第六章多元函數微分學6.1

多元函數的概念及偏導數的計算6.2高階偏導數、全微分6.3多元復合函數的偏導數一、二元函數的定義先看下面的例子.圖18-34例2示意圖一般地，二元函數的定義如下.解對于一元函數，一般假定在某個區(qū)間上有定義進行討論.對于二元函數，類似地假定它在某平面區(qū)域內有定義進行討論.所謂區(qū)域（平面的）是指一條或幾條曲線圍成的部分平面或全部XOY坐標面（見圖18-35）。圖18-35區(qū)域示意若區(qū)域能延伸到無限遠處，就稱這區(qū)域是無界的，如圖18-35(c)所示，否則，它總可以被包含在一個以原點O為中心，而半徑適當大的園內，這樣的區(qū)域稱為有界的，如圖18-30(a)、(b)所示，圍成區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界.閉區(qū)域：連同邊界在內的區(qū)域曲線叫閉區(qū)域.開區(qū)域：不包括邊界內的區(qū)域叫開區(qū)域.這是一個無界開區(qū)域。x+y=0例1求函數的定義域

解：與一元函數相類似，確定函數的兩個要素：定義域，對應法則。對于定義域約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點集.這是一個閉區(qū)域。的定義域例2求函數解：例3求的定義域．解所求定義域為一、偏導數

多元函數的偏導數在二元函數z=f(x,y)中,有兩個自變量x,y,但若固定其中一個自變量,比如,令y=y0,而讓x變化.則z成為一元函數z=f(x,y0),我們可用討論一元函數的方法來討論它的導數,稱為偏導數.一、偏導數的定義閱讀教材P105多元函數的偏導數定義：設函數z=

f(x,y)在點的某個鄰域內有定義。固定，給x增量，相應的函數z有增量，稱為z關于

x

的偏增量。如果極限

存在，就稱其為函數f(x,y)在點處對

x

的偏導數，記作函數f

(x,y)在點處對y

的偏導數，記作1.由偏導數定義知,所謂f(x,y)對x的偏導數,就是將y看作常數,將

f(x,y)看作一元函數來定義的.注因此,在實際計算時,求f'x

(x,y)時,只須將y看作常數,用一元函數求導公式求即可.求f'y

(x,y)時,只須將x看作常數,用一元函數求導公式求即可.2.f'x

(x0,y0)就是f'x

(x,y),在點(x0,y0)的值.算f'x

(x0,y0)可用3種方法.f'y

(x0,y0)f'y

(x,y)f'y

(x0,y0)(1)用定義算.(2)先算f'x

(x,y),再算f'x

(x0,y0)f'y

(x,y),f'y

(x0,y0).(3)先算f(x,y0),再算f‘x

(x,y0)

f'x

(x0,y0)f(x0,y),f'y

(x0,y),f'y

(x0,y0).例1.解:或f(x,2)=x2+6x+4,f'x(x,2)=2x+6,故f'x(1,2)=2+6=8.例2.解:例3.解:偏導數的概念可推廣到三元以上函數中去.比如,設u=f(x,y,z).它的求法,就是將y,z均看作常數來求即可.例4.解:是關于X.Y的輪換對稱函數課堂練習：求下列函數的偏導數

試證

1解

2解：

由于它們還是x,y

的函數.因此,可繼續(xù)討論高階偏導數稱為z=f(x,y)的二階偏導數.類似,可得三階,四階,…,n

階偏導數.例1.解:若不是,那么滿足什么條件時,二階混合偏導數才相等呢?問題:

是否任何函數的二階混合偏導數都相等?若z=f(x,y)的兩個混合偏導數則定理11、求下列函數的課堂練習

2、2；2；0；0一般說來,算這個改變量較麻煩,希望找計算它的近似公式.該近似公式應滿足(1)容易算.(2）有一定的精度.在實際中,常需計算當兩個自變量都改變時,二元函數z=f(x,y)的改變量f(x0+

x,

y0+

y)–f(x0,

y0).一、全微分的概念多元函數的全微分類似一元函數的微分概念,引進記號和定義.記

z=f(x0+

x,

y0+

y)–f(x0,

y0).稱為z=f(x,y)在點

(x0,

y0)的全增量.全微分的定義定義自然會提出以下問題.(1)若z=f(x,y)在點(x0,y0)可微,微分式dz=A

x+B

y中系數A,B如何求,是否與z的偏導有關?

(2)在一元函數中,可微與可導是等價的.在二元函數中,可微與存在兩個偏導是否也等價?可微的條件分別稱為函數z=f(x,y)關于自變量x，y的偏微分。

證略。多元函數連續(xù)、可導、可微的關系函數可微分函數連續(xù)偏導數連續(xù)偏導數存在解在(2,1)處的全微分：解全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數解所求全微分定理1：如果函數在點(x,y)有連續(xù)偏導數，函數z=f(u,v)

在對應點(u,v)有連續(xù)偏導數，則函數在點(x,y)有連續(xù)偏導數且復合函數的微分法一鏈式法則鏈式法則如圖示若z=f(u,v,w)，都有連續(xù)偏導數，則有多個中間變量的情況，連鎖法則