高中數(shù)學(xué)

人教A版（2019）

必修第一冊第八章

立體幾何初步

8.6.2直線與平面垂直(第1課時

直線與平面垂直的判定）山東沂水縣第四中學(xué)教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊》人教A版（2019）第八章《立體幾何初步》的第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》。以下是本節(jié)的課時安排：8.6空間直線、平面的垂直課時內(nèi)容8.6.1直線與直線垂直8.6.2直線與平面垂直8.6.3平面與平面垂直所在位置教材第146頁教材第149頁教材第155頁新教材內(nèi)容分析本節(jié)內(nèi)容是利用空間直線平行的傳遞性和等角定理，探究異面直線所成的角，滲透把立體圖形的問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題來解決的轉(zhuǎn)化思想.直線與平面垂直的研究是直線與直線垂直研究的繼續(xù)，也為平面與平面垂直的研究做了準(zhǔn)備；這三類垂直問題的主線是類似的，都是以定義——判定——性質(zhì)為主線，通過定理的探索過程，培養(yǎng)了學(xué)生的幾何直覺以及運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力，是本節(jié)課的重要任務(wù)。本節(jié)內(nèi)容是空間平面與平面垂直，與研究直線與平面垂直一樣，借助長方體模型，理解平面與平面平行的判定和性質(zhì)定理。核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過實(shí)物觀察、抽象出異面直線夾角的定義，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)；借助異面直線所成角及垂直關(guān)系的證明，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算與邏輯推理的核心素養(yǎng).通過學(xué)習(xí)直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；通過學(xué)習(xí)直線與平面所成的角，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。通過學(xué)習(xí)平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，提升直觀想象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)；通過學(xué)習(xí)二面角，提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).教學(xué)主線垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．理解直線和平面垂直的判定定理并能運(yùn)用其解決相關(guān)問題，培養(yǎng)邏輯推理的核心素養(yǎng)；2．理解直線與平面所成角的概念，并會求一些簡單的直線與平面所成角，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。重點(diǎn)、難點(diǎn)1.重點(diǎn)：直線和平面垂直的判定定理及其應(yīng)用；

求直線與平面所成角。2.難點(diǎn)：直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用。（一）新知導(dǎo)入

在日常生活中，我們對直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識，比如旗桿與地面的位置關(guān)系，給我們以直線與平面垂直的形象，那什么叫做直線與平面垂直呢？怎樣用數(shù)學(xué)語言刻畫直線與平面垂直呢？【問題1】如圖,在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC.隨著時間的變化,影子BC的位置在不斷地變化，旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直?【提示】旗桿AB所在直線始終與影子BC所在直線垂直【問題2】對于地面上不過點(diǎn)B的任意一條直線B'C'，旗桿AB會與之垂直嗎？【提示】旗桿AB所在直線與地面上任意一條直線都垂直。（二）直線與平面垂直知識點(diǎn)一直線與平面垂直的定義（1）定義：如果直線l與平面α內(nèi)的

一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，直線l叫做平面α的

，平面α叫做直線l的

．它們唯一的公共點(diǎn)P叫做

。（2）記法：

。（3）圖示：（4）性質(zhì)：若a⊥α，b?α，則

.【思考】直線與平面垂直定義中的關(guān)鍵詞“任意一條直線”是否可以換成“所有直線”或“無數(shù)條直線”？【提示】定義中的“任意一條直線”與“所有直線”是等效的，但是不可說成“無數(shù)條直線”，因?yàn)橐粭l直線與某平面內(nèi)無數(shù)條平行直線垂直，該直線與這個平面不一定垂直.【做一做】直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能()A．平行B．相交C．異面 D．垂直A任意垂線垂面垂足l⊥αa⊥b（二）直線與平面垂直知識點(diǎn)二直線與平面垂直的判定【探究3】如圖,一塊三角形紙片ABC,過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片.得到折痕AD，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD、DC與桌面接觸)(1)折痕AD與桌面垂直嗎?(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直?【提示】容易發(fā)現(xiàn)，AD所在直線與桌面所在平面α垂直(如下圖)的充要條件是折痕AD是BC邊上的高。這時，由于翻折之后垂直關(guān)系不變，所以直線AD與平面α內(nèi)的兩條相交直線BD、DC都垂直。（1）文字語言：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條

直線垂直，那么該直線與此平面垂直。（2）符號語言：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α。（3）圖形語言：相交（二）直線與平面垂直【思考1】若把定理中“兩條相交直線”改為“兩條直線”，直線與平面一定垂直嗎？【提示】當(dāng)這兩條直線平行時，直線可與平面平行或相交，不一定垂直.【思考2】如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面嗎？【提示】垂直.【辯一辯】判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)如果一條直線與一個平面內(nèi)無數(shù)條直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直．()(2)如果一條直線與一個平面內(nèi)所有直線都垂直，那么這條直線與這個平面垂直．()【做一做】若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于(

)A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC答案：(1)×(2)√C（二）直線與平面垂直知識點(diǎn)三直線與平面所成的角（二）直線與平面垂直【做一做】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于__________；AB1與平面ADD1A1所成的角等于__________；AB1與平面DCC1D1所成的角等于__________．【解析】∠B1AB為AB1與平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1與平面DCC1D1平行，即所成的角為0°.答案：45°45°0°（三）典型例題1.直線與平面垂直的證明例1.如圖，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AE⊥PB于點(diǎn)E，AF⊥PC于點(diǎn)F.(1)求證：PC⊥平面AEF；(2)設(shè)平面AEF交PD于點(diǎn)G，求證：AG⊥PD.【證明】(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以PA⊥BC.又AB⊥BC，PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，所以AE⊥BC.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，所以AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，所以AE⊥PC.又因?yàn)镻C⊥AF，AE∩AF＝A，所以PC⊥平面AEF.(2)由(1)知PC⊥平面AEF，又AG?平面AEF，所以PC⊥AG，同理CD⊥平面PAD，AG?平面PAD，所以CD⊥AG，又PC∩CD＝C，所以AG⊥平面PCD，PD?平面PCD，所以AG⊥PD.（三）典型例題【類題通法】1.證明線面垂直的方法①線面垂直的定義．②線面垂直的判定定理．③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個平面，那么另一條直線也垂直于這個平面．④如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面．2.線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化【鞏固練習(xí)1】如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB.【證明】(1)因?yàn)锳B為⊙O的直徑，所以AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，所以PA⊥BM.又因?yàn)镻A∩AM＝A，所以BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，所以BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，所以AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，所以AN⊥PB.又因?yàn)锳Q⊥PB，AN∩AQ＝A，所以PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，所以NQ⊥PB.（三）典型例題2.直線與平面所成的角例2.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．

（三）典型例題【類題通法】求斜線與平面所成角的步驟：(1)作圖：作(或找)出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計(jì)算．(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．(3)計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算．【鞏固練習(xí)2】在正方體中，若E為棱AB的中點(diǎn)，求直線B1E與平面BB1D1D所成角的正切值．

（四）操作演練

素養(yǎng)提升1.垂直于梯形兩腰的直線與梯形所在平面的位置關(guān)系是()A．垂直B．相交但不垂直C．平行 D．不確定2.如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30° D．120°3.設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個平面，則下列命題正確的是()A．若l⊥m，m?α，則l⊥α

B．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α，m?α，則l∥m

D．若l∥α，m∥α，則l∥m4.下列命題中，正確的序號是________．①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；②若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；③若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直；④若平面α內(nèi)有一條直線與直線l不垂直，則直線l與平面α不垂直．答案：1.A2.A3.B4.③④課堂小結(jié)知識總結(jié)學(xué)生反思（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？