)證明見詳解．(1)因?yàn)辄c(diǎn)P與點(diǎn)的距離比它到直線的距離小2，則點(diǎn)P與點(diǎn)的距離與它到直線的距離相等，所以點(diǎn)P的軌跡C是以為焦點(diǎn)以直線為準(zhǔn)線的拋物線，故軌跡C的方程為；(2)設(shè)在準(zhǔn)線上的投影分別為，并連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)因?yàn)?，又，則又，所以；故直線AB的斜率是.B能力提升1．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上的點(diǎn)，過A作l的垂線．垂足為B，若，則___________．【答案】##如圖，拋物線的準(zhǔn)線與軸交點(diǎn)為，由已知得，，，又，則，在軸上方，，所以，，所以軸，從而是正方形，．故答案為：．2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線交C于點(diǎn)A，B，交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)E，若，，則___________.【答案】3過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為M，N，準(zhǔn)線與y軸的交點(diǎn)為G，則，.因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，?故答案為：33．（2022·寧夏·吳忠中學(xué)三模（文））已知拋物線上一點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離與到點(diǎn)的距離之和的最小值為2，則實(shí)數(shù)p的值為_____，【答案】6因?yàn)閽佄锞€上的點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離等于到準(zhǔn)線的距離減去，而由拋物線的定義知點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離等于到焦點(diǎn)的距離，所以只需點(diǎn)到Q與到焦點(diǎn)F的距離之和最小，如圖所示：當(dāng)P，Q，F(xiàn)共線時，到y(tǒng)軸的距離與到點(diǎn)的距離之和最小，因?yàn)辄c(diǎn)到y(tǒng)軸的距離與到點(diǎn)的距離之和的最小值為2，所以，即，解得.故答案為：4．（2022·全國·高二期末）一拋物線型的拱橋如圖所示：橋的跨度米，拱高米，在建造時每隔4米用一個柱子支撐，則支柱的長度______米．【答案】3.84.##建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,使拋物線的焦點(diǎn)在y軸上.可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.因?yàn)闃虻目缍让?，拱高米，所?代入標(biāo)準(zhǔn)方程得：，解得：，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為把點(diǎn)的橫坐標(biāo)2代入,得，解得：，支柱的長度為(米).即支柱的長度為3.84(米).故答案為：3.84.C綜合素養(yǎng)1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)O，對稱軸為x軸，焦點(diǎn)為F，拋物線上的點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，且，求此拋物線的方程.【答案】依題意可知，拋物線開口向右，設(shè)拋物線方程為，設(shè)，，由于，所以，解得，所以拋物線方程為2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）根據(jù)下列條件分別求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的左頂點(diǎn);(2)拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線與拋物線交