數(shù)項級數(shù)的收斂判別法8.2.1正項級數(shù)及其審斂法8.2.2交錯級數(shù)及其審斂法8.2.3絕對收斂與條件收斂預備知識1.級數(shù)收斂的定義及性質；2.單調有界數(shù)列必有極限；收斂數(shù)列必有界；3.等價無窮?。簳r，4.兩類重要極限：則稱該級數(shù)稱為正項級數(shù)由單調有界數(shù)列必有極限，可得下面重要定理定理8.1（正項級數(shù)的基本收斂定理）

在級數(shù)

中，如果每一項易見：部分和數(shù)列

單調增加

正項級數(shù)

收斂的充要條件是其部分和數(shù)列

有界

8.2.1正項級數(shù)及其審斂法即正項級數(shù)的部分和數(shù)列

有界，因此正項級數(shù)收斂.解

級數(shù)部分和例

8.2.1

判斷正項級數(shù)

的斂散性.定理

8.2

比較審斂法大收則小收，小散則大散。（1）若級數(shù)

收斂，則級數(shù)

也收斂（2）若級數(shù)

發(fā)散，則級數(shù)

也發(fā)散

設有兩個正項級數(shù)

和

，有

成立，則證明（2）設且（1）設且即部分和數(shù)列有界，所以

收斂.不是有界數(shù)列則發(fā)散推論使得從某一項起（例如從第N項起），總有

（1）若級數(shù)

收斂，則級數(shù)

也收斂（2）若級數(shù)

發(fā)散，則級數(shù)

也發(fā)散成立，那么

設有兩個正項級數(shù)

和

，且存在正數(shù)

由

發(fā)散及比較審斂法知，

發(fā)散解因此分析

分

和

兩種情況，.當

時，對于

，有

例

8.2.2

討論

級數(shù)

的斂散性

當

時

，

分別利用比較審斂法和正項級數(shù)收斂基本定理.上式說明

有界，因此級數(shù)

收斂綜上所述，當

時，級數(shù)

收斂

當

時，級數(shù)

發(fā)散于是

級數(shù)的部分和

定理8.3比較審斂法的極限形式

設

和

都是正項級數(shù)，如果

則(2)當

時，

若

收斂,則

亦收斂;(3)當

時，若

發(fā)散,則

亦發(fā)散．(1)當

時,與

具有相同的收斂性;證明當n＞N時,有即由比較審斂法知結論成立．結論(2)、結論(3)的證明類似（1）由于取則存在

例8.2.3判斷級數(shù)

的斂散性由比較審斂法的極限形式知

收斂．解

因為

=1而

級數(shù)

收斂例8.2.4證明正項級數(shù)

發(fā)散證明

因為且調和級數(shù)

發(fā)散故由比較審斂法的極限形式知,正項級數(shù)

發(fā)散例8.2.5判斷下列級數(shù)的斂散性(1)(2)解(1)因為而調和級數(shù)

發(fā)散根據(jù)比較審斂法的極限形式可知級數(shù)

發(fā)散

(2)因為

而級數(shù)

為

的

級數(shù),是收斂的根據(jù)比較審斂法的極限形式可知級數(shù)

收斂.

定理8.4達朗貝爾(d′Alembert)比值審斂法

=ρ,設有正項級數(shù)

，如果極限

那么(1)當

時,級數(shù)收斂;(2)當

(包括ρ=+∞)時,級數(shù)發(fā)散;

(3)當

時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散(需另行判別)．證明(1)由于,因此可找到正數(shù),使得根據(jù)極限定義,必有正整數(shù),當

時，有不等式

，成立因此，,

而級數(shù)是公比的等比級數(shù),是收斂級數(shù)再由定理8.2的推論知，正項級數(shù)收斂.由于=ρ＞1,可取一個適當?shù)恼龜?shù)＞0,使得

這就是說,對于正項級數(shù),從第

項開始有據(jù)極限定義,必有正整數(shù),當時,有不等式

因此，即.,成立

根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件可知，正項級數(shù)

發(fā)散正項級數(shù)從第

項開始,級數(shù)的一般項是逐漸增大的,從而.

因此只根據(jù)不能判斷級數(shù)的收斂性.(3)當ρ=1時,正項級數(shù)可能收斂,也可能發(fā)散．這個結論從

級數(shù)就可以看出．事實上,若為

級數(shù),則對于任意實數(shù)

,有但當

時,

級數(shù)發(fā)散;

時,

級數(shù)收斂．證明

因為例8.2.6判斷級數(shù)

的斂散性．

==所以由比值審斂法知,級數(shù)發(fā)散．例8.2.7判斷正向級數(shù)

的斂散性分析一般項中含有階乘及次方,利用比值審斂法.解因為所以由比值審斂法知,級數(shù)收斂．分析利用比較審斂法或其極限形式因為,比值審斂法失效,必須用其它方法來判別級數(shù)的收斂性.例8.2.8判斷級數(shù)的斂散性.=1解或

而級數(shù)收斂,因此由比較審斂法(或其極限形式)可知所給級數(shù)收斂.解

因為所以,當,即

時,級數(shù)收斂;*例8.2.9討論級數(shù)

的斂散性．分析利用比值審斂法,因一般項中含有

，分情況討論.當,即

時,級數(shù)發(fā)散當時,雖然不能由比值審斂法直接得出級數(shù)收斂

=>1.于是可知,級數(shù)的后項總是大于前項,故

所以級數(shù)發(fā)散．或發(fā)散的結論，但由于數(shù)列

是一個單調增加而有上界的數(shù)列，即

，

因此對于任意有限的

，有

定理8.5柯西(Cauchy)根值審斂法(3)當ρ=1時，

可能收斂，也可能發(fā)散

該定理證明與定理8.4的證明完全相仿設

滿足

，那么有以下結論(1)當

時，則

收斂；(2)當

（包括

）時，

則

發(fā)散；

所以,由根值審斂法知該級數(shù)收斂．例8.2.10討論級數(shù)

的斂散性．分析

一般項含

有次冪,利用根值審斂法.解

因為

分析

利用根值審斂法.

所以,由根值審斂法知級數(shù)發(fā)散.例8.2.11判斷級數(shù)

的斂散性解

因為分析

利用根值審斂法.

所以,由根值審斂法知級數(shù)發(fā)散.*例8.2.12判斷級數(shù)

的斂散性解

因為這樣的任意項級數(shù)叫做交錯級數(shù)．它的一般形式為8.2.2交錯級數(shù)及其審斂法

如果如果在任意項級數(shù)

中,正負號相間出現(xiàn),這樣的任意

或者

其中兩種級數(shù)有相同的斂散性判斷法

我們主要針對級數(shù)來證明關于交錯級數(shù)的一個審斂法定理8.6萊布尼茨(Leibniz)判別法設交錯級數(shù)

滿足：(1)

;(2)

;則級數(shù)

收斂,且其和.證明

先證前

項的和

的極限存在,將

寫成兩種形式：及

根據(jù)定理條件(1)知,所有括號中的差都是非負的，由

第一種形式可知數(shù)列

是單調增加的,由第二種形式

可知，根據(jù)單調有界數(shù)列必有極限的準則知,數(shù)列

的極限存在.

設

有

.

而

由于級數(shù)

的部分和數(shù)列

的奇數(shù)項和偶數(shù)項極限存在且相等,數(shù)列的極限存在,且有,從而證明交錯級數(shù)收斂于.例

8.2.13

判斷級數(shù)

的斂散性.分析

交錯級數(shù),利用萊布尼茲判別法.解

由于且由萊布尼茲判別法知收斂．

例

8.2.14

判斷級數(shù)的斂散性.分析

交錯級數(shù),利用萊布尼茲判別法.

解即

又

=

=0,由萊布尼茲判別法可知,級數(shù)

收斂．8.2.3

絕對收斂與條件收斂如果

發(fā)散，但

收斂，則稱級數(shù)

條件收斂.定義

8.3定理

8.7

如果級數(shù)

收斂，則級數(shù)

也收斂.

對于級數(shù),若

收斂，則稱級數(shù)

絕對收斂；

證明

令則

，且

而

收斂，

由比較審斂法知，級數(shù)

收斂，從而級數(shù)

收斂又

，由收斂級數(shù)的基本性質2知級數(shù)

收斂.例8.2.15

判別下列級數(shù)是否收斂，如果是收斂

（1）分析

利用絕對收斂和條件收斂的定義,先判斷一般項加

解(1)因為

(2)絕對值后的級數(shù)是否收斂，若收斂，則為絕對收斂，否則繼續(xù)判斷原級數(shù)的斂散性.級數(shù)，指出其是絕對收斂還是條件收斂.又因為收斂，由比較收斂法知，級數(shù)

(2)為交錯級數(shù)，容易驗證其滿足萊布尼茨判

且級數(shù)