學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精數(shù)學人教B必修2第一章1。2.3空間中的垂直關系第一課時1．通過直觀感知、操作確認，歸納出空間中線面垂直的相關定理、推論和性質(zhì)．2．掌握直線與平面垂直的判定定理和性質(zhì)，并能利用以上定理和性質(zhì)解決空間中的相關垂直性問題．1．直線與平面垂直的定義及性質(zhì)定義及符號表示圖形語言及畫法有關名稱重要結論如果一條直線(AB)和一個平面（α)相交于點O，并且和這個平面內(nèi)過交點（O)的__________，我們就說這條直線和這個平面互相垂直，記作________.把直線AB畫成和表示平面的平行四邊形的一邊________。直線AB:平面α的____;平面α:直線AB的________；點O：________；線段AO:點A到平面α的________;線段AO的長:點A到平面α的______.如果一條直線垂直于一個平面,那么它就和平面內(nèi)的__________直線垂直.【做一做1】如果一條直線與平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則直線與平面的位置關系為(）．A．平行B．相交C．垂直D．不確定2．直線與平面垂直的判定定理與推論（1)判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的________直線垂直,則這條直線與這個平面垂直．（2）推論1：如果在兩條平行直線中,有一條垂直于平面，那么另一條直線________這個平面．推論2：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線________．利用定義來判斷直線與平面垂直是不方便的,因為“任意一條直線”是不方便研究的，因此根據(jù)確定平面的條件，找到兩條相交直線便可確定一個平面,這樣易于判斷直線和平面垂直．【做一做2－1】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與AD1垂直的平面是（)．A．平面DD1C1CB．平面A1DCB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB【做一做2－2】已知α是平面,a，b是直線，且a∥b，a⊥平面α，則b與平面α的位置關系是（）．A．b?平面αB．b⊥平面αC．b∥平面αD．b與平面α相交但不垂直1．對直線與平面垂直的理解剖析：(1)定義中的“任何直線”是說這條直線和平面內(nèi)所有過交點的直線垂直．（2)直線和平面垂直是直線和平面相交的一種特殊形式．（3)如果一條直線垂直于一個平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直，如若a⊥α，b?α,則a⊥b。簡述之，即“線面垂直，則線線垂直”，這是我們判定兩條直線垂直時經(jīng)常使用的一種重要方法．2．若一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，探討這條直線與平面的關系剖析:給出平面α內(nèi)的一條直線a，在該平面內(nèi)與直線a平行的直線有無數(shù)條，所有與a垂直的直線，必與a的平行線垂直，卻不一定與平面α垂直．如圖所示，直線B1C1與平面AC內(nèi)的直線AB垂直，且在平面AC內(nèi)與AB平行的所有直線都與B1C1垂直，但直線B1C1∥平面AC．因此以下兩個命題均是錯誤的，需要引起重視．命題①:如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線,那么這條直線垂直于這個平面；命題②:如果一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線垂直于這個平面．3．教材中的“思考與討論”（1）垂直于同一條直線的兩個平面是否平行？為什么?（2)如何定義兩平行平面的距離？剖析：(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行．已知：AA′⊥α，AA′⊥β，求證：α∥β.證明：如圖所示，設經(jīng)過直線AA′的兩個平面γ，δ分別與平面α，β相交于直線b,b′和a，a′.∵AA′⊥α,AA′⊥β，∴AA′⊥a,AA′⊥a′。AA′，a，a′都在平面δ內(nèi)，由平面幾何知識：在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行．∴a∥a′，∴a′∥α(線面平行的判定定理)．同理b′∥α.又∵a′∩b′＝A′,∴α∥β。（2）我們可以這樣定義兩平行平面的距離．由問題（1)可知，對于兩個平行的平面α，β一定存在著與它們都垂直的直線,設為l，這樣的直線l稱為兩個平行平面的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的線段,叫做這兩個平行平面的公垂線段,如圖所示，如果AA′,BB′都是平面α與β的公垂線段，那么AA′∥BB′。根據(jù)兩個平面平行的性質(zhì)定理,有AB∥A′B′,所以四邊形AA′B′B是平行四邊形,故AA′＝BB′。由此我們得到,兩個平行平面的公垂線段都相等．因此，我們可以把公垂線段的長度定義為兩個平行平面間的距離．題型一線面垂直的判定定理的應用【例1】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中點，O是底面ABCD的中心，求證:B1O⊥平面PAC．分析：要證B1O⊥平面PAC，根據(jù)直線和平面垂直的判定定理，只需證B1O垂直于平面PAC內(nèi)兩條相交直線．反思：（1）正方體是最常見的幾何體，正方體的面、棱、對角線等幾何元素有著各種特殊的位置關系，它是研究直線和平面關系最為簡單的模型之一．本題抓住了特殊幾何體—-正方體及特殊點P的位置關系，運用勾股定理的逆定理，通過計算證明了直線和直線垂直，再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理證明了直線和平面垂直．(2)證明直線與平面垂直時，一定要證明直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，如果沒有考慮相交的情況就可能把本來不垂直的情況證明成垂直的，得到錯誤的結論．題型二線面垂直性質(zhì)的應用【例2】如圖所示，已知矩形ABCD,過A作SA⊥平面AC,再過A作AE⊥SB于點E,過E作EF⊥SC于點F。(1）求證:AF⊥SC；（2)若平面AEF交SD于點G,求證：AG⊥SD．分析：線線垂直通常由線面垂直來證．反思：線面垂直和線線垂直在推理中是經(jīng)常加以轉(zhuǎn)化的，證線線垂直的常用思路為：eq\x（線面垂直）eq\o(→,\s\up7(定義）)eq\x(線線垂直)eq\o（→,\s\up7（判定定理））eq\x(線面垂直）eq\o（→，\s\up7(定義))eq\x(線線垂直）題型三有關平行、垂直的綜合問題【例3】如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2,EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°,BF＝FC，H為BC的中點．（1）求證：FH∥平面EDB;(2)求證：AC⊥平面EDB；(3）求四面體B－DEF的體積．分析：（1)證明E與底面中心G的連線和FH平行即可；（2)先證FH是平面ABCD的垂線，再說明AC⊥BD與AC⊥EG即可得證；(3)關鍵是抓住四面體的高BF，再運用體積公式求解．反思:有關平行、垂直的綜合問題，關鍵要理清幾何體的有關線段長度及位置關系，然后再根據(jù)目標逐一尋找關鍵要素,如（1）問中關鍵是求一平行線，(2)問中關鍵在于連續(xù)使用線面垂直進行過渡，（3)問中的關鍵是找準高．題型四易錯辨析【例4】已知:線段AB的中點為O,O∈平面α。求證：A，B兩點到平面α的距離相等．錯解：如圖所示,過點A,B作平面α的垂線,垂足分別為A1,B1，則AA1,BB1分別是點A，B到平面α的距離．又在Rt△AOA1和Rt△BOB1中,AO＝BO，∠B1OB＝∠AOA1,∴Rt△AOA1≌Rt△BOB1，∴AA1＝BB1，即A，B兩點到平面α的距離相等．錯因分析：一是忽略了AB?α的情況說明，二是認為∠AOA1和∠BOB1為對頂角而相等,其實應說明B1，O，A1共線才行．1將直線與平面垂直的判定定理“如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個平面"用集合符號語言表示為（）．A．m?α，m∩n＝B,l⊥n，l⊥m?l⊥αB．m?α,n?α,m∩n＝B,l⊥m,l⊥n?l⊥αC．m?α,n?α，m∩n＝B?l⊥n，l⊥m，l⊥αD．m?α，n?α，l⊥m，l⊥n?l⊥α2一條直線和三角形的兩邊同時垂直，則這條直線和三角形的第三邊的位置關系是()．A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不確定3下列命題：①平行于同一平面的兩直線平行;②垂直于同一平面的兩直線平行；③平行于同一直線的兩平面平行;④垂直于同一直線的兩平面平行．其中正確的有（)．A．②和④B．①②和④C．③和④D．②③和④4如圖所示，AB是⊙O的直徑，PA⊥平面⊙O，C為圓周上一點，AB＝5cm，AC＝2cm，則B到平面PAC的距離為__________．5如圖，已知平面α，β，且α∩β＝AB,PC⊥α，PD⊥β，C，D是垂足．求證：AB⊥平面PCD．答案：基礎知識·梳理1．任何直線都垂直AB⊥α垂直垂線垂面垂足垂線段距離任意一條【做一做1】D2．（1)兩條相交（2)也垂直于平行【做一做2－1】B由直線與平面垂直的判定定理可以證明與AD1垂直的平面是平面A1DCB1。【做一做2－2】B典型例題·領悟【例1】證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，設其棱長為2a，因為B1B⊥平面AC，且AC?平面AC，所以B1B⊥AC。又O是正方形ABCD的中心，所以AC⊥BD.所以AC⊥平面B1BO。而B1O?平面B1BO，所以B1O⊥AC.又PO2＋OBeq\o\al(2，1）＝3a2＋6a2＝9a2,PDeq\o\al(2，1)＋B1Deq\o\al(2，1)＝a2＋8a2＝9a2，PBeq\o\al(2,1)＝PDeq\o\al（2,1)＋B1Deq\o\al(2,1),所以PO2＋OBeq\o\al(2,1）＝PBeq\o\al（2，1）。所以B1O⊥PO.又PO∩AC＝O，所以B1O⊥平面PAC.【例2】證明：（1)∵SA⊥平面AC，BC?平面AC，∴SA⊥BC.∵四邊形ABCD為矩形，∴AB⊥BC.∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.又SB⊥AE，∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SC。又EF⊥SC，∴SC⊥平面AEF?！郃F⊥SC.(2)∵SA⊥平面AC，∴SA⊥DC。又AD⊥DC,∴DC⊥平面SAD.∴DC⊥AG.又由（1）有SC⊥平面AEF,AG?平面AEF，∴SC⊥AG.∴AG⊥平面SDC。∴AG⊥SD。【例3】(1）證明：設AC與BD交于點G，則G為AC的中點，連EG，GH,由于H為BC的中點，故GHeq\f（1，2）AB.又EFeq\f(1,2）AB，∴EFGH?！嗨倪呅蜤FHG為平行四邊形．∴EG∥FH。而EG?平面EDB，∴FH∥平面EDB.（2)證明：由四邊形ABCD為正方形，有AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC。而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC.∴EF⊥FH.∴AB⊥FH.又BF＝FC，H為BC的中點,∴FH⊥BC?！郌H⊥平面ABCD?！郌H⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB。(3)解：∵EF⊥FB,∠BFC＝90°，∴BF⊥平面CDEF.∴BF為四面體B－DEF的高．又BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝eq\r（2）。VB－DEF＝eq\f(1，3）×eq\f（1，2）×1×eq\r（2）×eq\r（2)＝eq\f(1,3)?！纠?】正解:（1)當線段AB?平面α時，顯然A,B到平面α的距離均為0，相等．（2）當AB?平面α時，如圖，分別過點A,B作平面α的垂線，垂足分別為A1，B1，則AA1，BB1分別是點A,B到平面α的距離，且AA1∥BB1?！郃A1與BB1確定一個平面，設為β，則α∩β＝A1B1?！逴∈AB，AB?β，∴O∈β。又∵O∈α，∴O∈A1B1.∴AA1⊥A1O，BB1⊥B1O?！摺螦OA1＝∠BOB1，AO＝BO，∴Rt△AA1O≌Rt△BB1O。∴AA1＝BB1,即A,B兩點到平面α的距離相等．隨堂練習·鞏固1．B2．B一條直線垂直于三角形的兩條邊，那