專題十一

數(shù)學(xué)廣角第23課時(shí)

數(shù)學(xué)廣角考點(diǎn)知識(shí)梳理1.推理常用的推理方法有：直接推理判斷、排除法、假設(shè)法、列表法、圖解法。2.優(yōu)化問題（1）合理安排時(shí)間①在花時(shí)較長(zhǎng)的環(huán)節(jié)中，同步做其他事情。②讓花時(shí)更多的人排在后面，別人等待的時(shí)間更短。（2）烙餅問題烙餅總時(shí)間=烙餅總面數(shù)÷每次烙餅面數(shù)×每次烙餅時(shí)間（除不盡的用“進(jìn)一法”保留整數(shù)）例如：每次烙4張餅，兩面都要烙，每面3分鐘，烙7張餅需要幾分鐘？7×2÷4×3=14÷4×3≈4×3=12（分鐘）3.雞兔同籠問題解決方法：列表和假設(shè)法假設(shè)法是一種算術(shù)方法，可分為“假設(shè)——計(jì)算——推理——調(diào)整（置換）”四個(gè)關(guān)鍵步驟。（1）假設(shè)都是雞：兔的只數(shù)=（總足數(shù)-總頭數(shù)×2）÷2雞的只數(shù)=總頭數(shù)-兔的只數(shù)（2）假設(shè)都是兔：雞的只數(shù)=（總頭數(shù)×4-總足數(shù)）÷2兔的只數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù)4.植樹問題（1）在直線距離上植樹:間隔數(shù)=總長(zhǎng)÷間隔距離。①兩端都要栽：棵數(shù)=間隔數(shù)+1②只栽一端：棵數(shù)=間隔數(shù)③兩端都不栽：棵數(shù)=間隔數(shù)-1④兩旁栽樹:認(rèn)真審題，不要忘記×2。（2）在圓形和橢圓形中植樹:棵數(shù)=周長(zhǎng)÷間距，封閉圖形屬于“一邊栽一邊不栽”這種情況，所以棵數(shù)=間隔數(shù)。5.找次品問題解決方法：把數(shù)量盡量平均分成3份，假如不能平均分，3份間盡量只相差1。6.鴿巢問題（抽屜原理）（1）“鴿巢原理”（一）：把ｍ個(gè)物體任意分放進(jìn)ｎ個(gè)鴿巢中（ｍ和ｎ都是非０自然數(shù)，且ｍ＞ｎ），那么一定有一個(gè)鴿巢中至少放進(jìn)了２個(gè)物體。（2）“鴿巢原理”（二）：把多于ｋｎ個(gè)物體任意分進(jìn)ｎ個(gè)鴿巢中（ｋ和ｎ都是非０自然數(shù)），那么一定有一個(gè)鴿巢中至少放進(jìn)了（ｋ＋１）個(gè)物體。（3）應(yīng)用“鴿巢原理”解題的一般步驟：①分析題意，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成“鴿巢問題”，即弄清楚“鴿巢”（“鴿巢”是什么，有幾個(gè)鴿巢）和分放的物體；②設(shè)計(jì)“鴿巢”的具體形式；③運(yùn)用原理得出某個(gè)“鴿巢”中至少分放的物體個(gè)數(shù)，最終解決問題。熱門考點(diǎn)精講考點(diǎn)1：優(yōu)化問題

亮亮一家每天早上起來(lái)都要喝鮮牛奶，亮亮媽媽需要做三件事：取牛奶、熱牛奶和洗三個(gè)杯子。已知去取牛奶需要1分鐘，熱牛奶需要5分鐘，洗一個(gè)杯子需要1分鐘，亮亮一家喝到熱牛奶最快要用多少分鐘?方法指導(dǎo)：本題屬于優(yōu)化問題。首先想取牛奶要1分鐘，然后洗杯子的同時(shí)可以熱牛奶（共用5分鐘），最后就能喝到牛奶了。答案：1＋5=6（分）答：亮亮一家喝到熱牛奶最快要用6分鐘。1.烤面包時(shí)，第一面要烤2分鐘，烤第二面時(shí)只需1分鐘。小麗用的烤面包機(jī)一次只能放兩片面包。她每天早上要吃三片面包，最少要烤多長(zhǎng)時(shí)間？給三片面包編上號(hào)：1，2，3；先烤1和2的第一面，需要2分鐘；然后把1翻面，2拿出換上3，1分鐘后1完成拿出；放入2的翻面，1分鐘后2完成，3翻面，還需要1分鐘；共需要2+1+1+1=5（分鐘）。答：最少需要烤5分鐘。2.家里來(lái)客人了，小明要給客人泡茶。燒水8分鐘、洗水壺1分鐘、洗茶杯2分鐘、接水1分鐘、找茶葉1分鐘、沏茶1分鐘。最快多長(zhǎng)時(shí)間才能讓客人喝上茶？

1+1+8+1=11（分鐘），燒水的同時(shí)洗茶杯、找茶葉。答：最快11分鐘才能讓客人喝上茶?？键c(diǎn)2：雞兔同籠問題

雞兔共有100只，雞與兔的腳共340只，問雞與兔各多少只？方法指導(dǎo)：這是一個(gè)很典型的雞兔同籠的問題，已知總的雞和兔的數(shù)量，可以假設(shè)都是雞,則兔的只數(shù)=（總足數(shù)-總頭數(shù)×2）÷2，雞的只數(shù)=總頭數(shù)-兔的只數(shù)。答案：兔的只數(shù)=（340-100×2）÷2=70（只）雞的只數(shù)=100-70=30（只）答：兔有70只，雞有30只。3.六（1）班有38人去旅游，共租了8條船。大船坐6人，小船坐4人，每條船都坐滿了。問大小船各租了多少條？（提示：在這里，船就相當(dāng)于雞兔的頭，船里的人數(shù)就相當(dāng)于雞兔的腳）假設(shè)8條全是大船，則小船有（8×6-38）÷（6-4）=5（條）大船有8-5=3（條）答：大船租了3條，小船租了5條。4.買一支鉛筆需要1元，買一支鋼筆需要5元，小紅一共買了10支筆，花了30元。請(qǐng)問鉛筆和鋼筆各買了幾支？解：設(shè)買了鉛筆x支，則買了鋼筆(10-x)支。x+5(10-x)=30x=510-5=5（支）答：買了鉛筆5支，買了鋼筆5支。考點(diǎn)3：植樹問題

一條河堤136m，每隔2m栽一棵垂柳，頭尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？方法指導(dǎo)：本題是屬于在直線距離上植樹的問題,先求間隔數(shù)=總長(zhǎng)÷間隔距離，兩端都要栽，則棵數(shù)=間隔數(shù)+1。答案：136÷2＋1=68＋1=69（棵）答：一共要栽69棵垂柳。5.一個(gè)圓形池塘周長(zhǎng)為400m，在岸邊每隔4m栽一棵白楊樹，一共能栽多少棵白楊樹？400÷4=100（棵）答：一共能栽100棵白楊樹。6.一個(gè)正方形的運(yùn)動(dòng)場(chǎng)，每邊長(zhǎng)220m，每隔10m安裝一盞照明燈，一共可以安裝多少盞照明燈？220×4÷10=88（盞）答：一共可以安裝88盞照明燈?？键c(diǎn)4：找次品問題

一箱糖果有12袋，其中有11袋質(zhì)量相同，另有1袋質(zhì)量不足，輕一些。至少稱()次能保證找出這袋糖果來(lái)。方法指導(dǎo)：本題是屬于找次品問題，第一次，把12袋糖平均分成3份，任取2份放在天平上，若天平平衡，則較輕的在未取的一份中，若天平不平衡，取較輕的那一份繼續(xù)；第二次，取含有較輕的一份（4袋），天平兩邊分別放2袋，找到較輕的一份繼續(xù)；第三次，取含有較輕的一份（2袋），分別放在天平兩側(cè)，即可找到較輕的一袋。答案：37.從9件物品中找出其中1件次品（略輕一些），把9件物品平均分成()份稱較為合適。8.有8瓶水，其中7瓶質(zhì)量相同，另外有1瓶是糖水，比其他水略重一些，至少稱()次能保證找出這瓶糖水。9.有10瓶飲料，其中一瓶變質(zhì)了（略重一些），用天平稱，至少稱()次一定能找出次品。323考點(diǎn)5：鴿巢問題（抽屜原理）

某班有男生25人，女生18人，下面說(shuō)法正確的是()。A.至少有2名男生是在同一個(gè)月出生的B.至少有2名女生是在同一個(gè)月出生的C.全班至少有5個(gè)人是在同一個(gè)月出生的D.以上選項(xiàng)都有誤方法指導(dǎo)：本題主要考查用抽屜原理的知識(shí)解決實(shí)際問題。一年有12個(gè)月，因?yàn)?5÷12=2……1，2+1=3，所以至少有3名男生是在同一個(gè)月出生的；18÷12=1……6，1+1=2，至少有2名女生是在同一個(gè)月出生的；43÷12=3……7，3+1=4，全班至少有4個(gè)人是在同一個(gè)月出生的。答案：B10.有3位同學(xué)一起練習(xí)投籃，如果他們一共投進(jìn)16個(gè)球，那么一定有1位同學(xué)至少投進(jìn)了()個(gè)球。6候選人小華小紅小明得票數(shù)正正11.某班48名同學(xué)投票選一名班長(zhǎng)（每人只許投一票），候選人是小華、小紅和小明三人，計(jì)票一段時(shí)間后的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表，規(guī)定得票最多的人當(dāng)選，那么后面的計(jì)票中小華至少還要得()票才能當(dāng)選。CA.6

B.7

C.8

D.9一

填空題。1.小文放學(xué)排隊(duì)，從前往后數(shù)他是第5個(gè)，從后往前數(shù)是他是第7個(gè)，這一排一共有()個(gè)同學(xué)。2.抽屜里有4支紅鉛筆和3支藍(lán)鉛筆，如果閉著眼睛摸，一次必須拿()支，才能保證至少有1支藍(lán)鉛筆。3.六（1）班有科技書的共28人，有故事書的共26人，兩種都有的共10人，兩種都沒有的共2人，這個(gè)班共有學(xué)生()人。115464.一只平底鍋每次只能烙兩張餅，用它烙一張餅需要4分鐘（正反面各2分鐘），那么用它烙3張餅至少需要()分鐘。5.小明每天起床要完成的事情有：換校服3分鐘，整理床鋪2分鐘，刷牙、洗臉5分鐘，熱饅頭10分鐘，吃早餐5分鐘。你認(rèn)為最合理的安排至少要()分鐘。6156.小力、小紅、小飛分別獲得前三名。小力說(shuō)：“我沒得到第一名?！毙〖t說(shuō)：“我不是第二名。”小飛說(shuō)：“小力和小紅都比我先到終點(diǎn)?！钡谝幻?

)，第二名是(

)，第三名是(

)。小紅小力小飛7.盒里裝著5個(gè)紅球、2個(gè)黑球，一次取出一個(gè)球，最多摸（）次能保證拿到紅色球。8.有6瓶水，其中有1瓶是糖水，比其他的水略重一些，可以用天平稱量的方法把它找出來(lái)，先在天平兩邊各放（）瓶，至少要稱（）次才可以保證把那瓶糖水找出來(lái)。3229.將一根木棒鋸成4段需要6分鐘，如果每鋸一次所需時(shí)間都相同，則把這根木棒鋸成6段需要（

）分鐘。10.楠楠參加一次知識(shí)競(jìng)賽，試題共有10道，每做對(duì)一題得10分，錯(cuò)一題扣5分，楠楠共得了70分，她做對(duì)了（）道題。108二

選擇題。(將正確答案的字母編號(hào)填在括號(hào)里)1.一個(gè)盒子里裝有黃、白乒乓球各5個(gè)，要想使取出的乒乓球中一定有2個(gè)黃乒乓球，則至少應(yīng)取出()個(gè)。A.5

B.6

C.7C2.10瓶飲料，其中一瓶變質(zhì)了（略輕一些），用天平稱，至少稱()次一定能找出次品。A.3

B.4

C.53.一根木料鋸成3段要6分鐘，如果每鋸一段所用的時(shí)間相同，那么鋸成7段需要()分鐘。A.14

B.18

C.21AB4.一個(gè)圓形跑道200m，如果每隔10m立一道警示牌，共需()道警示牌。A.19

B.20

C.215.有5個(gè)好朋友聚會(huì)，每?jī)蓚€(gè)人握一次手，一共要握()次手。A.10

B.16

C.20BA三

判斷題。（正確的在括號(hào)里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”)1.從3件物品中找1件次品，至少要用天平稱2次才能找出來(lái)。()2.圓形水池周圍每隔2m栽一棵樹,共栽了40棵,水池的周長(zhǎng)是80m。()3.圍棋盤的最外層每邊能放19個(gè)棋子，最外層一共可以擺放76個(gè)棋子。()×√×4.32只鴿子飛回7個(gè)鴿舍，總有1個(gè)鴿舍至少飛進(jìn)5只鴿子。()5.雞和狗共8個(gè)頭，22只腳，則雞和狗的只數(shù)一樣多。()√×四

解決問題。1.一條道路長(zhǎng)100m，在道路的一邊每隔5m種一棵樹（兩端都要種），一共需要種多少棵樹?

100÷5+1=21（棵）答：一共需要種21棵樹。2.雞兔同籠，從上面數(shù)有48個(gè)頭，從下面數(shù)有126只腳，籠子里的雞和兔各有多少只？

假設(shè)全是兔，則雞的只數(shù)=（4×48-126）÷（4-2）=33（只）兔的只數(shù)：48-33=15（只）答：籠子里的雞有33只,兔有15只。3.六（2）班有學(xué)生55人，每人至少參加賽跑和跳繩比賽中的一種。已知參加賽跑的有36人，參加跳繩的人有38人。問這兩項(xiàng)比賽都參加的有幾人？

38+36-55=19（人）答：這兩項(xiàng)比賽都參加的有19人。4.有15袋花生，其中有一袋比其他的都要輕。（1）至少用天平稱幾次能找出輕的那袋？（1）根據(jù)題意，把15袋花生平均分成三份，每份5袋，第一次，取兩份分別放在天平兩側(cè)，若天平平衡，則較輕的一袋在未取的一份；若