第01講空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、表面積與體積（模擬精練+真題演練）1．（2023·北京·?？寄M預(yù)測）在2023年3月12日馬來西亞吉隆坡舉行的YongJunKLSpeedcubing比賽半決賽中，來自中國的9歲魔方天才王藝衡以4.69秒的成績打破了“解三階魔方平均用時最短”吉尼斯世界紀錄稱號.如圖，一個三階魔方由27個單位正方體組成，把魔方的中間一層轉(zhuǎn)動了SKIPIF1<0之后，表面積增加了（

）

A．54 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】如圖，

轉(zhuǎn)動了SKIPIF1<0后，此時魔方相對原來魔方多出了16個小三角形的面積，顯然小三角形為等腰直角三角形，設(shè)直角邊SKIPIF1<0，則斜邊為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，由幾何關(guān)系得：陰影部分的面積為SKIPIF1<0，所以增加的面積為SKIPIF1<0.故選：C.2．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）盲盒是一種深受大眾喜愛的玩具，某盲盒生產(chǎn)廠商要為棱長6cm的正四面體魔方設(shè)計一款正方體的包裝盒，需要保證該魔方可以在包裝盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則包裝盒的棱長最短為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】如圖SKIPIF1<0是棱長為6cm的正四面體，由題意，SKIPIF1<0，設(shè)BC的中點為M，底面SKIPIF1<0的重心為G，O為外接球的球心，則有SKIPIF1<0底面BCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0

，SKIPIF1<0，R是外接球半徑，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即正方體的最短棱長為SKIPIF1<0.故選：D.3．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考二模）如圖，在水平地面上的圓錐形物體的母線長為12，底面圓的半徑等于4，一只小蟲從圓錐的底面圓上的點P出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行一周后回到點SKIPIF1<0處，則小蟲爬行的最短路程為（

）A．SKIPIF1<0 B．16 C．24 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】如圖，設(shè)圓錐側(cè)面展開扇形的圓心角為SKIPIF1<0，則由題可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則小蟲爬行的最短路程為SKIPIF1<0.故選：A.4．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）光岳樓位于山東聊城古城中央，主體結(jié)構(gòu)建于明洪武七年（1374年），它是迄今為止全國現(xiàn)存古代建筑中最古老、最雄偉的木構(gòu)樓閣之一，享有“雖黃鶴、岳陽亦當望拜”之譽.光岳樓的墩臺為磚石砌成的正四棱臺，如圖所示，該墩臺上底面邊長約為32m，下底面邊長約為34.5m，高約為9m，則該墩臺的斜高約為（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）（

）A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m【答案】A【解析】如圖所示，設(shè)該正四棱臺為SKIPIF1<0，上下底面中心分別為SKIPIF1<0，分別取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0內(nèi)，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，顯然四邊形SKIPIF1<0是矩形，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即該墩臺的斜高約為9.1m.故選：A5．（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學?？寄M預(yù)測）樂高積木是由丹麥的克里斯琴森發(fā)明的一種塑料積木，由它可以拼插出變化無窮的造型，組件多為組合體．某樂高拼插組件為底面邊長為SKIPIF1<0、高為SKIPIF1<0的正四棱柱，中間挖去以底面正方形中心為底面圓的圓心、直徑為SKIPIF1<0、高為SKIPIF1<0的圓柱，則該組件的體積為（

）．（單位：SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因為正四棱柱的底面邊長為SKIPIF1<0、高為SKIPIF1<0，所以正四棱柱的體積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又挖去的圓柱的直徑為SKIPIF1<0、高為SKIPIF1<0，所以圓柱的SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故所求幾何體的體積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D.6．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知圓臺上下底面的半徑分別為1和2，母線長為3，則圓臺的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由圖可得，圓臺的高為SKIPIF1<0，故圓臺的體積為SKIPIF1<0.

故選：B7．（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測）攢尖是古代中國建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式．宋代稱為撮尖，清代稱攢尖．依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、六角攢尖等，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑．如圖所示，某園林建筑為六角攢尖，它的主要部分的輪廓可近似看作一個正六棱錐，若此正六棱錐的側(cè)面等腰三角形的底角為，則側(cè)棱與底面外接圓半徑的比為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】正六棱錐的底面為正六邊形，設(shè)其外接圓半徑為SKIPIF1<0，則底面正六邊形的邊長為SKIPIF1<0，因為正六棱錐的側(cè)面等腰三角形的底角為SKIPIF1<0，所以側(cè)棱長為SKIPIF1<0，所以側(cè)棱與底面外接圓半徑的比為SKIPIF1<0.故選：D8．（2023·河北張家口·統(tǒng)考三模）風箏又稱為“紙鳶”，由中國古代勞動人民發(fā)明于距今2000多年的東周春秋時期，相傳墨翟以木頭制成木鳥，研制三年而成，是人類最早的風箏起源.如圖，是某高一年上級學生制作的一個風箏模型的多面體SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，四邊形SKIPIF1<0為矩形，且SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，多面體SKIPIF1<0的體積為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】在SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因為四邊形SKIPIF1<0為矩形，可得SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以多面體SKIPIF1<0的體積為：SKIPIF1<0.故選：B.

9．（多選題）（2023·湖北黃岡·黃岡中學?？级＃┤鐖D，一個圓柱和一個圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑SKIPIF1<0相等，下列結(jié)論正確的是（

）

A．圓柱的側(cè)面積為SKIPIF1<0B．圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0C．圓柱的側(cè)面積與球面面積相等D．圓柱、圓錐、球的體積之比為SKIPIF1<0【答案】CD【解析】因為圓柱和圓錐的底面直徑和它們的高都與一個球的直徑SKIPIF1<0相等，則圓柱的側(cè)面積為SKIPIF1<0，A錯誤；圓錐的母線長SKIPIF1<0，側(cè)面積為SKIPIF1<0，B錯誤；球的表面積為SKIPIF1<0，所以圓柱的側(cè)面積與球面面積相等，C正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，D正確．故選：CD．10．（多選題）（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）沙漏，據(jù)《隋志》記載：“漏刻之制，蓋始于黃帝”．它是古代的一種計時裝置，由兩個形狀完全相同的容器和一個狹窄的連接管道組成，開始時細沙全部在上部容器中，細沙通過連接管道全部流到下部容器所需要的時間稱為該沙漏的一個沙時．如圖，某沙漏由上下兩個圓錐組成，圓錐的底面直徑和高均為6cm，細沙全部在上部時，其高度為圓錐高度的SKIPIF1<0（細管長度忽略不計）．假設(shè)該沙漏每秒鐘漏下SKIPIF1<0的沙，且細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆．以下結(jié)論正確的是（

）A．沙漏的側(cè)面積是SKIPIF1<0B．沙漏中的細沙體積為SKIPIF1<0C．細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的高度約為2.4cmD．該沙漏的一個沙時大約是837秒SKIPIF1<0【答案】BD【解析】A選項，設(shè)下面圓錐的母線長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0cm，故下面圓錐的側(cè)面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故沙漏的側(cè)面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故A錯誤；B選項，因為細沙全部在上部時，高度為圓錐高度的SKIPIF1<0，所以細沙形成的圓錐底面半徑為SKIPIF1<0cm，高為SKIPIF1<0cm，故底面積為SKIPIF1<0，所以沙漏中的細沙體積為SKIPIF1<0，B正確；C選項，由B選項可知，細沙全部漏入下部后此錐形沙堆的體積為SKIPIF1<0，其中此錐體的底面積為SKIPIF1<0，故高度為SKIPIF1<0cm，C錯誤；D選項，SKIPIF1<0秒，故該沙漏的一個沙時大約是837秒，D正確.故選：BD11．（多選題）（2023·廣東梅州·統(tǒng)考三模）已知正方體SKIPIF1<0的棱長為2，SKIPIF1<0為四邊形SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的一個動點，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上一點，若三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【解析】連接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，

因為SKIPIF1<0為四邊形SKIPIF1<0的中心，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因為三棱錐SKIPIF1<0的體積等于三棱錐SKIPIF1<0的體積，且為定值，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0為同一平面，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的交點，所以SKIPIF1<0，故A錯誤，B正確；因為正方體的棱長為2，所以SKIPIF1<0．故C正確，D錯誤．故選：BC．12．（多選題）（2023·海南·海南中學?？既＃┤鐖D所示，一個平面圖形SKIPIF1<0的直觀圖為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則下列說法中正確的是（

）

A．該平面圖形是一個平行四邊形但不是正方形B．該平面圖形的面積是8C．該平面圖形繞著直線SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)半周形成的幾何體的體積是SKIPIF1<0D．以該平面圖形為底，高為3的直棱柱的外接球直徑為SKIPIF1<0【答案】BC【解析】如圖所示:將直觀圖還原為平面圖形，

由題意可得，SKIPIF1<0，故該平面圖形為正方形，即A錯誤；面積SKIPIF1<0，即B正確；將平面圖形繞直線AC旋轉(zhuǎn)半周得幾何體為兩個圓錐，底面半徑和高均為2，故體積SKIPIF1<0，即C正確；以該平面圖形為底，高為3的直棱柱其實為長方體，且長寬高分別為SKIPIF1<0，所以長方體的體對角線長為SKIPIF1<0，即D錯誤.故選：BC13．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正四棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則其體積為.【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖正四棱臺SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即正四棱臺SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0，所以棱臺的體積SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<014．（2023·寧夏銀川·?？寄M預(yù)測）如圖（1）為陀螺實物體，圖（2）為陀螺的直觀圖，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為圓柱兩個底面圓心，設(shè)一個陀螺的外接球（圓柱上、下底面圓周與圓錐頂點均在球面上）的半徑為2，球心為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0為圓錐頂點，若圓錐與圓柱的體積比為1：6，則圓柱的體積為.

【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，過SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0作幾何體的截面，截面為五邊形SKIPIF1<0，其中四邊形SKIPIF1<0為矩形，SKIPIF1<0為等腰三角形，SKIPIF1<0．設(shè)圓柱底面半徑為SKIPIF1<0，圓錐與圓柱的高分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由題意知球心SKIPIF1<0為矩形SKIPIF1<0的中心，即為線段SKIPIF1<0的中點，因為圓錐與圓柱的體積比為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．因為陀螺的外接球的半徑為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以圓柱的體積為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.15．（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則該四面體體積的最大值為．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時，該四面體體積取得最大值，最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.

16．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，一個棱長6分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水（沒有盛滿），若將該容器任意放置均不能使容器內(nèi)水平面呈三角形，寫出的一個可能取值：.

【答案】37（答案不唯一）【解析】如圖，在正方體SKIPIF1<0中，若要使液面形狀不可能為三角形，則平面EHD平行于水平面放置時，液面必須高于平面EHD，且低于平面AFC,若滿足上述條件，則任意轉(zhuǎn)動正方體，液面形狀都不可能為三角形，設(shè)正方體內(nèi)水的體積為V，而SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0（升），SKIPIF1<0（升）所以V的取值范圍是SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<017．（2023·遼寧錦州·渤海大學附屬高級中學?？寄M預(yù)測）已知用斜二測畫法畫梯形OABC的直觀圖SKIPIF1<0如圖所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的三等分點，則四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成的空間幾何體的體積為．

【答案】SKIPIF1<0【解析】在直觀圖中，SKIPIF1<0，所以在還原圖中，SKIPIF1<0，如圖，

在直觀圖中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的三等分點，所以在還原圖中，SKIPIF1<0，D為OA的三等分點，又在直觀圖中，SKIPIF1<0軸，所以在還原圖中，SKIPIF1<0軸，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以四邊形OABC是等腰梯形，所以四邊形OABC繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的空間幾何體的體積等于一個圓臺的體積減去一個圓錐的體積，即SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0.18．（2023·山東·山東師范大學附中?？寄M預(yù)測）無人偵察機在現(xiàn)代戰(zhàn)爭中扮演著非常重要的角色，它能在萬米高空觀察敵方的地面設(shè)施和軍事力量部署．我國無偵—8（如圖1）是一款以偵察為主的無人機，它動力強勁，比大多數(shù)防空導(dǎo)彈都要快．已知空間中同時出現(xiàn)了A，B，C，D四個目標（目標與無人機的大小忽略不計），如圖2，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且目標A，B，D所在平面與目標B，C，D所在平面恰好垂直，若無人機可以同時觀察到這四個目標，則其最小偵測半徑為SKIPIF1<0．

【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖所示，三棱錐SKIPIF1<0的外接球的球心SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0上的射影就是正三角形SKIPIF1<0的外接圓圓心，記為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0①.過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0為矩形，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②.由①②解得SKIPIF1<0所以最小偵測半徑為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.

1．（2023?甲卷（文））在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是邊長為2的等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該棱錐的體積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．1 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0中，求得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．2．（2023?天津）在三棱錐SKIPIF1<0中，線段SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0和三棱錐SKIPIF1<0的體積之比為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】在三棱錐SKIPIF1<0中，線段SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，線段SKIPIF1<0上的點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0．故三棱錐SKIPIF1<0和三棱錐SKIPIF1<0的體積之比為SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．3．（2023?甲卷（理））在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為正方形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】解法一：SKIPIF1<0四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0為正方形，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0根據(jù)對稱性易知SKIPIF1<0，又底面正方形SKIPIF1<0得邊長為4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，根據(jù)余弦定理可得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．解法二：如圖，設(shè)SKIPIF1<0在底面的射影為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則根據(jù)最小角定理（三余弦定理）可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根據(jù)最小角定理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．4．（2022?北京）已知正三棱錐SKIPIF1<0的六條棱長均為6，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合．設(shè)集合SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0表示的區(qū)域的面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】設(shè)點SKIPIF1<0在面SKIPIF1<0內(nèi)的投影為點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0表示的區(qū)域是以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓，所以其面積SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．5．（2022?甲卷（文））甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為SKIPIF1<0，側(cè)面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，體積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，甲，乙兩個圓錐的側(cè)面展開圖剛好拼成一個圓，設(shè)圓的半徑（即圓錐母線）為3，甲、乙兩個圓錐的底面半徑分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，高分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．6．（2022?新高考Ⅱ）已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【解析】當球心在臺體外時，由題意得，上底面所在平面截球所得圓的半徑為SKIPIF1<0，下底面所在平面截球所得圓的半徑為SKIPIF1<0，如圖，設(shè)球的半徑為SKIPIF1<0，則軸截面中由幾何知識可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0該球的表面積為SKIPIF1<0．當球心在臺體內(nèi)時，如圖，此時SKIPIF1<0，無解．綜上，該球的表面積為SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．7．（2022?天津）如圖，“十字歇山”是由兩個直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為SKIPIF1<0，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．23 B．24 C．26 D．27【答案】SKIPIF1<0【解析】如圖，該組合體由直三棱柱SKIPIF1<0和直三棱柱SKIPIF1<0組成，且SKIPIF1<0為正方形，設(shè)重疊后的SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交點為SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，方法①：四個形狀相同的三棱錐SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的體積之和，加上正四棱錐SKIPIF1<0的體積：在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，正四棱錐SKIPIF1<0的高等于SKIPIF1<0的長，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，該組合體的體積SKIPIF1<0；方法②：兩個直三棱柱體積相加，再減去重疊部分（正四棱錐SKIPIF1<0的體積：在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，正四棱錐SKIPIF1<0的高等于SKIPIF1<0的長，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，該組合體的體積SKIPIF1<0．故選：SKIPIF1<0．8．（多選題）（2023?新高考Ⅰ）下列物體中，能夠被整體放入棱長為1（單位：SKIPIF1<0的正方體容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)的有SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．直徑為SKIPIF1<0的球體 B．所有棱長均為SKIPIF1<0的四面體 C．底面直徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的圓柱體 D．底面直徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的圓柱體【答案】SKIPIF1<0【解析】對于SKIPIF1<0，棱長為1的正方體內(nèi)切球的直徑為SKIPIF1<0，選項SKIPIF1<0正確；對于SKIPIF1<0，如圖，正方體內(nèi)部最大的正四面體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，選項SKIPIF1<0正確；對于SKIPIF1<0，棱長為1的正方體的體對角線為SKIPIF1<0，選項SKIPIF1<0錯誤；對于SKIPIF1<0，如圖，六邊形SKIPIF1<0為正六邊形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為棱的中點，高為0.01米可忽略不計，看作直徑為1.2米的平面圓，六邊形SKIPIF1<0棱長為SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0米，故六邊形SKIPIF1<0內(nèi)切圓直徑為SKIPIF1<0米，而SKIPIF1<0，選項SKIPIF1<0正確．故選：SKIPIF1<0．9．（2023?新高考Ⅰ）在正四棱臺SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該棱臺的體積為．【答案】SKIPIF1<0．【解析】如圖，設(shè)正四棱臺SKIPIF1<0的上下底面中心分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足點為SKIPIF1<0，由題意易知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0該四棱臺的體積為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0．10．（2022?上海）已知圓柱的高為4，底面積為SKIPIF1<0，則圓柱的側(cè)面積為．【答案】SKIPIF1<0