專題03小題中函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和對稱性的應(yīng)用目錄TOC\o"13"\h\z\u類型一：利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值 1類型二：利用函數(shù)的奇偶性解抽象函數(shù)不等式 2類型三：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性的綜合應(yīng)用 4類型四：利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值 6類型一：利用函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值典型例題：已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x<0時，f(x)=e【答案】2試題分析：根據(jù)給定條件，確定ln2>0，再借助奇函數(shù)性質(zhì)及給定值列式計算作答詳細解答：函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x于是f(ln2)=-所以實數(shù)a的值為-2故答案為：-題型專練：1．若fx=ln13A．ln13 B．-ln33 C【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合對數(shù)運算求解即可.【詳解】由題意得13-2則fx的定義域為x|x所以f0=ln當n=ln1其定義域為x|f=ln13故n=故選：A.2．若f(x)=lnmA．-ln33 B．ln33 C【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合對數(shù)運算求解.【詳解】若f(x)=ln則ln=lnm可得12m-4=0lnm故選：A.3．“φ=-π2”是“函數(shù)y=sinA．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】根據(jù)充分必有條件的定義求解.【詳解】若φ=-π2，則若y=sinx+φ是偶函數(shù)，對于任意的x，有sin-2sinxcosφ=0，cosφ=0,φ所以“φ=-π2”是“y故選：A.4．若fx=xx+1A．1 B．0 C．1 D．1或1【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義，取特殊情況f-1+f1【詳解】由題得：f-1+故選:A.5．已知定義在R上的偶函數(shù)fx=x-m+1-2，若正實數(shù)a、A．95 B．9 C．85 D【答案】A【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可得m=1，由題意分析可得a+2【詳解】若函數(shù)fx為偶函數(shù)，則f即x-m+1整理得m-1x=0，故∴fx若正實數(shù)a、b滿足fa+f2b可得1a當且僅當2ba=∴1a+2故選：A.6．已知f(x)=1+a【答案】2【分析】利用奇函數(shù)的定義f(x)=-f【詳解】由題意得f(x)=-f(-7．已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x<0時，f(【答案】-【分析】根據(jù)給定條件，確定ln2>0，再借助奇函數(shù)性質(zhì)及給定值列式計算作答.【詳解】函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x于是f(ln2)=-f(-ln2)=-所以實數(shù)a的值為-2故答案為：-8．若奇函數(shù)f(x)=x【答案】6【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，求得a的值，再代入求值即得答案.【詳解】依題意f(-x3+(a可得a-5=0，即a=5則f(1)=故答案為：6類型二：利用函數(shù)的奇偶性解抽象函數(shù)不等式典型例題：已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，f3=0，若?x1，x2∈0,+∞A．-∞,-3∪3,+C．-3,0∪3,+【答案】A試題分析：根據(jù)給定條件，確定函數(shù)fx的單調(diào)性，再變形不等式，利用單調(diào)性分段求解作答詳細解答：因為?x1，x2∈(0,+∞)且x1因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(3)=0，則f(-3)=0由f(x)+2當x>0時，由f(x)>0=f(3)，得x>3所以原不等式的解集為(-∞故選：A題型專練：9．設(shè)函數(shù)fx在R上存在導(dǎo)數(shù)f'x，gx=fx-sinx是偶函數(shù)，在0,+A．-∞,πC．π4,π【答案】A【分析】根據(jù)題意可得gx在0,+∞上單調(diào)遞增，在-∞,0上單調(diào)遞減，將不等式等價轉(zhuǎn)化為gt<【詳解】在0,+∞上有f'x>cos故gx在0,+∞上單調(diào)遞增，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知，gx在由fπft即gt<g即t2<π故選：A.10．已知偶函數(shù)fx與其導(dǎo)函數(shù)f'x的定義域均為R，且f'x+eA．-∞,2 BC．2,+∞ D．【答案】B【分析】由偶函數(shù)的定義結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得出f'x=-f'-x，由已知可得出f'x+e-x+x=【詳解】因為fx為偶函數(shù)，則fx=f因為函數(shù)f'x+e聯(lián)立①②可得f'令gx=f'x所以，函數(shù)gx在R上為增函數(shù)，即函數(shù)f'x故當x>0時，f'x>f由f2a-所以，2a-1<a故選：B.11．已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，f3=0，若?x1，x2∈0,+∞且A．-∞,-3∪3,+C．-3,0∪3,+【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，確定函數(shù)fx的單調(diào)性，再變形不等式，利用單調(diào)性分段求解作答【詳解】因為?x1，x2∈(0,+∞)且x1≠x因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(3)=0，則f(-3)=0由f(x)+2當x>0時，由f(x)>0=f(3)，得x>3所以原不等式的解集為(-∞,-3)∪(3,+∞).故選：A12．函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且在0,+∞上單調(diào)遞增，f1=0，則不等式A．-∞,0∪C．-∞,0∪【答案】D【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)及條件，得到fx的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的對稱性、f1=0和【詳解】因為函數(shù)fx是奇函數(shù)，且在0,+∞上單調(diào)遞增，所以函數(shù)fx在又因為f1=0，所以f-1=0，不等式xf即x>00<x-1<1故選：D．13．函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且在0,+∞上單調(diào)遞增f1=0，則不等式A．-∞,0∪C．-∞,0∪【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性可得函數(shù)的正負情況，進而可解不等式.【詳解】因為函數(shù)fx是奇函數(shù)，且在0,+∞所以函數(shù)在-∞,0又因為f1=0，所以不等式xfx<0等價于x>0所以-1<x<0故選：B.14．已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，對任意正數(shù)x，y，都有fxy=fx+fy-12A．2,+∞ B．C．-14,0【答案】B【分析】通過條件，利用定義法證明抽象函數(shù)f(x)的單調(diào)性，通過賦值，求得f-【詳解】令x=y=1，則f令x=2，y=12，則f1不妨取任意正數(shù)x2>=f因為x22x1>12，所以f又fx是定義在R上的奇函數(shù)，故fx在區(qū)間令x=y=令x=12，y∴f-又因為efx-1>1=e0，即fx>1故選：B.15．已知偶函數(shù)fx的定義域為-π2,π2，其導(dǎo)函數(shù)為f'x，當0≤xA．-π3,C．-π2,-【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x【詳解】構(gòu)造函數(shù)g(g(所以函數(shù)g(x)=因為函數(shù)fx為偶函數(shù)，所以函數(shù)g且函數(shù)g(x)=f(x)因為x∈-π關(guān)于x的不等式fx>2fπ3所以g(x)>g(π3故選:C.16．已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，fx在0,+∞上單調(diào)遞減，且f3【答案】(-1,0)∪(5,+∞)【分析】由題意和偶函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f(x)在[0,+∞)上為減函數(shù)，在(-∞,0]上為增函數(shù)，結(jié)合f(3)=f(-3)=0【詳解】因為函數(shù)f(x)是定義在R所以f(x)由f(3)=0，得ff(x-2)x有x-2<0x當x>0時，f有x-2>0x綜上，不等式f(x-故答案為：(-1,0)∪(5,+∞).17．已知函數(shù)fx滿足：對于任意x1,x2∈-∞,+∞，且x1【答案】-∞【分析】根據(jù)題目條件構(gòu)造函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，逐步轉(zhuǎn)化，即可求得不等式的解集.【詳解】因為對于任意的x1,x2∈不妨設(shè)x1>x2，則所以gx=f又y=fx是定義域為R的奇函數(shù)，所以f因為fa>2a，所以f因為gx=f所以a<0，即不等式fa>2a的解集為aa故答案為：-∞類型三：函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性的綜合應(yīng)用典型例題：已知函數(shù)fx，gx的定義域均為R，g'x為gx的導(dǎo)函數(shù)，且fx+g'A．0 B．1 C．2 D．4試題分析：根據(jù)已知，利用導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的奇偶性、周期性，建立方程組求解.詳細解答：根據(jù)已知，利用導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的奇偶性、周期性，建立方程組求解.【詳解】依題意，因為gx為定義在R為偶函數(shù)，所以gx=所以g'x為奇函數(shù)且g'0=0令x=2，則有f(2)+g因為fx-g又g'x=-由fx+g所以fx是以4為周期的周期函數(shù)，所以f所以f2022+2=4，故A，B，故選：D.題型專練：18．定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+2=-fx，且fx-1A．0 B．18 C．-18【答案】A【分析】由fx+2=-fx和fx-12為偶函數(shù)，可知【詳解】因為fx+2=-fx又fx-12為偶函數(shù)，所以則f2023故選：A.19．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，滿足f(x+1)為奇函數(shù)且f(6-x)=f(A．10 B．10 C．32 D．【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)f(x)的奇偶性與對稱性得函數(shù)的周期，再根據(jù)已知區(qū)間內(nèi)的解析式求得a,【詳解】由f(x+1)為奇函數(shù)可得：f(x+1)=-f(-x+1)，即f由f(6-x)=f(x由①②可得：f(6-x)=-f(2-x)，即f(x所以f(5)=f(1)=2聯(lián)立2a+b=0a+b=-1故選：A.20．已知函數(shù)fx,gx的定義域均為R，且fx+f2-x=2,gA．5 B．4 C．3 D．0【答案】C【分析】依題意可得g2-x=g2+x，結(jié)合已知可得f-x=f【詳解】∵gx的圖象關(guān)于直線x=2對稱，∴由gx=fx-∴f-x-2=fx∴f-(2-x由fx+f2-x∴fx+2+f所以fx+2=fx所以fx的周期為4∵g4=f4-2∵fx+f2-x=2f2022故選：C．21．定義在R上的奇函數(shù)fx滿足f(x)=f(2-x)，當A．-3 B．-1 C．1 D【答案】B【分析】先求出函數(shù)的周期，再根據(jù)對稱性求解.【詳解】因為fx是定義在R上的奇函數(shù)，所以f0=又fx=f2-x，所以fx=-f∴f2023=故選:B.22．已知函數(shù)fx，gx的定義域均為R，g'x為gx的導(dǎo)函數(shù)，且fx+g'A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)已知，利用導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的奇偶性、周期性，建立方程組求解.【詳解】依題意，因為gx為定義在R為偶函數(shù)，所以gx=所以g'x為奇函數(shù)且g'0=0令x=2，則有f(2)+g因為fx-g又g'x=-由fx+g所以fx是以4為周期的周期函數(shù)，所以f所以f2022+2=4，故A，B，C故選：D.23．已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)f'x定義域均為R，滿足f32+x-f32A．0 B．3 C．4 D．1【答案】D【分析】根據(jù)題設(shè)知g'(x)關(guān)于(3,0)、x=32對稱且g'(3)=0，即可求g'【詳解】由g'3-x關(guān)于原點對稱，則g(3-x所以g(x)關(guān)于x=3對稱，g'又f'32+x+f綜上，g(6-x)=g(所以g(6-32)+g又g'(x)-g'(3-所以g'(x所以g'故選：D24．已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+2=-fA．fx的周期為2 B．fC．f0=0 D【答案】C【分析】由函數(shù)的奇偶性對稱性與周期性得概念直接判斷各選項.【詳解】由fx+2=-f2-x，得所以fx+6=-fx+4=由fx+2=-f2-x可知fx由fx+3=f3-x知fx進一步可知fx圖象的對稱軸方程為x=m（m為奇數(shù)），所以ffx的對稱中心為點n,0（n為偶數(shù)），無法得到f1故選：C.25．函數(shù)fx與gx的定義域為R，且fxgx+2=4,f(xA．fx的圖像關(guān)于直線x=-1C．gx的一個周期為4 D．gx的圖像關(guān)于點【答案】AC【分析】根據(jù)條件可得f-x-2=fx，即可判斷A，然后可得fx【詳解】A選項：由fxg-x=4所以f-x-2=B選項：由fx的圖像關(guān)于點0,2對稱，得f-x+f所以fx-2+f即fx的一個周期為4因為f0所以k=12024C選項：由fx=f則fx+4g-x-4=4D選項：取fx=sin與gx的圖像關(guān)于點0,2對稱矛盾，D故選：AC.26．已知函數(shù)f(x),g(x)的定義域均為R，f(xA．f(xB．fC．kD．方程f(x)=cos【答案】AC【分析】利用對稱性證明選項A正確；利用函數(shù)的周期得到f(2023)=0，即可判斷選項B；利用周期性證明k=1100[k?f(k)]=-50【詳解】因為f(x+2)為偶函數(shù)，所以f又f(可得f(2-故f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)f(故f(x)根據(jù)題意，f(0)=-1,故f(2023)=f(4×505+3)=(4m+1)f(4m故k=1100[y=cosπ4x是周期函數(shù)，最小正周期是8，由π4x=kπ方程f(x)=cosπ4在同一坐標系內(nèi)作出f(x)與y可知x1+x由圖易知f(x)在[-2,6],[6,14],?,[30,38]上的三個零點之和構(gòu)成首項為4故f(x)=cosπ4x在區(qū)間故選：AC【點睛】方法點睛：零點問題的求解常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得解）；（2）圖象法（作出函數(shù)f(x)的圖象分析判斷）；（3）方程+圖象法（令f(x)=0得到g27．已知函數(shù)fx及其導(dǎo)函數(shù)gx的定義域均為R．f2x=f4-2x，fxA．fx的圖象關(guān)于xB．gxC．gD．不等式gex【答案】BCD【分析】根據(jù)fx=f4-x可判斷A,求導(dǎo)即可根據(jù)f'x=gx判斷B【詳解】由f2x=f4-2x可得fx由fx+f-x=0得f'x-由fx=f4-x可得f'x=-f'4-由gx為偶函數(shù)且gx+gx+4=0又當x∈2,4時，g'x<0故結(jié)合gx的性質(zhì)可畫出符合條件的g由性質(zhì)結(jié)合圖可知：當-1+8k≤由g1=1得gex當k<0且k∈Z當k=0時，-1≤ex當k>0且k∈Z時，由綜上可得gex≥1的解集為-∞故選：BCD【點睛】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合運用，題目綜合性較高，要對函數(shù)基本性質(zhì)比較熟練，可根據(jù)性質(zhì)利用圖象求解問題.對于函數(shù)的性質(zhì)綜合運用題目可從以下幾個方面解題.(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．28．已知fx是定義在R上的函數(shù)，fx-f-x=0，且滿足fA．f1=0 B．fC．fx的圖象關(guān)于點1,0中心對稱 D．【答案】ACD【分析】由fx+1為奇函數(shù)可得f-x+1=-fx+1，取x=0【詳解】因為fx所以f-所以f-所以f1=0，因為當x∈0,1時，所以f0因為f-所以f2=-f所以2不是fx故B錯誤；因為fx所以函數(shù)fx所以fx的圖象關(guān)于點1,0中心對稱，C由f-x+1可得fx所以fx所以函數(shù)fx為周期函數(shù)，周期為4所以f2023又當x∈0,1時，所以f20232=-cos故選：ACD.29．已知函數(shù)fx滿足：fx≠0,A．fxB．fx是周期函數(shù)且最小正周期為C．fD．fx的圖象關(guān)于直線x【答案】BD【分析】根據(jù)賦值法可得f(0)=12判斷A，令s=t+2可得f(t+1)=f(t【詳解】令s=t=1，則f1f0=令s=t+2，則有f∴f(t故f(t+6)+f(t+3)=0，兩式相減可得f∵f(t+2)=f(t+3)+f(t+1)，∴f(1)=f(2)+f令s=x,t=-所以f(x)=f(-又函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，所以f所以函數(shù)圖象關(guān)于直線x=3對稱，故D正確故選：BD【點睛】關(guān)鍵點點睛：首先根據(jù)fs+t2fs30．定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+3+fx+1=fA．2是fx的一個周期 B．C．fx的圖象關(guān)于x=1對稱 D【答案】BCD【分析】根據(jù)題意推得fx+3=f(x-1)，即fx+4=f(x)，可判定A不正確；令x=-1，求得f0=0【詳解】因為?∈R，fx+3所以fx+3=所以fx是周期為4的周期函數(shù)，所以A在fx+3+fx+1=因為f2-x=f4+x=因為f0=0，所以所以f2020=f由函數(shù)fx的對稱性與周期性可得f因為f(x+3)+所以f7則f1結(jié)合函數(shù)fx是以4為周期的周期函數(shù)，可得k=1202故選：BCD.31．已知函數(shù)fx的定義域為R，若fx+1-2【答案】2【分析】推導(dǎo)出函數(shù)fx為周期函數(shù)，確定該函數(shù)的周期，計算出f1的值，結(jié)合f1+【詳解】因為fx+1-所以，f1+在等式f1+x+f1-x=4又因為f1-x=f所以，fx+3由①②可得fx+5=所以，函數(shù)fx為周期函數(shù)，且該函數(shù)的周期為4所以，f2023故答案為：2.類型四：利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值典型例題：已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx的圖象關(guān)于x=1對稱．若f1=3A．3 B．2 C．0 D．50【答案】C試題分析：根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到f0=0和f-x=-fx，再結(jié)合函數(shù)對稱性得到fx=f詳細解答：因為函數(shù)fx是定義在R所以f-x=-又fx的圖象關(guān)于x=1對稱，則即fx=-fx-2在①中，令x→x+2則fx=fx+4，所以函數(shù)f則有f1所以f==12×0+f故選：C.題型專練：32．設(shè)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且f2+xA．-12 B．12 C．-【答案】B【分析】利用條件和偶函數(shù)的性質(zhì)，得出函數(shù)f(x)的周期為【詳解】因為f(x)是定義域為所以f(x)所以f2023故選：B.33．已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+3=-fx，A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由題意推出函數(shù)fx的周期以及滿足等式fx+f【詳解】因為fx+3=-fx，所以f又gx=fx-令x=0，得2f0所以f198故選：C.34．已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx=2-f-x，且函數(shù)fx+1是偶函數(shù)，當A．925 B．1625 C．3425【答案】C【分析】由函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù)，可得函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱，從而有f(-x)=f(x+2)【詳解】因為函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù)，所以f因為f(x)=2-f(-所以f(x)=f(所以f(因為f(35故選：C.35．已知fx是周期為4的奇函數(shù)，f3=2，則A．6 B．-6 C．2 D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性計算即可.【詳解】fx是周期為4∴f故選：D36．已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，且fx的圖象關(guān)于x=1對稱．若f1=3A．3 B．2 C．0 D．50【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到f0=0和f-x=-fx，再結(jié)合函數(shù)對稱性得到fx=f【詳解】因為函數(shù)fx是定義在R所以f-x=-又fx的圖象關(guān)于x=1對稱，則即fx=-fx-2在①中，令x→x+2則fx=fx+4，所以函數(shù)f則有f1所以f==12×0+f故選：C.37．定義在R上的函數(shù)fx滿足1+fxfx+1+1=0A．f0=-12 BC．fx在2,52上單調(diào)遞增【答案】ABD【分析】給x賦值可求得f(0)的值可判斷A項，運用函數(shù)周期性定義可判斷B項，求得當x∈2,52時，f(【