熱點05二次函數(shù)的圖象及簡單應用中考數(shù)學中《二次函數(shù)的圖象及簡單應用》部分主要考向分為五類：一、二次函數(shù)圖象與性質(zhì)（每年1道，3~4分）二、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（每年1題，3~4份）三、二次函數(shù)與一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函數(shù)的簡單應用（每年1題，6~10分）二次函數(shù)是初中數(shù)學三中函數(shù)中知識點和性質(zhì)最多的一個函數(shù)，也是中考數(shù)學中的重點和難點，考簡答題時經(jīng)常在二次函數(shù)的幾何背景下，和其他幾何圖形一起出成壓軸題；也經(jīng)常出應用題利用二次函數(shù)的增減性考察問題的最值。此外，二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)上點的坐標特征也是中考中經(jīng)常考到的考點，都需要大家準確記憶二次函數(shù)的對應考點。只有熟悉掌握二次函數(shù)的一系列考點，才能在遇到對應問題時及時提取有用信息來應對。考向一：二次函數(shù)圖象與性質(zhì)【題型1二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)】滿分技巧對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象：形狀：拋物線；對稱軸：直線；頂點坐標：；2、拋物線的增減性問題，由a的正負和對稱軸同時確定，單一的直接說y隨x的增大而增大（或減?。┦遣粚Φ模仨氃诖_定a的正負后，附加一定的自變量x取值范圍；3、當a＞0，拋物線開口向上，函數(shù)有最小值；當a＜0，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值；而函數(shù)的最值都是定點坐標的縱坐標。1．（2023?沈陽）二次函數(shù)y＝﹣（x+1）2+2圖象的頂點所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】首先確定二次函數(shù)的頂點坐標，然后根據(jù)點的坐標特點寫出頂點的位置．【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2+2，∴頂點坐標為（﹣1，2），∴頂點在第二象限．故選：B．2．（2023?蘭州）已知二次函數(shù)y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列說法正確的是（）A．對稱軸為直線x＝﹣2 B．頂點坐標為（2，3） C．函數(shù)的最大值是﹣3 D．函數(shù)的最小值是﹣3【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可．【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣3（x﹣2）2﹣3的圖象的開口向下，對稱軸為直線x＝2，頂點坐標為（2，﹣3），x＝2時，y有最大值為y＝﹣3，故選：C．3．（2023?陜西）在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣m（m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點（0，6），其對稱軸在y軸左側(cè)，則該二次函數(shù)有（）A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值【分析】將（0，6）代入二次函數(shù)解析式，進而得出m的值，再利用對稱軸在y軸左側(cè)，得出m＝3，再利用公式法求出二次函數(shù)最值．【解答】解：由題意可得：6＝m2﹣m，解得：m1＝3，m2＝﹣2，∵二次函數(shù)y＝x2+mx+m2﹣m，對稱軸在y軸左側(cè)，∴m＞0，∴m＝3，∴y＝x2+3x+6，∴二次函數(shù)有最小值為：＝＝．故選：D．【題型2二次函數(shù)圖象上點的坐標特征】滿分技巧牢記一句話，“點在圖象上，點的坐標符合其對應解析式”，然后，和哪個幾何圖形結(jié)合，多想與之結(jié)合的幾何圖形的性質(zhì)1．（2023?廣東）如圖，拋物線y＝ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個頂點A，B，C，點B在y軸上，則ac的值為（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【分析】過A作AH⊥x軸于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系數(shù)法求得a、c的值，即可求得結(jié)論．【解答】解：過A作AH⊥x軸于H，∵四邊形ABCO是正方形，∴∠AOB＝45°，∴∠AOH＝45°，∴AH＝OH，設A（m，m），則B（0，2m），∴，解得am＝﹣1，m＝，∴ac的值為﹣2，故選：B．2．若點P（m，n）在拋物線y＝ax2（a≠0）上，則下列各點在拋物線y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1） B．（m+1，n） C．（m，n﹣1） D．（m﹣1，n）【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，把點P（m，n）代入y＝ax2（a≠0）即可求出n＝am2，然后將四個選項中的坐標代入y＝a（x+1）2中，看兩邊是否相等，即可判斷該點是否在拋物線上．【解答】解：∵點P（m，n）在拋物線y＝ax2（a≠0）上，∴n＝am2，把x＝m代入y＝a（x+1）2得a（m+1）2≠n+1，故點（m，n+1）不在拋物線y＝a（x+1）2上，故A不合題意；把x＝m+1代入y＝a（x+1）2得a（m+2）2≠n，故點（m+1，n）不在拋物線y＝a（x+1）2上，故B不合題意；把x＝m代入y＝a（x+1）2得a（m+1）2≠n﹣1，故點（m，n﹣1）不在拋物線y＝a（x+1）2上，故C不合題意；把x＝m﹣1代入y＝a（x+1）2得a（m﹣1+1）2＝am2＝n，故點（m﹣1，n）在拋物線y＝a（x+1）2上，D符合題意；故選：D．3．（2023?十堰）已知點A（x1，y1）在直線y＝3x+19上，點B（x2，y2），C（x3，y3）在拋物線y＝x2+4x﹣1上，若y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3，x1＜x2＜x3，則x1+x2+x3的取值范圍是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9 B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6 C．﹣9＜x1+x2+x3＜0 D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【分析】求得直線與拋物線的交點的橫坐標，把拋物線的頂點縱坐標代入直線解析式，求得對應的x的值，即可求得x1取值范圍，根據(jù)拋物線的對稱性求得x2+x3＝﹣4，從而求得x1+x2+x3的取值范圍．【解答】解：令3x+19＝x2+4x﹣1，整理得x2+x﹣20＝0，解得x1＝﹣5，x2＝4，∴直線y＝3x+19與拋物線的交點的橫坐標為﹣5，4，∵y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣2，頂點為（﹣2，﹣5），把y＝﹣5代入y＝3x+19，解得x＝﹣8，若y1＝y(tǒng)2＝y(tǒng)3，x1＜x2＜x3，則﹣8＜x1＜﹣5，x2+x3＝﹣4，∴﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9，故選：A．【題型3二次函數(shù)圖象與幾何變換】滿分技巧1、二次函數(shù)的幾何變化，多考察其平移規(guī)律，對應方法是：①將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式；②根據(jù)口訣“左加右減，上加下減”去變化。2、二次函數(shù)一般式往頂點式轉(zhuǎn)化，可以用頂點公式轉(zhuǎn)化，也可以用配方法1．（2023?廣西）將拋物線y＝x2先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是（）A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2+4 C．y＝（x﹣3）2﹣4 D．y＝（x+3）2﹣4【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的法則進行解得即可．【解答】解：將拋物線y＝x2先向右平移3個單位，再向上平移4個單位，得到的拋物線是y＝（x﹣3）2+4．故選：A．2．（2023?西藏）將拋物線y＝（x﹣1）2+5平移后，得到拋物線的解析式為y＝x2+2x+3，則平移的方向和距離是（）A．向右平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度 B．向右平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度 C．向左平移2個單位長度，再向上平移3個單位長度 D．向左平移2個單位長度，再向下平移3個單位長度【分析】先確定兩個拋物線的頂點坐標，再利用點平移的規(guī)律確定拋物線平移的情況．【解答】解：拋物線y＝（x﹣1）2+5的頂點坐標為（1，5），拋物線y＝x2+2x+3＝（x+1）2+2的頂點坐標為（﹣1，2），而點（1，5）向左平移2個，再向下平移3個單位可得到（﹣1，2），所以拋物線y＝（x﹣1）2+5向左平移2個，再向下平移3個單位得到拋物線y＝x2+2x+3．故選：D．3．（2023?益陽）我們在學習一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象的平移時知道：將一次函數(shù)y＝2x的圖象向上平移1個單位得到y(tǒng)＝2x+1的圖象；將二次函數(shù)y＝x2+1的圖象向左平移2個單位得到y(tǒng)＝（x+2）2+1的圖象，若將反比例函數(shù)y＝的圖象向下平移3個單位，如圖所示，則得到的圖象對應的函數(shù)表達式是y＝﹣3．【分析】根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．【解答】解：由題意，將反比例函數(shù)y＝的圖象向下平移3個單位，得到的圖象對應的函數(shù)表達式為y＝﹣3．故答案為：y＝﹣3．考向二：二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系【題型4二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系】滿分技巧1、二次函數(shù)圖象與系數(shù)a、b、c的關(guān)系a的特征與作用b的特征與作用(a與b“左同右異”）c的特征與作用2、二次函數(shù)圖象題符號判斷類問題大致分為以下幾種基本情形∶①a、b、c單個字母的判斷，a由開口判斷，b由對稱軸判斷（左同右異），c由圖象與y軸交點判斷;②含有a、b兩個字母時，考慮對稱軸;③含有a、b、c三個字母，且a和b系數(shù)是平方關(guān)系，給x取值，結(jié)合圖像判斷，例如∶二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），當x=1時，y=a+b+c，當x=-1時，y=a-b+c，當x=2時，y=4a+2b+c當x=-2時，y=4a-2b+c;另：含有a、b、c三個字母，a和b系數(shù)不是平方關(guān)系，想辦法消掉一到兩個字母再判斷∶④含有b2和4ac，考慮頂點坐標，或考慮△.⑤其他類型，可考慮給x取特殊值，聯(lián)立方程進行判斷;也可結(jié)合函數(shù)最值，圖像增減性進行判斷。1．（2023?阜新）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為（3，0），對稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)bc＜0 B．2a+b＝0 C．4ac＞b2 D．點（﹣2，0）在函數(shù)圖象上【分析】利用二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系可得出，a、b、c的正負，進而得出abc的正負；利用對稱軸為直線x＝1，可得出2a+b與0的關(guān)系；由拋物線與x軸的交點情況，可得出b2與4ac的大小關(guān)系；由拋物線與x軸的一個交點坐標為（3，0），再結(jié)合對稱軸為直線x＝1，可得出另一個交點坐標．【解答】解：A：由二次函數(shù)的圖形可知：a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0．故A錯誤．B：因為二次函數(shù)的對稱軸是直線x＝1，則＝1，即2a+b＝0．故B正確．C：因為拋物線與x軸有兩個交點，所以b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2．故C錯誤．D：因為拋物線與x軸的一個交點坐標為（3，0），且對稱軸為直線x＝1，所以它與x軸的另一個交點的坐標為（﹣1，0）．故D錯誤．故選：B．2．（2023?眉山）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的一個交點坐標為（1，0），對稱軸為直線x＝﹣1，下列四個結(jié)論：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③3a+c＝0；④當﹣3＜x＜1時，ax2+bx+c＜0．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的開口方向，頂點的位置、與y軸交點的位置可對a，b，c的符號進行判斷，進而可對結(jié)論①進行判斷；根據(jù)拋物線的對稱軸及與x軸的交點可對二次函數(shù)圖象上的點（﹣2，4a﹣2b+c）的位置進行判定，進而可對結(jié)論②進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點坐標可對結(jié)論③、結(jié)論④進行判斷，據(jù)此可得出此題的答案．【解答】解：①∵二次函數(shù)圖象的開口向上，∴a＞0，∵二次函數(shù)圖象的頂點在第三象限，∴，∵a＞0，∴b＞0，∵二次函數(shù)圖象與y軸的交點在y軸的負半軸上，∴c＜0，∴abc＜0，故結(jié)論①正確；②對于y＝ax2+bx+c，當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c，∴點（﹣2，4a﹣2b+c）在二次函數(shù)的圖象上，又∵二次函數(shù)的對稱軸為直線x＝﹣1，與x軸的一個交點為（1，0），∴二次函數(shù)的圖象與x軸的另一個交點為（﹣3，0），∴點（﹣2，4a﹣2b+c）在x軸下方的拋物線上，∴4a﹣2b+c＜0，故結(jié)論②正確；③∵二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個交點坐標分別為（1，0），（﹣3，0），∴，消去b得：3a+c＝0，故結(jié)論③正確；④∵二次函數(shù)圖象的開口向上，與x軸的兩個交點坐標分別為（1，0），（﹣3，0）∴當﹣3＜x＜1時，二次函數(shù)圖象的在x軸的下方，∴y＜0，即：ax2+bx+c＜0，故結(jié)論④正確．綜上所述：結(jié)論①②③④正確．故選：D．3．（2023?婁底）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③a﹣b＞m（am+b）（m為任意實數(shù)）；④若點（﹣3，y1）和點（3，y2）在該圖象上，則y1＞y2；其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①④ C．②③ D．②④【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷即可．【解答】解：∵二次函數(shù)開口向下，且與y軸的交點在x軸上方，∴a＜0，c＞0，∵對稱軸為x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①錯誤；∵拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1，x＝0時，y＝c＞0，∴當x＝﹣2時，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴②正確；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝﹣1，∴當x＝﹣1時，y有最大值a﹣b+c，∴當x＝m時，函數(shù)值不大于a﹣b+c，∴a﹣b+c≥am2+bm+c．∴a﹣b≥m（am+b）（m為任意實數(shù)），∴③錯誤；點（﹣3，y1）到對稱軸的距離為：﹣1﹣（﹣3）＝2，（3，y2）到對稱軸的距離為：3﹣（﹣1）＝4，∵拋物線開口向下，∴y1＞y2，∴④正確．故選：D．4．（2023?黃石）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過三點A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣3，0），且對稱軸為直線x＝﹣1．有以下結(jié)論：①a+b+c＝0；②2c+3b＝0；③當﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1時，有y1＜y2；④對于任何實數(shù)k＞0，關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝k（x+1）必有兩個不相等的實數(shù)根．其中結(jié)論正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸為直線x＝﹣1和經(jīng)過點C（﹣3，0），再結(jié)合拋物線的對稱性即可解決問題．【解答】解：因為二次函數(shù)的圖象過點C（﹣3，0），且對稱軸為直線x＝﹣1，所以由拋物線的對稱性可知，點（1，0）也在拋物線上．將（1，0）代入二次函數(shù)解析式得，a+b+c＝0．故①正確．因為拋物線的對稱軸是直線x＝﹣1，所以，即b﹣2a＝0．又a+b+c＝0，則將a＝﹣b﹣c代入b﹣2a＝0得，2c+3b＝0．故②正確．因為﹣2＜x1＜﹣1，0＜x2＜1，所以點A離對稱軸更近．則當a＞0時，y1＜y2；當a＜0時，y1＞y2．故③錯誤．由ax2+bx+c＝k（x+1）得，ax2+（b﹣k）x+c﹣k＝0．又a+b+c＝0，2c+3b＝0，得．則（b﹣k）2﹣4a（c﹣k）＝（）2﹣4×（）（c﹣k）＝．又k＞0，所以＞0．即該方程有兩個不相等的實數(shù)根．故④正確．故選：C．5．（2023?青島）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象相交于A，B兩點，已知點A的橫坐標為﹣3，點B的橫坐標為2，二次函數(shù)圖象的對稱軸是直線x＝﹣1．下列結(jié)論：①abc＜0；②3b+2c＞0；③關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝kx的兩根為x1＝﹣3，x2＝2；④k＝a．其中正確的是①③.（只填寫序號）【分析】依據(jù)題意，根據(jù)所給圖象可以得出a＞0，c＜0，再結(jié)合對稱軸x＝﹣1，同時令ax2+bx+c＝kx，從而由根與系數(shù)的關(guān)系，逐個判斷可以得解．【解答】解：由圖象可得，a＞0，c＜0，又﹣＝﹣1，∴b＞0．∴abc＜0．∴①正確．由題意，令ax2+bx+c＝kx，∴ax2+（b﹣k）x+c＝0．又二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象相交于A，B兩點，已知點A的橫坐標為﹣3，點B的橫坐標為2，∴ax2+（b﹣k）x+c＝0的兩根之和為﹣3+2＝﹣1，兩根之積為﹣3×2＝﹣6．∴﹣＝﹣1，＝﹣6．∴6a+c＝0．又b＝2a，∴3b+c＝0．∴3b+2c＝c＜0．∴②錯誤，③正確．∵﹣＝﹣1，b＝2a，∴k＝a．∴④錯誤．故答案為：①③．考向三：二次函數(shù)與一元二次方程【題型5拋物線與x軸交點問題】滿分技巧1、求拋物線與x軸的交點，就是讓拋物線解析式的y=0，就得到了一元二次方程，而①一元二次方程的解法、②根的判別式、③根與系數(shù)的關(guān)系等性質(zhì)也就分別對應①拋物線與x軸交點橫坐標、②交點個數(shù)、③交點橫坐標與其對稱軸的關(guān)系的考點；2、求拋物線與直線的交點時，聯(lián)立拋物線與直線的解析式，得新的一元二次方程時，上述結(jié)論與用法大多依然適用，使用時注意聯(lián)想和甄別。1．（2023?自貢）經(jīng)過A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）兩點的拋物線y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x為自變量）與x軸有交點，則線段AB的長為（）A．10 B．12 C．13 D．15【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知＝﹣，再根據(jù)經(jīng)過A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）兩點的拋物線y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x為自變量）與x軸有交點，可知Δ＝b2﹣4×（﹣）×（﹣b2+2c）≥0，然后可以得到b和c的關(guān)系，求出b和c的值，再根據(jù)點A和點B的坐標，即可計算出線段AB長．【解答】解：∵經(jīng)過A（2﹣3b，m），B（4b+c﹣1，m）兩點的拋物線y＝﹣x2+bx﹣b2+2c（x為自變量）與x軸有交點，∴＝﹣，Δ＝b2﹣4×（﹣）×（﹣b2+2c）≥0，∴b＝c+1，b2≤4c，∴（c+1）2≤4c，∴（c﹣1）2≤0，∴c﹣1＝0，解得c＝1，∴b＝c+1＝2，∴AB＝|（4b+c﹣1）﹣（2﹣3b）|＝|4b+c﹣1﹣2+3b|＝|7b+c﹣3|＝|7×2+1﹣3||14+1﹣3|＝12，故選：B．2．（2023?婁底）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（1，0）、點B（3，0），與y軸相交于點C，點D在拋物線上，當CD∥x軸時，CD＝4．【分析】先根據(jù)點A和點B的坐標求出該拋物線的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)具有對稱性，即可得到點D的橫坐標，從而可以求得CD的長．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸相交于點A（1，0）、點B（3，0），∴該拋物線的對稱軸為直線x＝＝2，∵拋物線與y軸相交于點C，點D在拋物線上，CD∥x軸，∴點D的橫坐標為：2×2﹣0＝4，∴CD＝4﹣0＝4，故答案為：43．（2023?郴州）已知拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個交點，則m＝9．【分析】利用判別式Δ＝b2﹣4ac＝0即可得出結(jié)論．【解答】解：∵拋物線y＝x2﹣6x+m與x軸有且只有一個交點，∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解．即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0，解得：m＝9．故答案為：9．4．（2023?泰州）二次函數(shù)y＝x2+3x+n的圖象與x軸有一個交點在y軸右側(cè)，則n的值可以是﹣3（答案不唯一）.（填一個值即可）【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【解答】解：設二次函數(shù)y＝x2+3x+n的圖象與x軸交點的橫坐標為x1、x2，即一元二次方程x2+3x+n＝0的根為x1、x2，由根與系數(shù)的關(guān)系得：x1+x2＝﹣3，x1?x2＝n，∵二次函數(shù)y＝x2+3x+n的圖象與x軸有一個交點在y軸右側(cè)，∴x1，x2為異號，∴n＜0，故答案為：﹣3（答案不唯一）．4．（2023?黑龍江）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點．交y軸于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在一點P，使得S△PBC＝S△ABC，若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）兩點，代入拋物線y＝ax2+bx+3，解方程組即可得到拋物線的解析式；（2）分別求得A、B、C的坐標，與BC的解析式y(tǒng)＝﹣3x+3；作PE∥x軸交BC于E，設點P的橫坐標為t，分別求得P點坐標為（t，﹣t2﹣2t+3）與E點坐標為（，﹣t2﹣2t+3）；然后利用S△PBC＝S△ABC列方程解答即可．【解答】解：（1）由拋物線與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，代入拋物線y＝ax2+bx+3得：，解得：；∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+3；（2）存在，理由如下：∵A（﹣3，0），B（1，0），∴AB＝4，拋物線y＝ax2+bx+3與y軸交于點C，令x＝0，則y＝3，∴C點坐標為（0，3），OC＝3，∴S△ABC＝AB?OC＝×4×3＝6，∴S△PBC＝S△ABC＝3；作PE∥x軸交BC于E，如圖：設BC的解析式為：y＝kx+b，將B、C代入得：，解得：，∴BC的解析式為：y＝﹣3x+3；設點P的橫坐標為t，則P（t，﹣t2﹣2t+3），則E的縱坐標為：﹣3x+3＝﹣t2﹣2t+3，解得：x＝，∴E（，﹣t2﹣2t+3）；∴PE＝﹣t＝，∴S△PBC＝××3＝3，解得：t＝﹣2或3；∴P點縱坐標為：﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3；或﹣（3）2﹣2×（3）+3＝﹣12，∴點P的坐標為（﹣2，3）或（3，﹣12）．【題型6二次函數(shù)與不等式】滿分技巧1、當拋物線與x軸相交、與直線相交時，只要有交點，就可以接著考察兩圖象的上下關(guān)系，進而得不等式，根據(jù)圖象直接寫出不等式的解集。2、由函數(shù)圖象直接寫出不等式解集的方法歸納：①根據(jù)圖象找出交點橫坐標，②不等式中不等號開口朝向的一方，圖象在上方，對應交點的左邊或右邊符合，則x取對應一邊的范圍。1．（2023?新疆）如圖，在平面直角坐標系中，直線y1＝mx+n與拋物線y2＝ax2+bx﹣3相交于點A，B．結(jié)合圖象，判斷下列結(jié)論：①當﹣2＜x＜3時，y1＞y2；②x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一個解；③若（﹣1，t1），（4，t2）是拋物線上的兩點，則t1＜t2；④對于拋物線y2＝ax2+bx﹣3，當﹣2＜x＜3時，y2的取值范圍是0＜y2＜5．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】①根據(jù)函數(shù)的圖象特征即可得出結(jié)論．②根據(jù)二次函數(shù)與二次方程根的關(guān)系即可得出結(jié)論．③將點（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得出解析式，再求出t的值即可得出結(jié)論．④由圖象和③可得出二次函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性以及二次函數(shù)圖象即得出y得取值范圍．【解答】解：①∵直線y1＝mx+n與拋物線y2＝ax+bx﹣3相交于點A，B，∴由圖象可知：當﹣2＜x＜3時，直線y1＝mx+n在拋物線y2＝ax+bx﹣3的上方，∴y1＞y2，∴①正確．②由圖象可知：拋物線y2＝ax+bx﹣3有兩個交點，∴方程ax2+bx﹣3＝0有兩個不相等的實數(shù)根．∴x＝3是方程ax2+bx﹣3＝0的一個解，∴②正確．③將點（﹣2，5）、（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得：，解得：，∴拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3，當x＝﹣1時，t1＝0，當x＝4時，t2＝5，∴t1＜t2，∴③正確．④由③可知（﹣2，5）與點（4，5）關(guān)于對稱軸x對稱，∴對稱軸x＝＝1．將x＝1代入拋物線解析式得y＝﹣4，∴當﹣2＜x＜1時，﹣4＜y＜5．當﹣2＜x＜3時，﹣4≤y＜5．∴④錯誤．故選：B．2．（2023?通遼）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1下列四個結(jié)論：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜﹣x+c的解集為0＜x＜2．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷即可．【解答】解：∵拋物線開口向上，對稱軸在y軸右邊，與y軸交于正半軸，∴a＞0，b＜0，c＞0，∴abc＜0，∴①正確．∵當x＝1時，y＜0，∴a+b+c＜0，∴②錯誤．∵拋物線過點（2，0），∴4a+2b+c＝0，∴b＝﹣2a﹣，a＝﹣，∵a+b+c＜0，∴a﹣2a﹣+c＜0，∴2a﹣c＞0，∴﹣b﹣c﹣c＞0，∴﹣2b﹣3c＞0，∴2b+3c＜0，∴③正確．如圖：設y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，由圖知，y1＜y2時，0＜x＜2，故④正確．故選：C．考向四：二次函數(shù)的應用【題型7利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值】滿分技巧1、利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值多出現(xiàn)在銷售問題中，利用二次函數(shù)解決銷售中最大利潤問題一般步驟如下：①設自變量，用含自變量的代數(shù)式表示銷售單價或銷售量及銷售收入②用含自變量的代數(shù)式表示銷售商品成本③用含自變量的關(guān)系式分別表示銷售利潤，根據(jù)銷售利潤=單件利潤×銷售量，得到函數(shù)表達式④根據(jù)函數(shù)表達式求出最值及取得最值時的自變量的值2.利潤最大化問題與二次函數(shù)模型牢記兩公式：①單位利潤=售價-進價；②總利潤=單件利潤×銷量；謹記兩轉(zhuǎn)化：①銷量轉(zhuǎn)化為售價的一次函數(shù)；②總利潤轉(zhuǎn)化為售價的二次函數(shù)；函數(shù)性質(zhì)的應用：常利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出在自變量取值范圍內(nèi)的函數(shù)最值；1．（2023?臨沂）綜合與實踐：問題情境小瑩媽媽的花卉超市以15元/盆的價格新購進了某種盆栽花卉，為了確定售價，小瑩幫媽媽調(diào)查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期該種盆栽花卉的售價與日銷售量情況，記錄如下：數(shù)據(jù)整理：（1）請將以上調(diào)查數(shù)據(jù)按照一定順序重新整理，填寫在下表中：售價（元/盆）1820222630日銷售量（盆）5450463830模型建立（2）分析數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，找出日銷售量與售價間的關(guān)系．拓廣應用（3）根據(jù)以上信息，小瑩媽媽在銷售該種花卉中，①要想每天獲得400元的利潤，應如何定價？②售價定為多少時，每天能夠獲得最大利潤？【分析】（1）根據(jù)銷售單價從小到大排列即可；（2）設銷售量為y盆，售價為x元，y＝kx+b，用待定系數(shù)法可得y＝﹣2x+90；（3）①根據(jù)每天獲得400元的利潤，列方程可得答案；②設每天獲得的利潤為w元，得：w＝（x﹣15）（﹣2x+90）＝﹣2x2+120x﹣1350＝﹣2（x﹣30）2+450，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)銷售單價從小到大排列得下表：售價（元/盆）1820222630日銷售量（盆）5450463830故答案為：18，54；20，50；22，46；26，38；30，30；（2）觀察表格可知銷售量是售價的一次函數(shù)；設銷售量為y盆，售價為x元，y＝kx+b，把（18，54），（20，50）代入得：，解得，∴y＝﹣2x+90；（3）①∵每天獲得400元的利潤，∴（x﹣15）（﹣2x+90）＝400，解得x＝25或x＝35，∴要想每天獲得400元的利潤，定價為25元或35元；②設每天獲得的利潤為w元，根據(jù)題意得：w＝（x﹣15）（﹣2x+90）＝﹣2x2+120x﹣1350＝﹣2（x﹣30）2+450，∵﹣2＜0，∴當x＝30時，w取最大值450，∴售價定為30元時，每天能夠獲得最大利潤450元．3．（2023?十堰）“端午節(jié)”吃粽子是中國傳統(tǒng)習俗，在“端午節(jié)”來臨前，某超市購進一種品牌粽子，每盒進價是40元，并規(guī)定每盒售價不得少于50元，日銷售量不低于350盒．根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，當每盒售價定為50元時，日銷售量為500盒，每盒售價每提高1元，日銷售量減少10盒．設每盒售價為x元，日銷售量為p盒．（1）當x＝60時，p＝400；（2）當每盒售價定為多少元時，日銷售利潤W（元）最大？最大利潤是多少？（3）小強說：“當日銷售利潤最大時，日銷售額不是最大．”小紅說：“當日銷售利潤不低于8000元時，每盒售價x的范圍為60≤x≤80．”你認為他們的說法正確嗎？若正確，請說明理由；若不正確，請直接寫出正確的結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)每盒售價每提高1元，每天要少賣出10盒，可以得到p與x之間的函數(shù)關(guān)系式，把x＝60代入解析式計算即可；（2）根據(jù)每盒利潤×銷售盒數(shù)＝總利潤可得W關(guān)于x的關(guān)系式，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案；（3）根據(jù)題意，在正確的x的范圍中求出日銷售額的最大值，判斷小強是否正確，根據(jù)題意列出不等式，結(jié)合x的范圍求出不等式的解集，判斷小紅是否正確．【解答】解：（1）由題意可得，p＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，即每天的銷售量p（盒）與每盒售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式是p＝﹣10x+1000，當x＝60時，p＝﹣10×60+1000＝400，（x≥50），故答案為：400．（2）由題意可得，W＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，由題可知：每盒售價不得少于50元，日銷售量不低于350盒，∴，即，解得50≤x≤65．∴當x＝65時，W取得最大值，此時W＝8750，答：當每盒售價定為65元時，每天銷售的利潤W（元）最大，最大利潤是8750元；（3）小強：∵50≤x≤65，設日銷售額為y元，y＝x?p＝x（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1000x＝﹣10（x﹣50）2+25000，當x＝50時，y值最大，此時y＝25000，當x＝65時，W值最大，此時W＝8750，∴小強正確．小紅：當日銷售利潤不低于8000元時，即W≥8000，﹣10（x﹣70）2+9000≥8000，解得：60≤x≤80，∵50≤x≤65，∴當日銷售利潤不低于8000元時，60≤x≤65．故小紅錯誤，當日銷售利潤不低于8000元時，60≤x≤65．【題型8將實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)模型】滿分技巧題型一：利用二次函數(shù)解決拋物線形問題解決此類問題一般步驟：①合理建立直角坐標系，把已知數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為點的坐標；②根據(jù)題意，把所求問題轉(zhuǎn)化為求最值或已知x的范圍就y的值的問題。題型二：二次函數(shù)在實際生活中的應用利用二次函數(shù)解決生活中的實際問題時，一般先根據(jù)題意建議二次函數(shù)表達式，并確定自變量的取值范圍，然后利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決問題。1．（2023?天津）如圖，要圍一個矩形菜園ABCD，其中一邊AD是墻，且AD的長不能超過26m，其余的三邊AB，BC，CD用籬笆，且這三邊的和為40m，有下列結(jié)論：①AB的長可以為6m；②AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2；③菜園ABCD面積的最大值為200m2．其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】設AD邊長為xm，則AB邊長為長為m，根據(jù)AB＝6列出方程，解方程求出x的值，根據(jù)x取值范圍判斷①；根據(jù)矩形的面積＝192．解方程求出x的值可以判斷②；設矩形菜園的面積為ym2，根據(jù)矩形的面積公式列出函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最值可以判斷③．【解答】解：設AD邊長為xm，則AB邊長為m，當AB＝6時，＝6，解得x＝28，∵AD的長不能超過26m，∴x≤26，故①不正確；∵菜園ABCD面積為192m2，∴x?＝192，整理得：x2﹣40x+384＝0，解得x＝24或x＝16，∴AB的長有兩個不同的值滿足菜園ABCD面積為192m2，故②正確；設矩形菜園的面積為ym2，根據(jù)題意得：y＝x?＝﹣（x2﹣40x）＝﹣（x﹣20）2+200，∵﹣＜0，20＜26，∴當x＝20時，y有最大值，最大值為200．故③正確．∴正確的有2個，故選：C．2．（2023?長春）2023年5月28日，C919商業(yè)首航完成——中國民航商業(yè)運營國產(chǎn)大飛機正式起步．12時31分航班抵達北京首都機場，穿過隆重的“水門禮”（寓意“接風洗塵”，是國際民航中高級別的禮儀）．如圖①，在一次“水門禮”的預演中，兩輛消防車面向飛機噴射水柱，噴射的兩條水柱近似看作形狀相同的拋物線的一部分．如圖②，當兩輛消防車噴水口A、B的水平距離為80米時，兩條水柱在拋物線的頂點H處相遇．此時相遇點H距地面20米，噴水口A、B距地面均為4米．若兩輛消防車同時后退10米，兩條水柱的形狀及噴水口A′、B′到地面的距離均保持不變，則此時兩條水柱相遇點H'距地面19米．【分析】根據(jù)題意求出原來拋物線的解析式，從而求得平移后的拋物線解析式，再令x＝0求平移后的拋物線與y軸的交點即可．【解答】解：由題意可知：A（﹣40，4）、B（40，4）．H（0，20），設拋物線解析式為：y＝ax2+20，將A（﹣40，4）代入解析式y(tǒng)＝ax2+20，解得：a＝﹣，∴y＝﹣+20，消防車同時后退10米，即拋物線y＝﹣+20向左平移后的拋物線解析式為：y＝﹣+20，令x＝0，解得：y＝19，故答案為：19．3．（2023?河南）小林同學不僅是一名羽毛球運動愛好者，還喜歡運用數(shù)學知識對羽毛球比賽進行技術(shù)分析，下面是他對擊球線路的分析．如圖，在平面直角坐標系中，點A，C在x軸上，球網(wǎng)AB與y軸的水平距離OA＝3m，CA＝2m，擊球點P在y軸上．若選擇扣球，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足一次函數(shù)關(guān)系y＝﹣0.4x+2.8；若選擇吊球，羽毛球的飛行高度y（m）與水平距離x（m）近似滿足二次函數(shù)關(guān)系y＝a（x﹣1）2+3.2．（1）求點P的坐標和a的值；（2）小林分析發(fā)現(xiàn)，上面兩種擊球方式均能使球過網(wǎng)．要使球的落地點到C點的距離更近，請通過計算判斷應選擇哪種擊球方式．【分析】（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0可解得點P的坐標為（0，2.8）；把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得a的值是﹣0.4；（2）在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0可得x＝﹣2+1（舍去）或x＝2+1≈3.83，由|7﹣5|＞|3.83﹣5|，即可得到答案．【解答】解：（1）在y＝﹣0.4x+2.8中，令x＝0得y＝2.8，∴點P的坐標為（0，2.8）；把P（0，2.8）代入y＝a（x﹣1）2+3.2得：a+3.2＝2.8，解得：a＝﹣0.4，∴a的值是﹣0.4；（2）∵OA＝3m，CA＝2m，∴OC＝5m，∴C（5，0），在y＝﹣0.4x+2.8中，令y＝0得x＝7，在y＝﹣0.4（x﹣1）2+3.2中，令y＝0得x＝﹣2+1（舍去）或x＝2+1≈3.83，∵|7﹣5|＞|3.83﹣5|，∴選擇吊球方式，球的落地點到C點的距離更近．（建議用時：40分鐘）1．（2023?大連）已知二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣1，當0≤x≤3時，函數(shù)的最大值為（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象，結(jié)合當0≤x≤3時函數(shù)圖象的增減情況，即可解決問題．【解答】解：由二次函數(shù)的表達式為y＝x2﹣2x﹣1可知，拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝＝1．又1﹣0＜3﹣1，所以當x＝3時，函數(shù)取得最大值，y＝32﹣2×3﹣1＝2．故選：D．2．（2023?臺州）拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2＜0，則直線y＝ax+k一定經(jīng)過（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限【分析】根據(jù)已知條件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，分情況討論即可．【解答】解：∵拋物線y＝ax2﹣a（a≠0）與直線y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，∴kx＝ax2﹣a，∴ax2﹣kx﹣a＝0，∴，∴，當a＞0，k＜0時，直線y＝ax+k經(jīng)過第一、三、四象限，當a＜0，k＞0時，直線y＝ax+k經(jīng)過第一、二、四象限，綜上，直線y＝ax+k一定經(jīng)過一、四象限．故選：D．3．（2023?安徽）下列函數(shù)中，y的值隨x值的增大而減小的是（）A．y＝x2+1 B．y＝﹣x2+1 C．y＝2x+1 D．y＝﹣2x+1【分析】根據(jù)各函數(shù)解析式可得y隨x的增大而減小時x的取值范圍．【解答】解：選項A中，函數(shù)y＝x2+1，x＜0時，y隨x的增大而減?。还蔄不符合題意；選項B中，函數(shù)y＝﹣x2+1，x＞0時，y隨x的增大而減??；故B不符合題意；選項C中，函數(shù)y＝2x+1，y隨x的增大而增大；故C不符合題意；選項D中，函數(shù)y＝﹣2x+1，y隨x的增大而減?。蔇符合題意；故選：D．4．（2023?邵陽）已知P1（x1，y1），P2（x2，y2）是拋物線y＝ax2+4ax+3（a是常數(shù)，a≠0）上的點，現(xiàn)有以下四個結(jié)論：①該拋物線的對稱軸是直線x＝﹣2；②點（0，3）在拋物線上；③若x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；④若y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣2，其中，正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)題目中的二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：∵拋物線y＝ax2+4ax+3的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣2，∴①正確；當x＝0時，y＝3，則點（0，3）在拋物線上，∴②正確；當a＞0時，x1＞x2＞﹣2，則y1＞y2；當a＜0時，x1＞x2＞﹣2，則y1＜y2；∴③錯誤；當y1＝y(tǒng)2，則x1+x2＝﹣4，∴④錯誤；故正確的有2個，故選：B．5．（2023?河南）二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b的圖象一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)圖象確定a，b的符號，即可得到答案．【解答】解：由函數(shù)圖象可得，a＜0，﹣＞0，∴b＞0，∴y＝ax+b的圖象過一，二，四象限，不過第三象限，故選：C．6．（2023?湖北）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＜0）的圖象與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），對稱軸為直線x＝1，下列結(jié)論中：①a﹣b+c＝0；②若點（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在該二次函數(shù)圖象上，則y1＜y2＜y3；③若m為任意實數(shù)，則am2+bm+c?﹣4a；④方程ax2+bx+c+1＝0的兩實數(shù)根為x1，x2，且x1＜x2，則x1＜﹣1，x2＞3．正確結(jié)論的序號為（）A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①④【分析】由拋物線經(jīng)過（﹣1，0）可判斷①，由各點到拋物線對稱軸的距離大小可判斷從而判斷②，由x＝1時y取最大值可判斷③，由拋物線的對稱性可得拋物線與x軸交點坐標，從而判斷④．【解答】解：∵拋物線經(jīng)過（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，①正確，∵a＜0，∴拋物線開口向下，點（﹣3，y1），（2，y2），（4，y3）均在該二次函數(shù)圖象上，且點（﹣3，y1）到對稱軸的距離最大，點（2，y2）到對稱軸的距離最小，∴y1＜y3＜y2，②錯誤；∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵a﹣b+c＝0，∴c＝b﹣a＝﹣3a，∵拋物線的最大值為a+b+c，∴若m為任意實數(shù)，則am2+bm+c?a+b+c，∴am2+bm+c?﹣4a，③正確；∵方程ax2+bx+c+1＝0的兩實數(shù)根為x1，x2，∴拋物線與直線y＝﹣1的交點的橫坐標為x1，x2，由拋物線對稱性可得拋物線與x軸另一交點坐標為（3，0），∴拋物線與x軸交點坐標為（﹣1，0），（3，0），∵拋物線開口向下，x1＜x2，∴x1＜﹣1，x2＞3，④正確．故選：B．7．（2023?巴中）在平面直角坐標系中，直線y＝kx+1與拋物線y＝x2交于A、B兩點，設A（x1，y1），B（x2，y2），則下列結(jié)論正確的個數(shù)為（）①x1?x2＝﹣4．②y1+y2＝4k2+2．③當線段AB長取最小值時，則△AOB的面積為2．④若點N（0，﹣1），則AN⊥BN．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】由題意，將問題轉(zhuǎn)化成一元二次方程問題去解決即可得解．【解答】解：由題意，聯(lián)列方程組∴可得得x1，x2滿足方程x2﹣kx﹣1＝0；y1，y2滿足方程y2﹣（2+4k2）y+1＝0．依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，x1+x2＝4k，x1?x2＝﹣4，y1+y2＝4k2+2，y1?y2＝1，∴①、②正確．由兩點間距離公式得，AB＝＝＝4（k2+1）．∴當k＝0時，AB最小值為4．∴S△AOB＝×1×AB＝2．∴③正確．由題意，kAN＝，kBN＝，∴kAN?kBN＝?＝＝＝﹣k2﹣1．∴當k＝0時，AN⊥BN；當k≠0是，AN與BN不垂直．∴④錯誤．故選：C．8．（2023?福建）已知拋物線y＝ax2﹣2ax+b（a＞0）經(jīng)過A（2n+3，y1），B（n﹣1，y2）兩點，若A，B分別位于拋物線對稱軸的兩側(cè)，且y1＜y2，則n的取值范圍是﹣1＜n＜0．【分析】由題意可知：拋物線的對稱軸為x＝1，開口向上，再分點A在對稱軸x＝1的左側(cè)，點B在對稱軸x＝1的右側(cè)和點B在對稱軸x＝1的左側(cè)，點A在對稱軸x＝1的右側(cè)兩種情況求解即可．【解答】解：拋物線的對稱軸為：x＝﹣＝1，∵a＞0，∴拋物線開口向上，∵y1＜y2，∴若點A在對稱軸x＝1的左側(cè)，點B在對稱軸x＝1的右側(cè)，由題意可得：，不等式組無解；若點B在對稱軸x＝1的左側(cè)，點A在對稱軸x＝1的右側(cè)，由題意可得：，解得：﹣1＜n＜0，∴n的取值范圍為：﹣1＜n＜0．故答案為：﹣1＜n＜0．9．（2023?樂至縣）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣2，且過點（1，0）．現(xiàn)有以下結(jié)論：①abc＜0；②5a+c＝0；③對于任意實數(shù)m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若點A（x1，y1）、B（x2，y2）是圖象上任意兩點，且|x1+2|＜|x2+2|，則y1＜y2，其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可以判斷各個小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題．【解答】解：由圖象可得，a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①正確，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣2，且過點（1，0）．∴﹣＝﹣2，a+b+c＝0，∴b＝4a，∴a+b+c＝a+4a+c＝0，故5a+c＝0，故②正確，∵當x＝﹣2時，y＝4a﹣2b+c取得最小值，∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即2b+bm≥4a﹣am2（m為任意實數(shù)），故③錯誤，∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣2，若點A（x1，y1）、B（x2，y2）是圖象上任意兩點，且|x1+2|＜|x2+2|，∴y1＜y2，故④正確；故選：C．10．（2023?麗水）一個球從地面豎直向上彈起時的速度為10米/秒，經(jīng)過t（秒）時球距離地面的高度h（米）適用公式h＝10t﹣5t2，那么球彈起后又回到地面所花的時間t（秒）是（）A．5 B．10 C．1 D．2【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：令h＝0，得：10t﹣5t2＝0，解得：t＝2或t＝0（不合題意舍去），∴那么球彈起后又回到地面所花的時間是2秒；故選：D．11．（2023?菏澤）若一個點的縱坐標是橫坐標的3倍，則稱這個點為“三倍點”，如：A（1，3），B（﹣2，﹣6），C（0，0）等都是“三倍點”．在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)，若二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”，則c的取值范圍是（）A．﹣≤c＜1 B．﹣4≤c＜﹣3 C．﹣≤c＜6 D．﹣4≤c＜5【分析】由題意得，三倍點所在的直線為y＝3x，根據(jù)二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”轉(zhuǎn)化為y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一個交點，求Δ≥0，再根據(jù)x＝﹣3和x＝1時兩個函數(shù)值大小即可求出．【解答】解：由題意得，三倍點所在的直線為y＝3x，在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c的圖象上至少存在一個“三倍點”，即在﹣3＜x＜1的范圍內(nèi)，二次函數(shù)y＝﹣x2﹣x+c和y＝3x至少有一個交點，令3x＝﹣x2﹣x+c，整理得，x2+4x﹣c＝0，則Δ＝b2﹣4ac＝16+4c≥0，解得c≥﹣4，把x＝﹣3代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣6+c，代入y＝3x得y＝﹣9，∴﹣9＞﹣6+c，解得c＜﹣3；把x＝1代入y＝﹣x2﹣x+c得y＝﹣2+c，代入y＝3x得y＝3，∴3＞﹣2+c，解得c＜5，綜上，c的取值范圍為：﹣4≤c＜5．故選：D．12．（2023?南充）拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸的一個交點為A（m，0），若﹣2≤m≤1，則實數(shù)k的取值范圍是（）A．≤k≤1 B．k≤﹣或k≥1 C．﹣5≤k≤ D．k≤﹣5或k≥【分析】由拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸有交點，可得k2+4（k﹣）≥0，故k≤﹣5或k≥1；分兩種情況：①當k≤﹣5時，可得﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≥0，②當k≥1時，﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≤0，分別解不等式可得答案．【解答】解：∵拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸有交點，∴Δ≥0，即k2+4（k﹣）≥0，∴k2+4k﹣5≥0，解得：k≤﹣5或k≥1；拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣對稱軸為直線x＝，①當k≤﹣5時，拋物線對稱軸在直線x＝﹣2左側(cè)，此時拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸的一個交點為A（m，0），﹣2≤m≤1，如圖：∴﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≥0，解得：k≤﹣，∴k≤﹣；②當k≥1時，拋物線對稱軸在直線x＝右側(cè)，此時拋物線y＝﹣x2+kx+k﹣與x軸的一個交點為A（m，0），﹣2≤m≤1，如圖：∴﹣（﹣2）2﹣2k+k﹣≤0，解得：k≥﹣，∴k≥1；綜上所述，k≤﹣或k≥1；故選：B．13．（2023?寧波）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣（3a+1）x+3（a≠0），下列說法正確的是（）A．點（1，2）在該函數(shù)的圖象上 B．當a＝1且﹣1≤x≤3時，0≤y≤8 C．該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點 D．當a＞0時，該函數(shù)圖象的對稱軸一定在直線x＝的左側(cè)【分析】將點（1，2）代入拋物線的解析式即可對選項A進行判斷；將a＝1代入拋物線的解析式求出頂點坐標為（2，﹣1），據(jù)此可對選項B進行判斷；令y＝0，則ax2﹣（3a+1）x+3＝0，然后判斷該方程判別式的符號即可對選項C進行判斷；求出拋物線的解析式為：，然后根據(jù)a＞0得，據(jù)此可對選項C進行判斷．【解答】解：①對于y＝ax2﹣（3a+1）x+3，當x＝1時，y＝a×12﹣（3a+1）×1+3＝2﹣2a∵a≠0，∴y＝2﹣2a≠2，∴點A（1，2）不在該函數(shù)的圖象上，故選項A不正確；②當a＝1時，拋物線的解析式為：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴拋物線的頂點坐標為（2，﹣1），即當x＝2時，y＝﹣1＜0，故得選項B不正確；③令y＝0，則ax2﹣（3a+1）x+3＝0，∵Δ＝[﹣（3a+1）]2﹣4a×3＝（3a﹣1）2≥0，∴該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點，故選項C正確；④∵該拋物線的對稱軸為直線：，又∵a＞0，∴，∴該拋物線的對稱軸一定在直線的右側(cè)，故選項D不正確．故選：C．14．（2023?隨州）如圖，已知開口向下的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點（6，0），對稱軸為直線x＝2．則下列結(jié)論正確的有（）①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③方程cx2+bx+a＝0的兩個根為x1＝，x2＝﹣；④拋物線上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，則y1＜y2．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與y軸交點位置判斷①；由拋物線的對稱性可判斷②；由二次函數(shù)與方程的關(guān)系，以及根與系數(shù)的關(guān)系可判斷③；由二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷④．【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線交y軸于正半軸，∴c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，故①正確；∵拋物線對稱軸為直線x＝2，x＝5時，y＞0，∴x＝﹣1時，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故②正確；由cx2+bx+a＝0可得方程的解x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點（6，0），對稱軸為直線x＝2，∴拋物線與x軸另一個交點為（﹣2，0），∴方程ax2+bx+c＝0的兩個根為﹣2，6，∴﹣＝4，＝﹣12，∴﹣＝＝﹣，＝﹣而若方程cx2+bx+a＝0的兩個根為x1＝，x2＝﹣，則﹣＝＝，＝）＝﹣，故③錯誤；∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝2，若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，則點P（x1，y1）到對稱軸的距離小于Q（x2，y2）到直線的距離，∴y1＞y2，故不正確．故選：B．15．（2023?宜昌）如圖，一名學生推鉛球，鉛球行進高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）之間的關(guān)系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），則鉛球推出的距離OA＝10m．【分析】令y＝0，得到關(guān)于x的方程，解方程即可得出結(jié)論．【解答】解：令y＝0，則﹣（x﹣10）（x+4）＝0，解得：x＝10或x＝﹣4（不合題意，舍去），∴A（10，0），∴OA＝10m．故答案為：10．16．（2023?巴中）規(guī)定：如果兩個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么稱這兩個函數(shù)互為“Y函數(shù)”．例如：函數(shù)y＝x+3與y＝﹣x+3互為“Y函數(shù)”．若函數(shù)y＝x2+（k﹣1）x+k﹣3的圖象與x軸只有一個交點，則它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標為（3，0）或（4，0）．【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對稱的圖形的對稱點的坐標特點，分情況討論求出它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標．【解答】解：當k＝0時，函數(shù)解析式為y＝﹣x﹣3，它的“Y函數(shù)”解析式為y＝x﹣3，它們的圖象與x軸都只有一個交點，∴它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標為（3，0）；當k≠0時，此函數(shù)為二次函數(shù)，若二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個交點，則二次函數(shù)的頂點在x軸上，即，解得k＝﹣1，∴二次函數(shù)的解析式為＝，∴它的“Y函數(shù)”解析式為，令y＝0，則，解得x＝4，∴二次函數(shù)的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標為（4，0），綜上，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點坐標為（3，0）或（4，0）．故答案為：（3，0）或（4，0）．17．（2023?武漢）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，c＜0）經(jīng)過（1，1），（m，0），（n，0）三點，且n≥3．下列四個結(jié)論：①b＜0；②4ac﹣b2＜4a；③當n＝3時，若點（2，t）在該拋物線上，則t＞1；④若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝x有兩個相等的實數(shù)根，則．其中正確的是②③④（填寫序號）．【分析】①根據(jù)圖象經(jīng)過（1，1），c＜0，且拋物線與x軸的一個交點一定在（3，0）或（3，0）的右側(cè)，判斷出拋物線的開口向下，即a＜0，再把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝1，即可判斷①錯誤；②先得出拋物線的對稱軸在直線x＝1.5的右側(cè)，得出拋物線的頂點在點（1，1）的右側(cè)，得出，根據(jù)4a＜0，利用不等式的性質(zhì)即可得出4ac﹣b2＜4a，即可判斷②正確；③先得出拋物線對稱軸在直線x＝1.5的右側(cè)，得出（1，1）到對稱軸的距離大于（2，t）到對稱軸的距離，根據(jù)a＜0，拋物線開口向下，距離拋物線的對稱軸越近的函數(shù)值越大，即可得出③正確；④根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)解，得出Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，求出a＝c，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出，即，根據(jù)n≥3，得出求出m的取值范圍，即可判斷④正確．【解答】解：①圖象經(jīng)過（1，1），c＜0，即拋物線與y軸的負半軸有交點，如果拋物線的開口向上，則拋物線與x軸的交點都在（1，0）的左側(cè)，∵（n，0）中n≥3，∴拋物線與x軸的一個交點一定在（3，0）或（3，0）的右側(cè)，∴拋物線的開口一定向下，即a＜0，把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得：a+b+c＝1，即b＝1﹣a﹣c，∵a＜0，c＜0，∴b＞0，故①錯誤；②∵a＜0，b＞0，c＜0，，∴方程ax2+bx+c＝0的兩個根的積大于0，即mn＞0，∵n≥3，∴m＞0，∴，即拋物線的對稱軸在直線x＝1.5的右側(cè)，∴拋物線的頂點在點（1，1）的上方或者右上方，∴，∵4a＜0，∴4ac﹣b2＜4a，故②正確；③∵m＞0，∴當n＝3時，，∴拋物線對稱軸在直線x＝1.5的右側(cè)，∴（1，1）到對稱軸的距離大于（2，t）到對稱軸的距離，∵a＜0，拋物線開口向下，∴距離拋物線越近的函數(shù)值越大，∴t＞1，故③正確；④方程ax2+bx+c＝x可變?yōu)閍x2+（b﹣1）x+c＝0，∵方程有兩個相等的實數(shù)解，∴Δ＝（b﹣1）2﹣4ac＝0．∵把（1，1）代入y＝ax2+bx+c得a+b+c＝1，即1﹣b＝a+c，∴（a+c）2﹣4ac＝0，即a2+2ac+c2﹣4ac＝0，∴（a﹣c）2＝0，∴a﹣c＝0，即a＝c，∵（m，0），（n，0）在拋物線上，∴m，n為方程ax2+bx+c＝0的兩個根，∴，∴，∵n≥3，∴，∴．故④正確．綜上，正確的結(jié)論有：②③④．故答案為：②③④．18．（2023?紹興）已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c．（1）當b＝4，c＝3時，①求該函數(shù)圖象的頂點坐標；②當﹣1≤x≤3時，求y的取值范圍；（2）當x≤0時，y的最大值為2；當x＞0時，y的最大值為3，求二次函數(shù)的表達式．【分析】（1）先把解析式進行配方，再求頂點；（2）根據(jù)函數(shù)的增減性求解；（3）根據(jù)函數(shù)的圖象和系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合圖象求解．【解答】解：（1）①∵b＝4，c＝3時，∴y＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7，∴頂點坐標為（2，7）．②∵﹣1≤x≤3中含有頂點（2，7），∴當x＝2時，y有最大值7，∵2﹣（﹣1）＞3﹣2，∴當x＝﹣1時，y有最小值為：﹣2，∴當﹣1≤x≤3時，﹣2≤y≤7．（2）∵x≤0時，y的最大值為2；x＞0時，y的最大值為3，∴拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，∴b＞0，∵拋物線開口向下，x≤0時，y的最大值為2，∴c＝2，又∵，∴b＝±2，∵b＞0，∴b＝2．∴二次函數(shù)的表達式為y＝﹣x2+2x+2．19．（2023?北京）在平面直角坐標系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上任意兩點，設拋物線的對稱軸為x＝t．（1）若對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，求t的值；（2）若對于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對稱軸即可，（2）根據(jù)題意判斷出離對稱軸更近的點，從而得出（x1，y1）與（x2，y2）的中點在對稱軸的右側(cè)，再根據(jù)對稱性即可解答．【解答】解：（1）∵對于x1＝1，x2＝2，有y1＝y(tǒng)2，∴a+b+c＝4a+2b+c，∴3a+b＝0，∴＝﹣3．∵對稱軸為x＝﹣＝，∴t＝．（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴，x1＜x2，∵y1＜y2，a＞0，∴（x1，y1）離對稱軸更近，x1＜x2，則（x1，y1）與（x2，y2）的中點在對稱軸的右側(cè)，∴＞t，即t≤．20．（2023?南京）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+3（a為常數(shù)，a≠0）．（1）若a＜0，求證：該函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點．（2）若a＝﹣1，求證：當﹣1＜x＜0時，y＞0．（3）若該函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，則a的取值范圍是a＞3或a＜﹣1．【分析】（1）證明b2﹣4ac＞0即可解決問題．（2）將a＝﹣1代入函數(shù)解析式，進行證明即可．（3）對a＞0和a＜0進行分類討論即可．【解答】證明：（1）因為（﹣2a）2﹣4×a×3＝4a2﹣12a，又因為a＜0，所以4a＜0，a﹣3＜0，所以4a2﹣12a＝4a（a﹣3）＞0，所以該函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點．（2）將a＝﹣1代入函數(shù)解析式得，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，所以拋物線的對稱軸為直線x＝1，開口向下．則當﹣1＜x＜0時，y隨x的增大而增大，又因為當x＝﹣1時，y＝0，所以y＞0．（3）因為拋物線的對稱軸為直線x＝，且過定點（0，3），又因為該函數(shù)的圖象與x軸有兩個公共點（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜x2＜4，所以當a＞0時，a﹣2a+3＜0，解得a＞3，故a＞3．當a＜0時，a+2a+3＜0，解得a＜﹣1，故a＜﹣1．綜上所述，a＞3或a＜﹣1．故答案為：a＞3或a＜﹣1．21．（2023?杭州）設二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0，b是實數(shù)）．已知函數(shù)值y和自變量x的部分對應取值如下表所示：x…﹣10123…y…m1n1p…（1）若m＝4，①求二次函數(shù)的表達式；②寫出一個符合條件的x的取值范圍，使得y隨x的增大而減小．（2）若在m，n，p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，求a的取值范圍．【分析】（1）①利用待定系數(shù)法即可求得；②利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意m≤0，由﹣＝1，得出b＝﹣2a，則二次函數(shù)為y＝ax2﹣2ax+1，得出m＝a+2a+1≤0，解得a≤﹣．【解答】解：（1）①由題意得，解得，∴二次函數(shù)的表達式是y＝x2﹣2x+1；②∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝1，∴當x＜1時，y隨x的增大而減?。唬?）∵x＝0和x＝2時的函數(shù)值都是1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴（1，n）是頂點，（﹣1，m）和（3，p）關(guān)于對稱軸對稱，若在m，n，p這三個實數(shù)中，只有一個是正數(shù)，則拋物線必須開口向下，且m≤0，∵﹣＝1，∴b＝﹣2a，∴二次函數(shù)為y＝ax2﹣2ax+1，∴m＝a+2a+1≤0，∴a≤﹣．22．（2023?淮安）已知二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3（b為常數(shù)）．（1）該函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點，若點A坐標為（3，0），①b的值是﹣2，點B的坐標是（﹣1，0）；②當0＜y＜5時，借助圖象，求自變量x的取值范圍；（2）對于一切實數(shù)x，若函數(shù)值y＞t總成立，求t的取值范圍（用含b的式子表示）；（3）當m＜y＜n時（其中m、n為實數(shù)，m＜n），自變量x的取值范圍是1＜x＜2，求n與b的值及m的取值范圍．【分析】（1）①依據(jù)題意，由二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3過點A（3，0）代入可得b，進而得二次函數(shù)解析式，從而可以求出B；②依據(jù)題意，由①令y＝0，y＝5分別求出對應自變量進而可以得解；（2）依據(jù)題意，由不等式變形得x2+bx﹣3﹣t＞0，對于一切實數(shù)成立，即對函數(shù)y＝x2+bx﹣3﹣t與x軸無交點，可得Δ＜0，進而可以得解；（3）依據(jù)題意可得拋物線上橫坐標為x＝1與x＝2的兩點關(guān)于對稱軸對稱，從而求出b，進而得二次函數(shù)解析式，再由自變量x的取值范圍是1＜x＜2，可得n的值，最后可以求出m的范圍．【解答】解：（1）①由二次函數(shù)y＝x2+bx﹣3過點A（3，0），∴9+3b﹣3＝0．∴b＝﹣2．∴二次函數(shù)為：y＝x2﹣2x﹣3．令y＝0，∴x2﹣2x﹣3＝0．∴解得，x＝﹣1或x＝3．∴B（﹣1，0）．故答案為：﹣2；（﹣1，0）．②由題意，令y＝x2﹣2x﹣3＝5，∴x＝4或x＝﹣2．又∵a＝1＞0，∴二次函數(shù)圖象開口向上．∴當0＜y＜5時，滿足題意的自變量有兩部分，∴﹣2＜x＜﹣1或3＜x＜4．（2）由題意，∵對于一切實數(shù)x，若函數(shù)值y＞t總成立，即x2+bx﹣3＞t恒成立．即x2+bx﹣3﹣t＞0．∵y＝x2+bx﹣3﹣t開口向上，∴Δ＝b2﹣4（﹣3﹣t）＜0．∴t＜﹣．（3）由題意，拋物線上橫坐標為x＝1與x＝2的兩點關(guān)于對稱軸對稱，∴對稱軸x＝﹣＝．∴b＝﹣3．∴二次函數(shù)為y＝x2﹣3x﹣3＝（x﹣）2﹣．∴當x＝1或x＝2時，y＝﹣5，即此時n＝﹣5．由題意，∵m＜y＜﹣5時，自變量x的取值范圍是1＜x＜2，∴m＜﹣．23．（2023?云南）數(shù)和形是數(shù)學研究客觀物體的兩個方面，數(shù)（代數(shù)）側(cè)重研究物體數(shù)量方面，具有精確性，形（幾何）側(cè)重研究物體形的方面，具有直觀性．數(shù)和形相互聯(lián)系，可用數(shù)來反映空間形式，也可用形來說明數(shù)量關(guān)系．數(shù)形結(jié)合就是把兩者結(jié)合起來考慮問題，充分利用代數(shù)、幾何各自的優(yōu)勢，數(shù)形互化，共同解決問題．同學們，請你結(jié)合所學的數(shù)學解決下列問題．在平面直角坐標系中，若點的橫坐標、縱坐標都為整數(shù)，則稱這樣的點為整點．設函數(shù)y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實數(shù)a為常數(shù)）的圖象為圖象T．（1）求證：無論a取什么實數(shù)，圖象T與x軸總有公共點；（2）是否存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點中有整點？若存在，求所有整數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．【分析】（1）分一次函數(shù)和二次函數(shù)分別證明函數(shù)圖象T與x軸總有交點即可；（2）當a＝﹣時，不符合題意；當a≠時，由0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，得x＝﹣或x＝，即x＝＝2﹣，因a是整數(shù)，故當2a+1是6的因數(shù)時，是整數(shù)，可得2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，分別解方程并檢驗可得a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．【解答】（1）證明：當a＝﹣時，函數(shù)表達式為y＝12x+6，令y＝0得x＝﹣，∴此時函數(shù)y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實數(shù)a為常數(shù)）的圖象與x軸有交點；當a≠時，y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4為二次函數(shù)，∵Δ＝（9﹣6a）2﹣4（4a+2）（﹣4a+4）＝100a2﹣140a+49＝（10a﹣7）2≥0，∴函數(shù)y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4（實數(shù)a為常數(shù)）的圖象與x軸有交點；綜上所述，無論a取什么實數(shù)，圖象T與x軸總有公共點；（2）解：存在整數(shù)a，使圖象T與x軸的公共點中有整點，理由如下：當a＝﹣時，不符合題意；當a≠﹣時，在y＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4中，令y＝0得：0＝（4a+2）x2+（9﹣6a）x﹣4a+4，解得x＝﹣或x＝，∵x＝＝2﹣，a是整數(shù)，∴當2a+1是6的因數(shù)時，是整數(shù)，∴2a+1＝﹣6或2a+1＝﹣3或2a+1＝﹣2或2a+1＝﹣1或2a+1＝1或2a+1＝2或2a+1＝3或2a+1＝6，解得a＝﹣或a＝﹣2或a＝﹣或a＝﹣1或a＝0或a＝或a＝1或a＝，∵a是整數(shù)，∴a＝﹣2或a＝﹣1或a＝0或a＝1．24．（2023?朝陽）某超市以每件10元的價格購進一種文具，銷售時該文具的銷售單價不低于進價且不高于19元．經(jīng)過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該文具的每天銷售數(shù)量y（件）與銷售單價x（元）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如下表所示：銷售單價x/元…121314…每天銷售數(shù)量y/件…363432…（1）直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若該超市每天銷售這種文具獲利192元，則銷售單價為多少元？（3）設銷售這種文具每天獲利w（元），當銷售單價為多少元時，每天獲利最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）設y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）依據(jù)利潤＝單件利潤×銷售量列出方程，解答即可；（3）根據(jù)利潤＝單件利潤×銷售量列出函數(shù)解析式，然后由函數(shù)的性質(zhì)以及自變量的取值范圍求出函數(shù)最值．【解答】解：（1）設y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），由所給函表格可知：，解得：，故y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2x+60；（2）根據(jù)題意得：（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，解得：x1＝18，x2＝22又∵10≤x≤19，∴x＝18，答：銷售單價應為18元．（3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200∵a＝﹣2＜0，∴拋物線開口向下，∵對稱軸為直線x＝20，∴當10≤x≤19時，w隨x的增大而增大，∴當x＝19時，w有最大值，w最大＝198．答：當銷售單價為19元時，每天獲利最大，最大利潤是198元．25．（2023?溫州）一次足球訓練中，小明從球門正前方8m的A處射門，球射向球門的路線呈拋物線．當球飛行的水平距離為6m時，球達到最高點，此時球離地面3m．已知球門高OB為2.44m，現(xiàn)以O為原點建立如圖所示直角坐標系．（1）求拋物線的函數(shù)表達式，并通過計算判斷球能否射進球門（忽略其他因素）；（2）對本次訓練進行分析，若射門路線的形狀、最大高度均保持不變，則當時他應該帶球向正后方移動多少米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處？【分析】（1）求出拋物線的頂點坐標為（2，3），設拋物線為y＝a（x﹣2）2+3，用待定系數(shù)法可得y＝﹣（x﹣2）2+3；當x＝0時，y＝﹣×4+3＝＞2.44，知球不能射進球門．（2）設小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把點（0，2.25）代入得m＝﹣5（舍去）或m＝1，即知當時他應該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處．【解答】解：（1）∵8﹣6＝2，∴拋物線的頂點坐標為（2，3），設拋物線為y＝a（x﹣2）2+3，把點A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a＝﹣，∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣（x﹣2）2+3；當x＝0時，y＝﹣×4+3＝＞2.44，∴球不能射進球門．（2）設小明帶球向正后方移動m米，則移動后的拋物線為y＝﹣（x﹣2﹣m）2+3，把點（0，2.25）代入得：2.25＝﹣（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴當時他應該帶球向正后方移動1米射門，才能讓足球經(jīng)過點O正上方2.25m處．26．（2023?濟南）在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCD的頂點A，B在x軸上，C（2，3），D（﹣1，3）．拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于點E（﹣2，0）和點F．（1）如圖1，若拋物線過點C，求拋物線的表達式和點F的坐標；（2）如圖2，在（1）的條件下，連接CF，作直線CE，平移線段CF，使點C的對應點P落在直線CE上，點F的對應點Q落在拋物線上，求點Q的坐標；（3）若拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a＜0）與正方形ABCD恰有兩個交點，求a的取值范圍．【分析】（1）拋物線y＝ax2﹣2ax+c過點C（2，3），E（﹣2，0），