專題51向量模、夾角投影與坐標(biāo)運(yùn)算目錄一、熱點(diǎn)題型歸納TOC\o"13"\h\u【題型一】向量夾角1：坐標(biāo)運(yùn)算 1【題型二】向量夾角2：夾角銳鈍 3【題型三】向量夾角3：模 4【題型四】向量夾角4：復(fù)合型向量夾角 6【題型五】投影 7【題型六】模與數(shù)量積 9【題型七】范圍最值 11二、真題再現(xiàn) 12三、模擬檢測(cè) 16綜述：1.模公式：。2.平面向量數(shù)量積公式：（1）a?（2）a?主要應(yīng)用以下幾個(gè)方面:（1）求向量的夾角，cosθ=a·b（2）求投影，a在b上的投影是a?（3）a,b向量垂直，則a?b=0;(4)求向量ma【題型一】向量夾角1：坐標(biāo)運(yùn)算【典例分析】（2022·福建南平·高三期末）設(shè)向量，，則與的夾角等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用向量的夾角公式求解即可【詳解】設(shè)與的夾角為，因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，故選：A【提分秘籍】基本規(guī)律兩個(gè)非零向量、的夾角：已知非零向量與，記、，則()叫做與的夾角.說(shuō)明：①當(dāng)時(shí)，與同向；②當(dāng)時(shí)，與反向；③當(dāng)時(shí)，與垂直，記；【變式演練】1.（2021·吉林白山·高三期末（文））若向量與向量的夾角為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量的夾角公式和同角三角函數(shù)關(guān)系，即得解【詳解】由題意，又故選：D2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由求出，再利用空間向量的夾角公式求解即可【詳解】設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)?，，且，所以，得，所以，所以，因?yàn)?，所以，故選：A3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，向量，則與的夾角大小為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】D【分析】計(jì)算可得，利用數(shù)量積公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】向量，向量，，，且，的夾角為.故選：D.【題型二】向量夾角2：夾角銳鈍【典例分析】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若，且與的夾角是鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接由且與不共線求解即可.【詳解】由題意知，且與不共線，且，解得．故選：C.【提分秘籍】基本規(guī)律用坐標(biāo)或者數(shù)量積求解夾角銳鈍時(shí)，要注意向量共線（同向或者反向）【變式演練】1.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接由且與不共線結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】由與的夾角為銳角知且與不共線，即且，即且.故選：D.2.（2022·安徽·巢湖市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知向量，，則“”是“與的夾角為銳角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)與的夾角為銳角求出的取值范圍，再結(jié)合必要不充分條件的概念可得答案.【詳解】當(dāng)與的夾角為銳角時(shí)，且與不共線，即，∴且，∴“”是“與的夾角為銳角”的必要不充分條件.故選：B.3.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，若與的夾角為鈍角，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)榕c的夾角為鈍角，所以，即，解得或，當(dāng)與共線時(shí)，，，，此時(shí)和反向，不滿足題意，故x的范圍為；故選：D.【題型三】向量夾角3：?！镜淅治觥浚?022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）若非零向量，滿足，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得，化簡(jiǎn)結(jié)合已知條件和夾角公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)向量與的夾角為（），因?yàn)椋?，所以，得，因?yàn)榉橇阆蛄?，滿足，所以，因?yàn)?，所以，故選：C【提分秘籍】基本規(guī)律.。【變式演練】1.（2022·浙江·高三開學(xué)考試）已知向量滿足，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對(duì)平方，代入已知條件整理得，再利用數(shù)量積公式可求得.【詳解】，，又，，，設(shè)與的夾角為，，從而，所以與的夾角.故選：C2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用得到數(shù)量積為0，得到，然后由數(shù)量積的定義可得夾角余弦值，從而得夾角大小【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?，結(jié)合，所以與的夾角為，故選：B．3.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知單位向量，滿足，則與的夾角為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律及夾角公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋瑸閱挝幌蛄?，所以，又，所以，即，所以，即，所以，所以，因?yàn)椋?；故選：C【題型四】向量夾角4：復(fù)合型向量夾角【典例分析】（2022·安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））非零向量滿足，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用向量夾角公式計(jì)算作答.【詳解】由得：，即，解得，因此，，而，解得，所以與的夾角為.故選：B【提分秘籍】基本規(guī)律實(shí)際教學(xué)中，許多學(xué)生對(duì)于復(fù)合型向量求夾角，容易混淆不清，可以直接把復(fù)合向量設(shè)為新向量來(lái)代入公式求解?！咀兪窖菥殹?.（2022·河北邯鄲·二模）若向量，滿足，，且，則向量與夾角的余弦值為（

）.A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合平面向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，因?yàn)?，所以向量與夾角的余弦值為，故選：D2.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知非零向量、滿足，，則向量與向量夾角的余弦值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，設(shè)，，根據(jù)求出，再根據(jù)平面向量的夾角公式計(jì)算可得解.【詳解】因?yàn)椋钥稍O(shè)，，則，，因?yàn)椋?，?則，故選：A.3.（2022·遼寧錦州·一模）若，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求得，再利用向量的夾角公式，即可求解.【詳解】由條件可知，兩邊平方后得，并且，，因?yàn)橄蛄繆A角的范圍是，所以向量與的夾角為故選：A【題型五】投影【典例分析】已知向量a在向量b方向上的投影為-1，向量b在向量a方向上的投影為-12，且|b|=1，則A．23B．4C．2D．河南省林州市第一中學(xué)20192020學(xué)年高三5月月考數(shù)學(xué)試題【答案】C【解析】分析：向量b在向量a方向上的投影為-12，求出向量夾角，由向量a在向量b方向上的投影為-1，求出向量a的模，將|詳解：設(shè)a,b的夾角為θ，向量b在向量a方向上的投影為-1所以得bcosθ=-12,∴cosθ=-所以acos∴a∴a+2【提分秘籍】基本規(guī)律1.a在b方向上的投影為：|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)2.向量在方向上的投影：設(shè)為、的夾角，則為在方向上的投影.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量.當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為；當(dāng)時(shí)投影為；當(dāng)時(shí)投影為.【變式演練】1.已知向量,的夾角為120°，且則向量在向量方向上的投影為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)數(shù)量積公式可得投影為，故選D.2.已知向量，的夾角為，且，，則向量在向量方向上的投影是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】試題分析：由已知式子化簡(jiǎn)可得：，所以向量在向量方向上的投影為3.已知向量a，b滿足a=5，a-b=6，a+b=42018屆湖南?。ㄩL(zhǎng)郡中學(xué)、衡陽(yáng)八中)、江西?。喜?等十四校高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)理科試題【答案】-1【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)可求a→?b→，然后代入到向量b→【詳解】|a→|=5，|a→a→?b→=-5，則向量b→在向量a【題型六】模與數(shù)量積【典例分析】若向量，，，則______________.河北省唐山市第十二高級(jí)中學(xué)20192020學(xué)年高三下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【答案】【分析】由條件先求的值，再代入求值.【詳解】解得：，.故答案為：【提分秘籍】基本規(guī)律平面向量數(shù)量積(內(nèi)積)的定義：已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量叫與的數(shù)量積，記作，即有().規(guī)定與任何向量的數(shù)量積為.說(shuō)明：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積的區(qū)別：(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由的符號(hào)所決定.(2)兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成，書寫時(shí)注意符號(hào)“·”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替.(3)，.(4)在實(shí)數(shù)中，若，且，則，但是在向量中，若，且，不能推出，∵其中.(5)已知實(shí)數(shù)、、()，則，但是向量不能推出，如圖：，，但.(6)在實(shí)數(shù)中有，但是在向量中，【變式演練】1.若等邊ΔABC的邊長(zhǎng)為3，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CM=13CB+A．2B．-152C．152【答案】A【解析】解析：因AM=CM-CA,MB=2.在△中，，，是邊上的一點(diǎn)，且，則的值為A．0B．4C．8D．【答案】B【解析】試題分析：，,故選B.3.已知向量滿足，，則A．4 B．3 C．2 D．0【答案】B分析：根據(jù)向量模的性質(zhì)以及向量乘法得結(jié)果.詳解：因?yàn)樗赃xB.【題型七】范圍最值【典例分析】已知向量、的夾角為，，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．[首發(fā)]浙江省溫州市“十五校聯(lián)合體”20192020學(xué)年高三下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（A卷)【答案】A【解析】由，得…………①由，得…………②由①②得，且從而有，又，故,選A.【變式演練】1.（2022·浙江·樂(lè)清市知臨中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）平面向量滿足，則與夾角最大值時(shí)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)條件對(duì)兩邊平方即可得出,從而可求出,進(jìn)而即可得出然后根據(jù)基本不等式即可得出求出向量夾角的最大值,判斷出，.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄繚M足，所以，所以，所以.由夾角公式，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）.因?yàn)?，所以，即時(shí)最大.此時(shí).故選：D2.已知向量滿足：，則在上的投影長(zhǎng)度的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】試題分析：由，可得，整理得，根據(jù)則在上的投影長(zhǎng)度為，而其投影肯定會(huì)不大于，所以其范圍為，故選D．3.已知向量e1與e2的夾角為π4，|e1|=1，|e2|=2A．(-5-132C．(-∞,-5-132【答案】D【解析】根據(jù)夾角為銳角，有cos?λe1+e2,3e11．（·陜西·高考真題（文））已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m等于（

）A．－ B．C．－或 D．0【答案】C【分析】應(yīng)用向量平行的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù)值即可.【詳解】由知：1×2－m2＝0，即或.故選：C.2．（2022·全國(guó)·高考真題（文））已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D3．（·山東·高考真題）已知向量，，那么等于（

）A． B． C．1 D．0【答案】A【分析】利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和兩角和的正弦公式可得答案.【詳解】，，.故選：A.4．（·山東·高考真題）已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，點(diǎn)的坐標(biāo)是，那么的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)在函數(shù)的圖象上代入可得，再利用向量的模長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，∴，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，，．故選：D5．（2020·山東·高考真題）已知點(diǎn)，，點(diǎn)在函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上，若，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】由二次函數(shù)對(duì)稱軸設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算可得．【詳解】由題意函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是，設(shè)，因?yàn)?，所以，解得或，所以或，故選：C．6．（2022·全國(guó)·高考真題（理））已知向量滿足，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定模長(zhǎng)，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【詳解】解：∵，又∵∴9，∴故選：C.7．（2022·全國(guó)·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡(jiǎn)即可求得【詳解】解：,,即,解得,故選：C8．（2022·北京·高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)?，所以在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)椋?，即；故選：D9．（2022·全國(guó)·高考真題（文））已知向量．若，則______________．【答案】##【分析】直接由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】由題意知：，解得.故答案為：.10．（2021·全國(guó)·高考真題）已知向量，，，_______．【答案】【分析】由已知可得，展開化簡(jiǎn)后可得結(jié)果.【詳解】由已知可得，因此，.故答案為：.11．（2022·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則_________．【答案】【分析】設(shè)與的夾角為，依題意可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出，最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得．【詳解】解：設(shè)與的夾角為，因?yàn)榕c的夾角的余弦值為，即，又，，所以，所以．故答案為：．12．（2020·浙江·高考真題）設(shè)，為單位向量，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為_______．【答案】【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化簡(jiǎn)條件得，再根據(jù)向量夾角公式求函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值.【詳解】，，，.故答案為：.13．（2021·浙江·高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________.【答案】【分析】設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，再結(jié)合柯西不等式即可得解.【詳解】由題意，設(shè)，則，即，又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.14．（2021·北京·高考真題）已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則________；________.【答案】

0

3【分析】根據(jù)坐標(biāo)求出，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算即可.【詳解】以交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，.故答案為：0；3.1.（2022·江蘇·金陵中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，，則向量與向量的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用平面向量的夾角公式求出夾角余弦值，再利用誘導(dǎo)公式結(jié)合角的范圍進(jìn)行求解..【詳解】設(shè)向量與向量的夾角為，由題意，得，，，所以，因?yàn)?，，所以，即向量與向量的夾角為.故選：D.2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知向量，則“與的夾角為銳角”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】求出與的夾角為銳角時(shí)的充要條件是且，從而判斷出答案.【詳解】因?yàn)榕c的夾角為銳角，則且與不共線.時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則與不共線時(shí)，，所以與的夾角為銳角的充要條件是且，顯然且是的真子集，即“與的夾角為銳角”是“”的充分不必要條件，A正確.故選：A3.（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)（文））設(shè)向量，滿足，，與的夾角為，則等于（

）A．2 B．1 C．3 D