福建省示范名校2025屆高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．把滿足條件（1），，（2），，使得的函數(shù)稱為“D函數(shù)”，下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個數(shù)為（）①②③④⑤A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．已知集合．為自然數(shù)集，則下列表示不正確的是（）A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，在定義域上單調(diào)遞增，且值域為的是（）A． B． C． D．5．如圖，平面與平面相交于，，，點，點，則下列敘述錯誤的是（）A．直線與異面B．過只有唯一平面與平行C．過點只能作唯一平面與垂直D．過一定能作一平面與垂直6．已知數(shù)列的通項公式是，則（）A．0 B．55 C．66 D．787．已知，，且是的充分不必要條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．若表示不超過的最大整數(shù)(如，，)，已知，，，則（）A．2 B．5 C．7 D．89．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A． B． C． D．10．已知正項等比數(shù)列的前項和為，則的最小值為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．12．函數(shù)在的圖象大致為()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個交點坐標(biāo)為，則雙曲線的焦距為______.14．已知拋物線的焦點為，其準(zhǔn)線與坐標(biāo)軸交于點，過的直線與拋物線交于兩點，若，則直線的斜率________.15．已知正項等比數(shù)列中，，則__________．16．某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成績進(jìn)行分析，隨機抽取了150分到450分之間的1000名學(xué)生的成績，并根據(jù)這1000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績在[250，400)內(nèi)的學(xué)生共有____人．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以軸正半軸為始邊的銳角的終邊與單位圓交于點,且點的縱坐標(biāo)是．（1）求的值:（2）若以軸正半軸為始邊的鈍角的終邊與單位圓交于點,且點的橫坐標(biāo)為,求的值．18．（12分）心形線是由一個圓上的一個定點，當(dāng)該圓在繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周上滾動時，這個定點的軌跡，因其形狀像心形而得名，在極坐標(biāo)系中，方程（）表示的曲線就是一條心形線，如圖，以極軸所在的直線為軸，極點為坐標(biāo)原點的直角坐標(biāo)系中.已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）若曲線與相交于、、三點，求線段的長.19．（12分）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù)，設(shè)的最小值為m.（1）求m的值；（2）是否存在實數(shù)a，b，使得，？并說明理由.21．（12分）如圖，焦點在軸上的橢圓與焦點在軸上的橢圓都過點，中心都在坐標(biāo)原點，且橢圓與的離心率均為．（Ⅰ）求橢圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）過點M的互相垂直的兩直線分別與，交于點A，B（點A、B不同于點M），當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時，求兩直線MA，MB斜率的比值.22．（10分）已知函數(shù)有兩個極值點，.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

求出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)，即可得出結(jié)論.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點的坐標(biāo)為，該點位于第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的位置的判斷，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點對稱，分別對所給函數(shù)進(jìn)行驗證.【詳解】滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點對稱，①不滿足（2）；②不滿足（1）；③不滿足（2）；④⑤均滿足（1）（2）.故選：B.【點睛】本題考查新定義函數(shù)的問題，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生邏輯推理與分析能力，是一道容易題.3、D【解析】

集合．為自然數(shù)集，由此能求出結(jié)果．【詳解】解：集合．為自然數(shù)集，在A中，，正確；在B中，，正確；在C中，，正確；在D中，不是的子集，故D錯誤．故選：D．【點睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關(guān)系、集合與集合的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．4、B【解析】

分別作出各個選項中的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象觀察可得結(jié)果.【詳解】對于，圖象如下圖所示：則函數(shù)在定義域上不單調(diào)，錯誤；對于，的圖象如下圖所示：則在定義域上單調(diào)遞增，且值域為，正確；對于，的圖象如下圖所示：則函數(shù)單調(diào)遞增，但值域為，錯誤；對于，的圖象如下圖所示：則函數(shù)在定義域上不單調(diào)，錯誤.故選：.【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性和值域的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

根據(jù)異面直線的判定定理、定義和性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的關(guān)系，對選項中的命題判斷.【詳解】A.假設(shè)直線與共面，則A，D，B，C共面，則AB，CD共面，與，矛盾，故正確.B.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過只有唯一平面與平行，故正確.C.根據(jù)過一點有且只有一個平面與已知直線垂直知，故正確.D.根據(jù)異面直線的性質(zhì)知，過不一定能作一平面與垂直，故錯誤.故選：D【點睛】本題主要考查異面直線的定義，性質(zhì)以及線面關(guān)系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.6、D【解析】

先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計算出的值，可進(jìn)一步得到數(shù)列的通項公式，然后代入轉(zhuǎn)化計算，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算出結(jié)果.【詳解】解：由題意得，當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，所以當(dāng)為奇數(shù)時，；當(dāng)為偶數(shù)時，，所以故選：D【點睛】此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題，以及數(shù)列求和，考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.7、D【解析】

“是的充分不必要條件”等價于“是的充分不必要條件”，即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知：可化簡為，，所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集，所以.【點睛】利用原命題與其逆否命題的等價性，對是的充分不必要條件進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換，使問題易于求解.8、B【解析】

求出，，，，，，判斷出是一個以周期為6的周期數(shù)列，求出即可．【詳解】解：.，∴，，，同理可得：；；.；，，…….∴.故是一個以周期為6的周期數(shù)列，則.故選：B.【點睛】本題考查周期數(shù)列的判斷和取整函數(shù)的應(yīng)用．9、A【解析】

首先求得時，的取值范圍.然后求得時，的單調(diào)性和零點，令，根據(jù)“時，的取值范圍”得到，利用零點存在性定理，求得函數(shù)的零點所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時，.當(dāng)時，為增函數(shù)，且，則是唯一零點.由于“當(dāng)時，.”，所以令，得，因為，，所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選：A【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查符合函數(shù)零點，考查零點存在性定理，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10、D【解析】

由，可求出等比數(shù)列的通項公式，進(jìn)而可知當(dāng)時，；當(dāng)時，，從而可知的最小值為，求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由題意得，，得，解得，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，，則的最小值為.故選：D.【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于中檔題.11、B【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像，分段討論函數(shù)的零點情況：易知為的一個零點；對于當(dāng)時，由代入解析式解方程可求得零點，結(jié)合即可求得的范圍；對于當(dāng)時，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖像如下圖所示：函數(shù)的零點，即.由圖像可知，，所以是的一個零點，當(dāng)時，，若，則，即，所以，解得；當(dāng)時，，則，且若在時有一個零點，則，綜上可得，故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫法，函數(shù)零點定義及應(yīng)用，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，屬于中檔題.12、C【解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性排除B，再根據(jù)函數(shù)極值排除A；結(jié)合特殊值即可排除D，即可得解.【詳解】函數(shù)，則，所以為奇函數(shù)，排除B選項；當(dāng)時，，所以排除A選項；當(dāng)時，，排除D選項；綜上可知，C為正確選項，故選：C.【點睛】本題考查根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖像，注意奇偶性、單調(diào)性、極值與特殊值的使用，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

由雙曲線的漸近線，以及求得的值即可得答案．【詳解】由于雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個交點坐標(biāo)為，所以，即①，把代入，得，即②又③聯(lián)立①②③，得．所以．故答案是：1．【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)，注意題目“雙曲線的漸近線與準(zhǔn)線的一個交點坐標(biāo)為”這一條件的運用，另外注意題目中要求的焦距即，容易只計算到，就得到結(jié)論．14、【解析】

求出拋物線焦點坐標(biāo)，由，結(jié)合向量的坐標(biāo)運算得，直線方程為，代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理得，，從而可求得，得斜率．【詳解】由得，即聯(lián)立得解得或，∴．故答案為：．【點睛】本題考查直線與拋物線相交，考查向量的線性運算的坐標(biāo)表示．直線方程與拋物線方程聯(lián)立后消元，應(yīng)用韋達(dá)定理是解決直線與拋物線相交問題的常用方法．15、【解析】

利用等比數(shù)列的通項公式將已知兩式作商，可得，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，再利用等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】由，所以，解得.，所以，所以.故答案為：【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式以及等比中項，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.16、750【解析】因為0.001+0.001+0.004+a+0.005+0.003×50=1，得a=0.006所以1000×0.004+0.006+0.005三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）依題意,任意角的三角函數(shù)的定義可知,,進(jìn)而求出．在利用余弦的和差公式即可求出.（2）根據(jù)鈍角的終邊與單位圓交于點,且點的橫坐標(biāo)是,得出,進(jìn)而得出,利用正弦的和差公式即可求出,結(jié)合為銳角,為鈍角,即可得出的值.【詳解】解：因為銳角的終邊與單位圓交于點,點的縱坐標(biāo)是,所以由任意角的三角函數(shù)的定義可知,．從而．（1）于是．（2）因為鈍角的終邊與單位圓交于點,且點的橫坐標(biāo)是,所以,從而．于是．因為為銳角,為鈍角,所以從而．【點睛】本題本題考查正弦函數(shù)余弦函數(shù)的定義,考查正弦余弦的兩角和差公式,是基礎(chǔ)題.18、（1）（）；（2）.【解析】

（1）化簡得到直線方程為，再利用極坐標(biāo)公式計算得到答案.（2）聯(lián)立方程計算得到，，計算得到答案.【詳解】（1）由消得，即，是過原點且傾斜角為的直線，∴的極坐標(biāo)方程為（）.（2）由得，∴，由得∴，∴.【點睛】本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.19、(1)；(2).【解析】

分析：（1）先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組，分別求解，最后求并集，（2）先化簡不等式為，再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范圍．詳解：（1）當(dāng)時，可得的解集為．（2）等價于．而，且當(dāng)時等號成立．故等價于．由可得或，所以的取值范圍是．點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區(qū)間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解．法一是運用分類討論思想，法二是運用數(shù)形結(jié)合思想，將絕對值不等式與函數(shù)以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數(shù)、數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化化歸思想方法的靈活應(yīng)用，這是命題的新動向．20、（1）（2）不存在；詳見解析【解析】

（1）將函數(shù)去絕對值化為分段函數(shù)的形式，從而可求得函數(shù)的最小值，進(jìn)而可得m.（2）由，利用基本不等式即可求出.【詳解】（1）；（2），若，同號，，不成立；或，異號，，不成立；故不存在實數(shù)，，使得，.【點睛】本題考查了分段函數(shù)的最值、基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.21、（1），（2）【解析】分析：(1)根據(jù)題的條件，得到對應(yīng)的橢圓的上頂點，即可以求得橢圓中相應(yīng)的參數(shù)，結(jié)合橢圓的離心率的大小，求得相應(yīng)的參數(shù)，從而求得橢圓的方程；(2)設(shè)出一條直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，消元，利用求根公式求得對應(yīng)點的坐標(biāo)，進(jìn)一步求得向量的坐標(biāo)，將S表示為關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系，從眼角函數(shù)的角度去求最值，從而求得結(jié)果.詳解：（Ⅰ）依題意得對：，，得：；同理：.（Ⅱ）設(shè)直線的斜率分別為，則MA：，與橢圓方程聯(lián)立得：，得，得,，所以同理可得.所以,從而可以求得因為，所以，不妨設(shè)，所以當(dāng)最大時，，此時兩直線MA，MB斜率的比值.點睛：該題考查的是有關(guān)橢圓與直線的綜合題，在解題的過程中，注意橢圓的對稱性，以及其特殊性，與y軸的交點即為橢圓的上頂點，結(jié)合橢圓焦點所在軸