第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年北京市西城區(qū)第四中學高三上學期期中考試數(shù)學試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知全集U=R，集合A=xx2?4<0，B=xA.1,2 B.?2,2 C.?∞,2 D.?2,12.不等式1x>1x?1A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.0,3.已知邊長為2的正方形ABCD中，AC與BD交于點E，則AE?BC=A.2 B.?2 C.1 D.?14.已知函數(shù)fx=3?x?2x，則當x<0時，fA.最大值3+22 B.最小值3+22 C.最大值3?25.設a,b∈R，則“a>b”是“a2>bA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.在平面直角坐標系xOy中，角α與角β的終邊關于y軸對稱.若cosα2=23A.19 B.?19 C.47.近年來，人們越來越注意到家用冰箱使用的氟化物的釋放對大氣臭氧層的破壞作用.科學研究表明，臭氧含量Q與時間t(單位：年)的關系為Q=Q0e?ta，其中Q0是臭氧的初始含量，a為常數(shù).經過測算，如果不對氟化物的使用和釋放進行控制，經過280年將有一半的臭氧消失.如果繼續(xù)不對氟化物的使用和釋放進行控制，再經過n年，臭氧含量只剩下初始含量的20%，n約為(

)A.280 B.300 C.360 D.6408.已知函數(shù)fx=x+1,x≤a2x,x>a,若f(x)的值域為A.(?∞,0] B.[0,1] C.[0,+∞) D.(?∞,1]9.已知a>0，記y=sinx在a,2a的最小值為sa，在2a,3a的最小值為taA.sa>0，ta>0 B.sa<0，ta<0 C.10.已知在數(shù)列an中，a1=a，命題p:對任意的正整數(shù)n，都有an+1=anan?2.若對于區(qū)間A.3,4 B.2,3 C.3211,16二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。11.已知復數(shù)z=5i2?i，則z=

12.已知函數(shù)fx=log3x,x>0,x3,x<0.13.已知冪函數(shù)y=xα的圖像經過A0,0，B1,1，C?1,1，D4,2中的三個點，寫出滿足條件的一個14.在?ABC中，tanA=14，(1)∠C=

；(2)若?ABC的最長邊的長為17，則最短邊的長為

．15.以A表示值域為R的函數(shù)組成的集合，B表示具有如下性質的函數(shù)φx組成的集合：對于函數(shù)φx，存在一個正數(shù)M，使得函數(shù)φx的值域包含于區(qū)間?M,M.例如，當φ1x=x給出下列命題：①“函數(shù)fx∈A”的充要條件是“?t∈R，關于x的方程②“函數(shù)fx∈B”的充要條件是“③若函數(shù)fx，gx的定義域相同，且fx∈A，④若函數(shù)fx，gx的定義域相同，且fx∈A，其中，正確命題的序號是

．三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)已知函數(shù)fx=sinωxcosφ+cosωxsinφ，其中(1)求φ的值；(2)若fx與x軸相鄰交點間的距離為π2，求fx在區(qū)間17.(本小題12分)在?ABC中，2ccos(1)求∠C的大??；(2)若c=3，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得?ABC存在，求條件①：?ABC的面積為2條件②：b?a=1；條件③：sinB?注：如果選擇的條件不符合要求，第(Ⅱ)問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．18.(本小題12分)已知函數(shù)fx(1)求fx(2)若關于x的不等式f′x<?x+a有解，求實數(shù)a19.(本小題12分)已知橢圓C：x2a2+y2?b2=1(a>b>0)的左頂點為A，C的長軸長為4，焦距為23.過定點Tt,0(t≠±2)作與x軸不重合的直線交C(1)求C的方程；(2)是否存在點T，使得OM?ON等于定值13？若存在，求20.(本小題12分)已知函數(shù)fx=xe(1)當a=e時，求曲線y=f(x)在點1,f(1)處的切線方程；(2)若函數(shù)fx是單調遞增函數(shù)，求a(3)當a≥0時，是否存在三個實數(shù)x1<x2<x21.(本小題12分)已知集合A={1,2,3,?,n}，其中n∈N?，A1，A2，…，Am是A的互不相同的子集.記Ai(1)若n=4，m=3，A1=1,2，A2=1,3，(2)若n=5，且對任意的1≤i<j≤m，都有Nij>0，求(3)若給定整數(shù)n≥7，Mi≤3(i=1,2,???,m)且對任意1≤i<j≤m，都有Nij=1，求參考答案1.D

2.C

3.A

4.B

5.D

6.A

7.C

8.B

9.D

10.D

11.512.3

13.α∈Nα=2k?1,k∈Z∪114.3π42

15.①③④

16.(1)由兩角和與差的正弦公式可得fx由于ω>0，則fx的最小正周期為T=fT因為φ<π2(2)因為fx與x軸相鄰的兩交點間的距離為π所以fx=sin所以ω=2ππ=2當x∈0,π2結合正弦函數(shù)的圖像與性質可得：當2x?π3=?π3即x=0當2x?π3=π2即x=

17.(1)由正弦定理asinA=得2因為A+B+C=π，所以sin由(i)(ii)得2sinAcosC?sin所以cosC=12.因為(2)選①，?ABC的面積為23，即12absin因為c=3，由余弦定理得即a2+b由基本不等式得a2+b故此時三角形不存在，不能選①，選條件②：b?a=1，兩邊平方得a2+由余弦定理得a2+b2聯(lián)立(iii)(iiii)得ab=2，所以a=1,b=2，設AC邊上的中線長為d，由余弦定理得d2所以AC邊上的中線的長為1．選條件③：sinB?由(1)知，∠B=π?π所以sin=所以sinπ因為A∈0,2π3所以π3?A=π所以?ABC是以AC為斜邊的直角三角形．因為c=所以AC=AB所以AC邊上的中線的長為12

18.(1)定義域為{x|x>0}，f′(x)=2ln設?(x)=2?′所以?(x)在0,+∞上是減函數(shù)，且?(1)=0則當x∈(0,1)時，?(x)>0，即f′(x)>0，則當x∈(1,+∞)時，?(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)的單調遞增區(qū)間為(0,1)，f(x)的單調遞減區(qū)間(1,+∞)(2)由(1)知f′(x)=2lnx+1令g(x)=2lng′(x)=2當x∈0,12時，g′(x)<0，當x∈所以g(x)在0,+∞上的最小值為g1所以若關于x的不等式g(x)<0有解，則2?2ln即a>2?2ln

19.(1)由題可知，2a=4,2c=2得a=2,c=所以橢圓C的方程為x(2)由題可知，直線PQ不能水平，A(?2,0)設直線PQ的方程為x=my+t，P聯(lián)立x所以Δ=y直線AP方程為y=所以M0,2所以OM==若OM?ON=1當t=4時，Δ=16m2?12>0，得當t=1時，Δ=16m所以存在點T，使得OM?ON等于定值13，t=1

20.(1)由題得fx所以f所以f′所以在點1,f(1)處的切線方程為y=ex?e．(2)由題得f′要使函數(shù)fx則f′x即a≤1+x令g得a≤gx令g′x=顯然，當x<?2時，g′x<0，所以函數(shù)當x>?2時，g′x>0，所以函數(shù)故g所以a≤?(3)不存在，理由如下，由題得f′因為a≥0，顯然當x≤?1時，f′x=由(2)可知，f′x=gx所以f′x=1+xe當x<x0時，f’當x>x0時，f’所以當a≥0時，不存在三個實數(shù)x1<x

21.(1)因為N13=N23=1，則A又因為n=4,A1=若A1∩A3=1，若A1∩A3=2，綜上A3={1}或A3={1,4}或(2)集合A={1,2,3,4,5}共有32個不同的子集，將其兩兩配對成16組Bi使得Bi∩Ci=?,故m≤16．選擇A的16個含有元素1的子集：A1綜上，mmax(3)結論：mmax令A1={1},A證明如下：①若A1～A則其它子集中都有元素1，且元素2～n都至多屬于1個子集，所以除A1外的子集至多有n?1個，故m≤n②若A1～ABj=1,bj或1,其中s≥t,bj,b′j互不相同，c若t=0，則s≤n?2，有m=1+s+t≤n?1<n若t≥1，則由Bj∩C1=1得每個集