極限函數(shù)的連續(xù)性與間斷點一、函數(shù)的連續(xù)性二、函數(shù)的間斷點三、初等函數(shù)的連續(xù)性四、小結一、函數(shù)的連續(xù)性

自然界中有很多現(xiàn)象都是連續(xù)不斷變化的，例如河流流動、車輛行駛、物體自由落體運動和植物生等．這些現(xiàn)象表現(xiàn)在函數(shù)關系上稱為函數(shù)的連續(xù)性．函數(shù)的連續(xù)性表現(xiàn)在圖像上是一條連綿不斷的曲線．假定函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，當自變量從

變到時，函數(shù)從變到，因此如果當

時，即或則稱

在點處連續(xù).定義1設函數(shù)

在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果則稱

在點處連續(xù).定義2設函數(shù)

在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果則稱

在點處連續(xù).例1證明

在其定義區(qū)間內(nèi)處處連續(xù).證明在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)任取一點，而

，從而所以

在點處連續(xù).由點的任意性可知函數(shù)在定義區(qū)間

內(nèi)處處連續(xù).則單側連續(xù)若

，則稱在點右連續(xù)；若

，則稱在點左連續(xù).

在點處連續(xù)的充分必要條件是

在點處既左連續(xù)又右連續(xù).若函數(shù)

在內(nèi)每一點處都連續(xù)，則稱在

內(nèi)連續(xù).若函數(shù)

在內(nèi)連續(xù)，并且

在點處在點處則稱

在上連續(xù).例2設函數(shù)

證明，但在點處不連續(xù).證明例2設函數(shù)

證明，但在點處不連續(xù)證明所以因此但是，則所以函數(shù)在點處不連續(xù).二、函數(shù)的間斷點

如果函數(shù)

在點的一個去心鄰域內(nèi)有定義，并且在

點處不連續(xù)，則稱在點處間斷，稱為的間斷點.（1）函數(shù)

在點處沒有定義；（2）函數(shù)

在點處的極限不存在；（3）函數(shù)

在點處的極限只要滿足以下一條，在點處間斷.又因為，如果補充定義，當時，例3函數(shù)

在點處無定義，故是間斷點因此稱

是函數(shù)的可去間斷點.則使新構造的函數(shù)在點連續(xù).例4函數(shù)

在點有定義，我們稱這樣的間斷點為可去間斷點.發(fā)現(xiàn)故是間斷點.例5函數(shù)

，在點有我們稱這樣的間斷點為跳躍間斷點.但是故是間斷點.我們稱這樣的間斷點為無窮間斷點.例6函數(shù)

，在處有故是間斷點.例7函數(shù)

，在處沒有定義,我們稱這樣的間斷點為振蕩間斷點.因此是的間斷點.我們發(fā)現(xiàn)時，的函數(shù)值總是在和之間無限多次變動,間斷點的分類：第一類間斷點：是的間斷點.在點的左右極限都存在.可去間斷點:左極限＝右極限.跳躍間斷點：左極限≠右極限.第二類間斷點：在點的左右極限中至少有一個不存在.振蕩間斷點：如在點處.無窮間斷點：左右極限中有一個趨于∞.三、初等函數(shù)的連續(xù)性1、連續(xù)函數(shù)四則運算性質定理1若函數(shù)

在點處都連續(xù)，則函數(shù)

在點處也連續(xù).例8由于函數(shù)

在內(nèi)是連續(xù)的，

所以

在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.2、反函數(shù)的連續(xù)性定理2若函數(shù)

在區(qū)間上單調(diào)增（或單調(diào)減）且

連續(xù)，則其反函數(shù)在對應的區(qū)間上也單調(diào)增（或單調(diào)減）且連續(xù).例9函數(shù)

在上單調(diào)增且連續(xù)，則其反函數(shù)

在上也是單調(diào)增且連續(xù)的.3、復合函數(shù)的連續(xù)性定理3設函數(shù)

在點處連續(xù)，函數(shù)

在點連續(xù)，則復合函數(shù)

在點處連續(xù).例10函數(shù)

在實數(shù)域內(nèi)是連續(xù)的.解函數(shù)

是由及復合而成,在上是連續(xù)的，在上是連續(xù)的，根據(jù)定理3，函數(shù)

在實數(shù)域內(nèi)是連續(xù)的.4、初等函數(shù)的連續(xù)性

基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的．再利用定理1、2、3以及初等函數(shù)的定義，可知：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的