第1章

數(shù)字邏輯基礎(chǔ)

C3學習要求及知識點

1.學習目標

(1)熟悉常用數(shù)制和碼制的概念，要熟練掌握常用二進制、八進制、十進制、十六進

制數(shù)相互間的轉(zhuǎn)換。

(2)熟練掌握邏輯代數(shù)中的基本定律、基本公式和規(guī)則。

(3)熟練掌握邏輯函數(shù)常用的表示法與變換。

(4)熟悉邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡，要熟練掌握邏輯函數(shù)的卡諾圖法化簡，要熟悉邏輯

函數(shù)的Multisim計算機法化簡。

(5)熟悉TTL74LS系列和CMOS74HC系列常用門電路的序號、電氣特性及主要技術(shù)

參數(shù)。

(6)熟練掌握TTL74LS系列和CMOS74HC系列門電路實際使用中的一些基本知識、

基本技能和技巧。

2.重點與難點

?二進制、八進制、十進制、十六進制數(shù)及其相互間的轉(zhuǎn)換；

?常用的8421BCD碼和幾種可靠性代碼；

?三種基本邏輯關(guān)系；

?邏輯代數(shù)中的基本定律、基本公式和規(guī)則；

?邏輯函數(shù)常用的表示法與變換；

?邏輯函數(shù)的代數(shù)法化簡、邏輯函數(shù)的卡諾圖法化簡、邏輯函數(shù)Multisim軟件化簡;

?常用TTL和CMOS集成門電路的電氣特性及主要參數(shù)；

?集成門電路實際使用中應注意的問題；

?集成門電路的檢測方法。

1.1數(shù)制與編碼

重點內(nèi)容

1.二進制、八進制、十進制、十六進制數(shù)及其相互間的轉(zhuǎn)換；

2.常用的8421BCD碼和幾種可靠性代碼。

難點內(nèi)容

無權(quán)格雷碼的編碼特點。

內(nèi)容提要

1.1.1數(shù)制

1.十進制

(1)采用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十個數(shù)碼表示，基數(shù)為10。

(2)十進制數(shù)中任一位可能出現(xiàn)的最大數(shù)碼是9,低位和相鄰高位之間的關(guān)系是“逢

十進一”或“借一當十”。任何一個十進制數(shù)N可展開表示為

(MD=K”“x10"T+K“一2X10"々+...+Kxl()i+K()x100+xl(yi+...+K“x10"'

=￡仆0(I」」)

i=-m

若以R取代式(1.1.1)中的D,就可以得到任意R進制數(shù)的位權(quán)展開式

M—1

(A0R=￡K,XR(LL2)

i=-m

2.二進制

(1)采用0、1兩個數(shù)碼表示，基數(shù)為2。

(2)十進制數(shù)中任一位可能出現(xiàn)的最大數(shù)碼是1,低位和相鄰高位之間的關(guān)系是“逢

二進一”或“借一當二”。任意一個二進制數(shù)N可展開表示為

(/V)2=(MB=K"一ix2"V+K"2X2"-2+...+K|X2i+KOX2°+KIX2T+...+K“”x2”"

=￡K；X2，(1.1.3)

i=-m

3.八進制

(1)采用0、1、2、3、4、5、6、7八個數(shù)碼表示，基數(shù)為8。

(2)八進制數(shù)中任一位可能出現(xiàn)的最大數(shù)碼是7,低位和相鄰高位之間的關(guān)系是“逢

八進一”或“借一當八”。任意一個八進制數(shù)N可展開表示為

GV)8=(MO=K*IX8"T+K”.2X8'"2+...+Kx8i+K()X8°+K|X8T+...+K",x8”"

=￡K：X&(1.1.4)

i=-m

4.十六進制

(1)采用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F十六個數(shù)碼表示，基

數(shù)為16。

(2)十六進制數(shù)中任一位可能出現(xiàn)的最大數(shù)碼是F,低位和相鄰高位之間的關(guān)系是“逢

十六進一”或“借一當十六任意一個十六進制數(shù)N可展開表示為

(A016=(MH=K,“X16"T+K“-2X16"-2+...+/C,X16'+K()xl60+K」xl6T+...+K.”xl6而

=￡K,X16'(1.1.5)

1.1.2數(shù)制間的轉(zhuǎn)換

1.二進制數(shù)、八進制數(shù)、十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)

將二進制數(shù)、八進制數(shù)、十六進制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進制數(shù)時，只要依式(1.1.2)將它們按權(quán)位

展開，然后按十進制的運算規(guī)則求和，即可得到對應的十進制數(shù)。

［例1.1.1］將二進制數(shù)1011.101轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)。

解：(1011.101)B=1x23+0x2?+1X2'+1X2°+1X2」+0x2-2+1x2-3

=8+0+2+1+0.5+0+0.125

=(11.625)D

［例1.12將八進制數(shù)25.6轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)。

解：(25.6)o=2x8i+5x8°+6x8」

=16+5+0.75

=(21.75)D

2.十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)、八進制數(shù)、十六進制數(shù)

十進制數(shù)等值轉(zhuǎn)換，整數(shù)部分和小數(shù)部分轉(zhuǎn)換方法不同，需分別進行轉(zhuǎn)換，然后將結(jié)果

再進行相加合成。

(1)十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)

①整數(shù)部分采用“除2取余法”，即把十進制整數(shù)連續(xù)除以2,并依次記下余數(shù)，直到

商為0。然后把每次所得余數(shù)按相反的次序排列，即得轉(zhuǎn)換后的二進制數(shù)的整數(shù)部分。

［例1.1.3］把十進制數(shù)59轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)。

解:

余數(shù)=1=ko

余數(shù)=1=k,

排

余數(shù)=0=k2列

次

余數(shù)=1=k3序

余數(shù)=1=%

余數(shù)=1=ks

所以，(59)D=(111011)B

②小數(shù)部分采用“乘2取整法”，即把十進制小數(shù)連續(xù)乘以2,直到小數(shù)部分為零或者

滿足誤差要求進行“四舍五入”達到要求的精度為止，然后將每次所取整數(shù)按序排列，即得

轉(zhuǎn)換后的二進制數(shù)的小數(shù)部分。

［例1.1.4］把十進制數(shù)0.6875轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)。

解：0.6875x2=1.3750取整=1,k.i=1

排

0.3750x2=0.7500取整=0.k.：2二0列

次

0.7500x2=1.5000取整,=1,k3=1序

0.5000x2=1.0000取整=1,k.z1=1

由于最后小數(shù)部分為零，由5應為0。所以，(0.6875)D=(01011)B

［例1.1.5］把十進制數(shù)0.706轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，要求其誤差小于2?

解:0.706x2=1.412取整=1,k.l=1

0.412x2=0.824取整=0,k一2=0

0.824x2=1.648取整=1,k一3=1

0.648x2=1.296取整=1,k一4=1

由于小數(shù)0296小于0.5,根據(jù)“四舍五入”的原則，k一5應為0。所以,(0.706)D=(0.1011)B

(2)十進制數(shù)轉(zhuǎn)換成八進制數(shù)、十六進制數(shù)

采用上述方法，很容易把十進制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)、十六進制數(shù)，即整數(shù)部分采用“除

基數(shù)(8或16)取余法”，小數(shù)部分采用“乘基數(shù)(8或16)取整法”。

3.二進制數(shù)、八進制數(shù)、十六進制數(shù)之間的互換

(1)二進制數(shù)、八進制數(shù)之間的互換

三位二進制數(shù)正好表示0~7八個數(shù)字，因此一個二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)時，整數(shù)部分

從最低位開始，每三位分成一組，每一組對應一位八進制數(shù)，若最后不足三位時，應在前面

加0,補足三位再轉(zhuǎn)換；小數(shù)部分從最高位開始，每三為分成一組，每一組對應一位八進制

數(shù)，若最后不足三位時，應在后面加0,補足三位再轉(zhuǎn)換。反之，一個八進制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進

制數(shù)時，每一位八進制數(shù)對應三位二進制數(shù)。

［例1,1.6］將二進制數(shù)1011001.1011轉(zhuǎn)換成八進制數(shù)。

解：二進制數(shù)

00I101I100I1.10I110!0

八進制數(shù)131.54

所以，(1011001.1011)B=(131.54)o

［例1.1.7］將八進制數(shù)37.6轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)。

解：八進制數(shù)37.6

I1I

二進制數(shù)011111.110

所以,(37.6)o=(11111.11)B

(2)二進制數(shù)、十六進制數(shù)之間的互換

四位二進制數(shù)正好表示0~F十六個數(shù)字，因此一個二進制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)時，整數(shù)

部分從最低位開始，每四位分成一組，每一組對應一位十六進制數(shù)，若最后不足四位時，應

在前面加0,補足四位再轉(zhuǎn)換；小數(shù)部分從最高位開始，每四位分成一組，每一組對應一位

十六進制數(shù)，若最后不足四位時，應在后面加。，補足四位再轉(zhuǎn)換。反之，一個十六進制數(shù)

轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)時，每一位十六進制數(shù)對應四位二進制數(shù)。

［例1,1.8］將二進制數(shù)1011001.1011轉(zhuǎn)換成十六進制數(shù)。

解：二進制數(shù)

01I0110I01.10I11

十六進制數(shù)59.B

所以(1011001.1011)B=(59.B)H

［例1.1.9］將十六進制數(shù)C7.3轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)。

解：十六進制數(shù)C7.3

!11

二進制數(shù)11000111.0011

所以(C7.3)H=(11000111.0011)B

1.1.3編碼

1.二一H進制編碼(BCD碼)

用4位二進制數(shù)碼表示1位十進制數(shù)的方法稱為二一十進制編碼，也稱BCD(Binary

CodedDecimal)碼。4位二進制碼有16種不同的組合，可任選其中的10種組合來表示十進

制數(shù)的10個數(shù)碼，就有不同的二一十進制編碼方案。表1.1.1列出了幾種常用的BCD碼

表1.1.1幾種常用的BCD碼

有權(quán)碼無權(quán)碼

十進制數(shù)

8421碼2421(A)碼2421(B)碼5421碼余3碼

000000000000000000011

100010001000100010100

200100010001000100101

300110011001100110110

401000100101001000111

501010101101110001000

601100110110010011001

701110111110110101010

810001110111010111011

910011111111111001100

權(quán)值8421242124215421無權(quán)

在這些表示0?9共10個數(shù)碼的4位二進制代碼中，每一位數(shù)碼都有確定位權(quán)值的代碼

稱為有權(quán)BCD碼；無權(quán)BCD碼就是沒有確定位權(quán)值的代碼。

2.格雷碼（Gray碼）

在數(shù)字系統(tǒng)中，除BCD碼外，常用的還有格雷碼（無權(quán)碼）。格雷碼的特點是任意相

鄰兩組代碼之間只有一位代碼不同，且首尾0和15兩組代碼之間也只有一位代碼不同。因

此，格雷碼是循環(huán)碼。格雷碼的這個特點使它在代碼形成與傳輸中引起的誤差較小。

課堂提問和討論解答

T1.1.1數(shù)制是什么？什么是數(shù)碼？基數(shù)是什么？位權(quán)指的是什么？

解答：用多位數(shù)碼表示數(shù)量大小時，多位數(shù)碼中每一位的構(gòu)成方式以及從低位到高位的

進位規(guī)則稱為數(shù)制。數(shù)制中，每一位可表示數(shù)碼的個數(shù)稱為基數(shù)。任意R進制數(shù)按十進制

展開式的普遍形式為

H—1

（MR=￡K,XR（LL2）

i=-nt

式中，R稱為計數(shù)的基數(shù)，*稱為第i位的權(quán)，即第i位的位權(quán)。

T1.1.2十進制數(shù)有什么特點？二進制數(shù)有什么特點？

解答：十進制數(shù)

（1）采用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十個數(shù)碼表示，基數(shù)為10。

（2）十進制數(shù)中任一位可能出現(xiàn)的最大數(shù)碼是9,低位和相鄰高位之間的關(guān)系是“逢

十進一”或“借一當十”。任何一個十進制數(shù)N可展開表示為

/,11

（MD=Ar?.|X10+K,?2X10"-2+...+K|X10i+Koxl00+AT.iXlO-+...+K.,“xl（T”

=WKJXKT（I」」）

i=-m

二進制數(shù)

（1）采用0、1兩個數(shù)碼表示，基數(shù)為2。

（2）十進制數(shù)中任一位可能出現(xiàn)的最大數(shù)碼是1,低位和相鄰高位之間的關(guān)系是“逢

二進一”或“借一當二任意一個二進制數(shù)N可展開表示為

m

（A02=（MB=K,”IX2"-I+K“2X2”2+...+Kx2i+Kox2°+K」x2T+...+K.,nx2

=YKix2'（1.1.3）

i=-m

Tl.1.3常用的二一十進制編碼有哪些？為什么說用4位二進制數(shù)碼對十進制數(shù)的10

個數(shù)碼進行編碼的方案有很多？

解答：常用的二一"b進制編碼有8421BCD碼、5421BCD碼、2421BCD碼等。由于4

位二進制數(shù)共有16種取值組合，因此有多種編碼的方案。

T1.1.4什么是有權(quán)BCD碼？什么是無權(quán)BCD碼？試舉例說明。

解答：在表示0?9共10個數(shù)碼的4位二進制代碼中，每一位數(shù)碼都有確定的位權(quán)值的

編碼方式稱為有權(quán)BCD碼，如常用的8421BCD碼、5421BCD碼和2421BCD碼都是有權(quán)

BCD碼。無權(quán)BCD碼就是沒有確定位權(quán)值的編碼方式，例如由8421BCD碼加3(0011)

形成的余3碼就是一種無權(quán)BCD碼。

T1.1.5格雷碼是什么碼？

解答：格雷碼是一種常見的無權(quán)循環(huán)碼。格雷碼的特點是任意相鄰兩組代碼之間只有一

位代碼不同，且首尾0和15兩組代碼之間也只有一位代碼不同。

學生演講和演板解答

Y1.1.1試將十進制數(shù)123.675轉(zhuǎn)換為二進制數(shù)，要求精確到10九

解答：2I123

，2|,611

2|3T1

150

2171

2|31

11

01

所以整數(shù)部分(123)io=(1111011)2,

由于要求精確達到10汽即1/1000,所以需要精確到二進制小數(shù)第10位，即1/21。=1/1024。

0.675x2=1.35k-i=10.6x2=1.2k-6=1

0.35x2=0.7k.2=00.2x2=0.4k.7=0

0.7x2=14k-3=10.4x2=0.8k-8=0

0.4x2=0.8k.4=00.8x2=1.6k-9=1

0.8x2=1.6k-5=10.6x2=1.2k-io=1

所以小數(shù)部分(0.675)io=(0.1010110011)2

所以(123.675)10=(1111011.1010110011)2

Y1.1.2為什么格雷碼能在信號傳輸和轉(zhuǎn)換過程中減少失誤，提高可靠性？

解答：因為格雷碼的任意相鄰兩組代碼之間只有一位代碼不同，在信號傳輸和轉(zhuǎn)換過程

中產(chǎn)生的變化量較小，所以失誤較小、可靠性較高。

課堂練習解答

Ll.l.l試將下列數(shù)值轉(zhuǎn)換為等值的二進制數(shù)。

(1)(8016(2)(136.45)8(3)(372)8

解答：(1)十六進制數(shù)8C

11

二進制數(shù)10001100

所以(8C)16=(10001100)2

(2)八進制數(shù)136.45

二進制數(shù)001011110.100101

所以(136.45)8=(1011110.100101)2

(3)八進制數(shù)372

III

二進制數(shù)011111010

所以(372)8=(11111010)2

L1.1.2試將下列十進制數(shù)表示為8421BCD碼。

(1)(43)10(2)(95.12)10

解答：(1)(43)io=(01000011)842IBCD

(2)(95.12),0=(10010101.00010010)842IBCD

LI.1.2試將下列BCD碼轉(zhuǎn)換為十進制數(shù)。

(1)(010101111001)842IBCD(2)(10001001.01110101)842IBCD

(3)(010011001000)542IBCD(4)(100010113BCD

解答：(1)(010101111001)842lBCD=(579)10

(2)(10001001.01110101)842IBCD=(89.75),o

(3)(010011001000)5421BCD=(495),0

(4)(10001011)^3BCD=(58)IO

1.2邏輯代數(shù)

重點內(nèi)容

1.邏輯代數(shù)中的基本定律、基本公式和規(guī)則；

2.邏輯函數(shù)常用的表示法與相互變換。

難點內(nèi)容

邏輯代數(shù)中的基本公式和規(guī)則。

內(nèi)容提要

1.2.1基本邏輯和復合邏輯

在邏輯代數(shù)中只有三種基本的邏輯，即“與”邏輯、“或”邏輯和“非”邏輯。與之對

應，在邏輯代數(shù)中只有三種基本的邏輯運算，與、或、非。實際應用中，還有復合邏輯或復

合邏輯運算，但它們都是與、或、非三種基本邏輯的組合結(jié)構(gòu)。

1.與邏輯

只有決定事物結(jié)果的全部條件同時具備時，結(jié)果才發(fā)生的因果關(guān)系稱為與邏輯。用邏輯

代數(shù)表達式描述，則有

y=4B或Y=AB(1.2.1)

2.或邏輯

只要決定事物結(jié)果的幾個條件中有一個條件具備時，結(jié)果就會發(fā)生的因果關(guān)系稱為或邏

輯。用邏輯代數(shù)表達式描述，則有

Y=A+B(1.2.2)

3.非邏輯

互相否定的因果關(guān)系稱為非邏輯。用邏輯代數(shù)表達式描述，則有

Y=A(1.2.3)

4.幾種常用的復合邏輯

經(jīng)常使用復合邏輯有，與非、或非、與或非、異或和同或邏輯等，其中

(1)與非運算是與運算和非運算的組合，其邏輯代數(shù)表達式為

7=Afi(1.2.4)

(2)或非運算是或運算和非運算的組合，其邏輯代數(shù)表達式為

Y=A+B(1.2.5)

(3)與或非運算是與、或和非三種運算的組合,其邏輯代數(shù)表達式為

Y-AB+CD(1.2.6)

(4)異或的邏輯關(guān)系是：當兩個輸入信號相同時，輸出為0；當兩個輸入信號不同時，

輸出為1。異或的邏輯代數(shù)表達式為

Y=M+AX=A十8(1.2.7)

(5)同或的邏輯關(guān)系和異或的邏輯關(guān)系剛好相反：當兩個輸入信號相同時，輸出為1;

當兩個輸入信號不同時，輸出為0。同或的邏輯代數(shù)表達式為

Y=AB+AB=AQB(1.2.8)

1.2.2邏輯函數(shù)的表示方法

1.真值表

用狀態(tài)變量和取值列表表示邏輯關(guān)系的圖表稱為邏輯真值表，簡稱真值表。特別要指出，

列真值表時，一定要把輸入邏輯函數(shù)所有取值的組合與其所對應輸出邏輯函數(shù)值全部列出，

才能完整描述整個邏輯關(guān)系，n個輸入邏輯變量共有2"個邏輯取值組合。

2.邏輯代數(shù)(函數(shù))表達式

表示邏輯變量之間因果關(guān)系的代數(shù)式稱為邏輯代數(shù)(函數(shù))表達式，簡稱邏輯式。在邏

輯代數(shù)中用字母A、B、C、……表示邏輯變量，這些邏輯變量在二值邏輯中只有。和1兩

種取值，以代表邏輯變量的兩種不同的邏輯狀態(tài)。

3.邏輯圖

在數(shù)字邏輯電路中，用邏輯符號圖形連接表示邏輯關(guān)系形成的電路圖稱為邏輯電路圖，

簡稱邏輯圖。

4.波形圖

按時間順序依次排列，表示邏輯輸入變量每一種可能出現(xiàn)的取值與對應輸出值間邏輯關(guān)

系形成的圖形稱為邏輯函數(shù)波形圖，簡稱波形圖，也稱時序圖。

5.各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換

同一個邏輯函數(shù)可以用多種不同的方法描述，這些不同的描述方法之間可以相互轉(zhuǎn)換。

(1)真值表與邏輯代數(shù)(函數(shù))表達式間的相互轉(zhuǎn)換

①找出真值表中使邏輯函數(shù)丫=1的那些輸入變量取值的組合；

②每組輸入變量取值的組合對應一個與項，組合中取值為1的寫入原變量，取值為0

的寫入反變量；

③將這些與項進行或運算，即得y的邏輯函數(shù)表達式。

由邏輯函數(shù)表達式列出相應的真值表，只需將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏

輯函數(shù)表達式求出函數(shù)值、列表，即可得到相應的真值表。

（2）邏輯代數(shù)（函數(shù)）表達式與邏輯圖間的相互轉(zhuǎn)換

由邏輯函數(shù)表達式轉(zhuǎn)換為相應的邏輯圖，只要用邏輯圖形符號代替邏輯函數(shù)表達式中的

邏輯運算符號并按運算順序?qū)⑺鼈冞B接，就可以得到所求的邏輯圖。

而由邏輯圖轉(zhuǎn)換為相應的邏輯函數(shù)表達式，只要從邏輯圖的輸入端到輸出端逐級寫出每

個邏輯圖形符號輸出端的邏輯函數(shù)式，就可以在輸出端得到所求的邏輯函數(shù)表達式。

（3）波形圖與真值表的相互轉(zhuǎn)換

由邏輯函數(shù)波形圖求相應的真值表，首先需要從波形圖上找出每個時間段里輸入邏輯變

量與輸出邏輯函數(shù)的取值，然后將這些輸入、輸出取值對應列表，就得到了所求的真值表。

由真值表求相應的邏輯函數(shù)波形圖，只需將真值表中所有的輸入邏輯變量與對應的輸出邏輯

函數(shù)的取值依次排列畫成以時間為橫軸的波形，就得到了所求的波形圖。

1.2.3邏輯代數(shù)的基本定律和基本規(guī)則

1.基本定律

邏輯代數(shù)中的基本定律和基本公式如表1210中所示。

表1.2.10邏輯代數(shù)的基本定律

定律名稱與或非

0-1律J-0=04+1=1

自等律力?1=4A+0=A

重疊律A*A-AA+A=A

互補律AA=0A+A=l

交換律B=B*AA+B=B+A

結(jié)合律/?(8?O=(力?8)?CA+(/。=(4+6)+。

分配律力?(班O=3+4?CA+(8C)=(A+5)(A+。

反演律A^~B=A+BA+B=AB

還原律A=A

A-("B)=AA+A*B=A

吸收律

(A+B)?(4+0=A+BCA+&3=A+B

常用恒等式AB+AC+BCD=AB+ACAB+AC+BC=AB+AC

2.基本規(guī)則（定理）

（1）代入規(guī)則（定理）

在任何一個邏輯等式中，如果將所有出現(xiàn)的某變量力,都用一個邏輯函數(shù)代替，則等式

依然成立，這個規(guī)則稱為代入規(guī)則，亦稱代入定理。

（2）反演規(guī)則（定理）

根據(jù)摩根定理，對于任何一個原函數(shù)y的表達式，若將其中所有的“?”換成“+”

換成“?”，1換成。，。換成1,原變量換成反變量，反變量換成原變量，保持原函數(shù)中的

運算順序，即先運算括號里的內(nèi)容，其次進行與運算，最后進行或運算，并保留反變量以外

的非號不變，則得到的邏輯函數(shù)表達式就是原函數(shù)y的非函數(shù)y,亦稱反函數(shù)。這個規(guī)則稱

為反演規(guī)則，亦稱反演定理。

（3）對偶規(guī)則（定理）

對于任何一個邏輯函數(shù)式Y(jié),若將其中所有的換成換成1換0,

。換成1,并保持原函數(shù)中的運算順序，即“先括號、然后與、最后或”，但變量不變，則

得出的一個新的邏輯函數(shù)式，就是r的對偶式，記作這個規(guī)則稱為對偶規(guī)則，亦稱對

偶定理。但需要指出，一般情況下，Y,^Y,只是在某些特殊情況下，才有

課堂提問和討論解答

T1.2.1在邏輯代數(shù)中基本的邏輯關(guān)系有幾種？是哪幾種？試說出其邏輯運算的邏輯

代數(shù)表達式，試列舉出幾個相關(guān)的實例。

解答：在邏輯代數(shù)中，基本的邏輯關(guān)系只有與、或、非三種基本的邏輯關(guān)系。與邏輯的

邏輯代數(shù)表達式為卜=48或Y=AB,例如圖121所示電路；或邏輯的邏輯代數(shù)表達式為

Y=A+B,例如圖1.2.3所示電路；非邏輯的邏輯代數(shù)表達式為丫=K，例如圖126所示電路。

T1.2.2什么是復合邏輯？常用的復合邏輯有哪幾種？試舉例說明。

解答：由與、或、非三種基本邏輯組合（復合）構(gòu)成的邏輯稱為復合邏輯。常用的復合邏

輯有與非、或非、與或非、異或和同或邏輯等。例如圖127所示的與非邏輯，如圖1.2.9

所示的或非邏輯，如圖1210所示的與或非邏輯，如圖1.2.11所示的異或邏輯，如圖1212

所示的同或邏輯。

T1.2.3異或和同或的邏輯關(guān)系是什么？試用真值表說明。

解答：異或的邏輯關(guān)系是：當兩個輸入信號相同時，輸出為0;當兩個輸入信號不同時,

輸出為1。同或的邏輯關(guān)系和異或的邏輯關(guān)系剛好相反：當兩個輸入信號相同時，輸出為1;

當兩個輸入信號不同時，輸出為0。即，A十8=AQB=A?BC異或與同或的

邏輯關(guān)系如表1.2.7」所示

表1.2.7.1異或、同或邏輯真值表

ABY=A十5Y=AQB

0001

0110

1010

1101

T1.2.4邏輯函數(shù)都有那些表示方法？

解答：邏輯函數(shù)有多種描述方法，常用的有真值表、邏輯代數(shù)（函數(shù)）表達式、邏輯圖、

波形圖和卡諾圖等。

T1.2.5邏輯代數(shù)的基本定律（基本公式）當中，哪些公式的運算規(guī)則和普通代數(shù)的運

算規(guī)則相同？哪些不同、是需要特別記住的？

解答：邏輯代數(shù)的基本定律（基本公式）是由邏輯變量的二值性和3種基本的邏輯關(guān)系

演變而來，是對邏輯變量進行的邏輯運算，而不是對數(shù)進行的數(shù)值運算。在邏輯代數(shù)中，不

存在指數(shù)、系數(shù)、減法和除法，邏輯等式兩邊相同的項不能抵消。因此不能把一些普通代數(shù)

的定律和定理錯誤地“移植”到邏輯代數(shù)中。例如：

A+A=A,A+4手24；A?A=A,A?A#=A2；A+A=l,A^l-A;

AB+AB+AB=A+B+AB>A8+ABwA+B；A(A+8)=A，A+8/1。

Tl.2.6利用反演定理求取原函數(shù)的反函數(shù)時，應如何處理變換的運算順序和非運算符

號？

解答：在利用反演定理求取原函數(shù)的反函數(shù)時，應保持原函數(shù)中的運算順序，即先運算

括號里的內(nèi)容，其次進行與運算，最后進行或運算，并保留反變量以外的非號不變，即對不

屬于單個變量的非號應保留不變。

學生演講和演板解答

Y1.2.1試畫出基本邏輯函數(shù)的邏輯符號，并寫出其對應的邏輯代數(shù)表達式和真值表。

解答：(1)與邏輯

Y=AB或Y=AB&/—I\表1.2』與邏輯真值表

_d

(a)(b)

圖1.2.2與邏輯符號上

(a)國標符號(b)國際常用符號

亡_9_士

(2)或邏輯

Y=A+BA--》1表1.2.2或邏輯真值表

B——工

(a)(b)

圖124或邏輯符號_d

(a)國標符號(b)國際常用符號工

□

0J□to

(3)非邏輯

Y=A表1.2.3非邏輯真值表

A—丹)—rA—>0—r

(a)(b)

圖1.2.6非邏輯符號nj

(a)國標符號(b)國際常用符號□

Y1.2.2與非、或非、與或非邏輯關(guān)系的邏輯符號，并寫出其對應的邏輯代數(shù)表達式和

真值表。

解答：(1)與非邏輯

y=AB表124與非邏輯真值表

A-----&LA---1

B——口丫=而1

(a)(b)Rnd

圖127與非邏輯符號

(a)國標符號(b)國際常用符號R

亡:1

EJ

(2)或非邏輯

Y^A+B表125或非邏輯真值表

A

BABY=A+B

(a)(b)001

圖1.2.9或非邏輯符號010

(a)國標符號(b)國際常用符號

100

110

(3)與或非邏輯

Y=AB+CD表1.2.10.1與或三、邏輯真值表

ABcDY=AB+CDABcDY=AB+CD

A

S0000110001

0001110011

0010110101

圖1.2.10與或非邏輯符號

0011010110

0100111000

0101111010

0110111100

0111011110

Y1.2.3試畫出異或和同或邏輯函數(shù)的邏輯符號，并寫出其對應的邏輯代數(shù)表達式和真

值表。

解答：(1)異或邏輯

"初+4為二人十臺表126異或邏輯真值表

AB1A十B

r000

~J~011

(a)(b)

圖1.2.11異或邏輯符號101

(a)國標符號(b)國際常用符號

110

（2）同或邏輯

Y^AB+~AB=AQB表1.2.7同或運算真值表

ABY=AQB

001

(a)(b)010

圖1.2.12同或邏輯符號

100

(a)國標符號(b)國際常用符號

111

小組活動解答

H1.2.1分小組討論，邏輯函數(shù)真值表、邏輯函數(shù)表達式、邏輯電路圖三者之間有什么

關(guān)系？并簡述由真值表寫出邏輯函數(shù)表達式的方法。

解答：邏輯函數(shù)真值表、邏輯函數(shù)表達式、

圖1.2.16.1邏輯函數(shù)表示方法間的相互轉(zhuǎn)換

邏輯電路圖三者之間的關(guān)系如圖1.2.16.1所示。

由真值表寫出邏輯函數(shù)表達式的一般方法：

①找出真值表中使邏輯函數(shù)7=1的那些

輸入變量取值的組合；

②每組輸入變量取值的組合對應一個與項，組合中取值為1的寫入原變量，取值為0

的寫入反變量；

③將這些與項進行或運算，即得y的邏輯函數(shù)表達式。

H1.2.2分小組討論，實現(xiàn)一個確定邏輯功能的邏輯電路是不是惟一的？試舉例說明。

解答：邏輯函數(shù)確定后，相應的真值表是惟一的，但利用邏輯代數(shù)的運算規(guī)律可以將

同一個邏輯函數(shù)表達式變換為多種的表達形式。所以，確定邏輯功能的邏輯電路不是惟一的。

例如，A+A-B^A+B,等式兩邊的邏輯函數(shù)表達式表示的是同一邏輯功能，而兩邊對應的

邏輯電路是不一樣的。

課堂練習解答

L1.2.1試畫出下列邏輯函數(shù)的邏輯圖。

(1)Y=AB+CD(2)Y=AB+CD

解答：(1)Y=AB+CD

(2)Y=AB+CD

§-------I__

Fid-

D——

Ll.2.2試用邏輯代數(shù)的基本定律(基本公式)證明下列邏輯等式。

⑴A(A+B)=A(2)AB+AB+AB^A+B

解答：(1)/1(A+B)=A+AB=A(1+8)=A

(2)AB+AB+AB=A(B+B)+AB=A+AB=A+B

1.3邏輯函數(shù)的化簡

重點內(nèi)容

1.邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法；

2.四變量及以下邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法。

難點內(nèi)容

邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法。

內(nèi)容提要

1.3.1邏輯函數(shù)的公式化簡法

1.邏輯函數(shù)的最簡與或表達式

邏輯函數(shù)確定后，相應的真值表是惟一的，但利用邏輯代數(shù)的運算規(guī)律可以將同一個邏

輯函數(shù)表達式變換為多種的表達形式，可大致分為：與或式、與非一與非式、與或非式、或

與式、或非一或非式等五種類型。不同形式的邏輯式對應有不同的最簡形式，但都可以從最

簡與或表達式等效變換獲得。最簡與或表達式的判斷依據(jù)是：含有的乘積項(與項)數(shù)最少，

且每個乘積項(與項)中變量數(shù)最少。

2.公式化簡法

邏輯函數(shù)公式化簡法就是反復應用邏輯代數(shù)的基本定律(基本公式)，以消去邏輯函數(shù)

表達式中多余的乘積項和多余的因子，進行邏輯函數(shù)化簡的方法。

公式化簡法沒有固定的步驟，常用的方法有：

(1)并項法，利用公式43+47=人將兩項合并成一項，同時消去一個變量；

(2)吸收法，利用公式A+A/=A和A8+XC+8C=A2+XC,消去多余項；

(3)消去法，利用公式A+M=A+8和，消去多余的因子；

(4)配項法，利用公式4+^=1或A.X=O及A+A=A,給某個乘積項配項再化簡，以

達到進一步化簡的目的。

1.3.2邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法

卡諾圖化簡法是在最小項的基礎(chǔ)上，將邏輯函數(shù)用一種稱為“卡諾圖”的圖形來表示，

并在卡諾圖上進行邏輯函數(shù)化簡的方法。

1.最小項

最小項是指邏輯函數(shù)中的一個乘積項(與項)，它包含了該邏輯函數(shù)中所有的變量，每

個變量均以原變量或反變量的形式在乘積項(與項)中出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次。

最小項具有如下性質(zhì)：

(1)對于任意一個最小項，輸入變量只有對應的一組取值組合使它的值為1.而在其

他各組變量取值時，這個最小項的值都為0。

(2)不同的最小項，使它的值為1的那一組輸入變量的取值也不同。

(3)對于輸入變量的任一組取值組合，任意兩個最小項的乘積為0。

(4)對于輸入變量的任一組取值組合，全體最小項之和為1。

(5)若兩個最小項只有一個因子不同，則稱這兩個最小項具有相鄰性，且這兩個最小

項之和可以合并成一項并將一對不同的因子消去。例如

ABC+ABC=(A+A)BC=BC

2.邏輯函數(shù)的最小項表達式

如果一個邏輯函數(shù)表達式是與或式，而且其中每個乘積項(與項)都是最小項，則稱該

邏輯函數(shù)表達式為標準與或式，亦稱最小項表達式。

3.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法

(1)邏輯變量的卡諾圖

按照使具有相鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰的原則，排列起來的方格陣列稱之為卡

諾圖。

最小項的相鄰原則，是指兩個最小項中，除了一個變量為互反變量外，其余的變量都相

同。幾何位置上相鄰，是指在方格陣列中任一方格內(nèi)的最小項，與其幾何位置上下左右方格

內(nèi)的最小項相鄰。這包括，水平方向同一行里，最左端和最右端的方格也相鄰；垂直水平方

向同一列里，最上端和最下端的方格也相鄰。

（2）邏輯函數(shù)的卡諾圖

當邏輯函數(shù)為最小項表達式時.，在對應變量的卡諾圖中找出和表達式中最小項對應的小

方格填上1,其余的小方格填上0（也可不填，用空格表示），就可以得到相應的卡諾圖。

反之，由卡諾圖也可以得出相應的邏輯函數(shù)最小項表達式。

4.在卡諾圖上合并最小項的規(guī)則

利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)依據(jù)的基本原理就是具有相鄰性的最小項可以合并，并消去不

同的因子。

利用卡諾圖合并最小項的一般規(guī)則：如果有2"個最小項相鄰（〃=1,2,???）并排列成

一個矩形，則可將它們合并為一項，并消去〃對不同的因子，合并后的結(jié)果中僅剩這些最小

項的公共因子。

5.卡諾圖化簡法的步驟

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)可按以下步驟進行：

（1）將邏輯函數(shù)變換成最小項表達式；

（2）畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖；

（3）找出可以合并的最小項，以2"個相鄰的最小項構(gòu)成一個矩形（稱為卡諾圈），合

并相鄰的最小項；

（4）選取簡化后的乘積項，寫出最簡的與或函數(shù)表達式。

合并具有相鄰性的最小項時，應遵循下列原則：

①由相鄰最小項構(gòu)成的矩形