學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一基本性質(zhì)4的應(yīng)用基本性質(zhì)4說(shuō)明把平行線的傳遞性推廣到空間也能成立，這個(gè)基本性質(zhì)是判斷兩條直線平行的重要方法之一，其關(guān)鍵在于尋找聯(lián)系所證兩條平行直線的第三條直線．此外，我們還要熟悉各種幾何圖形的定義和特征．【典型例題1】如圖所示，已知E,F分別是空間四邊形ABCD的邊AB與BC的中點(diǎn),G，H分別是邊CD與AD上靠近D的三等分點(diǎn),求證：四邊形EFGH是梯形．思路分析：要證明四邊形EFGH是梯形，只需證一組對(duì)邊平行且不相等即可．通過(guò)本題條件可知，利用平面的基本性質(zhì)4即可解決．證明:在△ABC中，因?yàn)镋,F分別是AB，BC邊上的中點(diǎn),所以EFAC．又在△ACD中,G,H分別是CD，AD邊上的三等分點(diǎn)，＝＝,所以GHAC．所以EF∥GH，且EF≠GH,即四邊形EFGH是梯形．探究二等角定理的應(yīng)用證明角相等的常用方法有:(1)利用題設(shè)中的條件，將要證明的兩個(gè)角放在兩個(gè)三角形中，利用三角形全等或三角形相似證明兩個(gè)角相等．（2）在題目中若不容易構(gòu)造三角形或不能利用三角形全等或相似來(lái)證明角相等，可考慮兩個(gè)角的兩邊，可利用定理證明這兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行且方向相同或相反，從而達(dá)到目的．【典型例題2】(1）空間中有一個(gè)∠A的兩邊和另一個(gè)∠B的兩邊分別平行，∠A＝70°，則∠B＝________．解析：因?yàn)椤螦的兩邊和∠B的兩邊分別平行,所以∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°．又∠A＝70°，所以∠B＝70°或110°．答案：70°或110°(2)已知E，E1分別是正方體ABCD.A1B1C1D1的棱AD，A1D1的中點(diǎn)．求證：∠BEC＝∠B1E1C1．解：如圖所示，連接EE1，因?yàn)镋1，E分別為A1D1,AD的中點(diǎn)，所以A1E1AE．所以四邊形A1E1EA為平行四邊形，所以A1AE1E．又因?yàn)锳1AB1B，所以E1EB1B，所以四邊形E1EBB1是平行四邊形，所以E1B1∥EB．同理E1C1∥EC．又∠BEC與∠B1E1C1對(duì)應(yīng)邊方向相同,所以∠BEC＝∠B1E1C1．探究三直線與平面平行的判定定理1．應(yīng)用判定定理時(shí),要注意“內(nèi)”“外"“平行”三個(gè)條件必須都具備，缺一不可．2．要明確其思路是用直線與直線平行判定直線和平面平行．應(yīng)用時(shí)，只需在平面內(nèi)找到一條直線與已知直線平行即可．簡(jiǎn)單地說(shuō)，線∥線?線∥面．3．在題目中出現(xiàn)中點(diǎn)時(shí)，常見(jiàn)的證線線平行的兩種途徑．(1）中位線→線線平行．(2）平行四邊形→線線平行．【典型例題3】一木塊形狀如圖所示，點(diǎn)P在平面VAC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P將木塊鋸開(kāi)，使截面平行于直線VB和AC，應(yīng)該怎樣畫線？思路分析:可考慮利用線面平行的判定定理分析“目標(biāo)線”的畫法．解：如圖，在平面VAC內(nèi)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作EF∥AC，且與VC的交點(diǎn)為F，與VA的交點(diǎn)為E．在平面VAB內(nèi),經(jīng)過(guò)點(diǎn)E作EH∥VB，與AB交于點(diǎn)H．在平面VBC內(nèi)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F作FG∥VB，與BC交于點(diǎn)G，連接GH，則EF，F(xiàn)G，GH，HE為截面與木塊各面的交線．證明如下：因?yàn)镋H∥VB，F(xiàn)G∥VB，所以EH∥FG,可知E，H,G，F(xiàn)四點(diǎn)共面．因?yàn)閂B平面EFGH，EH?平面EFGH，所以VB∥平面EFGH．同理可證AC∥平面EFGH．點(diǎn)評(píng)證明線面平行時(shí)，先在平面內(nèi)找與已知直線平行的直線,若找不到，再添加輔助線．添加輔助線一般要結(jié)合特殊點(diǎn)、特殊圖形，添加的輔助線多為中線、高線、中位線或特殊圖形的邊．探究四直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用1．性質(zhì)定理可作為直線和直線平行的判定方法．應(yīng)用時(shí)，需要經(jīng)過(guò)已知直線找平面(或作平面）與已知平面相交，以平面為媒介證明線線平行．2．定理中的三個(gè)條件：(1)直線a∥平面α;（2)平面α，β相交，即α∩β＝b;（3）直線a在平面β內(nèi)．缺一不可．定理的應(yīng)用流程可表示如下：【典型例題4】如圖，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形．（1）求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；（2)若AB＝4，CD＝6，求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍．思路分析：(1)利用線面平行的判定和性質(zhì)定理進(jìn)行證明；（2)利用圖形相似的性質(zhì)來(lái)求邊長(zhǎng)．解：（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜤FGH為平行四邊形，所以EF∥HG．因?yàn)镠G?平面ABD，EF平面ABD,所以EF∥平面ABD．因?yàn)镋F?平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，所以EF∥AB，易得AB∥平面EFGH．同理,CD∥EH，所以CD∥平面EFGH．（2）設(shè)EF＝x（0<x<4),由于四邊形EFGH為平行四邊形,EF∥AB，CD∥EH，所以CD∥FG，eq\f（CF,CB)＝．故eq\f(FG，6）＝eq\f(BF,BC)＝eq\f（BC－CF,BC)＝1－．從而FG＝6－．于是四邊形EFGH的周長(zhǎng)為l＝＝12－x．又0＜x＜4，所以8＜l＜12,即四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍為(8，12)．點(diǎn)評(píng)線面平行的判定定理與性質(zhì)定理常常交替使用：先通過(guò)線線平行推出線面平行，再通過(guò)線面平行推出線線平行，復(fù)雜的題目還可以繼續(xù)推下去,我們可稱為平行鏈,如下：線線平行線面平行線線平行探究五易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn):將bα與b∥α等同而致誤【典型例題5】平面外的兩條平行直線中的一條平行于這個(gè)平面，那么另一條直線也平行于這個(gè)平面．已知:直線a∥b，a∥平面α,a,bα．求證：b∥α．錯(cuò)解：因?yàn)橹本€a∥b，所以a與b無(wú)公共點(diǎn)．又因?yàn)閍∥平面α，所以a與平面α也無(wú)公共點(diǎn)，又bα，所以b與α無(wú)公共點(diǎn)，所以b∥α．錯(cuò)因分析:bα包含b∥α和b∩α＝M兩種情況,上面證明誤認(rèn)為bα即意味著b∥α而致錯(cuò)．正解:如圖所示，過(guò)a及平面α內(nèi)一點(diǎn)A作平面β，設(shè)β∩α＝c．因?yàn)閍∥α，所以a∥c．因?yàn)閍∥b，所以b∥c．因?yàn)閎α，c?α,所以b∥α．點(diǎn)評(píng)條件中有a∥α,為了利用直線和平面平行的性質(zhì)定理，因此過(guò)a作