第26章二次函數(shù)26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)26.2.1二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點1二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象的畫法1.(2023海南?？谥袑W期中)畫函數(shù)y=12x2知識點2二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象與性質(zhì)2.(2023海南澄邁期末)關(guān)于拋物線y=-3x2,下列說法錯誤的是()A.圖象關(guān)于直線x=0對稱 B.拋物線開口向下C.y隨著x的增大而減小 D.圖象的頂點為原點3.(2022吉林白城通榆期末)當ab>0時,y=ax2與y=ax+b的圖象大致是()A B C D4.(2023安徽蚌埠五河模擬)二次函數(shù)①y=3x2;②y=23x2;③y=43xA.①>②>③ B.①>③>② C.②>③>① D.②>①>③5.(2023湖南永州冷水灘期中)如果二次函數(shù)y=-(m-1)x2的圖象開口向上,那么m的值可以是.6.(2023河南南陽臥龍期末)拋物線y=2x2在對稱軸的左側(cè)部分是的(填“上升”或“下降”).7.(2023山西臨汾實驗中學月考)拋物線y=4x2與直線y=kx+3的交點為(1,b),則k=.

8.(2023江蘇揚州高郵模擬)已知二次函數(shù)y=x2,當-1≤x≤2時,函數(shù)值y的取值范圍是.

9.如圖所示,點A(1,m)和B(2,n)分別在拋物線y=x2和y=-x2上.(1)求點A,B之間的距離;(2)若點C是點B關(guān)于x軸的對稱點,點P是x軸上的動點,求PA+PC的最小值,并求此時點P的坐標.能力提升全練10.(2023陜西延安模擬)如圖所示的是四個二次函數(shù)的圖象,則a、b、c、d的大小關(guān)系為()A.d<c<a<b B.d<c<b<a C.c<d<a<b D.c<d<b<a11.(2023四川成都武侯模擬)已知二次函數(shù)y=ax2(a≠0)和一次函數(shù)y=bx+c(b≠0)的圖象如圖所示,則對a、b、c的判斷正確的是()A.a<0,b<0,c>0 B.a>0,b>0,c>0 C.a>0,b<0,c>0 D.a>0,b<0,c<012.(2023河南周口太康模擬)已知點(x1,y1),(x2,y2)為二次函數(shù)y=-x2圖象上的兩點(不為頂點),則以下判斷正確的是()A.若x1>x2,則y1>y2 B.若x1<x2,則y1<y2C.若x1x2<x22,則y1>y2 D.若x1x2>x2213.(2023山東菏澤鄆城模擬)如圖,在平面直角坐標系中,平行于x軸的直線y=2與二次函數(shù)y=x2,y=ax2分別交于A、B和C、D,若CD=2AB,則a的值為()A.4 B.14 C.2 D.14.(2023福建泉州晉江季延中學期末)對于二次函數(shù)y=ax2與y=bx2,其自變量與函數(shù)值的兩組對應值如下表所示,根據(jù)二次函數(shù)圖象的相關(guān)性質(zhì)可知,m=,d-c=.

x-1m(m≠-1)y=ax2ccy=bx2c+3d15.(2023四川成都武侯模擬)定義:如果拋物線上關(guān)于對稱軸對稱的兩點和拋物線的頂點構(gòu)成的三角形是等邊三角形,就稱這個三角形為該拋物線的“完美三角形”.如圖,△AOB是拋物線y=ax2的“完美三角形”,若△AOB的面積是43,則該拋物線的表達式為.

16.(2023吉林長春綠園模擬)如圖,在平面直角坐標系中,四邊形OABC是正方形,其邊長為1,若點B為函數(shù)y=ax2(a<0)的圖象上的點,∠1=15°,則a的值為.

17.(2023江蘇泰州興化模擬)用代數(shù)推理的方法證明結(jié)論:已知二次函數(shù)y=x2,求證:當x>0時,y隨x的增大而增大.素養(yǎng)探究全練18.(2023廣東東莞中學模擬)孔明是一個喜歡探究鉆研的同學,他在和同學們一起研究某條拋物線y=ax2(a<0)的性質(zhì)時,將一塊直角三角板的直角頂點置于平面直角坐標系的原點O處,兩直角邊與該拋物線交于A、B兩點,請解答以下問題:(1)如圖1,若測得OA=OB=22,求a的值;(2)對于同一條拋物線,孔明將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時,過B作BF⊥x軸于點F,測得OF=1,求此時點A、B的坐標;(3)對該拋物線,孔明將三角板繞點O旋轉(zhuǎn)任意角度時驚奇地發(fā)現(xiàn),交點A、B的連線段總經(jīng)過一個固定的點,試說明理由并求出該點的坐標.

第26章二次函數(shù)26.2二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)26.2.1二次函數(shù)y=ax2的圖象與性質(zhì)答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.解析列表如下:x…-3-2-10123…y…4.520.500.524.5…描點、連線得圖象如下:2.C∵y=-3x2,∴拋物線開口向下,對稱軸為y軸,頂點坐標是(0,0),∴A、B、D選項說法正確;∵a=-3<0,對稱軸為y軸,∴當x>0時,y隨x的增大而減小,∴C選項說法錯誤.3.D根據(jù)題意,ab>0,即a、b同號,當a>0,b>0時,y=ax2的圖象開口向上,經(jīng)過原點,y=ax+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限,此時,沒有選項符合;當a<0,b<0時,y=ax2的圖象開口向下,經(jīng)過原點,y=ax+b的圖象經(jīng)過第二、三、四象限,此時D選項符合,故選D.4.C∵拋物線的開口大小是由二次項系數(shù)a的絕對值的大小確定的,|a|越大,則開口越小,∴開口大小從大到小排序應為②>③>①.5.答案不唯一,如0解析由題意得-(m-1)>0,所以m<1,故m的值可以是0.6.下降解析因為a=2>0,所以拋物線y=2x2在對稱軸的左側(cè)部分是下降的.7.1解析把x=1代入拋物線y=4x2得y=4×1=4,即b=4,把(1,4)代入y=kx+3,得4=k+3,解得k=1.8.0≤y≤4解析∵拋物線的解析式為y=x2,∴該拋物線的對稱軸為y軸,當x=0時,y=0,當x=-1時,y=(-1)2=1,當x=2時,y=22=4,∴0≤y≤4.9.解析(1)把A(1,m)代入y=x2得m=1,∴A(1,1).把(2,n)代入y=-x2得n=-4,∴B(2,-4),∴點A,B之間的距離AB=(2-1)2+(?4?1(2)∵點C是點B關(guān)于x軸的對稱點,∴PC=PB,∴PA+PC=PA+PB,∴當A,B,P三點共線時,PA+PB有最小值,即PA+PC有最小值,是線段AB的長,則PA+PC的最小值為26.設(shè)直線AB的表達式為y=kx+b(k≠0),把(1,1)和(2,-4)代入得k+b=1,2k∴此時點P的坐標為65方法解讀如圖,點A、B在直線l同側(cè),可作點B關(guān)于直線l的對稱點B',連結(jié)AB'交直線l于點P,此時PA+PB的值最小.能力提升全練10.B(解法1:數(shù)形結(jié)合)如圖,因為直線x=1與四條拋物線的交點從上到下依次為(1,a),(1,b),(1,c),(1,d),所以d<c<b<a.(解法2:函數(shù)性質(zhì))由題中圖象可知a,b均為正數(shù),c,d均為負數(shù).因為二次項系數(shù)的絕對值越大,拋物線開口越小,所以d<c<b<a.11.C由圖象可知,二次函數(shù)y=ax2中,a>0,一次函數(shù)y=bx+c(b≠0)中,b<0,c>0.12.D∵y=-x2,a=-1<0,∴圖象開口向下,對稱軸為y軸,在y軸左側(cè),y隨x的增大而增大,在y軸右側(cè),y隨x的增大而減小,拋物線上的點離對稱軸越遠,函數(shù)值越小.A.x1>x2時,y1不一定大于y2,例如x1=1時,y1=-1,x2=-1時,y2=-1,此時x1>x2,但是y1=y2,故錯誤;B.x1<x2時,y1不一定小于y2,例如x1=-1時,y1=-1,x2=1時,y2=-1,此時x1<x2,但是y1=y2,故錯誤;C.x1x2<x22時,y1不一定大于y2,例如x1=-2時,y1=-4,x2=2時,y2=-4,此時x1x2<x22,但是yD.x1x2>x22時,即x1x2>x2x2>0,∴x1>x2>0或x1<x2<0,當x1>x2>0時,y1<y2;當x1<x2<0時,y1<y13.B將y=2代入y=x2得2=x2,解得x1=-2,x2=2,∴AB=22,∵CD=2AB,∴CD=42,∴D(22,2),將D(22,2)代入y=ax2得8a=2,解得a=1414.1;3解析本題將求解的關(guān)鍵隱含在表格中,需要觀察分析表格找到求解思路.由題表可知,x=-1和x=m時的函數(shù)值相等,∵題表中的兩個函數(shù)對稱軸都是直線x=0,∴m+(-1)=0,c+3=d,∴m=1,d-c=3.15.y=32x解析∵S△AOB=12AB·AB·sin60°=43,∴34AB2=43,∴AB=4(負值已舍去),∴點B的坐標為(2,23).把(2,23)代入y=ax2得4a=23,解得a=32,∴該拋物線的表達式為y=316.-2解析如圖,連結(jié)OB,作BD⊥y軸于D.∵四邊形OABC是正方形,∴OB=12+12=2.∵∠BOD=∠BOA+∠1=45°+15°=60°,∴BD=OB·sin∠BOD=OB·sin60°=2×32=62,OD=12OB=22,∴B62,-217.證明設(shè)x1>x2>0,則y1=x12,y2=x22,∴y1-y2=x12-x22=(x1+x2)(x1-x2),∵x1>x2>0,∴(x1+x2)(x1-x2)>0,∴y素養(yǎng)探究全練18.解析(1)設(shè)線段AB與y軸的交點為C,由拋物線的對稱性可得C為AB中點,∵OA=OB=22,∠AOB=90°,∴AC=OC=BC=2,∴B(2,-2),將B(2,-2)代入拋物線y=ax2(a<0)得-2=4a,解得a=-12(2)如圖,過點A作AE⊥x軸于點E,∵OF=1,BF