高中數(shù)學(xué)

人教A版（2019）

必修第一冊

第七章

復(fù)數(shù)7.1復(fù)數(shù)的概念山東沂水縣第四中學(xué)教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊》人教A版（2019）第七章《復(fù)數(shù)》的第一節(jié)《復(fù)數(shù)的概念》。以下是本章的課時安排：第七章復(fù)數(shù)課時內(nèi)容7.1復(fù)數(shù)的概念7.2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算7.3復(fù)數(shù)的三角表示所在位置教材第68頁教材第75頁教材第83頁新教材內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容是數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念，基于之前所學(xué)的數(shù)系的發(fā)展歷程，由一元二次方程的根的問題導(dǎo)入，將數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)范圍，并研究復(fù)數(shù)的概念，為復(fù)數(shù)的運(yùn)算打好基礎(chǔ)。上一節(jié)我們把實數(shù)集擴(kuò)充到了復(fù)數(shù)集，引入新數(shù)集后，就要研究其中的數(shù)之間的運(yùn)算，即復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算及其幾何意義。前面我們研究了復(fù)數(shù)及其四則運(yùn)算，本節(jié)內(nèi)容是復(fù)數(shù)的三角表示，是復(fù)數(shù)與三角函數(shù)的結(jié)合，是對復(fù)數(shù)的拓展延伸，這樣更有利于我們對復(fù)數(shù)的研究。核心素養(yǎng)培養(yǎng)了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，理解復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)相等的充要條件，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過實例，明確復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).經(jīng)歷復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的幾何意義的形成過程，提高直觀想象的核心素養(yǎng)，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng).通過復(fù)數(shù)的幾何意義，了解復(fù)數(shù)的三角表示，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；通過了解復(fù)數(shù)的輻角及輻角的主值的含義，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象的核心素養(yǎng)。教學(xué)主線復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位的必要性，了解數(shù)系的擴(kuò)充過程，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；2.理解在數(shù)系的擴(kuò)充中由實數(shù)集擴(kuò)展到復(fù)數(shù)集出現(xiàn)的一些基本概念，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)；3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的表示方法，理解復(fù)數(shù)相等的充要條件，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。重點(diǎn)、難點(diǎn)1.重點(diǎn)：了解引進(jìn)虛數(shù)單位的必要性，了解數(shù)系的擴(kuò)充過程；

掌握復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)相等的充要條件。2.難點(diǎn)：理解復(fù)數(shù)的概念、表示法及相關(guān)概念。（一）新知導(dǎo)入

1.復(fù)數(shù)的發(fā)展史

（一）新知導(dǎo)入

2.探索交流，解決問題【思考1】在實數(shù)范圍內(nèi)，方程x2＋2＝0有解嗎？怎樣讓它有解？【提示】無解.在復(fù)數(shù)的范圍內(nèi)，方程有解。【思考2】為了使負(fù)數(shù)能夠開方，需要引進(jìn)一個新數(shù)，這個新數(shù)應(yīng)該服從什么規(guī)則？【提示】根據(jù)數(shù)系擴(kuò)充的原則，定義關(guān)于它們的加法和乘法，要使得原來關(guān)于實數(shù)的運(yùn)算律保持不變.（二）復(fù)數(shù)的概念1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)定義：形如

的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中

i

叫做虛數(shù)單位，滿足

．全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做

.(2)復(fù)數(shù)通常用字母z表示，代數(shù)形式為z＝

(a，b∈R)，其中a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的

與

.

實部a、虛部b都是實數(shù)！a＋bi(a，b∈R)i2＝－1復(fù)數(shù)集a＋bi實部虛部（二）復(fù)數(shù)的概念2.復(fù)數(shù)相等在復(fù)數(shù)集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取兩個數(shù)a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我們規(guī)定：a＋bi與c＋di相等當(dāng)且僅當(dāng)

.

a＝c且b＝d（二）復(fù)數(shù)的概念3.復(fù)數(shù)的分類(1)對于復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時，它是

；當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝0時，它是實數(shù)0；當(dāng)b≠0時，叫做

；當(dāng)

時，叫做純虛數(shù).(2)集合表示：【思考1】兩個復(fù)數(shù)一定能比較大小嗎？【提示】不一定，只有當(dāng)這兩個復(fù)數(shù)是實數(shù)時，才能比較大小.【思考2】復(fù)數(shù)z＝a＋bi的虛部b可以為零嗎？【提示】可以.當(dāng)b＝0時，z為實數(shù).【辯一辯】判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若a，b為實數(shù)，則z＝a＋bi為虛數(shù)．()(2)復(fù)數(shù)z1＝3i，z2＝2i，則z1＞z2.()(3)復(fù)數(shù)z＝bi是純虛數(shù)．()(4)實數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是實數(shù)集．()×××√a＝0且b≠0實數(shù)虛數(shù)（三）典型例題1.復(fù)數(shù)的概念

【類題通法】復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)中，實數(shù)a和b分別叫做復(fù)數(shù)的實部和虛部.特別注意，b為復(fù)數(shù)的虛部而不是虛部的系數(shù)，b連同它的符號叫做復(fù)數(shù)的虛部.【鞏固練習(xí)1】下列命題中，正確命題的個數(shù)是()①若x，y∈C，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y(tǒng)＝1；②若a，b∈R且a＞b，則a＋i＞b＋i；③若x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0.A.0 B.1 C.2 D.3解析①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，不符合復(fù)數(shù)相等的充要條件，所以①是假命題.②由于兩個虛數(shù)不能比較大小，所以②是假命題.③當(dāng)x＝1，y＝i時，x2＋y2＝0成立，所以③是假命題.故選A.答案A

（三）典型例題2.復(fù)數(shù)的分類例2.(1)已知復(fù)數(shù)z＝a＋(a2－1)i是實數(shù)，則實數(shù)a的值為________；(2)若復(fù)數(shù)z＝sin2α－(1－cos2α)i是純虛數(shù)，則α＝________.

【類題通法】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念求參數(shù)的一般步驟：第一步，判定復(fù)數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，實部與虛部分別為什么；第二步，依據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題；第三步，解相應(yīng)的方程(組)或不等式(組)；第四步，明確結(jié)論.（三）典型例題

（三）典型例題3.復(fù)數(shù)相等例3.已知x2－y2＋2xyi＝2i，求實數(shù)x，y的值.

【類題通法】求解復(fù)數(shù)相等問題復(fù)數(shù)問題實數(shù)化是解決復(fù)數(shù)相等問題最基本的也是最重要的思想方法.轉(zhuǎn)化過程主要依據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件.基本思路是：(1)等式兩邊整理為a＋bi(a，b∈R)的形式；(2)由復(fù)數(shù)相等的充要條件可以得到由兩個實數(shù)等式所組成的方程組；(3)解方程組，求出相應(yīng)的參數(shù).

（四）操作演練素養(yǎng)提升

3.i2021＝________.4.設(shè)i為虛數(shù)單位，若關(guān)于x的方程x2－(2＋i)x＋1＋mi＝0(m∈R)有一實根為n，則m＝________.答案：1.C2.C3.i4.1課堂小結(jié)知識總結(jié)學(xué)生反思（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？

（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？作業(yè)布