PAGE52第一章隨機(jī)事件及其概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是從數(shù)量化的角度來(lái)研究現(xiàn)實(shí)世界中一類不確定現(xiàn)象（隨機(jī)現(xiàn)象）規(guī)律性的一門應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科，20世紀(jì)以來(lái)，廣泛應(yīng)用于工業(yè)、國(guó)防、國(guó)民經(jīng)濟(jì)及工程技術(shù)等各個(gè)領(lǐng)域.本章介紹的隨機(jī)事件與概率是概率論中最基本、最重要的概念之一.【教學(xué)目的與要求】通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解隨機(jī)事件和樣本空間的概念；熟練掌握事件間的關(guān)系與基本運(yùn)算。理解事件頻率的概念；了解隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。知道概率的公理化定義；理解古典概型的概念；了解幾何概率；掌握概率的基本性質(zhì)（特別是加法定理），會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)進(jìn)行概率計(jì)算。理解條件概率的概念；掌握乘法定理、全概率公式和貝葉斯公式，并會(huì)應(yīng)用這些公式進(jìn)行概率計(jì)算。理解事件獨(dú)立性的概念，會(huì)應(yīng)用事件的獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算。掌握貝努里概型及有關(guān)事件概率的計(jì)算。【教學(xué)重點(diǎn)】事件的關(guān)系與運(yùn)算；概率的公理化體系；古典概型的計(jì)算；概率的加法公式、乘法公式與全概率公式；條件概率與事件的獨(dú)立性。貝努里概型?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】古典概率的計(jì)算；全概公式與貝葉斯公式的應(yīng)用；【計(jì)劃課時(shí)】8【教學(xué)內(nèi)容】第一節(jié)隨機(jī)事件一.隨機(jī)現(xiàn)象從亞里士多德時(shí)代開始,哲學(xué)家們就已經(jīng)認(rèn)識(shí)到隨機(jī)性在生活中的作用,但直到20世紀(jì)初,人們才認(rèn)識(shí)到隨機(jī)現(xiàn)象亦可以通過(guò)數(shù)量化方法來(lái)進(jìn)行研究.概率論就是以數(shù)量化方法來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象及其規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科.而我們已學(xué)過(guò)的微積分等課程則是研究確定性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)學(xué)科.二.隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性由于隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果事先不能預(yù)知,初看似乎毫無(wú)規(guī)律.然而人們發(fā)現(xiàn)同一隨機(jī)現(xiàn)象大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí),其每種可能的結(jié)果出現(xiàn)的頻率具有穩(wěn)定性,從而表明隨機(jī)現(xiàn)象也有其固有的規(guī)律性.人們把隨機(jī)現(xiàn)象在大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí)所表現(xiàn)出的量的規(guī)律性稱為隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門學(xué)科.為了對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性進(jìn)行研究,就需要對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行重復(fù)觀察,我們把對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn),并簡(jiǎn)稱為試驗(yàn)，記為.例如,觀察某射手對(duì)固定目標(biāo)進(jìn)行射擊;拋一枚硬幣三次,觀察出現(xiàn)正面的次數(shù);記錄某市120急救電話一晝夜接到的呼叫次數(shù)等均為隨機(jī)試驗(yàn).隨機(jī)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn):1.可重復(fù)性:試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行;2.可觀察性:試驗(yàn)結(jié)果可觀察,所有可能的結(jié)果是明確的;3.不確定性:每次試驗(yàn)出現(xiàn)的結(jié)果事先不能準(zhǔn)確預(yù)知.三.樣本空間盡管一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)將要出現(xiàn)的結(jié)果是不確定的,但其所有可能結(jié)果是明確的,我們把隨機(jī)試驗(yàn)的每一種可能的結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn),記為（或）；它們的全體稱為樣本空間,記為(或).基本事件的稱謂是相對(duì)觀察目的而言它們是不可再分解的、最基本的事件，其它事件均可由它們復(fù)合而成，一般地，我們稱由基本事件復(fù)合而成的事件為復(fù)合事件.四.事件的集合表示按定義,樣本空間是隨機(jī)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果(樣本點(diǎn))的全體,故樣本空間就是所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合,每一個(gè)樣本點(diǎn)是該集合的元素.一個(gè)事件是由具有該事件所要求的特征的那些可能結(jié)果所構(gòu)成的,所以一個(gè)事件對(duì)應(yīng)于中具有相應(yīng)特征的樣本點(diǎn)(元素)構(gòu)成的集合,它是的一個(gè)子集.于是,任何一個(gè)事件都可以用的某一子集來(lái)表示,常用字母等表示.五.事件的關(guān)系與運(yùn)算因?yàn)槭录菢颖究臻g的一個(gè)集合,故事件之間的關(guān)系與運(yùn)算可按集合之間的關(guān)系和運(yùn)算來(lái)處理.六.事件的運(yùn)算規(guī)律事件間的關(guān)系及運(yùn)算與集合的關(guān)系及運(yùn)算是一致的，為了方便，給出下列對(duì)照表：表1.1例題選講：例1在管理系學(xué)生中任選一名學(xué)生,令事件A表示選出的是男生,事件B表示選出的是三年級(jí)學(xué)生,事件C表示該生是運(yùn)動(dòng)員.(1)敘述事件的意義;(2)在什么條件下成立?(3)什么條件下?(4)什么條件下成立?例2考察某一位同學(xué)在一次數(shù)學(xué)考試中的成績(jī),分別用A,B,C,D,P,F表示下列各事件(括號(hào)中表示成績(jī)所處的范圍):則是兩兩不相容事件與是互為對(duì)立事件，即有均為的子事件，且有例3甲，乙，丙三人各射一次靶，記“甲中靶”“乙中靶”“丙中靶”則可用上述三個(gè)事件的運(yùn)算來(lái)分別表示下列各事件：(1)“甲未中靶”：(2)“甲中靶而乙未中靶”：(3)“三人中只有丙未中靶”(4)“三人中恰好有一人中靶”：(5)“三人中至少有一人中靶”(6)“三人中至少有一人未中靶”或(7)“三人中恰有兩人中靶”(8)“三人中至少兩人中靶”(9)“三人均未中靶”(10)“三人中至多一人中靶(11)“三人中至多兩人中靶”或注：用其他事件的運(yùn)算來(lái)表示一個(gè)事件,方法往往不惟一，如上例中的(6)和(11)實(shí)際上是同一事件，讀者應(yīng)學(xué)會(huì)用不同方法表達(dá)同一事件,特別在解決具體問(wèn)題時(shí),往往要根據(jù)需要選擇一種恰當(dāng)?shù)谋硎痉椒?例4指出下列各等式命題是否成立,并說(shuō)明理由:(1);(2);(3);(4);(5)如果,則(6)如果,且,則;(7)如果,那么;(8)如果,那么例5化簡(jiǎn)下列事件：(1)(2)思考題1.設(shè)當(dāng)事件與同時(shí)發(fā)生時(shí)也發(fā)生,則().(A)是的子事件;(B)或(C)是的子事件;(D)是的子事件.2.設(shè)事件{甲種產(chǎn)品暢銷,乙種產(chǎn)品滯銷},則的對(duì)立事件為().(A)甲種產(chǎn)品滯銷,乙種產(chǎn)品暢銷;(B)甲種產(chǎn)品滯銷;(C)甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷;(D)甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷.第二節(jié)隨機(jī)事件的概率對(duì)一個(gè)隨機(jī)事件，在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，它是否會(huì)發(fā)生，事先不能確定.但我們可以問(wèn)，在一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的可能性有多大？并希望找到一個(gè)合適的數(shù)來(lái)表征事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小.為此，本節(jié)首先引入頻率，它描述了事件發(fā)生的頻繁程度，進(jìn)而引出表征事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性大小的數(shù)概率.一.頻率及其性質(zhì)定義1若在相同條件下進(jìn)行次試驗(yàn),其中事件發(fā)生的次數(shù)為,則稱為事件發(fā)生的頻率.易見,頻率具有下述基本性質(zhì):1.2.3.設(shè)是兩兩互不相容的事件,則.二.概率的統(tǒng)計(jì)定義定義2在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，若事件發(fā)生的頻率隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大而穩(wěn)定地在某個(gè)常數(shù)(附近擺動(dòng)，則稱為事件的概率，記為.頻率的穩(wěn)定值是概率的外在表現(xiàn),并非概率的本質(zhì).據(jù)此確定某事件的概率是困難的，但當(dāng)進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí),頻率會(huì)接近穩(wěn)定值,因此，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往是用試驗(yàn)次數(shù)足夠大的頻率來(lái)估計(jì)概率的大小,且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,估計(jì)的精度會(huì)越來(lái)越高。三.概率的公理化定義任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念都是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的抽象，這種抽象使得其具有廣泛的適用性.概率的頻率解釋為概率提供了經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ),但是不能作為一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義,從概率論有關(guān)問(wèn)題的研究算起,經(jīng)過(guò)近三個(gè)世紀(jì)的漫長(zhǎng)探索歷程,人們才真正完整地解決了概率的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義.1933年,前蘇聯(lián)著名的數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫,在他的“概率論的基本概念”一書中給出了現(xiàn)在已被廣泛接受的概率公理化體系,第一次將概率論建立在嚴(yán)密的邏輯基礎(chǔ)上.定義3設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn),是它的樣本空間,對(duì)于的每一個(gè)事件賦于一個(gè)實(shí)數(shù),記為,若滿足下列三個(gè)條件:1.非負(fù)性：對(duì)每一個(gè)事件,有;2.完備性：;3.可列可加性：設(shè)是兩兩互不相容的事件，則有則稱為事件的概率.四.概率的性質(zhì)性質(zhì)1--性質(zhì)例題選講：頻率及其性質(zhì)例1圓周率是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù),我國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之第一次把它計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位,這個(gè)記錄保持了1000多年!以后有人不斷把它算得更精確.1873年,英國(guó)學(xué)者沈克士公布了一個(gè)的數(shù)值,它的數(shù)目在小數(shù)點(diǎn)后一共有707位之多!但幾十年后,曼徹斯特的費(fèi)林生對(duì)它產(chǎn)生了懷疑.他統(tǒng)計(jì)了的608位小數(shù),得到了下表:你能說(shuō)出他產(chǎn)生懷疑的理由嗎?因?yàn)槭且粋€(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以，理論上每個(gè)數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)近似相等，或它們出現(xiàn)的頻率應(yīng)都接近于0.1，但7出現(xiàn)的頻率過(guò)小.這就是費(fèi)林產(chǎn)生懷疑的理由.概率的統(tǒng)計(jì)定義例2檢查某工廠一批產(chǎn)品的質(zhì)量,從中分別抽取10件、20件、50件、100件、150件、200件、300件檢查,檢查結(jié)果及次品頻列入表1-21由表1看出,在抽出的n件產(chǎn)品中,次品數(shù)隨著n的不同而取不同值,從而次品頻率僅在0.05附近有微小變化.所以0.05是次品頻率的穩(wěn)定值.例3從某魚池中取100條魚,做上記號(hào)后再放入該魚池中.現(xiàn)從該池中任意捉來(lái)40條魚,發(fā)現(xiàn)其中兩條有記號(hào),問(wèn)池內(nèi)大約有多少條魚?概率的性質(zhì)例4已知,求(1);(2);(3);(4).例5觀察某地區(qū)未來(lái)5天的天氣情況,記為事件:“有天不下雨”,已知求下列各事件的概率:(1)天均下雨;(2)至少一天不下雨;(2)至少一天不下雨;例6某城市中發(fā)行2種報(bào)紙A,B.經(jīng)調(diào)查,在這2種報(bào)紙的訂戶中,訂閱A報(bào)的有45%,訂閱B報(bào)的有35%,同時(shí)訂閱2種報(bào)紙A,B的有10%.求只訂一種報(bào)紙的概率講解注意：思考題1.設(shè),求事件的逆事件的概率.2.設(shè)求.3.設(shè)都出現(xiàn)的概率與都不出現(xiàn)的概率相等,且,求.第三節(jié)古典概型與幾何概型引例一個(gè)紙桶中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球.將球編號(hào)為1—10.把球攪勻,蒙上眼睛從中任取一球.因?yàn)槌槿r(shí)這些球被抽到的可能性是完全平等的,所以我們沒有理由認(rèn)為這10個(gè)球中的某一個(gè)會(huì)比另一個(gè)更容易抽得,也就是說(shuō),這10個(gè)球中的任一個(gè)被抽取的可能性均為.這樣一類隨機(jī)試驗(yàn)是一類最簡(jiǎn)單的概率模型,它曾經(jīng)是概率論發(fā)展初期主要的研究對(duì)象.一、古典概型我們稱具有下列兩個(gè)特征的隨機(jī)試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣诺涓判汀?.隨機(jī)試驗(yàn)只有有限個(gè)可能的結(jié)果;2.每一個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性大小相同.。因而古典概型又稱為等可能概型.在概率論的產(chǎn)生和發(fā)展過(guò)參程中，它是最早的研究對(duì)象，且在實(shí)際中也最常用的一種概率模型。它在數(shù)學(xué)上可表述為：在古典概型的假設(shè)下,我們來(lái)推導(dǎo)事件概率的計(jì)算公式.設(shè)事件包含其樣本空間中個(gè)基本事件,即則事件發(fā)生的概率稱此概率為古典概率.這種確定概率的方法稱為古典方法.這就把求古典概率的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)基本事件的計(jì)數(shù)問(wèn)題.二、計(jì)算古典概率的方法基本計(jì)數(shù)原理：1.加法原理：設(shè)完成一件事有種方式,其中第一種方式有種方法，第二種方式有種方法，……,第種方式有種方法，無(wú)論通過(guò)哪種方法都可以完成這件事,則完成這件事的方法總數(shù)為.2.乘法原理：設(shè)完成一件事有個(gè)步驟,其中第一個(gè)步驟有種方法，第二個(gè)步驟有種方法，……，第個(gè)步驟有種方法；完成該件事必須通過(guò)每一步驟才算完成，則完成這件事的方法總數(shù)為.3.排列組合方法：排列公式：(2)組合公式；(3)二項(xiàng)式公式.三、幾何概型古典概型只考慮了有限等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型.這里我們進(jìn)一步研究樣本空間為一線段、平面區(qū)域或空間立體等的等可能隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型—幾何概型.（a）設(shè)樣本空間是平面上某個(gè)區(qū)域,它的面積記為;（b）向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點(diǎn),這里“隨機(jī)投擲一點(diǎn)”的含義是指該點(diǎn)落入內(nèi)任何部分區(qū)域的可能性只與區(qū)域的面積成比例,而與區(qū)域的位置和形狀無(wú)關(guān).向區(qū)域上隨機(jī)投擲一點(diǎn),該點(diǎn)落在區(qū)域的的事件仍記為，則概率為,其中為常數(shù)，而，于是得，從而事件的概率為幾何概率注:若樣本空間為一線段或一空間立體,則向“投點(diǎn)”的相應(yīng)概率仍可用式確定,但應(yīng)理解為長(zhǎng)度或體積.例題選講：例1一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小相同的球,其中3個(gè)黑球,7個(gè)白球,求從袋子中任取一球,這個(gè)球是黑球的概率;從袋子中任取兩球,剛好一個(gè)白球一個(gè)黑球的概率以及兩個(gè)球全是黑球的概率.例2將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)球隨意地排成一行,求下列各事件的概率:(1)各球自左至右或自右至左恰好排成1,2,3,4的順序;(2)第1號(hào)球排在最右邊或最左邊;(3)第1號(hào)球與第2號(hào)球相鄰;(4)第1號(hào)球排在第2號(hào)球的右邊(不一定相鄰).例3將3個(gè)球隨機(jī)放入4個(gè)杯子中,問(wèn)杯子中球的個(gè)數(shù)最多為1,2,3的概率各是多少?例4將15名新生(其中有3名優(yōu)秀生)隨機(jī)地分配到三個(gè)班級(jí)中,其中一班4名,二班5名,三班6名,求:每一個(gè)班級(jí)各分配到一名優(yōu)秀生的概率;3名優(yōu)秀生被分配到一個(gè)班級(jí)的概率.例5在1~2000的整數(shù)中隨機(jī)地取一個(gè)數(shù),問(wèn)取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?例6一個(gè)袋子中裝有個(gè)球，其中個(gè)黑球，個(gè)白球，隨意的每次從中取出一個(gè)球（不放回），求下列各事件的概率：（1）第次取到的是黑球；（2）第次才取到黑球;（3）前次中能取到黑球.幾何概型例7某人午覺醒來(lái),發(fā)覺表停了,他打開收音機(jī),想聽電臺(tái)報(bào)時(shí),設(shè)電臺(tái)每正點(diǎn)是報(bào)時(shí)一次,求他(她)等待時(shí)間短于10分鐘的概率.例8會(huì)面問(wèn)題)甲、乙兩人相約在7點(diǎn)到8點(diǎn)之間在某地會(huì)面,先到者等候另一人20分鐘,過(guò)時(shí)就離開.如果每個(gè)人可在指定的一小時(shí)內(nèi)任意時(shí)刻到達(dá),試計(jì)算二人能夠會(huì)面的概率.思考題1.設(shè)有件產(chǎn)品,其中有件次品,現(xiàn)從中任取件,求其中有件次品的概率.第四節(jié)條件概率先由一個(gè)簡(jiǎn)單的例子引入條件概率的概念.一、條件概率的概念在解決許多概率問(wèn)題時(shí),往往需要在有某些附加信息(條件)下求事件的概率.如在事件發(fā)生的條件下,求事件發(fā)生的條件概率,記作.定義1設(shè)是兩個(gè)事件,且,則稱(1)為在事件發(fā)生的條件下,事件的條件概率.相應(yīng)地，把稱為無(wú)條件概率。一般地，.注:1.用維恩圖表達(dá)(1)式.若事件已發(fā)生,則為使也發(fā)生,試驗(yàn)結(jié)果必須是既在中又在中的樣本點(diǎn),即此點(diǎn)必屬于.因已知已發(fā)生,故成為計(jì)算條件概率新的樣本空間.2.計(jì)算條件概率有兩種方法:：a)在縮減的樣本空間中求事件的概率，就得到；b)在樣本空間中，先求事件和，再按定義計(jì)算。二、乘法公式由條件概率的定義立即得到:(2)注意到,及的對(duì)稱性可得到:(3)(2)和(3)式都稱為乘法公式,利用它們可計(jì)算兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率.三、全概率公式全概率公式是概率論中的一個(gè)基本公式。它使一個(gè)復(fù)雜事件的概率計(jì)算問(wèn)題，可化為在不同情況或不同原因或不同途徑下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問(wèn)題。定理1設(shè)是一個(gè)完備事件組,且則對(duì)任一事件,有注:全概率公式可用于計(jì)算較復(fù)雜事件的概率,公式指出:在復(fù)雜情況下直接計(jì)算不易時(shí),可根據(jù)具體情況構(gòu)造一組完備事件,使事件發(fā)生的概率是各事件發(fā)生條件下引起事件發(fā)生的概率的總和.四、貝葉斯公式利用全概率公式,可通過(guò)綜合分析一事件發(fā)生的不同原因、情況或途徑及其可能性來(lái)求得該事件發(fā)生的概率.下面給出的貝葉斯公式則考慮與之完全相反的問(wèn)題,即,一事件已經(jīng)發(fā)生,要考察該事件發(fā)生的各種原因、情況或途徑的可能性.例如,有三個(gè)放有不同數(shù)量和顏色的球的箱子,現(xiàn)從任一箱中任意摸出一球,發(fā)現(xiàn)是紅球,求該球是取自1號(hào)箱的概率.或問(wèn):該球取自哪號(hào)箱的可能性最大?定理2設(shè)是一完備事件組,則對(duì)任一事件,,有貝葉斯公式注:公式中,和分別稱為原因的驗(yàn)前概率和驗(yàn)后概率.是在沒有進(jìn)一步信息(不知道事件是否發(fā)生)的情況下諸事件發(fā)生的概率.當(dāng)獲得新的信息(知道發(fā)生),人們對(duì)諸事件發(fā)生的概率有了新的估計(jì).貝葉斯公式從數(shù)量上刻劃了這種變化.特別地,若取,并記,則,于是公式成為例題選講：條件概率例1一袋中裝有10個(gè)球,其中3個(gè)黑球,7個(gè)白球,先后兩次從袋中各取一球(不放回)(1)已知第一次取出的是黑球,求第二次取出的仍是黑球的概率;(2)已知第二次取出的是黑球,求第一次取出的也是黑球的概率.例2袋中有5個(gè)球,其中3個(gè)紅球2個(gè)白球.現(xiàn)從袋中不放回地連取兩個(gè).已知第一次取得紅球時(shí),求第二次取得白球的概率.乘法公式例3一袋中裝10個(gè)球,其中3個(gè)黑球、7個(gè)白球,先后兩次從中隨意各取一球(不放回),求兩次取到的均為黑球的概率.分析：這一概率,我們?cè)霉诺涓判头椒ㄓ?jì)算過(guò),這里我們使用乘法公式來(lái)計(jì)算.在本例中,問(wèn)題本身提供了兩步完成一個(gè)試驗(yàn)的結(jié)構(gòu),這恰恰與乘法公式的形式相應(yīng),合理地利用問(wèn)題本身的結(jié)構(gòu)來(lái)使用乘法公式往往是使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化的關(guān)鍵.例4設(shè)袋中裝有只紅球,只白球.每次自袋中任取一只球,觀察其顏色然后放回,并再放入只與所取出的那只球同色的球.若在袋中連續(xù)取球四次,試求第一,二次取到紅球且第三,四次取到白球的概率.例5設(shè)某光學(xué)儀器廠制造的透鏡,第一次落下時(shí)打破的概率為1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率為7/10,若前兩次落下未打破,第三次落下打破的概率為9/10.試求透鏡落下三次而未打破的概率.例6)已知，試求 例7一袋中裝有10個(gè)球,其中3個(gè)黑球、7個(gè)白球，從中先后隨意各取一球（不放回），求第二次取到的是黑球的概率.全概率公式例8人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥?lái)一定時(shí)期內(nèi)價(jià)格的變化,往往會(huì)去分析影響股票價(jià)格的基本因素,比如利率的變化.現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60%,利率不變的概率為40%.根據(jù)經(jīng)驗(yàn),人們估計(jì),在利率下調(diào)的情況下,該支股票價(jià)格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下,其價(jià)格上漲的概率為40%,求該支股票將上漲的概率.例9某商店收進(jìn)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱，乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱，甲廠每箱裝100個(gè)，廢品率為0.06,乙廠每箱裝120個(gè),廢品率為0.05,求:(1)任取一箱，從中任取一個(gè)為廢品的概率；(2)若將所有產(chǎn)品開箱混放,求任取一個(gè)為廢品的概率.例10在例7中，我們將“第二次取到的球?yàn)楹谇颉边@一事件分解為兩種情況下發(fā)生，那里利用全概率公式算得“第二次取到的球?yàn)楹谇颉钡母怕?現(xiàn)在的問(wèn)題是,假設(shè)我們已經(jīng)觀察到“第二次取到的球?yàn)楹谇颉?，但我們不知道是在第一次取到的球?yàn)楹谇虻那闆r下第二次取的是黑球的可能性大，還是在第一次取到的球?yàn)榘浊虻那闆r下第二次取到的是黑球的可能性大，現(xiàn)求“第一次取到的是黑球”這種“情況”發(fā)生的概率.例11對(duì)以往數(shù)據(jù)分析結(jié)果表明,當(dāng)機(jī)器調(diào)整得良好時(shí),產(chǎn)品的合格率為98%,而當(dāng)機(jī)器發(fā)生某種故障時(shí),其合格率為55%.每天早上機(jī)器開動(dòng)時(shí),機(jī)器調(diào)整良好的概率為95%.試求已知某日早上第一件產(chǎn)品是合格時(shí),機(jī)器調(diào)整得良好的概率是多少?例12設(shè)某批產(chǎn)品中,甲,乙,丙三廠生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占45%,35%,20%,各廠的產(chǎn)品的次品率分別為4%,2%,5%,現(xiàn)從中任取一件,(1)求取到的是次品的概率;(2)經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)取到的產(chǎn)品為次品,求該產(chǎn)品是甲廠生產(chǎn)的概率.例13根據(jù)以上的臨床記錄，某種診斷癌癥的是眼睛有如下的效果:若以表示事件“試驗(yàn)反應(yīng)為陽(yáng)性”，以表示事件“被診斷者患有癌癥”，則有現(xiàn)在對(duì)自然人群進(jìn)行普查,設(shè)備試驗(yàn)的人患有癌癥的概率為0.005,即,試求思考題1.設(shè)某種動(dòng)物由出生算起活到20年以上的概率為0.8,活到25年以上的概率為0.4.問(wèn)現(xiàn)年20歲的這種動(dòng)物,它能活到25歲以上的概率是多少?第五節(jié)事件的獨(dú)立性一、兩個(gè)事件的獨(dú)立性定義若兩事件,滿足(1)則稱,獨(dú)立,或稱,相互獨(dú)立.注:當(dāng),時(shí),,相互獨(dú)立與,互不相容不能同時(shí)成立.但與既相互獨(dú)立又互不相容(自證).定理1設(shè),是兩事件,且,若,相互獨(dú)立,則.反之亦然.定理2設(shè)事件,相互獨(dú)立,則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立:與,與,與.二、有限個(gè)事件的獨(dú)立性定義：為三個(gè)事件,若滿足等式則稱事件相互獨(dú)立.對(duì)個(gè)事件的獨(dú)立性,可類似寫出其定義:定義設(shè)是個(gè)事件,若其中任意兩個(gè)事件之間均相互獨(dú)立,則稱兩兩獨(dú)立.三、相互獨(dú)立性的性質(zhì)性質(zhì)1若事件相互獨(dú)立,則其中任意個(gè)事件也相互獨(dú)立;由獨(dú)立性定義可直接推出.性質(zhì)2若個(gè)事件相互獨(dú)立,則將中任意個(gè)事件換成它們的對(duì)立事件,所得的個(gè)事件仍相互獨(dú)立;對(duì)時(shí)，定理2已作證明,一般情況可利用數(shù)學(xué)歸納法證之，此處略.性質(zhì)3設(shè)是個(gè)隨機(jī)事件，則相互獨(dú)立兩兩獨(dú)立。即相互獨(dú)立性是比兩兩獨(dú)立性更強(qiáng)的性質(zhì),四、伯努利概型設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果:事件發(fā)生(記為)或事件不發(fā)生(記為),則稱這樣的試驗(yàn)為伯努利(Bermourlli)試驗(yàn).設(shè)將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行次,稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為重伯努利試驗(yàn),或簡(jiǎn)稱為伯努利概型.注:重伯努利試驗(yàn)是一種很重要的數(shù)學(xué)模型,在實(shí)際問(wèn)題中具有廣泛的應(yīng)用.其特點(diǎn)是:事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率均為,且不受其他各次試驗(yàn)中是否發(fā)生的影響.定理3（伯努利定理）設(shè)在一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率為則在重貝努里試驗(yàn)中,事件恰好發(fā)生次的概率為推論設(shè)在一次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率為則在重貝努里試驗(yàn)中,事件在第次試驗(yàn)中的才首次發(fā)生的概率為注意到“事件第次試驗(yàn)才首次發(fā)生”等價(jià)于在前次試驗(yàn)組成的重伯努利試驗(yàn)中“事件在前次試驗(yàn)中均不發(fā)生而第次試驗(yàn)中事件發(fā)生”,再由伯努利定理即推得.例題選講：兩個(gè)事件的獨(dú)立性例1從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記{抽到},{抽到的牌是黑色的},問(wèn)事件、是否獨(dú)立?注：從例1可見,判斷事件的獨(dú)立性,可利用定義或通過(guò)計(jì)算條件概率來(lái)判斷.但在實(shí)際應(yīng)用中,常根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.相互獨(dú)立性的性質(zhì)例2已知甲、乙兩袋中分別裝有編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)球.今從甲、乙兩袋中各取出一球,設(shè){從甲袋中取出的是偶數(shù)號(hào)球},{從乙袋中取出的是奇數(shù)號(hào)球},{從兩袋中取出的都是偶數(shù)號(hào)球或都是奇數(shù)號(hào)球},試證兩兩獨(dú)立但不相互獨(dú)立.例3加工某一零件共需經(jīng)過(guò)四道工序,設(shè)第一、二、三、四道工序的次品率分別是2%,3%,5%,3%,假定各道工序是互不影響的,求加工出來(lái)的零件的次品率.例4如圖是一個(gè)串并聯(lián)電路系統(tǒng).都是電路中的元件.它們下方的數(shù)字是它們各自正常工作的概率.求電路系統(tǒng)的可靠性.例5甲,乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽,每局甲勝的概率為p,p≥1/2.問(wèn)對(duì)甲而言,采用三局二勝制有利,還是采用五局三勝制有利.設(shè)各局勝負(fù)相互獨(dú)立.例6某種小數(shù)移栽后的成活率為90%,一居民小區(qū)移栽了20棵,求能成活18的概率.伯努利概型例7一條自動(dòng)生產(chǎn)線上的產(chǎn)品,次品率為4%,求解以下兩個(gè)問(wèn)題:(1)從中任取10件,求至少有兩件次品的概率;(2)一次取1件,無(wú)放回地抽取,求當(dāng)取到第二件次品時(shí),之前已取到8件正品的概率.例8一個(gè)醫(yī)生知道某種疾病患者自然痊愈率為0.25,為試驗(yàn)一種新藥是否有效,把它給10個(gè)病人服用,且規(guī)定若10個(gè)病人中至少有四個(gè)治好則認(rèn)為這種藥有效,反之則認(rèn)為無(wú)效.求（1）雖然新藥有效，且把痊愈率提高到0.35，但通過(guò)實(shí)驗(yàn)卻被否定的概率.（2）新藥完全無(wú)效，但通過(guò)實(shí)驗(yàn)卻被認(rèn)為有效的概率.例9一個(gè)袋中裝有10個(gè)球，其中3個(gè)黑球，7個(gè)白球，每次從中隨意取出一球，取后放回.（1）如果共取10次，求10次中能取到黑球的概率及10次中恰好取到3次黑球的概率.（2）如果未取到黑球就一直去下去，直到取到黑球?yàn)橹梗笄『靡?次黑球的概率.例10一輛飛機(jī)場(chǎng)的交通車載有25名乘客途經(jīng)9個(gè)站，每位乘客都等可能在這9站中任意一站下車（且不受其他乘客下車與否的影響），交通車只在有乘客下車時(shí)才停車，求交通車在第站停車的概率以及在第站不停車的條件下第站的概率，并判斷“第站停車”與“第站停車”兩個(gè)事件是否獨(dú)立.例11某型號(hào)高炮,每門炮發(fā)射一發(fā)炮彈擊中飛機(jī)的概率為0.6,現(xiàn)若干門炮同時(shí)各射一發(fā),(1)問(wèn):欲以99%的把握擊中一架來(lái)犯的敵機(jī)至少需配置幾門炮?(2)現(xiàn)有3門炮,欲以99%的把握擊中一架來(lái)犯的敵機(jī),問(wèn):每門炮的命中率應(yīng)提高到多少?思考題：1.某工人一天出廢品的概率為0.2,求在4天中:(1)都不出廢品的概率;(2)至少有一天出廢品的概率;(3)僅有一天出廢品的概率;(4)最多有一天出廢品的概率;(5)第一天出廢品,其余各天不出廢品的概率.第二章隨機(jī)變量及其分布在隨機(jī)試驗(yàn)中，人們除對(duì)某些特定事件發(fā)生的概率感興趣外，往往還關(guān)心某個(gè)與隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果相聯(lián)系的變量.由于這一變量的取值依賴于隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果，因而被稱為隨機(jī)變量.與普通的變量不同，對(duì)于隨機(jī)變量，人們無(wú)法事先預(yù)知其確切取值，但可以研究其取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.本章將介紹兩類隨機(jī)變量及描述隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的分布.【教學(xué)目的與要求】通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解隨機(jī)變量的概念；理解分布函數(shù)的概念和性質(zhì)；掌握離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法；理解分布律與概率密度的概念和性質(zhì)。熟練掌握二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布；會(huì)利用概率分布計(jì)算有關(guān)事件的概率。會(huì)求簡(jiǎn)單的隨機(jī)變量函數(shù)的概率分布；【教學(xué)重點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的分布律與連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度的概念和性質(zhì)；二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布；隨機(jī)變量的函數(shù)的分布?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布；【計(jì)劃課時(shí)】7【教學(xué)內(nèi)容】第一節(jié)隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量概念的引入為全面研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果,揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性,需將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái).1.在有些隨機(jī)試驗(yàn)中,試驗(yàn)的結(jié)果本身就由數(shù)量來(lái)表示.2.在另一些隨機(jī)試驗(yàn)中,試驗(yàn)結(jié)果看起來(lái)與數(shù)量無(wú)關(guān),但可以指定一個(gè)數(shù)量來(lái)表示之.二、隨機(jī)變量的定義定義：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為,稱定義在樣本空間上的實(shí)值單值函數(shù)為隨機(jī)變量.隨機(jī)變量與高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的比較:(1)都是實(shí)值函數(shù),但前者在試驗(yàn)前只知道它可能取值的范圍,而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值;(2)試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率,故前者取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.三、引入隨機(jī)變量的意義隨機(jī)變量的引入,使得隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件可通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái).由此可見,隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi).也可以說(shuō),隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象,而隨機(jī)變量則以動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究之.其關(guān)系類似高等數(shù)學(xué)中常量與變量的關(guān)系.隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后,對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究,就由對(duì)事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究,使人們可利用數(shù)學(xué)分析的方法對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行廣泛而深入的研究.隨機(jī)變量因其取值方式不同,通常分為離散型和非離散型兩類.而非非離散型隨機(jī)變量中最重要的是連續(xù)型隨機(jī)變量.今后，我們主要討論離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量.例題選講：例1在拋擲一枚硬幣進(jìn)行打賭時(shí),若規(guī)定出現(xiàn)正面時(shí)拋擲者贏1元錢,出現(xiàn)反面時(shí)輸1元錢,則其樣本空間為{正面,反面},記贏錢數(shù)為隨機(jī)變量,則作為樣本空間的實(shí)值函數(shù)定義為例2在將一枚硬幣拋擲三次,觀察正面、反面出現(xiàn)情況的試驗(yàn)中,其樣本空間記每次試驗(yàn)出現(xiàn)正面的總次數(shù)為隨機(jī)變量,則作為樣本空間上的函數(shù)定義為易見,使取值為的樣本點(diǎn)構(gòu)成的子集為故類似地，有例3在測(cè)試燈泡壽命的試驗(yàn)中,每一個(gè)燈泡的實(shí)際使用壽命可能是中任何一個(gè)實(shí)數(shù),若用表示燈泡的壽命（小時(shí)），則是定義在樣本空間上的函數(shù)，即，是隨機(jī)變量.思考題：.一報(bào)童賣報(bào),每份0.15元,其成本為0.10元.報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào),并規(guī)定他不得把賣不出的報(bào)紙退回.設(shè)為報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù),試將報(bào)童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布函數(shù)一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義設(shè)離散型隨機(jī)變量的所有可能取值為,稱為的概率分布或分布律,也稱概率函數(shù).常用表格形式來(lái)表示的概率分布:二、常用離散分布退化分布兩點(diǎn)分布個(gè)點(diǎn)上的均勻分布二項(xiàng)分布幾何分布超幾何分布泊松分布：泊松分布是概率論中最重要的幾個(gè)分布之一.實(shí)際問(wèn)題中許多隨機(jī)現(xiàn)象都服從或近似服從泊松分布.三、二項(xiàng)分布的泊松近似定理1(泊松定理)在重伯努利試驗(yàn)中,事件在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為(注意這與試驗(yàn)的次數(shù)有關(guān)),如果時(shí),(為常數(shù)),則對(duì)任意給定的,有.例題選講：離散型隨機(jī)變量及其概率分布例1某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈的概率是0.9,求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)的概率分布.例2設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為:.確定常數(shù).二項(xiàng)分布例3已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品,現(xiàn)從中有放回地取3次,每次任取1個(gè),求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率.例4某人進(jìn)行射擊,每次射擊的命中率為0.02,獨(dú)立射擊400次,試求至少擊中兩次的概率.例5有80臺(tái)同類型設(shè)備,各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的,發(fā)生故障的概率都是0.01,且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理.考慮兩種配備維修工人的方法,其一由4人維護(hù),每人負(fù)責(zé)20臺(tái);其二由3人共同維護(hù)80臺(tái).試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小.幾何分布例6某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊,直到命中為止,已知他每發(fā)命中的概率是,求所需射擊發(fā)數(shù)的概率分布.泊松分布例7某一城市每天發(fā)生火災(zāi)的次數(shù)X服從參數(shù)的泊松分布,求該城市一天內(nèi)發(fā)生3次或3次以上火災(zāi)的概率.二項(xiàng)分布的泊松近似例8某公司生產(chǎn)的一種產(chǎn)品300件.根據(jù)歷史生產(chǎn)記錄知廢品率為0.01.問(wèn)現(xiàn)在這300件產(chǎn)品經(jīng)檢驗(yàn)廢品數(shù)大于5的概率是多少?例9一家商店采用科學(xué)管理,由該商店過(guò)去的銷售記錄知道,某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)的泊松分布來(lái)描述,為了以95%以上的把握保證不脫銷,問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件?例10自1875年至1955年中的某63年間,上海市夏季(5—9月)共發(fā)生大暴雨180次,試建立上海市夏季暴雨發(fā)生次數(shù)的概率分布模型.思考題1.某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上的概率是0.2,求三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率.2.一汽車沿一街道行駛,需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口,每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其它信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立,且紅綠兩種信號(hào)燈顯示的時(shí)間相等.以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù),求的概率分布.第三節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)要描述一個(gè)隨機(jī)變量時(shí)，不僅要說(shuō)明它能夠取哪些值，而且還要指出它取這些值的概率.只有這樣，才能真正完整地刻畫一個(gè)隨機(jī)變量,為此，我們引入隨機(jī)變量的分布函數(shù)的概念.一.隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量,稱為的分布函數(shù).有時(shí)記作或.分布函數(shù)的性質(zhì)：1.單調(diào)非減.若,則；2.3.右連續(xù)性.即二、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為則的分布函數(shù)為.例題選講：隨機(jī)變量的分布函數(shù)例1等可能地在數(shù)軸上的有界區(qū)間上投點(diǎn),記為落點(diǎn)的位置(數(shù)軸上的坐標(biāo)),求隨機(jī)變量的分布函數(shù).例2判別下列函數(shù)是否為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)例3設(shè)求.例4具有離散均勻分布,即求的分布函數(shù).例5設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求的概率分布.思考題1．設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為,求的的分布函數(shù)。第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義如果對(duì)隨機(jī)變量的分布函數(shù),存在非負(fù)可積函數(shù),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)有則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱為的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱為概率密度或密度函數(shù).關(guān)于概率密度的說(shuō)明：1.對(duì)一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,若已知其密度函數(shù),則根據(jù)定義,可求得其分布函數(shù),同時(shí),還可求得的取值落在任意區(qū)間上的概率:；2.連續(xù)型隨機(jī)變量取任一指定值的概率為0；3.若在點(diǎn)處連續(xù),則(1)二、常用連續(xù)型分布均勻分布定義若連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為則稱在區(qū)間上服從均勻分布,記為.指數(shù)分布定義若隨機(jī)變量的概率密度為則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布.簡(jiǎn)記為正態(tài)分布定義若隨機(jī)變量的概率密度為其中和都是常數(shù),則稱服從參數(shù)為和的正態(tài)分布.記為注:正態(tài)分布是概率中最重要的連續(xù)型分布,19世紀(jì)前葉由高斯加以推廣,又稱高斯分布.一般來(lái)說(shuō)，一個(gè)隨機(jī)變量如果受到許多隨機(jī)因素的影響，而其中每一個(gè)因素都不起主導(dǎo)作用（作用微小），則它服從正態(tài)分布.這是正態(tài)分布在實(shí)踐中得以廣泛應(yīng)用的原因.例如,產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo),元件的尺寸,某地區(qū)成年男子的身高、體重,測(cè)量誤差,射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差,信號(hào)噪聲、農(nóng)作物的產(chǎn)量等等,都服從或近似服從正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布當(dāng)時(shí)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,此時(shí),其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用和表示:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于,任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過(guò)線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.定理設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表的使用：（1）表中給出了時(shí)的數(shù)值,當(dāng)時(shí),利用正態(tài)分布的對(duì)稱性,易見有（2）若則（3）若,則故的分布函數(shù)例題選講：連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度例1設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求其分布函數(shù).例2設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度例3設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求(1)概率;(2)X的密度函數(shù).常用連續(xù)型分布均勻分布例4某公共汽車站從上午7時(shí)起,每15分鐘來(lái)一班車,即7:00,7:15,7:30,7:45等時(shí)刻有汽車到達(dá)此站,如果乘客到達(dá)此站時(shí)間是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時(shí)間少于5分鐘的概率.指數(shù)分布例5某元件的壽命服從指數(shù)分布,已知其平均壽命為1000小時(shí)，求3個(gè)這樣的元件使用1000小時(shí),至少已有一個(gè)損壞的概率.正態(tài)分布例6設(shè),求例7設(shè)某項(xiàng)競(jìng)賽成績(jī)（65,100），若按參賽人數(shù)的10%發(fā)獎(jiǎng)，問(wèn)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線應(yīng)定為多少？例8將一溫度調(diào)節(jié)器放置在內(nèi)，調(diào)節(jié)器整定在℃，液體的溫度（以℃計(jì)）是一個(gè)隨機(jī)變量，且(1)若℃，求小于89℃的概率；(2)若要求保持液體的溫度至少為80℃的概率不低于0.99，問(wèn)至少為多少？例9某企業(yè)準(zhǔn)備通過(guò)招聘考試招收300名職工,其中正式工280人,臨時(shí)工20人;報(bào)考的人數(shù)是1657人,考試滿分是400分.考試后得知,考試總平均成績(jī),即分,360分以上的高分考生31人.某考生B得256分,問(wèn)他能否被錄取?能否被聘為正式工?例10在電源電壓不超過(guò)200伏，在200~240伏和超過(guò)240伏三種情形下，某種電子元件損壞的概率分別為0.1，0.001和0.2.假設(shè)電源電壓服從正態(tài)分布(220，25)，試求：(1)該電子元件損壞的概率;(2)該電子元件損壞時(shí)，電源電壓在200~240伏的概率.思考題1.已知，求(1)(2);(3)(4)2.某種型號(hào)電池的壽命近似服從正態(tài)分布,已知其壽命在250小時(shí)以上的概率和壽命不超過(guò)350小時(shí)的概率均為92.36%,為使其壽命在和之間的概率不小于0.9,至少為多少?第五節(jié)隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、隨機(jī)變量的函數(shù)定義如果存在一個(gè)函數(shù),使得隨機(jī)變量滿足,則稱隨機(jī)變量是隨機(jī)變量的函數(shù).注:在微積分中,我們討論變量間的函數(shù)關(guān)系時(shí),主要研究函數(shù)關(guān)系的確定性特征,例如:導(dǎo)數(shù)、積分等.而在概率論中,我們主要研究是隨機(jī)變量函數(shù)的隨機(jī)性特征,即由自變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性出發(fā)研究因變量的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律.一般地,對(duì)任意區(qū)間,令,則注:隨機(jī)變量與的函數(shù)關(guān)系確定,為從的分布出發(fā)導(dǎo)出的分布提供了可能.二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為易見,的函數(shù)顯然還是離散型隨機(jī)變量。如何由的概率分布出發(fā)導(dǎo)出的概率分布?其一般方法是：先根據(jù)自變量的可能取值確定因變量的所有可能取值,然后對(duì)的每一個(gè)可能取值確定相應(yīng)的從而求得的概率分布.三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布一般地,連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)不一定是連續(xù)型隨機(jī)變量,但我們主要討論連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)還是連續(xù)型隨機(jī)變量的情形,此時(shí)我們不僅希望求出隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù),而且還希望求出其概率密度函數(shù).設(shè)已知的分布函數(shù)或概率密度函數(shù),則隨機(jī)變量函數(shù)的分布函數(shù)可按如下方法求得:其中而常?？捎傻姆植己瘮?shù)來(lái)表達(dá)或用其概率密度函數(shù)的積分來(lái)表達(dá):進(jìn)而可通過(guò)的分布函數(shù),求出的密度函數(shù).定理1設(shè)隨機(jī)變量具有概率密度,又設(shè)處處可導(dǎo)且恒有(或恒有),則是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為其中是的反函數(shù),且例題選講：離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例1設(shè)隨機(jī)變量具有以下的分布律,試求的分布律連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布例2對(duì)一圓片直徑進(jìn)行測(cè)量,其值在[5,6]上均勻分布,求圓片面積的概率分布密度.例3設(shè),求的概率密度.例4設(shè),求的密度函數(shù).例5已知隨機(jī)變量的分布函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù),證明服從上的均勻分布.例6也服從正態(tài)分布.例7設(shè)隨機(jī)變量在上服從均勻分布,求的概率密度.例8(對(duì)數(shù)正態(tài)分布)隨機(jī)變量稱為服從參數(shù)為的對(duì)數(shù)正態(tài)分布,如果服從正態(tài)分布.試求對(duì)數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù).注：在實(shí)際中,通常用對(duì)數(shù)正態(tài)分布來(lái)描述價(jià)格的分布,特別是在金融市場(chǎng)的理論研究中,如著名的期權(quán)定價(jià)公式（Black—Scholes公式）,以及許多實(shí)證研究都用對(duì)數(shù)正態(tài)分布來(lái)描述金融資產(chǎn)的價(jià)格.設(shè)某種資產(chǎn)當(dāng)前價(jià)格為,考慮單期投資問(wèn)題,到期時(shí)該資產(chǎn)的價(jià)格為一個(gè)隨機(jī)變量,記作,設(shè)投資于該資產(chǎn)的連續(xù)復(fù)合收益率為,則有從而注意到為當(dāng)前價(jià)格,是已知常數(shù),因而假設(shè)價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布實(shí)際上等價(jià)于假設(shè)連續(xù)復(fù)合收益率服從正態(tài)分布.例9設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,求的分布函數(shù).思考題1.設(shè)X的分布列為求:(1)2X的分布列;(2)的分布列.2.設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求的概率密度.第三章多維隨機(jī)變量及其分布在實(shí)際應(yīng)用中,有些隨機(jī)現(xiàn)象需要同時(shí)用兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量來(lái)描述.例如,研究某地區(qū)學(xué)齡前兒童的發(fā)育情況時(shí),就要同時(shí)抽查兒童的身高、體重,這里,和是定義在同一個(gè)樣本空間{某地區(qū)的全部學(xué)齡前兒童}上的兩個(gè)隨機(jī)變量.又如,考察某次射擊中彈著點(diǎn)的位置時(shí)，就要同時(shí)考察彈著點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo).在這種情況下，我們不但要研究多個(gè)隨機(jī)變量各自的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而且還要研究它們之間的統(tǒng)計(jì)相依關(guān)系，因而還需考察它們的聯(lián)合取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，即多為隨機(jī)變量的分布.由于從二維推廣到多維一般無(wú)實(shí)質(zhì)性的困難,故我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.【教學(xué)目的與要求】通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解隨機(jī)向量（多維隨機(jī)變量）的概念；了解二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)、聯(lián)合分布律、聯(lián)合分布密度的概念和性質(zhì)，并會(huì)計(jì)算有關(guān)事件的概率。掌握二維隨機(jī)變量的邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系。理解隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念，并會(huì)應(yīng)用隨機(jī)變量的獨(dú)立性進(jìn)行概率計(jì)算。會(huì)求簡(jiǎn)單的二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布。【教學(xué)重點(diǎn)】二維隨機(jī)變量的邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系與計(jì)算；隨機(jī)變量的獨(dú)立性?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】條件分布；二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布；【計(jì)劃課時(shí)】5【教學(xué)內(nèi)容】第一節(jié)多維隨機(jī)變量的分布一、二維隨機(jī)變量定義1設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為,為樣本點(diǎn)，而是定義在上的兩個(gè)隨機(jī)變量,稱為定義在上的二維隨機(jī)變量或二維隨機(jī)向量.二、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義2設(shè)是二維隨機(jī)變量,對(duì)任意實(shí)數(shù),二元函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)或稱為隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布函數(shù).聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì):（1）且對(duì)任意固定的對(duì)任意固定的(2)關(guān)于和均為單調(diào)非減函數(shù),即對(duì)任意固定的當(dāng)對(duì)任意固定的當(dāng)(3)關(guān)于和均為右連續(xù),即三、二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布定義3若二維隨機(jī)變量只取有限個(gè)或可數(shù)個(gè)值,則稱為二維離散型隨機(jī)變量.結(jié)論：為二維離散型隨機(jī)變量當(dāng)且僅當(dāng)均為離散型隨機(jī)變量.若二維離散型隨機(jī)變量所有可能的取值為則稱為二維離散型隨機(jī)變量的概率分布(分布律),或的聯(lián)合概率分布(分布律).與一維情形類似,有時(shí)也將聯(lián)合概率分布用表格形式來(lái)表示,并稱為聯(lián)合概率分布表:注：對(duì)離散型隨機(jī)變量而言,聯(lián)合概率分布不僅比聯(lián)合分布函數(shù)更加直觀,而且能夠更加方便地確定取值于任何區(qū)域上的概率，即,特別地,由聯(lián)合概率分布可以確定聯(lián)合分布函數(shù):四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義設(shè)為二維隨機(jī)變量,為其分布函數(shù),若存在一個(gè)非負(fù)可積的二元函數(shù),使對(duì)任意實(shí)數(shù),有則稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量,為的概率密度(密度函數(shù)),或的聯(lián)合概率密度(聯(lián)合密度函數(shù)).概率密度函數(shù)的性質(zhì):(3)設(shè)是平面上的區(qū)域,點(diǎn)落入內(nèi)的概率為特別地,邊緣分布函數(shù)上式表明:是連續(xù)型隨機(jī)變量,且其密度函數(shù)為:同理,是連續(xù)型隨機(jī)變量,且其密度函數(shù)為:,分別稱和為關(guān)于和的邊緣密度函數(shù).(4)若在點(diǎn)連續(xù),則有進(jìn)一步,根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義,可推得:當(dāng)很小時(shí),有即,落在區(qū)間上的概率近似等于五、二維均勻分布設(shè)是平面上的有界區(qū)域,其面積為.若二維隨機(jī)變量具有概率密度函數(shù)則稱在上服從均勻分布.六、二維正態(tài)分布若二維隨機(jī)變量具有概率密度其中均為常數(shù),且,則稱服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布.注：二維正態(tài)隨機(jī)變量的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布，且都不依賴于參數(shù)，亦即對(duì)給定的，不同的對(duì)應(yīng)不同的二維正態(tài)分布，但它們的邊緣分布都是相同的，因此僅由關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布，一般來(lái)說(shuō)不能確定二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布的例題選講：二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)例1設(shè)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)為(1)試確定常數(shù)(2)求事件的概率.二維離散型隨機(jī)變量及其概率分布例2設(shè)隨機(jī)變量在1,2,3,4四個(gè)整數(shù)中等可能地取一個(gè)值，另一個(gè)隨機(jī)變量在1~中等可能地取一整數(shù)值，試求的分布律.例3把一枚均勻硬幣拋擲三次,設(shè)為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù),而為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求的概率分布及關(guān)于的邊緣分布.例4設(shè)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布為YX010.30.10.110.050.2020.200.05求及二維連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度例5的概率分布由表3—1B給出，求 表3—1B0200.10.2010.20.050.120.1500.1例6一整數(shù)等可能地在十值中取一個(gè)值.設(shè)是能整除的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，是能整除的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)（注意1不是素?cái)?shù)）.試寫出和的聯(lián)合分布律.并求分布律.例7(1)求分布函數(shù)(2)求概率例8設(shè)的概率密度是求(1)的值;(2)兩個(gè)邊緣密度.二維均勻分布例9設(shè)隨機(jī)變量和具有聯(lián)合概率密度求邊緣概率密度.例10設(shè)服從單位圓域上的均勻分布,求X和Y的邊緣概率密度.二維正態(tài)分布例11設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度試求關(guān)于的邊緣概率密度函數(shù).思考題1.將兩封信隨意地投入3個(gè)郵筒,設(shè),分別表示投入第1,2號(hào)郵筒中信的數(shù)目,求和的聯(lián)合概率分布及邊緣概率分布.2.設(shè)向量的密度函數(shù)的密度函數(shù)為求(1)參數(shù)的值；（2）的邊緣密度.第二節(jié)條件分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性一、條件分布的概念設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量,其分布函數(shù)為若另外有一事件已經(jīng)發(fā)生,并且的發(fā)生可能會(huì)對(duì)事件發(fā)生的概率產(chǎn)生影響,則對(duì)任一給定的實(shí)數(shù),記稱為在發(fā)生的條件下,的條件分布函數(shù).二、隨機(jī)變量的獨(dú)立性設(shè)是隨機(jī)變量所生成的事件:,且,則有.一般地,由于隨機(jī)變量之間存在相互聯(lián)系,因而一個(gè)隨機(jī)變量的取值可能會(huì)影響另一個(gè)隨機(jī)變量的取值統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.在何種情況下,隨機(jī)變量之間沒有上述影響,而具有所謂的“獨(dú)立性”,我們引入如下定義.定義設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)為,邊緣分布函數(shù)為,,若對(duì)任意實(shí)數(shù),有即則稱隨機(jī)變量和相互獨(dú)立.關(guān)于隨機(jī)變量的獨(dú)立性,有下列兩個(gè)定理.定理1隨機(jī)變量與相互獨(dú)立的充要條件是所生成的任何事件與生成的任何事件獨(dú)立,即,對(duì)任意實(shí)數(shù)集,有定理2如隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,則對(duì)任意函數(shù)均有相互獨(dú)立.三、離散型隨機(jī)變量的條件分布與獨(dú)立性設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,其概率分布為由條件概率公式,當(dāng),有稱其為在條件下隨機(jī)變量的條件概率分布.對(duì)離散型隨機(jī)變量,其獨(dú)立性的定義等價(jià)于:若對(duì)的所有可能取值有即則稱和相互獨(dú)立.四、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度與獨(dú)立性定義設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為,邊緣概率密度為,則對(duì)一切使的,定義在的條件下的條件概率密度為.對(duì)一切使的,定義在的條件下的條件密度函數(shù)為.注:關(guān)于定義表達(dá)式內(nèi)涵的解釋.以為例.在上式左邊乘以,右邊乘以即得換句話說(shuō),對(duì)很小的和,表示已知取值于和之間的條件下,取值于和之間的條件概率.對(duì)二維連續(xù)型隨機(jī)變量,其獨(dú)立性的定義等價(jià)于:若對(duì)任意的,有幾乎處處成立,則稱相互獨(dú)立.注:這里“幾乎處處成立”的含義是:在平面上除去面積為0的集合外,處處成立.例題選講：條件分布的概念例1設(shè)服從上的均勻分布,求在已知的條件下的條件分布函數(shù).隨機(jī)變量的獨(dú)立性例2設(shè)與的聯(lián)合概率分布為YX0200.10.2010.30.050.120.1500.1(1)求時(shí),的條件概率分布以及時(shí),的條件概率分布;(2)判斷與是否相互獨(dú)立?例3設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,下表列出了二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值,試將其余數(shù)值填入表中的空白處.YX1/81/81/61例4一射手進(jìn)行射擊,擊中目標(biāo)的概率為,射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為止.以表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行射擊次數(shù),以表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù).試求和的聯(lián)合分布及條件分布.連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度與獨(dú)立性例5設(shè)的概率密度為;問(wèn)和是否獨(dú)立?例6設(shè)服從單位圓上的均勻分布，概率密度為 求例7設(shè)(1)求和.(2)證明與相互獨(dú)立的充要條件是.例8甲乙兩人約定中午12時(shí)30分在某地會(huì)面.如果甲來(lái)到的時(shí)間在12:15到12:45之間是均勻分布.乙獨(dú)立地到達(dá),而且到達(dá)時(shí)間在12:00到13:00之間是均勻分布.試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過(guò)5分鐘的概率.又甲先到的概率是多少?例9設(shè)數(shù)在區(qū)間均勻分布，當(dāng)觀察到時(shí)，數(shù)在區(qū)間上等可能隨機(jī)地取值.求的概率密度.例10設(shè)店主在每日開門營(yíng)業(yè)時(shí)，放在柜臺(tái)上的貨物量為，當(dāng)日銷售量為假定一天中不再上柜臺(tái)上補(bǔ)充貨物，于是.根據(jù)歷史資料，的概率密度函數(shù)為即服從直角三角形區(qū)域上的均勻分布,見圖3—2A.求(1)給定條件下,的條件分布.(2)假定某日開門時(shí),件,求這天顧客買走件的概率.如果件呢?例11設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為(1)求與的邊際概率密度,并判斷與是否相互獨(dú)立;(2)求在的條件下,的條件概率密度;(3)求概率思考題1.設(shè)的分布律如下YX12311/61/91/1821/3問(wèn)為何值時(shí),與相互獨(dú)立.2.設(shè)的概率密度是求3.設(shè)，試判斷與是否相互獨(dú)立.第三節(jié)多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布在實(shí)際應(yīng)用中，有些隨機(jī)變量往往是兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)變量的函數(shù).例如，考慮全國(guó)年齡在40歲以上的人群，用和分別表示一個(gè)人的年齡和體重，表示這個(gè)人的血壓，并且已知與，的函數(shù)關(guān)系式,現(xiàn)希望通過(guò)的分布來(lái)確定的分布.此類問(wèn)題就是我們將要討論的兩個(gè)隨機(jī)向量函數(shù)的分布問(wèn)題.在本節(jié)中，我們重點(diǎn)討論兩種特殊的函數(shù)關(guān)系:(i);(ii)和，其中與相互獨(dú)立.注：應(yīng)指出的是，將兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布問(wèn)題推廣到個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布問(wèn)題只是表述和計(jì)算的繁雜程度的提高，并沒有本質(zhì)性的差異.一、離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量,是一個(gè)二元函數(shù),則作為的函數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量,如果的概率分布為設(shè)的所有可能取值為,則的概率分布為二、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)向量,其概率密度函數(shù)為,令為一個(gè)二元函數(shù),則是的函數(shù).可用類似于求一元隨機(jī)變量函數(shù)分布的方法來(lái)求的分布.a)求分布函數(shù)其中,b)求其概率密度函數(shù),對(duì)幾乎所有z,有定理1設(shè)是具有密度函數(shù)的連續(xù)型隨機(jī)向量.(1)設(shè)是到自身的一一映射,即存在定義在該變換的值域上的逆變換:(2)假設(shè)變換和它的逆都是連續(xù)的;(3)假設(shè)偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù);(4)假設(shè)逆變換的雅可比行列式,即對(duì)于在變換的值域中的是不為0的.則具有聯(lián)合密度定理2設(shè)相互獨(dú)立，且則仍然服從正態(tài)分布，且更一般地，可以證明：有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布,即有定理3若且它們相互獨(dú)立，則對(duì)任意不全為零的常數(shù)，有.三、及的分布設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立,其分布函數(shù)分別為和,由于不大于z等價(jià)于和都不大于z,故有類似地,可得的分布函數(shù)例題選講：離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例1設(shè)隨機(jī)變量的概率分布如下表YX0120.20.150.10.320.100.10.05求二維隨機(jī)變量的函數(shù)Z的分布:例2設(shè)和相互獨(dú)立,求的分布.例3(若和相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明服從參數(shù)為的泊松分布.連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例4設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,且同服從上的均勻分布,試求的分布函數(shù)與密度函數(shù).例5設(shè)的密度函數(shù)為令試用表示和的聯(lián)合密度函數(shù).和的分布：設(shè)和的聯(lián)合密度為,求的密度.卷積公式:當(dāng)和獨(dú)立時(shí),設(shè)關(guān)于的邊緣密度分別為則上述兩式化為以上兩個(gè)公式稱為卷積公式.例6設(shè)和是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量.它們都服從分布,其概率密度為例7設(shè)某種商品一周的需要量是一個(gè)隨機(jī)變量,其概率密度函數(shù)為如果各周的需要量相互獨(dú)立,求兩周需要量的概率密度函數(shù).例8設(shè)與相互獨(dú)立,且均在區(qū)間上服從均勻分布,求的密度函數(shù).例9設(shè)相互獨(dú)立且分別服從參數(shù)為的分布(分別記成的概率密度分別為試證明服從參數(shù)為的分布.商的分布：設(shè)二維隨機(jī)向量的密度函數(shù)為,求的密度函數(shù).例10在一簡(jiǎn)單電路中,兩電阻和串聯(lián)連接,設(shè)相互獨(dú)立,它們的概率密度均為求總電阻的概率密度.例11設(shè)X與Y相互獨(dú)立,它們都服從參數(shù)為的指數(shù)分布.求的密度函數(shù).積的分布：設(shè)具有密度函數(shù),則的概率密度為例12設(shè)二維隨機(jī)向量在矩形上服從均勻分布,試求邊長(zhǎng)為和的矩形面積的密度函數(shù).例13設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立,且有相同的幾何分布:，求的分布.例14設(shè)系統(tǒng)由兩個(gè)相互獨(dú)立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成，聯(lián)接方式分別為串聯(lián)、并聯(lián)、備用（當(dāng)系統(tǒng)損壞時(shí)，系統(tǒng)開始工作），如圖3—3—6所示.設(shè)的壽命分別為,已知它們的概率密度分別為其中且試分別就以上三種聯(lián)接方式寫出壽命的概率密度.思考題1.已知的分布律為01200.100.250.1510.150.200.15求:（1）（2）（3）（4）分布律.2.若和獨(dú)立,具有共同的概率密度求的概率密度.第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征前面討論了隨機(jī)變量的分布函數(shù),從中知道隨機(jī)變量的分布函數(shù)能完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性.但在許多實(shí)際問(wèn)題中,人們并不需要去全面考察隨機(jī)變量的變化情況,而只要知道它的某些數(shù)字特征即可.例如,在評(píng)價(jià)某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時(shí),通常只要知道該地區(qū)糧食的平均產(chǎn)量;又如,在評(píng)價(jià)一批棉花的質(zhì)量時(shí),既要注意纖維的平均長(zhǎng)度,又要注意纖維長(zhǎng)度與平均長(zhǎng)度之間的偏離程度,平均長(zhǎng)度較大,偏離程度小,則質(zhì)量就較好.等等實(shí)際上,描述隨機(jī)變量的平均值和偏離程度的某些數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要的意義,它們能更直接、更簡(jiǎn)潔更清晰和更實(shí)用地反映出隨機(jī)變量的本質(zhì).本章將要討論的隨機(jī)變量的常用數(shù)字特征包括:數(shù)學(xué)期望、方差、相關(guān)系數(shù)、矩.【教學(xué)目的與要求】通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)期望、方差的概念，掌握它們的性質(zhì)與計(jì)算；會(huì)計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望。熟記二項(xiàng)分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望與方差。了解協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念并掌握它的性質(zhì)與計(jì)算。了解矩的概念?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念、性質(zhì)和計(jì)算?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】相關(guān)系數(shù)【計(jì)劃課時(shí)】5【教學(xué)內(nèi)容】第一節(jié)數(shù)學(xué)期望一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望平均值是日常生活中最常用的一個(gè)數(shù)字特征,它對(duì)評(píng)判事物、作出決策等具有重要作用.定義設(shè)是離散型隨機(jī)變量的概率分布為如果絕對(duì)收斂,則定義的數(shù)學(xué)期望(又稱均值)為二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量,其密度函數(shù)為,如果絕對(duì)收斂,定義的數(shù)學(xué)期望為三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)是一隨機(jī)變量,為一實(shí)函數(shù),則也是一隨機(jī)變量,理論上,雖然可通過(guò)的分布求出的分布,再按定義求出的數(shù)學(xué)期望.但這種求法一般比較復(fù)雜.下面不加證明地引入有關(guān)計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定理.定理1設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量,,且存在,則（1）若為離散型隨機(jī)變量,其概率分布為則的數(shù)學(xué)期望為（2）若為連續(xù)型隨機(jī)變量,其概率密度為,則的數(shù)學(xué)期望為注:(i)定理的重要性在于:求時(shí),不必知道的分布,只需知道的分布即可.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望帶來(lái)很大方便;(ii)上述定理可推廣到二維以上的情形,即定理2設(shè)是二維隨機(jī)向量,,且存在,則（1）若為離散型隨機(jī)向量,其概率分布為則的數(shù)學(xué)期望為（2）若為連續(xù)型隨機(jī)向量,其概率密度為則的數(shù)學(xué)期望為四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.設(shè)是常數(shù),則2．若是常數(shù)，則3.4.設(shè)獨(dú)立,則;注:(i)由不一定能推出獨(dú)立，例如，在例10中，已計(jì)算得，但，顯故與不獨(dú)立(ii)這個(gè)性質(zhì)可推廣到有限個(gè)隨機(jī)變量之和的情形.例題選講：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例1甲,乙兩人進(jìn)行打靶,所得分?jǐn)?shù)分別記為,它們的分布律分別為試評(píng)定他們的成績(jī)的好壞.例2某種產(chǎn)品的每件表面上的疵點(diǎn)數(shù)服從參數(shù)的泊松分布,若規(guī)定疵點(diǎn)數(shù)不超過(guò)1個(gè)為一等品,價(jià)值10元;疵點(diǎn)數(shù)大于1個(gè)不多于4個(gè)為二等品,價(jià)值8元;疵點(diǎn)數(shù)超過(guò)4個(gè)為廢品.求(1)產(chǎn)品的廢品率;(2)產(chǎn)品價(jià)值的平均值.例3按規(guī)定，某車站每天8:00~9:00和9:00~10:00之間都恰有一輛客車到站,但到站的時(shí)刻是隨機(jī)的,且兩者到站的時(shí)間相互獨(dú)立.其規(guī)律為8:00~9:00到站時(shí)間9:00~10:00到站時(shí)間8:109:108:309:308:509:50概率1/63/62/6一旅客8:20到車站,求他候車時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望例4已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù),求例5某商店對(duì)某種家用電器的銷售采用先使用后付款的方式.記使用壽命為(以年計(jì)),規(guī)定: 設(shè)壽命服從指數(shù)分布,概率密度為試求該商店一臺(tái)電器收費(fèi)的數(shù)學(xué)期望.例6設(shè)隨機(jī)變量且求a與b的值,并求分布函數(shù).例7有2個(gè)相互獨(dú)立工作的電子裝置,它們的壽命服從統(tǒng)一指數(shù)分布,其概率密度為,若將這2個(gè)電子裝置串聯(lián)聯(lián)接組成整機(jī),求整機(jī)壽命(以小時(shí)計(jì))的數(shù)學(xué)期望.隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望例8設(shè)的聯(lián)合概率分布為，求YX01231301/83/803/8001/8例9設(shè)隨機(jī)變量X在上服從均勻分布,求及例10設(shè)隨機(jī)變量的概率密度求數(shù)學(xué)期望例11設(shè)某商店經(jīng)營(yíng)一種商品,每周的進(jìn)貨量X和顧客對(duì)該種商品的需求量Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,均服從[10,20]上的均勻分布.此商店每售出一個(gè)單位的商品可獲利1000元,若需求量超過(guò)進(jìn)貨量,可從其他商店調(diào)劑供應(yīng),此時(shí)售出的每單位商品僅獲利500元.求此商店經(jīng)銷這種商品每周獲利的期望.例12設(shè)均存在，證明.例13若求數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)例14一民航送各車載有20位旅客自機(jī)場(chǎng)開出,旅客有10個(gè)車站可以下車.如到達(dá)一個(gè)車站沒有旅客下車就不停車.以X表示停車的次數(shù),求E(X)(設(shè)每位旅客在各個(gè)車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨(dú)立).思考題1.設(shè)甲、乙兩人玩必分勝負(fù)的賭博游戲,假定游戲的規(guī)則不公正,以致兩人獲勝的概率不等,甲為,乙為,.為了補(bǔ)償乙的不利地位,另行規(guī)定兩人下的賭注不相等,甲為,乙為,.現(xiàn)在的問(wèn)題是:究竟應(yīng)比大多少,才能做到公正?2.某種新藥在400名病人中進(jìn)行臨床試驗(yàn)有一半人服用，一班人未服，經(jīng)過(guò)5天后，有210人痊愈，其中190人是服了新藥的.試用概率統(tǒng)計(jì)方法說(shuō)明新藥的療效.3.把數(shù)字任意地排成一列,如果數(shù)字恰好出現(xiàn)在第個(gè)位置上,則稱為一個(gè)巧合,求巧合個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望.第二節(jié)方差隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是對(duì)隨機(jī)變量取值水平的綜合評(píng)價(jià),而隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定性是判斷隨機(jī)現(xiàn)象性質(zhì)的另一個(gè)十分重要的指標(biāo).一、方差的定義定義1設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量,若存在,則稱它為的方差,記為方差的算術(shù)平方根稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差,它與具有相同的度量單位,在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常使用.方差刻劃了隨機(jī)變量的取值與數(shù)學(xué)期望的偏離程度,它的大小可以衡量隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定性.從方差的定義易見:(1)若的取值比較集中,則方差較小;(2)若的取值比較分散,則方差較大;(3)若方差,則隨機(jī)變量以概率1取常數(shù)值,此時(shí)也就不是隨機(jī)變量了.二、方差的計(jì)算若是離散型隨機(jī)變量,且其概率分布為則若是連續(xù)型隨機(jī)變量,且其概率密度為則利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),易得計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式:.三、方差的性質(zhì)1.設(shè)常數(shù),則;2.若是隨機(jī)變量,若是常數(shù),則3.設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)向量,則特別地,若相互獨(dú)立,則注:對(duì)維:若相互獨(dú)立,則*四、條件數(shù)學(xué)期望和條件方差簡(jiǎn)介由于隨機(jī)變量之間存在相互聯(lián)系,一個(gè)隨機(jī)變量的取值可能會(huì)對(duì)另一隨機(jī)變量的分布產(chǎn)生影響,這種影響會(huì)在數(shù)字特征上得到反映.下面要討論的是：在某個(gè)隨機(jī)變量取某值的條件下，求另一個(gè)與之相關(guān)的隨機(jī)變量的數(shù)字特征.作為簡(jiǎn)介，我們直接給出它們的定義1.設(shè)是離散型隨機(jī)向量,其概率分布為定義2(i)稱（絕對(duì)收斂）為在條件下的條件數(shù)學(xué)期望.類似地，稱（絕對(duì)收斂）為在條件下的條件數(shù)學(xué)期望;(ii)稱（絕對(duì)收斂）為在條件下的條件方差.類似地，稱（絕對(duì)收斂）為在條件下的條件方差.2．設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)向量,是在條件下的概率密度，是在條件下的概率密度.定義3(i)稱（絕對(duì)收斂）為在條件下的條件數(shù)學(xué)期望;類似地，稱（絕對(duì)收斂）為在條件下的條件數(shù)學(xué)期望;(ii)稱（絕對(duì)收斂）為在條件下的條件方差;類似地，稱（絕對(duì)收斂）為在條件下的條件方差.例題選講:方差的計(jì)算例1設(shè)隨機(jī)變量具有數(shù)學(xué)期望方差記則的數(shù)學(xué)期望為0,方差為1.稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化變量.例2設(shè)隨機(jī)變量具有分布,其分布律為求例3設(shè)求例4設(shè)求例5設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布,其概率密度為其中求例6設(shè)隨機(jī)變量服從幾何分布,概率函數(shù)其中,求.例7設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合點(diǎn)分布在以點(diǎn)(0,1),(1,0),(1,1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布,試求隨機(jī)變量的期望與方差.方差的性質(zhì)例8設(shè)證明當(dāng)時(shí),達(dá)到最小值.注：本例子說(shuō)明了數(shù)學(xué)期望是隨機(jī)變量X取值的集中位置,反映了X的平均值.例9(設(shè),求例10設(shè)求例11設(shè)活塞的直徑（以cm計(jì)）,氣缸的直徑相互獨(dú)立,任取一只活塞,任取一只氣缸,求活塞能裝入氣缸的概率.例12隨機(jī)變量和相互獨(dú)立,證條件數(shù)學(xué)期望和條件方差簡(jiǎn)介例13設(shè)，求.思考題1.設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為 求2.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布律為試求及的期望與方差.第三節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)對(duì)多維隨機(jī)變量,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差只反映了各自的平均值與偏離程度，并沒能反映隨機(jī)變量之間的關(guān)系.本節(jié)將要討論的協(xié)方差是反映隨機(jī)變量之間依賴關(guān)系的一個(gè)數(shù)字特征.一、協(xié)方差的定義定義設(shè)為二維隨機(jī)向量,若存在,則稱其為隨機(jī)變量和的協(xié)方差,記為,即按定義,若為離散型隨機(jī)向量,其概率分布為則若為連續(xù)型隨機(jī)向量,其概率分布為則.此外,利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),易將協(xié)方差的計(jì)算化簡(jiǎn).特別地,當(dāng)與獨(dú)立時(shí),有二、協(xié)方差的性質(zhì)1.協(xié)方差的基本性質(zhì),其中是常數(shù);為任意常數(shù);(6)若與相互獨(dú)立時(shí),則2.隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系特別地,若與相互獨(dú)立時(shí),則.三、相關(guān)系數(shù)的定義與性質(zhì)定義設(shè)為二維隨機(jī)變量,稱為隨機(jī)變量和的相關(guān)系數(shù).有時(shí)也記為.特別地，當(dāng)時(shí)，稱與不相關(guān).相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1.2.若和相互獨(dú)立,則.3.若,則當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)使,而且當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.注:相關(guān)系數(shù)刻畫了隨機(jī)變量Y與X之間的“線性相關(guān)”程度.的值越接近1,Y與X的線性相關(guān)程度越高;的值越近于0,Y與Y的線性相關(guān)程度越弱.當(dāng)時(shí),Y與X的變化可完全由X的線性函數(shù)給出.當(dāng)時(shí),Y與X之間不是線性關(guān)系.4.設(shè)稱為用來(lái)近似Y的均方誤差,則有下列結(jié)論.設(shè)則使均方誤差達(dá)到最小.注:可用均方誤差e來(lái)衡量以近似表示Y的好壞程度,e值越小表示與Y的近似程度越好.且知最佳的線性近似為而其余均方誤差.從這個(gè)側(cè)面也能說(shuō)明.越接近1,e越小.反之,越近于0,e就越大.Y與X的線性相關(guān)性越小.四、矩的概念定義設(shè)和為隨機(jī)變量,為正整數(shù),稱為階原點(diǎn)矩(簡(jiǎn)稱階矩陣);為階中心矩;為階絕對(duì)原點(diǎn)矩;為階絕對(duì)中心矩;為和的階混合矩;為和的階混合中心矩;注:由定義可見:(1)的數(shù)學(xué)期望是的一階原點(diǎn)矩;(2)的方差是的二階中心矩;(3)協(xié)方差是和的二階混合中心矩.五、協(xié)方差矩陣將二維隨機(jī)變量的四個(gè)二階中心矩排成矩陣的形式:（對(duì)稱矩陣），稱此矩陣為的協(xié)方差矩陣.類似定義維隨機(jī)變量的協(xié)方差矩陣.若都存在,則稱為的協(xié)方差矩陣.六、n維正態(tài)分布的概率密度七、n維正態(tài)分布的幾個(gè)重要性質(zhì)例題選講：協(xié)方差的性質(zhì)例1已知離散型隨機(jī)向量的概率分布為，求.YX0200.10.2010.30.050.120.1500.1

例2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)為求和.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)例3設(shè)(X,Y)的分布律為XY121401/41/401/4001/41/21/21/41/41/41/41易知于是不相關(guān).這表示不存在線性關(guān)系.但知不是相互獨(dú)立的.事實(shí)上,和具有關(guān)系:的值完全可由的值所確定.例4設(shè)服從上的均勻分布,判斷與是否不相關(guān),是否獨(dú)立.例5已知,且與的相關(guān)系數(shù)設(shè)求及例6設(shè)服從二維正態(tài)分布,它的概率密度為求和的相關(guān)系數(shù).注：在上一章中我們已經(jīng)得到：若服從二維正態(tài)分布,那么和相互獨(dú)立的充要條件為.現(xiàn)在知道即為與的相關(guān)系數(shù),故有下列結(jié)論:“若服從二維正態(tài)分布，則與相互獨(dú),立當(dāng)且僅當(dāng)與不相關(guān)”.n維正態(tài)分布的幾個(gè)重要性質(zhì)例7設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立且，試求的概率密度.思考題1.對(duì)不同品牌的某種機(jī)械的兩項(xiàng)重要指標(biāo)評(píng)分,設(shè)為其所得分?jǐn)?shù)(百分制).已知;現(xiàn)以服從正態(tài)分布的綜合分來(lái)決定各參評(píng)品牌的名次.(1)試求Y的分布;(2)如果對(duì)綜合分的品牌頒獎(jiǎng),試計(jì)算獲獎(jiǎng)?wù)叩陌俜直?第五章大數(shù)定理與中心極限定理概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科.而隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)會(huì)呈現(xiàn)某種穩(wěn)定性.例如,大量的拋擲硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中,正面出現(xiàn)頻率;在大量文字資料中,字母使用頻率;工廠大量生產(chǎn)某種產(chǎn)品過(guò)程中,產(chǎn)品的廢品率等.一般地,要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求事件內(nèi)在的必然規(guī)律,就要研究大量隨機(jī)現(xiàn)象的問(wèn)題.在生產(chǎn)實(shí)踐中,人們還認(rèn)識(shí)到大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)、測(cè)量數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性.這種穩(wěn)定性就是我們將要討論的大數(shù)定律的客觀背景.在這一節(jié)中，我們將介紹有關(guān)隨機(jī)變量序列的最基本的兩類極限定理大數(shù)定理和中心極限定理.【教學(xué)目的與要求】通過(guò)學(xué)習(xí)，使學(xué)生了解契比雪夫不等式的定義并會(huì)利用其進(jìn)行概率估算，了解契比雪夫定理和伯努里定理。理解獨(dú)立同分布的中心極限定理和棣莫佛-拉普拉斯定理，并會(huì)利用其進(jìn)行概率近似計(jì)算?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】契比雪夫不等式與中心極限定理。【教學(xué)難點(diǎn)】中心極限定理【計(jì)劃課時(shí)】3【教學(xué)內(nèi)容】一、依概率收斂與微積分學(xué)中的收斂性的概念類似,在概率論中,我們要考慮隨機(jī)變量序列的收斂性.定義1設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量序列,為一個(gè)常數(shù),若對(duì)于任意給定的正數(shù),有則稱序列依概率收斂于,記為定理1設(shè)又設(shè)函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),則.二、切比雪夫不等式定理2設(shè)隨機(jī)變量有期望和方差,則對(duì)于任給,有.上述不等式稱切比雪夫不等式.注：(i)由切比雪夫不等式可以看出,若越小,則事件的概率越大,即,隨機(jī)變量集中在期望附近的可能性越大.由此可見方差刻劃了隨機(jī)變量取值的離散程度.(ii)當(dāng)方差已知時(shí),切比雪夫不等式給出了與它的期望的偏差不小于的概率的估計(jì)式.如取則有故對(duì)任給的分布,只要期望和方差存在,則隨機(jī)變量取值偏離超過(guò)的概率小于0.111.三、大數(shù)定理1．切比雪夫大數(shù)定律定理3(切比雪夫大數(shù)定律)設(shè)是兩兩不相關(guān)的隨