體系搭建體系搭建知識(shí)點(diǎn)1直線和平面平行的判定定理如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行。符號(hào)語言：知識(shí)點(diǎn)2直線和平面平行的性質(zhì)定理如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。符號(hào)語言：知識(shí)點(diǎn)3平面與平面平行的判定定理如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行；符號(hào)語言：知識(shí)點(diǎn)4平面和平面平行的性質(zhì)定理如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面；符號(hào)語言：知識(shí)點(diǎn)5相關(guān)推論（1）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號(hào)語言：(2)如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面。符號(hào)語言： (3)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行。符號(hào)語言： 知識(shí)點(diǎn)6、平行關(guān)系的綜合轉(zhuǎn)化空間中的平行關(guān)系有線線平行、線面平行、面面平行．這三種關(guān)系不是孤立的，而是互相聯(lián)系的．它們之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：證明平行關(guān)系的綜合問題需靈活運(yùn)用三種平行關(guān)系的定義、判定定理、性質(zhì)定理．有關(guān)線面、面面平行的判定與性質(zhì)，可按下面的口訣去記憶：空間之中兩直線，平行相交和異面．線線平行同方向，等角定理進(jìn)空間．判斷線和面平行，面中找條平行線；已知線和面平行，過線作面找交線．要證面和面平行，面中找出兩交線．線面平行若成立，面面平行不用看．已知面與面平行，線面平行是必然．若與三面都相交，則得兩條平行線．例題分析例題分析考點(diǎn)1空間中直線與直線的位置關(guān)系【例1】．梯形ABCD中，AB∥CD，E、F分別為BC和AD的中點(diǎn)，將平面DCEF沿EF翻折起來，使CD到C′D′的位置，G、H分別為AD′和BC′的中點(diǎn)．求證：四邊形EFGH為平行四邊形．證明：∵梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC、AD的中點(diǎn)，∴EF∥AB，且EF＝（AB+CD），又C′D′∥EF，EF∥AB，∴C′D′∥AB，∵G，H分別為AD′，BC′的中點(diǎn)，∴GH∥AB，且GH＝（AB+C′D′）＝（AB+CD），∴GHEF，∴四邊形EFGH為平行四邊形．變式訓(xùn)練【變11】．已知E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若對(duì)角線BD＝2，AC＝4，則EG2+HF2的值是（）A．5 B．10 C．12 D．不能確定解：如圖所示，因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，由中位線定理可得，EH∥BD且EH＝BD，F(xiàn)G∥BD且FG＝BD，所以四邊形EFGH為平行四邊形，則EG2+HF2＝2×（12+22）＝10．故選：B．【變12】．如圖，△ABC和△A′B′C′的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA′，BB′，CC′交于同一點(diǎn)O，且．（1）求證：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；（2）求的值．（1）證明：∵AA′∩BB′＝O，且，∴A′B′∥AB，∵AA′∩CC′＝0，且，∴A′C′∥AC，∵BB′∩CC′＝O，且，∴B′C′∥BC．（2）解：∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，且A′B′和AB、A′C′和AC方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′，同理，∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∵，∴＝（）2＝．考點(diǎn)2直線與平面平行的判定【例2】．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝1，AC＝，AA1＝4，點(diǎn)D、E、F分別是棱BC、CC1、AA1的中點(diǎn)．求證：FB∥平面ADE；解：（I）連結(jié)CF交AE與G，連結(jié)DG，EF∵E，F(xiàn)是CC1，AA1的中點(diǎn)，∴四邊形ACEF是平行四邊形，∴G是CF的中點(diǎn)．又∵D是BC的中點(diǎn)，∴DG∥BF．又BF?平面ADE，DG?平面ADE，∴FB∥平面ADE．變式訓(xùn)練【變21】．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE：EB＝AF：FD＝1：4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則（）A．BD∥平面EFG，且四邊形EFGH是矩形 B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形 C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形 D．EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形解：如圖所示，在平面ABD內(nèi)，∵AE：EB＝AF：FD＝1：4，∴EF∥BD．又BD?平面BCD，EF?平面BCD，∴EF∥平面BCD．又在平面BCD內(nèi)，∵H，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴HG∥BD．∴HG∥EF．又，∴EF≠HG．在四邊形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，∴四邊形EFGH為梯形．故選：B．【變22】．如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，四邊形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．求證：AM∥平面BDE．證明：設(shè)AC∩BD＝O，連接OE，如圖所示，∵O、M分別為AC、EF的中點(diǎn)，四邊形ACEF為矩形，∴EM∥OA，且EM＝OA，∴四邊形AOEM為平行四邊形，∴AM∥OE，又AM?平面BDE，OE?平面BDE，∴AM∥平面BDE．考點(diǎn)3直線與平面平行的性質(zhì)【例3】．如圖，已知E，F(xiàn)分別是菱形ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)，EF與AC交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在平面ABCD外，M是線段PA上一動(dòng)點(diǎn)，若PC∥平面MEF，試確定點(diǎn)M的位置．解：如圖，連接BD交AC與點(diǎn)O1，連接OM，∵PC∥平面MEF，PC?平面PAC，平面PAC∩平面MEF＝OM，∴PC∥OM，∴，在菱形ABCD中，∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，∴，又AO1＝O1C，∴，∴，即點(diǎn)M為線段PA上靠近點(diǎn)P的四等分點(diǎn)．變式訓(xùn)練【變31】．如圖，a∥α，A是α的另一側(cè)的點(diǎn)，B、C、D∈a，線段AB、AC、AD分別交α于E、F、G．若BD＝4，CF＝4，AF＝5，則EG＝．解：∵a∥α，平面α∩平面ABD＝EG，∴a∥EG，即BD∥EG，∴由平行線等分線段定理得：＝＝＝，∴EG＝＝＝．故答案為：．【變32】．如圖，已知在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是平行四邊形，M是PC的中點(diǎn)，連接BD，MD，MB，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面，交平面BDM于GH．求證：AP∥GH．證明：連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)，又M是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OM．而PA?平面BDM，OM?平面BDM，∴AP∥平面BMD．∵AP?平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴AP∥GH．考點(diǎn)4平面與平面平行的判定【例4】．如圖，四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．（1）求證：BE∥平面DMF；（2）求證：平面BDE∥平面MNG．證明：（1）如圖，連接AE，則AE必過DF與GN的交點(diǎn)O，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO，又BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF．（2）因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥GN，又DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG．又M為AB中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN，又BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG．變式訓(xùn)練【變41】．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是A1D1，A1B1的中點(diǎn)，過直線BD的平面α∥平面AMN，則平面α截該正方體所得截面的面積為（）A． B． C． D．解：取B1C1的中點(diǎn)E，C1D1的中點(diǎn)F，連接EF，BE，DF，B1D1，則EF∥B1D1，B1D1∥BD，所以EF∥BD，故EFBD在同一平面內(nèi)，連接ME，因?yàn)镸，E分別為A1D1B1C1的中點(diǎn)，所以ME∥AB，且ME＝AB，所以四邊形ABEM是平行四邊形，所以AM∥BE，又因?yàn)锽E?平面BDFE，AM不在平面BDFE內(nèi)，所以AM∥平面BDFE，同理AN∥平面BDFE，因?yàn)锳M∩AN＝A，所以平面AMN∥平面BDFE，即平面a截該正方體所得截面為平面BDFEBD＝，EF＝＝，DF＝，梯形BDFE如圖：過E，F(xiàn)作BD的垂線，則四邊形EFGH為矩形，∴FG＝＝＝，故四邊形BDFE的面積為＝．故選：B．【變42】．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，G是A1C1的中點(diǎn)，過點(diǎn)G的截面與側(cè)面ABB1A1平行，若側(cè)面ABB1A1是邊長(zhǎng)為4的正方形，則截面的周長(zhǎng)為12．解：如圖，取B1C1的中點(diǎn)M，BC的中點(diǎn)N，AC的中點(diǎn)H，連接GM，MN，HN，GH，則GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，所以有GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1．又GM∩MN＝M，所以平面GMNH∥平面ABB1A1，即平面GMNH為過點(diǎn)G且與平面ABB1A1平行的截面，易得此截圖的周長(zhǎng)為4+4+2+2＝12．故答案為：12．【變43】．如圖（甲），在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，F(xiàn)，H，G分別為AC，AD，DE的中點(diǎn)，現(xiàn)將△ACD沿CD折起，如圖（乙）．求證：平面FHG∥平面ABE．證明：∵F，H，G分別為AC，AD，DE的中點(diǎn)，∴FH∥CD，HG∥AE，∵AB⊥CD，AB⊥BE，∴CD∥BE，∴FH∥BE，∵BE?平面ABE，F(xiàn)H?平面ABE，∴FH∥平面ABE，∵AE?平面ABE，HG?平面ABE，∴HG∥平面ABE，∵FH∩HG＝H，∴平面FHG∥平面ABE．考點(diǎn)5平面與平面平行的性質(zhì)【例5】．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)，G分別為B1C1，A1B1，AB的中點(diǎn)．（1）求證：平面A1C1G∥平面BEF；（2）若平面A1C1G∩BC＝H，求證：H為BC的中點(diǎn)．證明：（1）如圖，∵E，F(xiàn)分別為B1C1，A1B1的中點(diǎn)，∴EF∥A1C1，∵A1C1?平面A1C1G，EF?平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，又F，G分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，∴A1F＝BG，又A1F∥BG，∴四邊形A1GBF為平行四邊形，則BF∥A1G，∵A1G?平面A1C1G，BF?平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，∴平面A1C1G∥平面BEF；（2）∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G與平面ABC有公共點(diǎn)G，則有經(jīng)過G的直線，設(shè)交BC＝H，則A1C1∥GH，得GH∥AC，∵G為AB的中點(diǎn)，∴H為BC的中點(diǎn)．變式訓(xùn)練【變51】（多選）．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱BB1，B1C1，C1D1的中點(diǎn)，則（）A．FG∥平面AED1 B．BC1∥平面AED1 C．點(diǎn)C1在平面AED1內(nèi) D．點(diǎn)F在平面AED1內(nèi)解：如圖，連接B1D1，∵F，G分別是棱B1C1，C1D1的中點(diǎn)，∴GF∥B1D1，若FG∥平面AED1，則B1D1?平面AED1或B1D1∥平面AED1，這與B1D1∩平面AED1＝D1矛盾，故A錯(cuò)誤；連接EF，由題意可知EF∥BC1，而EF?平面AED1，BC1?平面AED1，∴BC1∥平面AED1，故B正確；由EF?平面AED1，BC1∥平面AED1，可得點(diǎn)C1不在平面AED1內(nèi)，點(diǎn)F在平面AED1內(nèi)，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：BD．【變52】．如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為平行四邊形．解：∵平面ABFE∥平面DCGH，且平面EFGH分別截平面ABFE與平面DCGH得直線EF與GH，∴EF∥GH．同理，F(xiàn)G∥EH，∴四邊形EFGH為平行四邊形．故答案為：平行四邊形．【變53】．過兩平行平面α、β外的點(diǎn)P兩條直線AB與CD，它們分別交α于A、C兩點(diǎn)，交β于B、D兩點(diǎn)，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，則BD的長(zhǎng)為12．解：當(dāng)兩個(gè)平面在點(diǎn)P的同側(cè)時(shí)，由面面平行的性質(zhì)定理可得AC與BD平行，∴∵PA＝6，AC＝9，PB＝8，∴BD＝12；同理，當(dāng)點(diǎn)P在兩個(gè)面的中間時(shí)，BD＝12．故答案為：12．1．條件“△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到平面α的距離相等”是“△ABC所在平面與平面α平行”的（）．A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件解：如圖示，若“△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到平面α的距離相等”，此時(shí)“△ABC所在平面與平面α不平行”，充分性不成立；而“△ABC所在平面與平面α平行”，則“△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到平面α的距離相等”，必要性成立．所以“△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)到平面α的距離相等”是“△ABC所在平面與平面α平行”的必要非充分條件．故選：B．2．下列四個(gè)正方體圖形中，A、B、M、N、P分別為正方體的頂點(diǎn)或其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形是（）A． B． C． D．解：對(duì)于A，由題意得MN∥AC，NP∥BC，而MP∩NP＝P，AC∩BC＝C，MP?平面MNP，NP?平面MNP，AC?平面BC，BC?平面ABC，故平面MNP∥平面ABC，而AB?平面ABC，故AB∥平面MNP，故A正確；對(duì)于B，取MP的中點(diǎn)Q，底面中心O，則NO∥AB，故AB與NQ相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，MB∥NP，故B∈平面MNP，則AB∩平面MNP＝B，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，作平行四邊形MNPQ，則AB與MQ相交，故D錯(cuò)誤．故選：A．3．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為A1B1，BC的中點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)E，F(xiàn)，D1的平面為α，則下列說法正確的是（）A．在正方體AC1中，存在某條棱與平面α平行 B．在正方體AC1中，存在某條面對(duì)角線與平面α平行 C．在正方體AC1中，存在某條體對(duì)角線與平面α平行 D．平面α截正方體AC1所得的截面為五邊形解：對(duì)于A：因?yàn)锽C∩α＝F，BC?α，所以BC，AD，A1D1，B1C1都不與α平行，又A1B1∩α＝E，A1B1?α，所以A1B1，AB，CD，C1D1都不與α平行，因?yàn)镈D1∩α＝D1，DD1?α，所以DD1，CC1，BB1，AA1都不與α平行，故不存在棱與平面α平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由D作截面圖形為五邊形D1EPFM可判斷不存在某條面對(duì)角線與平面α平行，對(duì)于C：由D作截面圖形為五邊形D1EPFM可判斷不存在某條體對(duì)角線與平面α平行，對(duì)D：如圖，取AB中點(diǎn)G，易得D1E∥DG，取CD中點(diǎn)H，連接BH，則易得BH∥DG，再取CH中點(diǎn)M，連接FM，則FM∥BH，所以FM∥D1E，所以FM是平面α與正方體底面ABCD的交線，延長(zhǎng)MF，與AB的延長(zhǎng)線交于N，連接EN，交BB1于P，則可得五邊形D1EPFM即為平面α交正方體ABCD﹣A1B1C1D1的截面，故D正確；故選：D．4.（多選）．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，M、N分別為AC、PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，則（）A．MN∥PD B．MN∥平面PAB C．MN∥AD D．MN∥PA解：四棱錐P﹣ABCD中，M，N分別為AC，PC上的點(diǎn)，且MN∥平面PAD，MN?平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，由直線與平面平行的性質(zhì)定理可得：MN∥PA．MN?平面PAB，PA?平面PAB，所以MN∥平面PAB．故選：BD．5.（多選）．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M、N分別為棱C1D1，CC1的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．A，D，B1，C1四點(diǎn)共面 B．AM與BN是異面直線 C．平面B1MA1∥平面ABCD D．B1C1∥平面ADM解：由AD∥B1C1，知AD，B1C1共面，即A，D，B1，C1四點(diǎn)共面，A正確；取DD1中點(diǎn)P，連接AP，PN，易得AB∥PN，AB＝PN，則四邊形ABNP為平行四邊形，AP∥BN，又M?平面ABNP，故AM與BN是異面直線，B正確；取DC中點(diǎn)Q，連接BQ，MQ，易得BB1∥MQ，BB1＝MQ，則四邊形BB1MQ為平行四邊形，B1M∥BQ，又B1M?平面ABCD，BQ?平面ABCD，則B1M∥平面ABCD，又A1B1∥AB，同理可得A1B1∥平面ABCD，又A1B1，B1M?平面B1MA1，A1B1∩B1M＝B1，則平面B1MA1∥平面ABCD，C正確；由B1C1∥AD，又B1C1?平面ADM，AD?平面ADM，則B1C1∥平面ADM，D正確．故選：ABCD．6.（多選）．如圖是一幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PD，PC，PB的中點(diǎn)．在此幾何體中，給出下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論是（）A．平面EFGH∥平面ABCD B．直線PA∥平面BDG C．直線EF∥平面PBC D．直線EF∥平面BDG解：作出立體圖形如圖所示，連結(jié)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)構(gòu)成平面EFGH，對(duì)于A，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PA，PD的中點(diǎn)，所以EF∥AD，又EF?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，同理EH∥平面ABDCD，又EH∩EF＝E，EF，EH?平面EFGH，所以平面EFGH∥平面ABCD，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，連結(jié)AC，BD，DG，BG，設(shè)AC的中點(diǎn)為M，則M也是BD的中點(diǎn)，所以MG∥PA，又MG?平面BDG，PA?平面BDG，所以PA∥平面BDG，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，由A中的分析可知EF∥AD，AD∥BC，所以EF∥BC，因?yàn)镋F?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，根據(jù)C中的分析可知，EF∥BC，再結(jié)合圖形可得，BC∩BD＝B，則直線EF與平面BDG不平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：ABC．7．如圖所示，P為?ABCD所在平面外一點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC上一點(diǎn)，當(dāng)PA∥平面EBF時(shí)，＝．解：連接AC交BE于點(diǎn)M，連接FM．∵PA∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面EBF＝EM，∴PA∥EM，∴＝＝＝，故答案為：．8．如圖所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，M、N分別是下底面的棱A1B1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面的棱AD上的一點(diǎn)，AP＝，過P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，則PQ＝a．解：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN?平面A1B1C1D1∴MN∥平面ABCD，又PQ＝面PMN∩平面ABCD，∴MN∥PQ．∵M(jìn)、N分別是A1B1、B1C1的中點(diǎn)∴MN∥A1C1∥AC，∴PQ∥AC，又AP＝，ABCD﹣A1B1C1D1是棱長(zhǎng)為a的正方體，∴CQ＝，從而DP＝DQ＝，∴PQ＝＝＝a．故答案為：a9．棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點(diǎn)，過C、M、D1作正方體的截面，則截面的面積是．解：如圖，由面面平行的性質(zhì)知截面與平面AB1的交線MN是△AA1B的中位線，所以截面是梯形CD1MN，易求其面積為．10．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE：EB＝AF：FD＝1：5，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是①②③（請(qǐng)?zhí)顚懻_命題的序號(hào)）①BD∥平面EFGH；②EF∥平面BCD；③HG∥平面ABD；④EH∥平面ADC．解：∵在△ABD中，AE：EB＝AF：FD＝1：5，∴，又∵EF?平面EFGH，BD?平面EFGH，BD?平面BCD，EF?平面BCD，∴BD∥平面EFGH；EF∥平面BCD；∵HG分別為BC，CD的中點(diǎn)，∴，又∵HG?平面ABD，BD?平面ABD，∴HG∥平面ABD，∴EF∥HG，EF≠HG，∴四邊形EFGH是梯形，∴EH與GF必相交，∵GF?平面ADC，∴EH與平面ADC有公共點(diǎn)，即EH與平面ADC不平行．綜上，正確的是：①②③，故答案為：①②③．11．如圖，四邊形EFGH為四面體ABCD的一個(gè)截面，若四邊形EFGH為平行四邊形，AB＝4，CD＝6，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)的取值范圍是（8，12）．解：設(shè)EF＝x（0＜x＜4），∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴＝，則＝＝＝1﹣，從而FG＝6﹣，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)l＝2（x+6﹣）＝12﹣x，又0＜x＜4，則有8＜l＜12，∴四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍是（8，12）．故答案為：（8，12）．12．如圖，已知空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是線段AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，且AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝AC，求證：四邊形EFGH是正方形．證明：取BD中點(diǎn)O，連接OA，OC，∵AB＝AD，BC＝DC，∴AO⊥BD，CO⊥BD，又AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，∴BD⊥AC，∵E，F(xiàn)，G，H為AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，∴EH∥BD，且EH＝BD，F(xiàn)G∥BD，且FG＝BD，EF∥AC，∴EH∥FG，且EH＝FG，∴四邊形EFGH是平行四邊形，又AC＝BD，故EH＝HG，故四邊形EFGH是菱形，∵AC⊥BD，又EF∥AC，EH∥BD，∴EF⊥EH，∴四邊形EFGH為正方形．13．如圖所示，在四棱錐C﹣ABED中，四邊形ABED是正方形，點(diǎn)G，F(xiàn)分別是線段EC，BD的中點(diǎn)．（1）求證：GF∥平面ABC；（2）線段BC上是否存在一點(diǎn)H，使得面GFH∥面ACD．若存在，請(qǐng)找求出點(diǎn)H并證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．證明：（1）由四邊形ABED為正方形可知，連接AE必與BD相交于中點(diǎn)F故GF∥AC∵GF?面ABC∴GF∥面ABC解：（2）線段BC上存在一點(diǎn)H滿足題意，且點(diǎn)H是BC中點(diǎn)理由如下：由點(diǎn)G，H分別為CE，CB中點(diǎn)可得：GH∥EB∥AD∵GH?面ACD∴GH∥面ACD由（1）可知，GF∥面ACD且GF∩GH＝G故面GFH∥面ACD14．如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為線段AC1，A1C1的中點(diǎn)．（1）求證：EF∥平面BCC1B1；（2）在線段BC1上是否存在一點(diǎn)G，使平面EFG∥平面ABB1A1？請(qǐng)說明理由．（1）證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為線段AC1A1C1的中點(diǎn)，所以EF∥A1A，因?yàn)锽1B∥A1A，所以EF∥B1B，又因?yàn)镋F?平面BCC1B1，B1B?平面BCC1B1，所以EF∥平面BCC1B1．解：（2）取BC1的中點(diǎn)G，連接GE，GF，因?yàn)镋為AC1的中點(diǎn)，所以GE∥AB，因?yàn)镚E?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，所以GE∥平面ABB1A1，同理可得，EF∥平面ABB1A1，又