2022年高考數(shù)學(xué)新題·好題速遞(新高考專版)第5期說明：此套試題共10題，包含4道單選題、2道多選題、4道填空題、2道解答題，題目來源于考試真題，旨在練習(xí)好題，不斷思考，創(chuàng)新思維，沉淀基礎(chǔ)，提升計算，練出平常心！難度：★★★☆☆用時：60分鐘一、單項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分．每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．1．(2022廣東深圳市寶安區(qū)第一次調(diào)研10月)函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再根據(jù)特殊值即可判斷；【詳解】解:因為定義域為，，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，故CD排除；又，故B錯誤；故選：A【點睛】本題考查函數(shù)圖象的識別，屬于基礎(chǔ)題.2．(2022廣東深圳市實驗學(xué)校10月)已知，則函數(shù)的最小值為（）A.5 B.3 C. D.1【答案】A【解析】【分析】由可求出值，再將化為關(guān)于的二次函數(shù)，即可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.【詳解】由，有，解得，故，故當(dāng)時，取最小值.故選：A.【點睛】本題考查分式型三角函數(shù)的化簡，以及關(guān)于二次型三角函數(shù)的最值問題，屬于基礎(chǔ)題.3．(2022廣東廣州市10月調(diào)研)已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且，則（）A.5 B.5 C.0 D.4043【答案】B【解析】【分析】根據(jù)得函數(shù)的周期為16，結(jié)合，即可求解.【詳解】由，得，所以.故函數(shù)是以16為周期的周期函數(shù).又在中，令，得，且奇函數(shù)是定義在R上的函數(shù)，所以.故.故.又在中，令，得.得，則.所以.故選：B.【點睛】此題考查根據(jù)函數(shù)的周期性求抽象函數(shù)的函數(shù)值，關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)關(guān)系準(zhǔn)確得出函數(shù)周期，結(jié)合定義在R上的奇函數(shù)的特征求值.4．(2022廣東廣州市荔灣區(qū)10月調(diào)研)已知函數(shù)，，曲線上總存在兩點，，使得曲線在M，N兩點處的切線互相平行，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求得的導(dǎo)數(shù)，由題意可得，，且，化為，因此對，都成立，令，，，利用導(dǎo)數(shù)研究其最值即可得出．【詳解】解：函數(shù)，導(dǎo)數(shù)．由題意可得，，且．即有，化為，而，，化為對，都成立，令，在，單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，，，即的取值范圍是．故選：A．二、多項選擇題：本大題共2小題，每小題5分，共計10分．每小題給出的四個選項中，都有多個選項是正確的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，選錯或不答的得0分．5．(2022廣東深圳市寶安區(qū)第一次調(diào)研10月)如圖，正方體的棱長為1，動點E在線段上，F(xiàn)、M分別是AD、CD的中點，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.平面C.存在點E，使得平面平面 D.三棱錐的體積為定值【答案】ABD【解析】【分析】對A,根據(jù)中位線的性質(zhì)判定即可.對B,利用平面幾何方法證明再證明平面即可.對C,根據(jù)與平面有交點判定即可.對D,根據(jù)三棱錐以為底,且同底高不變,故體積不變判定即可.【詳解】在A中,因為分別是的中點,所以,故A正確;在B中,因為,,故,故.故,又有,所以平面,故B正確；在C中,與平面有交點,所以不存在點,使得平面平面,故C錯誤.在D中,三棱錐以面為底,則高是定值,所以三棱錐的體積為定值,故D正確.故選：ABD.【點睛】本題主要考查了線面垂直平行的證明與判定,同時也考查了錐體體積等問題.屬于中檔題.6．(2022廣東深圳市實驗學(xué)校10月)對，表示不超過的最大整數(shù)．十八世紀(jì)，被“數(shù)學(xué)王子”高斯采用，因此得名為高斯函數(shù)，人們更習(xí)慣稱為“取整函數(shù)”，則下列命題中的真命題是（）A.B.C.函數(shù)的值域為D.若，使得同時成立，則正整數(shù)的最大值是5【答案】BCD【解析】【分析】由取整函數(shù)的定義判斷，由定義得，利用不等式性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】是整數(shù)，若，是整數(shù)，∴，矛盾，∴A錯誤；，，∴，∴，B正確；由定義，∴，∴函數(shù)的值域是，C正確；若，使得同時成立，則，，，，，，因為，若，則不存在同時滿足，．只有時，存在滿足題意，故選：BCD．【點睛】本題考查函數(shù)新定義，正確理解新定義是解題基礎(chǔ)．由新定義把問題轉(zhuǎn)化不等關(guān)系是解題關(guān)鍵，本題屬于難題．三、填空題：本題共2小題，每小題5分，共計10分．7．(2022廣東深圳市寶安區(qū)第一次調(diào)研10月)函數(shù)的部分圖象如圖所示，則__；將函數(shù)的圖象沿x軸向右平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖象，則____.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)圖象求得周期，利用周期計算公式求得；根據(jù)，即可求得；再求得平移后的函數(shù)解析式，根據(jù)奇偶性，列出等式，則可得.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象可得，所以，所以，所以，又因為，所以，所以，，所以，，因為，所以.所以，將的圖象沿x軸向右移個長度單位得函數(shù)的圖象，因為函數(shù)偶函數(shù)，所以，，所以，，因，所以，.故答案為：；.【點睛】本題考查由正弦型函數(shù)圖像求解析式，涉及圖象平移前后解析式的求解，以及根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值，屬綜合基礎(chǔ)題.8．(2022廣東深圳市實驗學(xué)校10月)已知函數(shù)，若的所有零點之和為1，則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)分段函數(shù)的形式確定出時的零點為，再根據(jù)時函數(shù)解析式的特點和導(dǎo)數(shù)的符號確定出圖象的“局部對稱性”以及單調(diào)性，結(jié)合所有零點的和為1可得，從而得到參數(shù)的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，易得的零點為，當(dāng)時，，∵當(dāng)時，，∴的圖象在上關(guān)于直線對稱.又，當(dāng)時，，故單調(diào)遞增，當(dāng)時，，故單調(diào)遞減，且，.因為的所有零點之和為1，故在內(nèi)有兩個不同的零點，且，解得.故實數(shù)a的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題考查分段函數(shù)的零點，已知函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍時，應(yīng)根據(jù)解析式的特點和導(dǎo)數(shù)尋找函數(shù)圖象的對稱性和函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)零點的個數(shù)得到特殊點處函數(shù)的符號，本題屬于較難題.四、解答題：本題共2小題，共計20分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．9．(2022廣東深圳市六校第二次聯(lián)考10月)已知函數(shù)，將的圖象各點橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，然后再將所得函數(shù)圖象向左平移個單位后得到函數(shù)的圖象．（1）求的解析式；（2）方程在上有且只有一個解，求實數(shù)的取值范圍；（3）實數(shù)滿足對任意，都存在，使得成立，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）或；（3）．【解析】【分析】（1）利用圖象變換即求；（2）由題可得函數(shù)與函數(shù)在時只有一個交點，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即求；（3）由題得，設(shè)，可得在上恒成立，再利用二次函數(shù)性質(zhì)即求.【詳解】（1）由函數(shù)，將的圖象各點橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍，可得函數(shù)的圖象，再將所得函數(shù)圖象向左平移個單位后可得到函數(shù)，∴的解析式；（2）方程在上有且只有一個解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)在時只有一個交點．在單調(diào)遞增且取值范圍是；在單調(diào)遞減且取值范圍是；結(jié)合圖象可知，函數(shù)與函數(shù)只有一個交點，那么或，可得或．（3）由（1）知．實數(shù)滿足對任意，都存在，使成立，即成立，令，設(shè)，那么，∵，且為增函數(shù)，∴，可得在上恒成立．令，，則的最大值，的開口向上，，最大值，所以，解得；綜上可得，的取值范圍是．10．(2022廣東廣州市高三上學(xué)期10月調(diào)研)已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;（2）若，設(shè)為的導(dǎo)函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，求證：．【答案】（1）見解析（2）證明過程見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)實數(shù)的正負(fù)性，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)分類討論進行求解即可；（2）根據(jù)零點的定義，結(jié)合指數(shù)的運算法則，通過構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)進行證明即可.【詳解】（1）由，可得，當(dāng)時，，函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，當(dāng)時，令，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)是實數(shù)集上的增函數(shù)，當(dāng)時，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；（2）由（1）可知：當(dāng)時