第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市順義區(qū)第一中學高三上學期期中考試數(shù)學試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.設集合A=xx?1>0，集合B=x0<x≤3，則A.1,3 B.1,3 C.0,+∞ D.1,+∞2.若復數(shù)z滿足1+i?z=2i，則z的共軛復數(shù)z=(

)A.1?i B.1+i C.?i D.?1+i3.如圖所示，直線l1,l2,l3A.k1>k2C.k2>k4.已知角α的終邊經(jīng)過點?3,4，則cosπ+α=(

)A.?45 B.?35 C.5.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減的是(

)A.y=x3 B.y=cosx C.6.在?ABC中，若a=7，b=8，cosB=17，則∠A的大小為A.π6 B.π3 C.5π6 D.7.設點A，B，C不共線，則“AB與AC的夾角為銳角”是“|AB+AC|>|A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數(shù)學元素.安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現(xiàn)造型之美.如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形.若AB=30m，BC=AD=10m，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面ABCD的夾角的正切值均為145，則該五面體的所有棱長之和為(

)

A.100?m B.112?m C.117?m D.132?m9.函數(shù)fx=sin2x圖象上存在兩點Ps,t，Qr,tA.fs+π6=12 B.f10.已知函數(shù)fx=x2?ax+2,x≥ax+a,x<a，若對于任意正數(shù)k，關于x的方程A.0 B.1 C.2 D.無數(shù)二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.函數(shù)y=ln(1?2x)+2x的定義域是12.首項為1的等比數(shù)列an中，4a1，2a2，a3成等差數(shù)列，則公比13.能說明“若sinα=cosβ，則α+β=k?360°+90°，其中k∈Z”為假命題的一組14.如圖，這個優(yōu)美圖形由一個正方形和以各邊為直徑的四個半圓組成，若正方形ABCD的邊長為4，點P在四段圓弧上運動，則AP?AB的取值范圍為

．

15.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點M給出下列四個結(jié)論：

①MN的最小值為2；②四面體NMBC的體積為43③有且僅有一條直線MN與AD④存在點M，N，使?MBN為等邊三角形．其中所有正確結(jié)論的序號是

．三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)若0<α<π2，且sinα=(2)求函數(shù)fx的最小正周期，及函數(shù)fx17.(本小題12分)在?ABC中，已知sinC=3(1)求∠A的大?。?2)求cosB和a條件①：a=73c；條件②：b?a=1；條件③：18.(本小題12分)某校工會開展健步走活動，要求教職工上傳3月1日至3月7日微信記步數(shù)信息，下圖是職工甲和職工乙微信記步數(shù)情況：(1)從3月1日至3月7日中任選一天，求這一天職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000的概率；(2)從3月1日至3月7日中任選兩天，記職工乙在這兩天中微信記步數(shù)不低于10000的天數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望；(3)如圖是校工會根據(jù)3月1日至3月7日某一天的數(shù)據(jù)，制作的全校200名教職工微信記步數(shù)的頻率分布直方圖．已知這一天甲和乙微信記步數(shù)在單位200名教職工中排名分別為第68和第142，請指出這是根據(jù)哪一天的數(shù)據(jù)制作的頻率分布直方圖(結(jié)論不要求證明)19.(本小題12分)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是邊長為3的正方形，平面CDE⊥平面ABCD，AF//DE，DE⊥CD，DE=3AF=3

(1)求證：AC⊥平面BDE；(2)求平面BEF與平面BDE夾角的余弦值；(3)線段CE上是否存在點P，使得AP//平面BEF？若存在，指出點P的位置并證明；若不存在，請說明理由．20.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)若曲線y=fx在點e,fe處的切線斜率為1，求實數(shù)(2)當a=0時，求證：fx(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間1,+∞上存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍．21.(本小題12分)已知數(shù)列an，對于任意的n∈N?，都有a(1)已知數(shù)列an，bn的前n項和分別為An，Bn，且an=2n?1，(2)已知等差數(shù)列bn，首項為4，公差為d，且bnn(3)證明：數(shù)列cn為“凹數(shù)列”的充要條件是“對于任意的k，m，n∈N?，當k<m<n時，有(n?m)c參考答案1.C

2.A

3.C

4.C

5.D

6.B

7.C

8.D

9.B

10.B

11.?∞,0∪12.2

13.答案不唯一，如α=110°，14.?8,24

15.①②④

16.(1)因為0<α<π2，且所以cosα=1?si所以fα(2)fx所以函數(shù)fx的最小正周期T=由2kπ+π2≤2x+解得kπ+π8≤x≤kπ+所以函數(shù)fx的單調(diào)遞減區(qū)間kπ+π8

17.(1)若選擇①②：a=73c在?ABC中，由正弦定理asinA=因為b?a=1，即a<b，可知0<∠A<π2，所以若選擇①③：a=73c在?ABC中，因為由正弦定理asinA=在?ABC中，bcosA=?5可知π2<∠A<π，所以若選②③：b?a=1，bcos因為b?a=1，即a<b，可知0<∠A<π又因為bcosA=?52<0兩者相矛盾，故不成立．(2)由(1)可知：不能選②③．若選擇①②：在?ABC中，a=73c，即a>c且sinC=3則cosB=?可知π2<B<π，則由正弦定理asinA=又因為b?a=a7=1選擇①③：在?ABC中，a=73c，即a>c且sinC=3則cosB=?且0<B<π，可得sinB=又因為bcosA=?1由正弦定理asinA=

18.(1)設“職工甲和職工乙微信計步數(shù)都不低于10000”為事件A從3月1日至3月7日這七天中，3月2日，3月5日，3月7日這三天職工甲和職工乙微信記步數(shù)都不低于10000，所以PA(2)由圖可知，7天中乙的步數(shù)不低于10000步的天數(shù)共4天．X的所有可能取值為0,1,2，PX=0X的分布列為X012P142E(3)3月3日由直方圖知，微信記步數(shù)落在20,25,15,20,200×0.15=30,200×0.25=50,200×0.3=60，200×0.2=40,200×0.1=20．由甲的排名為第68，可知當天甲的微信步數(shù)在15000?20000之間，據(jù)折線圖知，這只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信記步數(shù)排名第142，可知當天乙微信記步數(shù)在5000?10000之間，根據(jù)折線圖知，這只有3月3日和3月6日．所以只有3月3日符合要求．

19.解：(1)因為平面

CDE⊥

平面

ABCD

，平面

CDE∩

平面

ABCD

=CD

，

DE⊥CD

，

DE?

平面

CDE

，所以

DE⊥

平面

ABCD

，因為

AC?

平面

ABCD

，所以

DE⊥AC

，因為四邊形

ABCD

是正方形，所以

AC⊥BD

，因為

BD∩DE=D

，

DB?

平面

BDE

，

DE?

平面

BDE

，所以

AC⊥

平面

BDE

．(2)由(1)得

DE⊥

平面

ABCD

，因為

DA,DC?

平面

ABCD

，所以

DA

，

DC

，

DE

兩兩垂直，以

B

為原點，

DA,DC,DE

為

x

軸、

y

軸、因為

DE=3AF=36

，

AD=3所以

BD=32

，

AF=則

A3,0,0

，

F3,0,6

，

E0,0,36

，

所以

BF=(0,?3,6)

，設平面

BEF

的一個法向量為

n=(x,y,z)

則

n?BF=?3y+6z=0n?EF=3x?2因為

AC⊥

平面

BDE

，所以

CA

為平面

BDE

的一個法向量，

CA=(3,?3,0)

所以

cos??CA設平面

BEF

與平面

BDE

夾角為

θ

，所以

cosθ=cos所以平面

BEF

與平面

BDE

夾角的余弦值

1313(3)線段

CE

上存在點

P

，點

P

為

CE

中點，滿足

AP//

平面

BEF

，證明如下：設

CP=λCE

(0≤λ≤1)因為

CE=0,?3,36所以

CP=0,?3λ,3AP由(2)知平面

BEF

的一個法向量為

n=(4,2,因為

AP//

平面

BEF

，所以

AP?n=?3×4+3?3λ所以線段

CE

上存在點

P

，點

P

為

CE

中點，滿足

AP//

平面

BEF

．

20.解：(1)因為fx所以f′x由題知f′e解得a=0．(2)當a=0時，fx所以f′x當x∈0,1時，f′x<0，f(x)當x∈1,+∞時，f′x>0，f(x)所以f1=0是f(x)在區(qū)間所以fx(3)由(1)知，f′x若a≥0，則當x∈1,+∞時，f′x>0，f(x)此時無極值．若a<0，令gx則g′x因為當x∈1,+∞時，g′x>0，所以g(x)因為g1而ge所以存在x0∈1,f′x和f(x)x1,xxf′?0+f(x)

↘極小值↗因此，當x=x0時，f(x)有極小值綜上，a的取值范圍是(?∞,0)．

21.(1)由于an=2n?1為等差數(shù)列，所以An=(1+2n?1)n2=n2，bn=?任意的n∈N?，