第2講高一學(xué)科素養(yǎng)能力競賽不等式專題訓(xùn)練【題型目錄】模塊一：均值不等式模塊二：柯西不等式模塊三：權(quán)方和不等式模塊四：培優(yōu)試題精選模塊五：全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題精選【典例例題】模塊一：均值不等式1、高中階段涉及的幾個平均數(shù)：設(shè)（1）調(diào)和平均數(shù)：（2）幾何平均數(shù)：（3）代數(shù)平均數(shù)：（4）平方平均數(shù)：2、均值不等式：，等號成立的條件均為：特別的，當(dāng)時，即基本不等式3、基本不等式的幾個變形：（1）：多用在求和式的最小值且涉及求和的項存在乘積為定值的情況（2）：多用在求乘積式的最大值且涉及乘積的項存在和為定值的情況（3），本公式雖然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可證明，要注意此不等式的適用范圍【例1】，，且，不等式恒成立，則的范圍為_______.【例2】若，，則的最小值為__________．【例3】若是正實數(shù)，且，則的最小值為．【例4】設(shè)，，則的最小值是．【例5】已知正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為（

）A．2 B．4 C．8 D．12【例6】若實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【例7】已知，且，則的最小值是(

)A．49 B．50 C．51 D．52【例8】設(shè)，，，則的最小值為______．【例9】已知，，且，則的最小值為___________.【例10】若，且，則的最小值為（

）A．3 B． C． D．【例11】設(shè)正實數(shù)，，滿足，則當(dāng)取得最大值時，的最大值為（

）A． B． C． D．【例12】已知，，，則取到最小值為________．【例13】對任意x，y，，則（）A. B.C. D.模塊二：柯西不等式（1）二維形式的柯西不等式若都是實數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.（2）已知都是實數(shù)，則：（3）已知同號且不為0，則：【例1】（柯西不等式）實數(shù)x、y滿足，則的最小值是（）A． B． C．3 D．4【例2】若實數(shù)，則的最小值為（）A．14 B． C．29 D．【例3】已知：，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【例4】已知a，，，則的最大值為（）A．18 B．9 C． D．【例5】若實數(shù)，則的最小值為（）A．14 B． C．29 D．【例6】“柯西不等式”是由數(shù)學(xué)家柯西在研究數(shù)學(xué)分析中的“流數(shù)”問題時得到的，但從歷史的角度講，該不等式應(yīng)當(dāng)稱為柯西﹣﹣布尼亞科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因為正是后兩位數(shù)學(xué)家彼此獨立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式推廣到完善的地步，在高中數(shù)學(xué)選修教材4﹣5中給出了二維形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2當(dāng)且僅當(dāng)ad＝bc（即）時等號成立．該不等式在數(shù)學(xué)中證明不等式和求函數(shù)最值等方面都有廣泛的應(yīng)用．根據(jù)柯西不等式可知函數(shù)的最大值及取得最大值時x的值分別為（）A． B． C． D．【例7】已知，，且，則的最小值是______.【例8】已知，，均為非負(fù)數(shù)，且，則的最小值為______．模塊三：權(quán)方和不等式二元：已知，則有：（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）.一般形式：設(shè)()，實數(shù)，則，其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立.稱之為權(quán)方和不等式.【例1】已知，且滿足，則的最小值為________．【例2】已知，，則的最小值為.【例3】已知x＞0，y＞0，且則的最小值是．【例4】已知，則的最小值為.【例5】已知正實數(shù)x，y滿足x+y＝xy，則的最小值是．模塊四：培優(yōu)精選試題【例1】已知實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A． B．C． D．【例2】已知，且，則下列不等式不正確的（

）A． B． C． D．【例3】已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．【例4】已知正數(shù)，滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【例5】若對任意實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【例6】若a，，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．4【例7】已知，，下列命題中正確的是（

）A．“”的最小值為B．若，則C．若，則D．若，則【例8】已知，是正實數(shù)，則下列選項正確的是（

）A．若，則有最小值2B．若，則有最大值5C．若，則有最大值D．有最小值【例9】已知，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為 B．的最大值為C．的最小值為 D．的最大值為【例10】已知，均為正實數(shù)，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為【例11】已知正數(shù)滿足，則的最大值是___________.【例12】若實數(shù)m，n滿足，則的最小值是___________.【例13】已知正數(shù)滿足，，則的最小值為__________.【例14】已知，則的最大值為________．【例15】已知實數(shù)，則的最小值為_________．【例16】設(shè)，則最小值為________【例17】設(shè)，則的最大值為________.模塊五：全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題精選【例1】（2020甘肅預(yù)賽）設(shè)均為正數(shù)，則的最小值為.【例2】設(shè)為自然數(shù)，為正實數(shù)，且滿足，則的最小值是．【例3】【2019年省數(shù)學(xué)競賽】已知實數(shù)a,b,c滿足a2+b2+c2=1,求的最大值.【例4】【上海數(shù)學(xué)競賽】對一切正實數(shù)x,y，都有，則的最大值為.