第11章 解三角形第03講正弦定理、余弦定理的應(yīng)用目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)重難點1.掌握正余弦定理的實際應(yīng)用1.實際模型抽象為正余弦定理問題知識精講知識精講1．三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).2．三角形中的三角函數(shù)關(guān)系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acos B．能力拓展能力拓展考法01測量距離問題例1(1)如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B，望對岸的標(biāo)記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m例1(2)如圖，為測量河對岸A，B兩點間的距離，沿河岸選取相距40m的C，D兩點，測得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，則A，B兩點的距離是________．【答案】(1)60(2)20eq\r(6)m【解析】(1)tan30°＝eq\f(CD,AD)，tan75°＝eq\f(CD,DB)，又AD＋DB＝120，∴AD·tan30°＝(120－AD)·tan75°，∴AD＝60eq\r(3)，故CD＝60.(2)在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，∴BD＝CD＝40，BC＝eq\r(BD2＋CD2)＝40eq\r(2).在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC＝eq\f(CDsin30°,sin45°)＝20eq\r(2).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA＝(20eq\r(2))2＋(40eq\r(2))2－2×40eq\r(2)×20eq\r(2)cos60°＝2400，∴AB＝20eq\r(6)，故A，B兩點之間的距離為20eq\r(6)m.【方法技巧】測量距離的基本類型及方案類型A，B兩點間不可通或不可視A，B兩點間可視，但有一點不可達(dá)A，B兩點都不可達(dá)圖形方法先測角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB以點A不可達(dá)為例，先測角B，C，BC＝a，再用正弦定理求AB測得CD＝a，∠BCD，∠BDC，∠ACD，∠ADC，∠ACB，在△ACD中用正弦定理求AC；在△BCD中用正弦定理求BC；在△ABC中用余弦定理求AB【跟蹤訓(xùn)練】1．海上A，B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B，C間的距離是()A．10eq\r(3)海里 B.eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里【答案】D【解析】如圖所示，根據(jù)題意，在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，即eq\f(10,\f(\r(2),2))＝eq\f(BC,\f(\r(3),2))，∴BC＝5eq\r(6)(海里)．故選D.2.在某次軍事演習(xí)中，紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場形勢，在兩個相距為eq\f(\r(3)a,2)的軍事基地C和D測得藍(lán)方兩支精銳部隊分別在A處和B處，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如圖所示，求藍(lán)方這兩支精銳部隊之間的距離．【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°.∴AD＝CD＝AC＝eq\f(\r(3),2)a.在△BCD中，∠DBC＝45°，∵eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(CD,sin45°)，∴BC＝eq\f(\r(6),4)a.在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos45°＝eq\f(3,4)a2＋eq\f(3,8)a2－2×eq\f(\r(3),2)a×eq\f(\r(6),4)a×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3,8)a2.∴AB＝eq\f(\r(6),4)a.∴藍(lán)方這兩支精銳部隊之間的距離為eq\f(\r(6),4)a.考法02測量高度問題例2如圖，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩點C與D.現(xiàn)測得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點C測得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB.例2【解析】在△BCD中，∠CBD＝π－(α＋β)．由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD).∴BC＝eq\f(CDsin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(s·sinβ,sinα＋β).在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝eq\f(s·sinβtanθ,sinα＋β).【方法總結(jié)】測量高度問題的解題策略(1)“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．(2)“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析所有三角形，仔細(xì)規(guī)劃解題思路．【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖所示，A，B是水平面上的兩個點，相距800m，在A點測得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點測得∠ABD＝45°，其中D點是點C到水平面的垂足，求山高CD.【解析】由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.因此只需在△ABD中求出AD即可，在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，由eq\f(AB,sin15°)＝eq\f(AD,sin45°)，得AD＝eq\f(AB·sin45°,sin15°)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(6)－\r(2),4))＝800(eq\r(3)＋1)(m)．即山的高度為800(eq\r(3)＋1)m.考法03測量角度問題例3某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊，發(fā)出呼叫信號，如圖，我海軍護(hù)航艦在A處獲悉后，立即測出該貨船在方位角為45°，距離為10海里的C處，并測得貨船正沿方位角為105°的方向，以10海里/小時的速度向前行駛，我海軍護(hù)航艦立即以10eq\r(3)海里/小時的速度前去營救，求護(hù)航艦的航向和靠近貨船所需的時間．例3[【解析】設(shè)所需時間為t小時，則AB＝10eq\r(3)t，CB＝10t，在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°，可得(10eq\r(3)t)2＝102＋(10t)2－2×10×10tcos120°，整理得2t2－t－1＝0，解得t＝1或t＝－eq\f(1,2)(舍去)．所以護(hù)航艦需要1小時靠近貨船．此時AB＝10eq\r(3)，BC＝10，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AB,sin120°)，所以sin∠CAB＝eq\f(BCsin120°,AB)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),10\r(3))＝eq\f(1,2)，所以∠CAB＝30°，所以護(hù)航艦航行的方位角為75°.【方法總結(jié)】測量角度問題的基本思路測量角度問題的關(guān)鍵是在弄清題意的基礎(chǔ)上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后將解得的結(jié)果轉(zhuǎn)化為實際問題的解【跟蹤訓(xùn)練】某海上養(yǎng)殖基地A，接到氣象部門預(yù)報，位于基地南偏東60°相距20(eq\r(3)＋1)海里的海面上有一臺風(fēng)中心，影響半徑為20海里，正以每小時10eq\r(2)海里的速度沿某一方向勻速直線前進(jìn)，預(yù)計臺風(fēng)中心將從基地東北方向刮過且eq\r(3)＋1小時后開始持續(xù)影響基地2小時．求臺風(fēng)移動的方向．【解析】如圖所示，設(shè)預(yù)報時臺風(fēng)中心為B，開始影響基地時臺風(fēng)中心為C，基地剛好不受影響時臺風(fēng)中心為D，則B，C，D在一直線上，且AD＝20，AC＝20.由題意AB＝20(eq\r(3)＋1)，DC＝20eq\r(2)，BC＝(eq\r(3)＋1)·10eq\r(2).在△ADC中，因為DC2＝AD2＋AC2，所以∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(AC2＋AB2－BC2,2AC·AB)＝eq\f(\r(3),2).所以∠BAC＝30°，又因為B位于A南偏東60°，60°＋30°＋90°＝180°，又D位于A的正北方向，又因為∠ADC＝45°，所以臺風(fēng)移動的方向為北偏45°分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1．2021年11月，鄭州二七罷工紀(jì)念塔入選全國職工愛國主義教育基地名單．某數(shù)學(xué)建模小組為測量塔的高度，獲得了以下數(shù)據(jù)：甲同學(xué)在二七廣場A地測得紀(jì)念塔頂D的仰角為45°，乙同學(xué)在二七廣場B地測得紀(jì)念塔頂D的仰角為30°，塔底為C，（A，B，C在同一水平面上，平面ABC），測得，，則紀(jì)念塔的高CD為（

）．A．40m B．63mC．m D．m【答案】B【解析】如圖所示，，設(shè)塔高為，因為平面ABC，所以，所以，又，即，解得.故選：B.2．為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁，(如圖)，要測量，兩點的距離，測量人員在岸邊定出基線，測得，，．就可以計算出，兩點的距離為（

）．A．m B．m C．m D．m【答案】D【解析】由三角形內(nèi)角和定理可知：，由正弦定理得:，故選：D3．在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則（

）A．ABC是銳角三角形 B．ABC是直角三角形C．ABC是鈍角三角形 D．ABC的形狀不確定【答案】C【解析】因為，所以，所以角是鈍角，所以ABC是鈍角三角形，故選：C4．“黃金三角形”是幾何歷史上的瑰寶，它有兩種類型，其中一種是頂角為36°的等腰三角形，暫且稱為“黃金三角形A”．如圖所示，已知五角星是由5個“黃金三角形A”與1個正五邊形組成，其中，則陰影部分面積與五角形面積的比值為（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，依題意，在三角形中，，故；所以，設(shè)的面積為x，則面積為，同理的面積為，的面積為x，則陰影部分面積與五角形面積的比值為.故選：B．5．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，，，若，則為（

）A．等腰非等邊三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等邊三角形【答案】C【解析】，所以.在中，，故，因為，所以，因為，所以，故為直角三角形.故選：C．6．岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓、江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”.因范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世.小李為測量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線，如圖，測得，，米，則岳陽樓的高度約為（

）（參考數(shù)據(jù)：、）A．18米 B．19米 C．20米 D．21米【答案】B【解析】中，，則，中，，則，由ACBC=AB得，約為米.故選：B二、多選題7．在中，有如下命題，其中正確的有（

）A．若，則是等邊三角形B．若，則是等腰三角形C．若，則是鈍角三角形D．若，則這樣的有2個【答案】ACD【解析】A中由及得，所以是等邊三角形，A正確.B選項中，如時，不是等腰三角形，所以B錯誤；C選項中，化簡為，由正弦定理得，再由余弦定理得，所以是鈍角三角形，C選項正確；D選項中知成立，所以這樣的三角形有2個，D選項正確.故選：ACD8．在△ABC中，若，下列結(jié)論中正確的有（

）A．B．△ABC是鈍角三角形C．△ABC的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍D．若，則△ABC外接圓的半徑為【答案】ACD【解析】由題意，設(shè)，解得；所以A正確；由以上可知最大，為銳角，B錯誤；由以上可知最小，，即,因為為銳角，為銳角，所以，C正確；因為，所以，設(shè)△ABC外接圓的半徑為，則由正弦定理可得，所以，D正確故選ACD.三、填空題9．某中學(xué)開展勞動實習(xí)，學(xué)生需測量某零件中圓弧的半徑.如圖，將三個半徑為的小球放在圓弧上，使它們與圓弧都相切，左?右兩個小球與中間小球相切.利用“十”字尺測得小球的高度差為，則圓弧的半徑為___________.【答案】120【解析】如圖所示，設(shè)圓弧圓心為，半徑為，三個小球的球心自左至右分別為，，，設(shè)，由題意可知，，且即，所以，解得，故答案為：.10．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知，，，則的面積S為_______．【答案】【解析】由題意得：由，可得，即所以，由余弦定理，得所以，，又由可得，則．故答案為：四、解答題11．如圖，是直角三角形斜邊上一點，.(1)若，求角的大??；(2)若，且，求的長.【解析】(1)在中，由正弦定理得，所以，又所以，.(2)由，且知：所以，直角三角形中，在中，由余弦定理得所以，.12．已知、、分別為內(nèi)角、、的邊，.(1)求；(2)若，的面積為，求的周長.【解析】(1)因為由正弦定理得，則由余弦定理得，又，故；(2)由的面積為，所以由余弦定理，因為，所以所以故的周長為題組B能力提升練一、單選題1．如圖，飛機(jī)的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機(jī)的高度為海拔，速度為，飛行員先在A處看到山頂?shù)母┙菫?，?jīng)過后，又在B處看到山頂?shù)母┙菫椋瑒t山頂?shù)暮０渭s為（

）（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，過C點作直線的垂線，垂足為D.由題意得，，因為，所以，又因為，所以.故山頂?shù)暮０渭s為.故選：B2．2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為（單位：），三角高程測量法是珠穆高峰測量法之一，如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有三點，且在同一水平面上的投影滿足，，由點測得點的仰角為，與的差為，由點測得點的仰角為，則兩點到水平面的高度差約為（

）（）A．273 B．260 C．410 D．560【答案】D【解析】，點測得點的仰角為，所以,在三角形中，由正弦定理得，由于由點測得點的仰角為，所以高度差等于.故選：D3．的外接圓半徑，角，則面積的最大值為（

）A． B． C．4 D．【答案】A【解析】解：由正弦定理得，所以由余弦定理得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以.故選：A4．測量珠穆朗瑪峰的高度一直受到世界關(guān)注，2020年12月8日，中國和尼泊爾共同宣布珠穆朗瑪峰的最新高度為8848.86米.某課外興趣小組研究發(fā)現(xiàn)，人們曾用三角測量法對珠峰高度進(jìn)行測量，其方法為：首先在同一水平面上選定兩個點并測量兩點間的距離，然后分別測量其中一個點相對另一點以及珠峰頂點的張角，再在其中一點處測量珠峰頂點的仰角，最后計算得到珠峰高度.該興趣小組運用這一方法測量學(xué)校旗桿的高度，已知該旗桿（在水平面）垂直于水平面，水平面上兩點，的距離為，測得，，其中，在點處測得旗桿頂點的仰角為，，則該旗桿的高度為（單位：）（

）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】B【解析】在中，，，，∵，∴，在中，.故選：B.5．在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，且滿足關(guān)系式，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】,由正弦定理可得，再由余弦定理可得，,.所以在銳角中，，由正弦定理得：所以，所以.因為，所以，所以.故選：D.6．滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而流芳后世.如圖，若某人在點A測得滕王閣頂端仰角為，此人往膝王閣方向走了42米到達(dá)點B，測得滕王閣頂端的仰角為，則滕王閣的高度最接近于（

）（忽略人的身高）（參考數(shù)據(jù)：）A．49米 B．51米 C．54米 D．57米【答案】D【解析】設(shè)滕王閣的高度為，由題設(shè)知：，所以，則，又，可得米.故選：D二、多選題7．在△ABC中，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．，若，則這樣的三角形有兩個D．若，則△ABG為銳角三角形【答案】BC【解析】選項A，由正弦定理得，三角形中，所以，而，所以或，A錯；選項B，△ABC中，，所以，B正確；選項C，由于，，又，所以，角可能為銳角也可能為鈍角，三角形有兩解，C正確；選項D，，由余弦定理得，為銳角，但兩個角大小不確定，不能得出其為銳角三角形，D錯．故選：BC．8．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是鈍角三角形C．若，則的面積為 D．若，則內(nèi)切圓半徑為【答案】ACD【解析】由正弦定理得：，A正確；大邊對大角，故C最大，設(shè)，則，故是銳角三角形，B錯誤；因為，所以，由得：，故的面積為，C正確；此時設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，則，解得：，D正確.故選：ACD三、填空題9．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，則△ABC的周長的最大值為________.【答案】9【解析】解：∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，∴cosA＝＝，∵A∈(0，π)，∴A＝.∵a＝3，∴由正弦定理得＝＝＝2，∴b＝2sinB，c＝2sinC，則a＋b＋c＝3＋2sinB＋2sinC＝3＋2sinB＋2sin＝3＋3sinB＋3cosB＝3＋6sin，∵B∈，所以，∴當(dāng)B＝時，△ABC的周長取得最大值9.故答案為：9.10．如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d＝0.6km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB=1km，水的流速為2，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的時間為6min，則客船在靜水中的速度為___________．【答案】【解析】設(shè)AB與河岸線所成的角為θ,客船在靜水中的速度為vkm/h.如圖示：由題意知,，所以所以由余弦定理得,解得.故答案為：四、解答題11．已知a，b，c分別為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊，，且．(1)求角A(2)若△ABC為鈍角三角形，求△ABC周長的取值范圍．【解析】(1)∵，，∴，由正弦定理可得，即，所以，又，所以；(2)解：因為，，所以由正弦定理有，因為△ABC為鈍角三角形，，不妨設(shè)B為鈍角，則，所以，所以，因為，所以，所以，所以，即，所以，所以△ABC周長的取值范圍為.12．已知△ABC的面積為S，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求B的大??；(2)若，且BD=2，求S的最大值.【解析】(1)由題意得，，，又，所以，即，所以，又，所以；(2)因為，所以，在和中，由余弦定理得，，，又，所以，整理，得，即，在中，由余弦定理得，，所以，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以，故S的最大值為.題組C培優(yōu)拔尖練一、單選題1．如圖，某城市有一條公路從正西方通過市中心后轉(zhuǎn)向東北方，為了緩解城市交通壓力，現(xiàn)準(zhǔn)備修建一條繞城高速公路，并在上分別設(shè)置兩個出口，若部分為直線段，且要求市中心與AB的距離為20千米，則AB的最短距離為（

）A．千米 B．千米C． D．【答案】D【解析】在中，，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，設(shè)，則，又到的距離為20千米，所以，，故（時取等號），所以，得，故選：D2．在銳角中，角A，B，C所對的邊為a，b，c，若，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在銳角中，由余弦定理及三角形面積定理得：，即有，而，則，又