導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

§3.1中值定理§3.2洛必達(dá)法則§3.3泰勒定理及應(yīng)用§3.4函數(shù)的單調(diào)性與凹凸性§3.5函數(shù)的極值與最值*§3.6導(dǎo)數(shù)與微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用3.5.1函數(shù)的極值及其求法

函數(shù)的極值與最值3.5.2最值問(wèn)題3.5.1函數(shù)的極值及其求法

1.函數(shù)取得極值的必要條件及充分條件由費(fèi)馬引理可得必要條件:

定理3.12

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)

處可導(dǎo)，且在

處取得極值，那么函數(shù)在

處的導(dǎo)數(shù)為零，即定理3.12可敘述為：可導(dǎo)函數(shù)

的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn)．反過(guò)來(lái)，函數(shù)

的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn)．此外，函數(shù)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)．設(shè)函數(shù)

在點(diǎn)

處連續(xù)，且在

的某去心鄰域

內(nèi)可導(dǎo)，.(1)若(2）若定理3.13（第一充分條件）(3)若

時(shí)，不改變符號(hào)，.

確定極值點(diǎn)和極值的步驟：(3)列表判斷的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的符號(hào)情況，確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn)，如果是極值點(diǎn)，還要按照定理2確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值)；(2)求出

的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)；(1)求出導(dǎo)數(shù)(4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值.例3.5.1

求函數(shù)的極值解列表如下?1（?1，3）3+00+上升極大值下降極小值上升例3.5.2

求函數(shù)的極值解列表如下?1（?1，1）1+不可導(dǎo)-0+上升0下降上升如果

存在二階導(dǎo)數(shù)且在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)不為零，則有下列定理。則

（1）（2）定理3.14(第二充分條件)證明

:這里我們只證明的情況，可以類(lèi)似地證明的情況，由二階導(dǎo)數(shù)定義有根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性，當(dāng)x在x0的足夠小的去心鄰域時(shí)所以上式即為(接下).

類(lèi)似的可以證明情形(2).于是對(duì)于去心鄰域內(nèi)的來(lái)說(shuō)，符號(hào)相反。根據(jù)定理2，

【注】如果函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)例3.5.3

求函數(shù)的極值解例3.5.4

求函數(shù)的極值解例3.5.5

求函數(shù)的極值解3.5.2最值問(wèn)題

1.極值與最值的關(guān)系

設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)的最大值和最小值一定存在，函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得.

如果最大值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得，則必在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)取得.在這種情況下，最大值一定是函數(shù)的極大值.最值是一個(gè)全局概念，因此，函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最大者.

同理,函數(shù)在閉區(qū)間[a,b]上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最小者.

2.最大值和最小值的求法

設(shè)在(a,b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(它們是可能的極值點(diǎn))為,比較的大小,其中最大的便是函數(shù)在[a,b]上的最大值，最小的便是函數(shù)

在[a，b]上的最小值.3.求最大值和最小值的步驟【注】如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值，則這個(gè)極值就是最值(最大值或最小值).

(2)求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值，比較大小，哪個(gè)大，哪個(gè)就是最大值;哪個(gè)小，哪個(gè)就是極小值.(1)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)．例3.5.6

求函數(shù)