專題L9空間向量與立體幾何三大考點與真題訓(xùn)練

考點一：空間幾何體

一、單選題

1.（2023?上海靜安?統(tǒng)考一模）“陽馬”，是底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐.《九章算

術(shù)》總結(jié)了先秦時期數(shù)學(xué)成就，是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)巨著，對后世數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了廣泛而深遠(yuǎn)的影

響.書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺.問積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形，

一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底而長、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問它的體積是多少？”若以上的條

件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為（）平方尺.

A.142,TB.1407rC.138乃D.128乃

2.（2022?上海金山?統(tǒng)考一模）已知正四面體48CO的棱長為6,設(shè)集合。=｛尸］的42斤，點0e平面

BCD）,則C表示的區(qū)域的面積為（）

A.兀B.34C.44D.6兀

3.（2022?上海奉賢?統(tǒng)考一模）紫砂壺是中國特有的手工制造陶十.工藝品，其制作始于明朝正德年間.紫砂

壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石飄壺、潘壺等.其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺.如圖給

出了一個石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm）,那么該壺的容積約接近于（）

A.100cm3B.200cm'C.300cm3D.400cn?

二、填空題

4.（2023-上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體相C。-A4CQ中，"為底面A8c。的中心,

AQ=2AA，義?0，1），N為線段AQ的中點，則下列命題中正確的序號為_________.

①CN與QM共面；

②三棱錐A-DMN的體積跟2的取值無關(guān)；

③當(dāng)義=；時，過AQ,M三點的平面截正方體所得截面的周長為史號叵：

④/I」時，AMA.QM.

4

5.（2023?上海靜安?統(tǒng)考一模）有一種空心鋼球，質(zhì)量為140.2g,測得球的外直徑等于5.Ocm,若球壁厚度均

勻，則它的內(nèi)直徑為cm.（鋼的密度是7.9g/cm3,結(jié)果保留一位小數(shù)）.

6.（2023-上海黃浦?統(tǒng)考一模）若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為二二的半圓面，則該圓錐的體積

為.

7.（2022?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知四面體的棱長為1或2,且該四面體不是正四面體，

則這樣的不同四面體的個數(shù)為

8.（2022?上海徐匯?上海中學(xué)校考模擬預(yù)測）正三棱錐P-A8C的四個頂點同在一個半徑為2的球面匕若正

三楂錐的側(cè)棱長為2百，則正三棱錐的底面邊長是

三、解答題

9.（2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測）一個圓錐的底面半徑為2頌，高為6c勿，在其內(nèi)部有一個

高為*c/〃的內(nèi)接圓柱.

（1）求圓錐的側(cè)面積；

（2）當(dāng)片為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？并求出側(cè)面積的最大值.

10.（2022?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在四棱錐P-中，底面A8CQ是矩形，PA

垂直于平面ABC。，A4=4,人0=3,夕。=后，點E、M分別在線段A3、PC上，其中E是A4中點,

(1)當(dāng)4=1時，證明：直線"E平行于平面0A。；

⑵當(dāng)義=2時，求三棱錐M-3CO的體積.

11.(2022?上海浦東新?統(tǒng)考一模)如圖，三棱錐P-A4C中，側(cè)面必砸直于底面4%、，PA=PB,底面4伙堤

斜邊為，步的直角三角形，且乙鉆C=20。，記媯癡勺中點，明口梏中點.

(1)求證：PCLAEX

(2)若A8=2,直線"與底面力回所成角的大小為60°,求四面體2比的體積.

12.(2022?上海寶山?統(tǒng)考一模)如圖，棱長為2的正方體4BCZ)-A8CQ中，機(jī)N、粉別是CQ、C。、

（2）求異面直線PR與以所成角的大??；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

（3）求三棱錐P-MNB的體積.

考點二:點、直線、平面之間的位置關(guān)系

一、單選題

1.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模）如圖，四邊形/以第是邊長為1的正方形，M。_1平面力仇X,平面力四9,且

MD=N8=1,點明的中點.則下列結(jié)論中不正確的是（）

C.直線0與4雁異面直線D.直線曲與平面4必?zé)o公共點

2.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，。是正方體ABC。-A4GA邊AC；上的動點，下列哪條邊與邊8P始終

異面（）

D

A.DD】B.ACC.AD}D.BQ

二、填空題

3.（2023-上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體A86-A禺G。中，M為底面相8的中心,

AQ=/IAA，2?0，1），N為線段AQ的中點，則下列命題中正確的序號為________.

①C7V與QM共面；

②三棱錐A-OMN的體積跟丸的取值無關(guān)；

③當(dāng)義=；時，過AQ,“三點的平面裁正方體所得截面的周長為生駕獨(dú)I；

④時，AMA.QM.

4

三、解答題

4.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)如圖，在正三棱柱A8C-A4G中，44=村。=2,￡>,￡分別為Cg,的中

點.

(1)證明：ED〃平面ABC；

(2)求宜線CC,與平面A,BD所成角的大小.

5.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知三棱錐P-ABC中，PA_L平面ABC,ABA.AC,PA=AB=3,AC=4t

BC中點，過點，份別作平行于平面外8的直線交AC、PC于點、E,F.

⑴求直線戶”與平面A4C所成角的大小；

（2）證明：用￡力平面248,并求直線ME到平面218的距離.

6.（2023?上海靜安?統(tǒng)考一模）如圖所示，在矩形力比見」，AB=4,AD=2,￡是面向中點，媯力珊中點,

以//為折痕將V/W注■向上折起，使〃點折到“點，且

（1）求證：PO1面48%

⑵求力片面川”所成角0的正弦值.

7.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模）如圖所示，四棱錐尸-A8CO中，底面ABCO為菱形，旦直線PAJ■平面ABCD

又梭％=A8=2,E為C7）的中點，ZABC=60°.

（I）求證：直線AE_L平面RIB；

（H）求直線AE與平面PC。的正切值.

考點三：空間向量與立體幾何

一、單選題

1.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）婦圖，正方體A8CO-48QQ中，J促/。的中點，則（）

A.直線與直線用。相交，直線MBu平面ABC1

B.直線MB與直線RC平行，在線M3_L平面AG。

C.直線MB與直線”異面，直線MZ?_L平面人。。|優(yōu)

D.直線M3與直線A。垂直，直線平面40。

2.（2022?上海嘉定??？寄M預(yù)測）在正方體ABCD-ABCa中，E、r分別是線段AZ?、上的動點，且

直線E尸與A4所成的角為arcianVJ,則下列直線中與EF所成的角必為arctan5的是（）.

A.CDB.BDC.BC】I）.DC、

二、填空題

3.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模）已知向量〃=（-〃?,1,3）,2=（2川），若4〃〃，則/〃〃的值為_____.

4.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知空間向量OAO&OC都是單位向量，且OA_LOaOA_LOC,O8與OC的夾

角為60）,若產(chǎn)為空間任意一點,且|OP|=1,滿足10Poe國。戶08兇OPOAI，則OPOC的最大值為

5.（2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知平面&的一個法向量為，％=（1,2,-2）,平面夕的一個

法向量為%=（-2,-4次），若a〃4，則2的值為__________.

6.（2022?上海長寧-統(tǒng)考一模）若04=（1,-2,0b0/3=（21,0）,0。=（1/,3）,則三楂錐A48由J體積為

三、解答題

7.（2022?上海金山?統(tǒng)考一模）如圖，在四棱錐中，己知底面A8C￡>,底面ABC。是正方形,

PA=AB.

（1）求證：直線平面PAC；

（2）求直線PC與平面心。所成的角的大小.

8.（2022?上海徐匯?統(tǒng)考一模）如圖，在直三棱柱ABC?AMG中，AB=AC=2,M=4,ABJ.AC,

BEJ.AB1交AA于點足媯cc,的中點.

⑵求直線向。與平面八8。所成角的大小.

9.(2022?上海虹口?統(tǒng)考一模)婦圖，在三棱柱A8C?入嶼中，底面486是以力彷斜邊的等腰直角三角形,

側(cè)面AACC為菱形,點A在底面上的投影為力祝中點且4?=2.

(1)求證：BD1CC,；

⑵求點C到側(cè)面AA^B的距離；

(3)在線段A片上是否存在點E,使得直線班與側(cè)面人人田B所成角的正弦值為半？若存在，請求出4E的長；若

不存在，請說明理由.

10.(2022?上海靜安?統(tǒng)考二模)在四棱錐尸一月灰刀中，底面是邊長為2的菱形，ZW=60°,對角線力片做

相交于點0,〃0_L平面版⑦，期與平面月8功所成的角為60°.

(1)求四棱錐八力應(yīng)加＜J體積；

(2)若￡是分的中點，求異面直線以'與以所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示).

11.(2022?上海青浦?上海市青浦高級中學(xué)校考模擬預(yù)測)如圖，在直三棱柱A4G-ABC中，

A8=8C=2,/A8C=1,點?、。分別為44、8c的中點，與底面A8C所成的角為arctan2.

（1）求異面直線網(wǎng)與QG所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）；

（2）求點C與平面AQG的距離.

【真題訓(xùn)練】

一.選擇題（共4小題）

1.（2023?_L海）如圖所示，在正方體A5C。-AISICIDI中，點尸為邊Ai&uq動點，則下列直線中，始終與直線6P

C.AD\D.B\C

2.（2022?上海）如圖正方體A8CQ-中，P、Q、R、S分別為桂A8、BC、BBi、CQ的中點，聯(lián)結(jié)4S,

BiD.空間任意兩點V、N,若線段MN上不存在點在線段4S、BiD上,則稱兩點可視，則下列選項中與點。i可

A.點尸B.點BC.點、RD.點。

3.（2022?上海）上海海關(guān)大樓的頂部為逐級收攏的四面鐘樓，如圖，四個大鐘分布在四棱柱的四個側(cè)面，則每天0

點至12點（包含0點，不含12點）相鄰兩鐘面上的時針相互垂直的次數(shù)為（）

A.0B.2C.4D.12

4.（2020?上海）在棱長為10的正方體ABC。-AIBICQ中，。為左側(cè)面AQQIAI上一點，已知點P到加Qi的距離為3,

產(chǎn)到A4的距離為2,則過點P且與AC平行的直線交正方體丁尸、Q兩點，則。點所在的平面是（）

A.AA\B\BB.BB\C\CC.CC\D\DD.ABCD

二.填空題（共3小題）

5.（2022?上海）已知圓柱的高為4,底面積為9m則圓柱的側(cè)面積為.

6.（2021?上海）已知圓柱的底面半徑為1,高為2,則圓柱的側(cè)面積為.

7.（2021?上海）已知圓柱的底面圓半徑為1,高為2,八8為上底面圓的一條直徑，C是下底面圓周上的一個動點，則

△A8c的面積的取值范圍為.

三.解答題（共7小題）

8.（2（）20?上海）已知四棱錐尸-ABCD,底面ABC。為正方形，邊長為3,PDL^^ABCD.

（1）若尸C=5,求四棱錐A6C。的體積；

（2）若直線AO與8尸的夾角為60°,求P。的長.

9.（2021?上海）四棱錐底面為正方形A8CQ,邊長為4,E1為48中點，PEJ_平面A3CD

（1）若△P4B為等邊三角形，求四棱錐P-ABC。的體積；

（2）若C。的中點為F,PF與平面ABCD所成角為45°,求PC與A。所成角的大小.

10.（2020?上海）已知48CQ是邊長為1的正方形，正方形48CD繞A8旋轉(zhuǎn)形成一個圓柱.

（1）求該圓柱的表面積；

（2）正方形ABCD繞A6逆時針旋轉(zhuǎn)三至求線段CQ1與平面A3CQ所成的角.

11.（2022?上海）如圖所示三棱錐，底面為等邊△ABC,。為AC邊中點，目.PO_L底面48C,AP=AC=2.

（1）求三棱錐體積VP-/1BC；

（2）若M為3。中點，求PM與面PAC所成角大小.

12.（2023?上海）已知三棱錐尸-八8c中，PAJ_平面ABC,ABVAC,PA=AB=3,AC=4,M為BC中點，過點"分別

作平行于平面P48的直線交AC、PC于點E,F.

（1）求直線PM與平面48。所成角的大小；

（2）求直線ME到平面PA8的距離.

13.（2022?上海）如圖，圓柱下底面與上底面的圓心分別為。、。】，441為圓柱的母線，底面半徑長為1.

3）若A4i=4,M為A4i的中點，求直線MO1與上底面所成角的大?。海ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

（2）若圓柱過。。|的截面為正方形，求圓柱的體積與側(cè)面積.

14.（2021?上海）如圖，在長方體HBCD-A1如CD1中,已知A8=BC=2,AA\=3.

（1）若尸是棱401上的動點，求三棱錐的體積；

（2）求直線A3i與平面ACCIAI的夾角大小.

專題1.9空間向量與立體幾何三大考點與真題訓(xùn)練

考點一：空間幾何體

一、單選題

1.（2023?上海靜安?統(tǒng)考一模）“陽馬”，是底面為矩形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐.《九章算

術(shù)》總結(jié)了先秦時期數(shù)學(xué)成就，是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)巨著，對后世數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了廣泛而深遠(yuǎn)的影

響.書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺.問積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形，

一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問它的體積是多少？”若以上的條

件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為（）平方尺.

A.142,TB.140乃C.138乃D.128乃

【答案】C

【分析】將四棱錐的外接球轉(zhuǎn)化為長方體的外接球，然后求外接球表面積即可.

【詳解】

如圖所示，這個四棱錐的外接球和長方體的外接球相同，所以外接球的半徑為/?=立土工二￡=亞朋，外接球

22

的表面積5=44正=138乃.

故選：C.

2.（2022?上海金山?統(tǒng)考一模）已知正四面體ABCO的棱長為6,設(shè)集合C={P||AP|W25，點Pc平面

46},則C表示的區(qū)域的面積為（）

A.兀B.34C.4TTD.67r

【答案】C

【分析】過點A作AO_L平面BC。于點。，利用正四面體的特點求出BOMO的長，從而得到OP02,即得到其表

示圓及其內(nèi)部，則得到其表示的區(qū)域面積.

【詳解】過點A作4O_L平面于點。，

WljBO=-BC-sin-=-x6x^=25/3,

3332

A0=屆2_2=J62T2可=24

因為卜日42b，如Jo/>=Jap2-402M,（2近）2—（2"）2=2,

則。表示的區(qū)域為以。為圓心，2為半徑的圓及其內(nèi)部，

面積為知，

故選：C.

3.（2022?上海奉賢?統(tǒng)考一模）紫砂壺是中國特有的手工制造陶土工藝品，其制作始于明朝正德年間.紫砂

壺的壺型眾多，經(jīng)典的有西施壺、掇球壺、石飄壺、潘壺等.其中，石瓢壺的壺體可以近似看成一個圓臺.如圖給

出了一個石期I壺的相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：cm）,那么該壺的容積約接近于（）

A.10Ocm'B.200cm'C.300cm'D,400cm5

【答案】B

【分析】根據(jù)圓臺的體積公式計算即可.

【詳解】解：設(shè)肋圓臺下底面圓半徑，r為上底面圓半徑，高為h，

則R=5,r=3,/:=4,

.??%臺=g汕(2+舟+/)

=-7rx^.(25+15+9)=^^?200(cm3|,

33

故選：B.

二、填空題

4.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）在棱長為1的正方體ABC。-4圈CQ中，"為底面A3c。的中心,

AQ=/?AA，&（。，1），N為線段AQ的中點，則下列命題中正確的序號為__________.

①CN與QM共面；

②三棱鏈A-OMN的體積跟2的取值無關(guān);

③當(dāng)義=!時，過A,Q,M三點的平面截正方體所得截面的周長為士2土馬叵；

33

④4」時，AM1QM.

4

【答案】①②③

【分析】根據(jù)中位線可得線線平行，進(jìn)而可判斷①，根據(jù)等體積法可判斷②，利用線線平行確定截面形狀為等腰

梯形，即可利用邊的長度求解③，根據(jù)長度關(guān)系即可判斷④.

【詳解】連接ACQC,在ACQ中，因為M,N為八CAQ的中點，

所以MN//CQ,所以CN與。加共面，所以①正確；

=

因為N到平面人〃C/）的￡1［肉為定值;，且S4D1W~51ADC=：，由吸L=Vv/v>w,

一24

所以三棱錐A-的體積跟2的取值無關(guān)，所以②正確;

?uuuo1uuum

當(dāng)a時，取”二：D￡,連接"C,則"Q//AG，又所以〃Q//AC,所以共

面，即過AQ,M三點的正方體的截面為ACaQ,

由A0=C"=JW=萼，則ACHQ是等腰梯形，且Q〃=；AG=￥，

所以平面截正方體所得截面的周長為人五+*+2乂61=業(yè)產(chǎn)，所以③正確；

取ADAQ的中點分別為N,E,連接EN,EM,則EM?=MN?+EN?=[+1=g,

44

在直角三角形MEQ中，QA/2=￡M2+EQ2=（￡j+（；）+12=^,

則ZIM'Q/＞八0：所以AM_LQM不成立，所以④不正確.

所以正確的命題序號是①?③.

5.（2023?上海靜安?統(tǒng)考一模）有一種空心鋼球，質(zhì)量為140.2g,測得球的外直徑等于5.0cm,若球壁厚度均

勻，則它的內(nèi)直徑為__________cm.（鋼的密度是7.9g/cm3,結(jié)果保留一位小數(shù)）.

【答案】4.5

【分析】設(shè)空心鋼球的內(nèi)直徑為2“表示空心鋼球的體積，由條件列方程求「即可.

【詳解】設(shè)空心鋼球的內(nèi)直徑為則空心鋼球的體積為外cm',

因為空心鋼球的質(zhì)量為140.2g,鋼的密度是7.9g/cm\

所以匡仔［-R］x7.9=140.2,所以/=律|114°-2x3

3\2）3\2）7.9x47：

解得”225,所以2“4.5,

故答案為：4.5.

6.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模）若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為二不的半圓面，則該圓錐的體積

為.

【答案】卓廣

【詳解】由面積為:丁的半I員I面，可得圓的半徑為2,即I員I錐的母線長為2.圓錐的底面周長為二［所以底面半徑

為1.即可得到圓錐的高為6.所以該圓錐的體積為史乃.

3

7.（2022?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）己知四面體的棱長為1或2,且該四面體不是正四面體，

則這樣的不同四面體的個數(shù)為

【答案】3

【分析】分析出1和2可以構(gòu)成的三角形有哪些，進(jìn)而可分性出符合條件的四面體的個數(shù).

【詳解】四面體的棱長為1或2,但該四面體不是正四面體，可以構(gòu)成一個底面邊長為1的正三角形，側(cè)棱長均為2

的正三棱錐，1和2可以構(gòu)成的三角形有：邊長為1的正三角形，邊長為2的正三角形，邊長為1,2,2的三角形，

除了上述正三棱錐外，還可以是四個1,2,2的三角形拼成的三棱桂；兩個邊長為2的正三角形和兩個1,2,2的

三角形拼成的三棱錐，

綜上，這樣的不同四面體的個數(shù)為3.

故答案為：3.

8.（2022?上海徐匯?上海中學(xué)?？寄M預(yù)測）正三棱錐P-A8C的四個頂點同在一個半徑為2的球面上，若正

三棱錐的側(cè)棱長為26,則正三棱錐的底面邊長是

【答案】3

【分析】先畫出該三棱錐圖像，然后利用邊角關(guān)系求解即可.

【詳解】畫出正三棱錐的圖形如圖，

p

三角形ABC的中心為E,連接PE,球的球心。在尸石上，連接OA，

取E4的中點尸，連接貝I」產(chǎn)。=2=Q4,PF=￡,5=1,

一PFO^_PEA,所以==，七=-j=,AE=有，

AEPAAE26

底面三角形的高為延，底面三角形的邊長為明或=巫,"=3.

222

故答案為：3

三、解答題

9.（2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）一個圓錐的底面半徑為2c創(chuàng)高為6c/〃，在其內(nèi)部有一個

高為xcm的內(nèi)接圓柱.

（1）求圓錐的側(cè)面積；

（2）當(dāng)x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大？并求出側(cè)面積的最大值.

【答案】（1）4V10^（cm?）（2）K=3時，圓柱的側(cè)面積取得最大值，且最大值為6不5?

【解析】（1）先計算母線長為2M（cm）,再計算側(cè)面積得到答案.

⑵設(shè)圓柱的底面半徑為r切，計算得到52=4[。-3）2—9],根據(jù)二次函數(shù)知識得到最值.

【詳解】（1）圓錐的母線長為V?百=2jI5（cm），

???圓錐的側(cè)面積，=乃x2x2布=4加乃（cm?）.

（2）該幾何體的軸截面如圖所示.

設(shè)圓柱的底面半徑為TM，由題意，知；=唱，=浮.

2o3

???圓柱的側(cè)面積s?=2m=與（*+6*=-y[（x-3）2-9],

，當(dāng)x=3時，圓柱的側(cè)面積取得最大值，且最大值為命5?.

【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積，圓柱體積的最大值，意在考查學(xué)生的計算能力.

10.（2022?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐P-A4C。中，底面ABC。是矩形，PA

垂直于平面A8cO,A8=4,AD=3t。（7=后，點￡、M分別在線段48、PC上，其中E是48中點，

PM

=2,連接ME.

MC

（1）當(dāng)4=1時，證明：直線ME平行于平面必。；

（2）當(dāng)2=2時，求三楂錐例-AU力的體積.

【答案】（1）證明見解析

⑵2

【分析】（1）取夕。中點心聯(lián)結(jié)MN、AN,證明四邊形4EMN為平行四邊形，然后得到ME//AN即可;

（2）首先求出幺的長度，然后可得點M到平面ABC。的距離，然后可求出答案.

【詳解】（1）

取尸。中點N,聯(lián)結(jié)MN、AN,

因為MN是jPCD的中位線,

故MNHCD,旦MN=>CD,

2

又AEHCD,且

故四邊形AEMN為平行四邊形，

所以ME"AN,乂ME不在平面抬。內(nèi)，4V在平面外。內(nèi),

所以ME平行于平面PAD；

(2)因為A3=4,AD=3,PC=x/34,Q4垂直于平面AACO,4Cu平面44CQ,

所以R4_LAC,PA=V34-9-16=3,

因為三PM7;=2,所以點用到平面A8CD的距離為1,

MC

所以九一即=：x；x4x3xl=2.

11.（2022?上海浦東新,統(tǒng)考一模）如圖，三棱錐P-ABC中，惻面砌睡宜于底面/以7,PA=PB,底面/I比是

斜邊為.仍的直角三角形，RZABC=30°,記媯月郁J中點，陰陽I勺中點.

B

（1）求證：PC1AE；

（2）若A6=2,直線心底面/I/所成角的人小為60。，求四面體上QC的體積.

【答案】（D證明見解析

【分析】（1）由面面垂直性質(zhì)定理證明P0/底面ABC,由此證明8_L4E,再證明AE_LOC,由線面垂直判定

定理證明AE_L平面POC,最后證明PC_LAE；（2）結(jié)合線面角的定義可得/PCO=60,結(jié)合錐體體積公式求四面

體外M勺體枳.

【詳解】（1）連接P。，因為尸A=PB,所以尸0_L48,

側(cè)面垂直于底面ABC,POu平面%B,平面小3c平面A8C=A8,

所以P。工底面ABC,AEu底面ABC,所以POJ_AE,

那3C是斜邊為A8的直角三角形，且ZA8C=30,所以AC=；A8,

又因為媯力刪中點，所以。。二加日月氏所以4^為等邊三角形，

又跳優(yōu)的中點，所以4E_LOC,

因為尸O_LAE,AE1OC,POOC=OfPO、OCuPOC,

所以4￡1平面POC,又PCu平面尸OC,

所以PC_LAE；

p

（2）rh（1）知PO工底面所以直線尸。與底面/i比所成角為NPCO,因為直線左與底面/比所成角的大小為

60,zPCO=60,

因為AB=2,所以。C=1,在RtZXPOC中,PO=tan60°=^3,

SAOC=；1x1xsin60°=今,所以VPA0C=；x*丫G=:.

12.（2022?上海寶山?統(tǒng)考一模）如圖，棱長為2的正方體人8。。-4弟；。中，，從M夕分別是CQ、C.C,

AA的中點.

（2）求異面直線與他V所成角的大小；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

（3）求三棱錐P-MA火的體積.

【答案】（1）證明見詳解;

⑵…㈣

10

⑶5,

【分析】（1）由己知可證明A4/CA和MN/M3，即可證明MN/伙2,進(jìn)而得出結(jié)果；

（2）MN//CD,,所以NPQC即等于異面直線尸2與拗所成角，在VPRC中，求出各邊長，用余弦定理即可求出;

（3）根據(jù)已知可得，四邊形為梯形，SvMNB=；SvMA5,則％W根據(jù)等體積法可知

Vp-M%B=Vw-P^S，求出匕》-,“4日?即可解出.

【詳解】（1）證明:

圖1

如圖1,連結(jié)MN、A出、CD,.

由己知可得，\DJIBC,AR=BC,所以四邊形4SCA為平行四邊形，則A8//CR.

又極粉別是G。、CC的中點，所以MN//CR,且MN=gg,

所以跳“、A、硒點共面

如圖2,連結(jié)。尸、CP.

因為。平面ADDM，OPu平面4）。同，所以CDtDP.

因為，。是'A的中點，所以PA=PA=1.

又所以尸+A尸=」.同理6=人.

在RtPDC中，PC=\lD產(chǎn)+CD?=3.又DC=個DD；+DC?=2近,

在VPCA中，有PC=3,RC=2丘,PD、=也,

乂MN"CD\,所以異面直線PA與MN所成角的大小即等于直線與C。所成角的大小，即等于

arccos

如圖3,MP.MB'PN,M%,NB,

因為且MN=；AB,且J/、"、％、硒點共面，

所以四邊形MN4/為梯形，設(shè)梯形高為〃，則SVM,V8=；XMM〃，S,，z=；xAB,h,

所以SvHNB=gxMN?h=；x；AB?h，SvM，w

zzz乙

設(shè)P到平面MNB即到平面MNA、B的距離為〃,

=

則Vp-A/AB=~XSV"NB'd,Vp=7XSVAFAB'd'則=~X~X\'AMB'~~P-M'B'且^P-MA,8匕-PfAB.

JAMfiJ。乙L

因為匕僅//平面4844，。蜴_1平面4%4，MuCQ1,

所以M到平面ABB.的距離等于線段CQ到平面ABB.A.的距離（:禹=2.

=x

又S"A石AB=—x\x2=\,所以Vw-"7^\1P\BX2=-X1X2=—,

44。J，

所以，Vp_MNB=g%-WA8=gx[=g

考點一:點、直線、平面之間的位置關(guān)系

一、單選題

1.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模）婦圖，四邊形/I成隰邊長為1的正方形，加。_1平面/出C。，附工平面月仇”且

MO=NA=1,點G為求的中點.則下列結(jié)論中不正確的是（)

A.MCYANB.平面QCM//平面力￡￥

C.直線G8與陽促異面直線D.直線謝平面4股無公共點

【答案】D

【分析】根據(jù)給定條件，證明AN//DG判斷A；利用線面、面面平行的判定推理判斷B；取〃W中點，證得四邊形

A8Go是梯形判斷CD作答.

【詳解】因為M/7_L平面力比〃N8工平面力質(zhì)力，則MD//NB,

取八員CRAN的中點EE,〃，連接EF,EG,FH,GH,如圖，點以.禮的中點，

足——f------

則EGNMD//NBI/FH,EG=^MD=^NB=FH,于是四邊形E"7G是平行四邊形，

GHHEF,GH=EF,在正方形A8CD中，EF//AD,EF=AD,則GH//ADG”=AO,

因此四邊形八DGA為平行四邊形，AN//DG,而MD=CZ）=1,點明的中點，

有。G1MC,所以MCJ.4V,A正確；

因為MD3NB,M/）u平面￡07,八歸0平面DCM,則NB//平面力CM,

又ABNCD,COu平面DCM,人80平面DCM,則AB//平面DCM,

而NBAB=B,NB、A8u平面ABN，所以平面DCM〃平面/切V,B正確；

取如沖點、0,連接GO,AO,則有GO"CD//AB,GO=；CD=；AB,即四邊形A8GO為梯形，

因此直淺4。8G必相交，而人Ou平面加0,于是直線融與平面/血陌公共點，D錯誤；

顯然點Aw平面人8GO,點平面八8GO,直線8Gu平面八BGO.點八后直線8G,所以直線而與4促異面直

線，C正確.

故選：D

【點睛】結(jié)論點睛：經(jīng)過平面內(nèi)一點和外一點的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.

2.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，。是正方體A8CQ-A4cA邊AG上的動點，下列哪條邊與邊斯始終

異面（）

A.DD、B.ACC.ARD.4c

【答案】B

【分析】根據(jù)異面直線的知識確定正確答案.

【詳解】P在邊AG上運(yùn)動，則8PU平面ABG,

當(dāng)P運(yùn)動到AG的中點耳時，成與QR相交，A選項錯誤.

AC〃AG,A,CG，A四點共面，

KPc平面ACGA=P，PEAC，所以BP與AC是異面直線，B選項正確.

當(dāng)?運(yùn)動到點C時，8P//AQ.B0與80相交，所以CD選項錯誤.

故選：B

二、填空題

3.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測)在棱長為1的正方體ABCO-A耳GR中，M為底面"C。的中心,

AQ=/12A，2G(OJ),N為線段A。的中點，則下列命題中正確的序號為

①CN與QM共面；

②三棱錐A-OMN的體積跟2的取值無關(guān)；

③當(dāng)4=g時，過AQ,“三點的平面截正方體所得截面的周長為生生土名叵；

④％="!■時，AMJ.QM.

4

【答案】①②③

【分析】根據(jù)中位線可得線線平行，進(jìn)而可判斷①，根據(jù)等體積法可判斷②，利用線線平行確定截面形狀為等腰

梯形，即可利用邊的長度求解③，根據(jù)長度關(guān)系即可判斷④.

【詳解】連接ACQC,在,AC0中，因為M,N為AC,AQ的中點，

所以MN//CQ,所以CN與。例共面，所以①正確；

==

因為N到平|HjA8C7）的距肉為定值■，且S~S=1，由KtDMS-VvAMf?

~AOK12ADC4

所以三棱錐A-DMN的體積跟力的取值無關(guān)，所以②正確；

Iiiuim1iiuira

當(dāng)a時，取?！?鼻?！?連接HC,則"Q/M.G，又AC//G，所以HQ//AC,所以AM,。共

JD

面，即過AQ.M=點的正方體的截面為AC77Q,

由AQ=c”=JiT|=孚，貝IJACHQ是等腰梯形，且=#,

所以平面截正方體所得截面的周長為/=拒+#+2*，7|=逑苧叵，所以③正確；

當(dāng)a時，AQ=j，可得M/2=!，AQ2=AA2+AQ2=]+2=11

4421616

取AQ，AR的中點分別為N,E,連接EN,EM,則EM2=MN2+￡N2=，+I=?,

44

2

在直角三角形MEQ中，QM2=EM2+EQ2=（］+（；）+i=^,

則AM2+QM?>AQ。所以AM_LQM不成立，所以④不正確.

所以正確的命題序號是①@③.

故答案為：①②?.

三、解答題

4.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在正三棱柱ABC-ABC中，從4=從。=2,分別為的中

（1）證明：ED〃平面ABC；

(2)求直線cc,與平面\BD所成角的大小.

【答案】(1)證明見解析

嗚

【分析】(1)取A8中點廣，連接CRb,證明OE//B,根據(jù)線面平行的判定定理即可證明QE〃平面ABC.

(2)分別取4cAG中點。,Q，連接。。一。8,以。為原點，。8,。。,。。所在的直線分別為1軸，丁軸，z軸建

立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法計算即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)證明：

取中點尸，連接CREF,

因為正三棱柱ABC-A媯G，

所以CCJ/AA，且CG=A4)=2,

因為E為線段A聲的中點，

所以口〃/切且“'=3".

所以EF〃CC\且EF=l,

因為。為CG中點，所以8=1.

所以EF//CD且EF=CD.

所以四邊形CDEF是平行四邊形.

所以DE//CF.

又因為OE(Z平面ABC,CFu平面ABC,

所以DE〃平面ABC.

(2)解：

分別取4cAe中點aq,連接

因為A8C-A8c是正三棱柱，

所以。。"44，AA，平面ABC,08LAC.

所以O(shè)，_L平面A8C.

所以O(shè)OJOB,OO,1OC.

以。為原點，。田。仁。。所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則4（0,-l,0），A（0T2）,C（0』,0），G（0J2）,8（G0,0）,O（0』,l）.

所以AB=（后,1,-2）,00=（0,0,2）,80=卜后,1.1）.

設(shè)平面A/。的法向量為〃=a，y,z）,

ABn=0"t+y-2z=0

所以即

BDn=0-\[3x+y+z=0

令y=l，解得X=6,Z=2,所以〃=(75,1,2).

設(shè)直線eq與平面4乃。所成角為凡owevg,

?.|cC,?n|173x0+1x0+2x2五

則偌加3,小曷二^7k=》

所以吟.

即直線8與平面所成角為:

5.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知三棱錐P-A8C1中，PA_L平面ABC,AB_LAC,PA=A3=3,AC=4,為

8c中點，過點，盼別作平行于平面”4的直線交AC、PC于點E，F(xiàn).

p

（1）求直線PM與平面ABC所成角的大小；

（2）證明：ME//平面相乩并求直線ME到平面%B的距離.

【答案】（1）arcsin

61

⑵2

【分析】（1）因為P4_L平面A8C,AB1AC,建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出直線PM的方向向量與平面

A8C的法向量，由線面角的向量公式代入即可得出答案；

（2）由面面平行的性質(zhì)定理可證得ME〃平面乃3,再證明AC_L平面附8,即可求出答案.

【詳解】（1）囚為尸平面A6C,AB±AC,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A（0,0,0）,8（3,0,0）,C（0,4,0）,尸（0,0,3）,加（。,2,0）,￡（0,2,0）,

所以「田=仔,2,一3）,設(shè)〃=（0,0,l）_L平面48C,

設(shè)直線PM與平面A8C所成角為e,

直線PM與平面融所成角的大小為a9粵

（2）因為平面R43//平面EFM,平面心Be平面PAC=%,

平面“Ml〕平面R1C=￡E,所以小〃防，

同理EM//A5,,媯4C中點，

所以分別為ACPC的中點，

因為EM//A8,EM(Z平面0AB,ABu平面以8,

所以ME//平面Q4B,

因為PAJ_平面ABC,ACu平面A8C,所以21_LAC,

ABJ.AC,A4cPA=A,A反尸Au平面E4B,

所以AC_L平面RIB,又因為ME//平面E4B,

直線ME到平面E48的距離為|A國=2.

6.(2023?上海靜安?統(tǒng)考一模)如圖所示，在矩形被力中，A3=4,AD=2,￡'是。汨勺中點，。為力￡的中點,

以力明折痕將VADE向上折起，使〃點折到2點，且PC=尸3.

(1)求證：PO,亞ABCE；

(2)求力C與面目8所成角0的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)叵.

15

【分析】(1)取8C的中點/，連OF,PF,證明"JL8C,BCLPF,得到BC_￡面尸。尸，從而證明

BCA.PO,然后可得PO人面ABCE：

(2)作OG//BC交A3于G，則OG_LO產(chǎn)，然后以點。為原點建立空間百?角坐標(biāo)系，然后利用向量求解即可.

【詳解】(1)

由題意，可得P4=PE,OA=OE,貝JPO_L4￡,

取8曲中點八連明尸產(chǎn)，可得Ob〃A3,所以O(shè)F_L8C,

因為P8=PC,BCIPF,且打'OF=F,所以工平面PO廣，

又因為POu平面PO/，所以8c_LPO.

又由a'與力限相交直線，所以尸O1平面ABCE.

(2)

作OG//8C交4B于G,則OG_LOF

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(l,-L0),8(1,3,0),C(T,3,0),P(0,Ox/I),A《=(-2,4,0),AP=(TJ近),AB=(0,4,0),

設(shè)平面尸A8的法向量為〃=?xz),則卜I：=："*：+&z=。，所以可取〃=(a,0/),

〃?AB=4y=0

2夜二屈

所以AC與面048所成角。的正弦值sin0=cos（〃,4C）

2x/5-x/3-151

7.（2023?上海黃浦?統(tǒng)考一模）如圖所示，四楂錐P-A8c。中，底面A8CD為菱形，且直線用1?平面ABCD

又棱H=A3=2,E為。。的中點，入48c=60。.

（I）求證：直線AE_L平面以B：

（II）求直線AE與平面PC。的正切值.

【答案】（1）見解析（2）至

3

【分析】試卷分析：（1）由線面垂直的判定定理證明，EALAB,EAA,PA,得胡，平面為8；（2）//四直線AE

與平面也斷成角，所以tanZAEP=g=3=攣.

AE63

試卷解析：

解：（1）證明：???/月修/力給60°,旌1,柩2,

，△心"是以/秘〃為直角的汽△,

又'?""〃"，：,EAA,AB,

又〃J_平面力筋，：.EALPA,

???加i_L平面均4；

（2）如圖所示,連結(jié)PE,過A點作AH_LPE于H點.

'：CDLEA,CDLPA,

???W_L平面為￡

又lAHu平面PAE,???/H_LC〃

乂AHIPE,PECCD;E,PEuF、面PCD,CDu'F面PCD,

平面比"

???/力力為直線AE與平面夕⑶所成角.

在Rt△用肝，???川=2,AE=6,

PA22y/3

tanZ4EP=

TT國二亍

考點三：空間向量與立體幾何

一、單選題

1.（2022?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正方體ABCO-ABCQ中，JZ是A。的中點，則（）

A.百線MB與直線與。相交，百線/WBu平面A8G

B.直線MB與直線0c平行，宜線M3_L平面AC。

C.直線A?與直線〃異面，直線MZ?J_平面A/K"由

D.直線M8與直線A。垂直，直線M6〃平面

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知，以〃點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量來研究直線和平面、直線和直線

的位置關(guān)系較為簡單，用向量的共線定理證明兩直線是否平行或異面，根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量垂直

或平行，得出直.線與平面是否平行或垂宜，再對選項進(jìn)行逐一分析判斷即可得出結(jié)論.

【詳解】解：因為人BCQ-AAG。是正方體，不妨設(shè)棱長為2,以媯坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)

則0(000),D.(0,0,2),4(2,0,0),A(2,0,2),B(2,2,0),(2,2,2),C(0,2,0),C,(0,2,2),

又,媯4。的中點，故可得M4=(l,2,-1),陋=(-2,0,-2),

設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z),

n-AD=0f2x=0.

則，即.3八，不妨取y=-1,故可得〃=(O,Tl).

/?DC,=0[2y+2z=0

設(shè)平面BQC的法向量為m=(x,)，,z)

m-B.D.=0[-2x-2y=0、

則，即'c'，，不妨取y=i，故可得利=zTLI.

|mD,C=0[2y-2z=0

對A：因為BD〃旦。，BDBM=B,故BM,BQ不相交，故錯誤；

對B：M3=(l,2,—1),D,C=(0,2,-2),不存在非零實數(shù)4,使得"8二2〃。，

故MB,不平行，故錯誤；

對C：A/Z?=(l,2,-1),平面AQC出的法向量為〃=(0,-1/)，

不存在非零實數(shù)4,使得MB=4〃，故.物與平面4。。心不垂直，故錯誤；

對D：=人。=(-2,0,-2),則加84。=-2+2=0,故直線物與垂直；

又MB“〃=T+2-l=0,故跖與平面8QC平行，故正確；

故選：I).

2.(2022?上海嘉定?校