學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析一、條件概率【例1】一個家庭中有兩個小孩,假定生男、生女是等可能的，已知這個家庭有一個是女孩,問這時另一個小孩是男孩的概率是多少？解析:一個家庭的兩個小孩子只有4種可能：{兩個都是男孩｝,｛第一個是男孩,第二個是女孩｝，{第一個是女孩,第二個是男孩｝，{兩個都是女孩}.由題目假定可知這4個基本事件發(fā)生是等可能的。根據(jù)題意,設基本事件空間為Ω，A=“其中一個是女孩",B=“其中一個是男孩"，則Ω={(男，男），（男，女)，（女，男)，（女，女)｝，A=｛（男，女）,（女,男)，（女,女）｝，B={（男，男)，(男,女），(女，男)}，AB={(男，女），（女，男）｝,問題是求在事件A發(fā)生的情況下，事件B發(fā)生的概率，即求P(B｜A）.由上面分析可知P(A）=，P(AB)=。由公式②可得P（B｜A)=,因此所求條件概率為。二、事件的獨立性的應用【例2】甲、乙兩名籃球運動員分別進行一次投籃,如果兩人投中的概率都是0。6，計算：(1)兩人都投中的概率;（2）其中恰有一人投中的概率；（3)至少有一人投中的概率.思路分析:甲、乙兩人各投籃一次，甲（或乙）是否投中,對乙(或甲）投中的概率是沒有影響的，也就是說，“甲投籃一次，投中”與“乙投籃一次,投中”是相互獨立事件.因此,可以求出這兩個事件同時發(fā)生的概率。同理可以分別求出,甲投中與乙未投中，甲未投中與乙投中,甲未投中與乙未投中同時發(fā)生的概率，從而可以得到所求的各個事件的概率。解:（1）設A=“甲投籃一次，投中",B＝“乙投籃一次，投中”，則A·B＝“兩人各投籃一次,都投中”.由題意，知事件A與B相互獨立，則有P(AB）=P（A）·P(B）=0.6×0。6=0.36。(2）事件“兩人各投籃一次，恰好有一人投中”包括兩種情況:一種是甲投中、乙未投中（事件A∩發(fā)生）,另一種是甲未投中、乙投中(事件∩B發(fā)生)。根據(jù)題意,這兩種情況在各投籃一次時不可能同時發(fā)生，即事件A∩與∩B互斥,并且A與，與B各自相互獨立,因而所求概率為P（A∩)+P（∩B）=P（A）·P(B）+P（）·P(B)=0。6×(1-0。6）+（1—0.6)×0。6=0.48.（3）事件“兩人各投籃一次，至少有一人投中"的對立事件“兩人各投籃一次，均未投中”的概率是P(∩）=P(）·P（)=（1—0。6）×(1—0。6）=0.16。因此，至少有一人投中的概率為P(A∪B）=1-P(∩)=1—0。16=0.84.三、條件概率與事件獨立性的綜合應用【例3】益趣玩具廠有職工500人，男、女各占一半，男、女職工中非熟練工人分別為40人與10人，現(xiàn)從該企業(yè)中任選一名職工,試問：a。該職工為非熟練工人的概率是多少？b。若已知選出的是女職工,她是非熟練工人的概率又是多少？思路分析:題a的求解同學們已很熟,它是一般的古典概型問題.b的情況有所不同，它增加了一個附加信息，設A表示非熟練工人，B表示出的是女職工，問題b可以敘述為在已知事件B發(fā)生的條件下,求事件A發(fā)生的概率。解:設A=“非熟練工人",B=“選出的是女職工”，P（A）=,P(A｜B)=.各個擊破類題演練1在大小均勻的5個雞蛋中有3個紅皮蛋,2個白皮蛋，每次取一個,有放回地取兩次,求在已知第一次取到紅皮蛋的條件下,第二次取到紅皮蛋的概率。解析：設A=｛第一次取到紅皮蛋｝，B＝｛第二次取到紅皮蛋},則P（A)=,由于是有放回地抽取,所以P(B)=。AB＝{兩次都取到紅皮蛋}，由于第一次取一個雞蛋有5種取法，第二次取一個雞蛋也有5種取法,于是兩次共5×5種取法,其中都取到紅皮蛋的取法有3×3種.因此,兩次都取到紅皮蛋的概率為P(AB）=。所以P(B|A)=。變式提升1設A、B互斥,且P(A）〉0,則P（B｜A)=_______.若A、B相互獨立，P（A)>0，則P(B｜A)=_______.解析：A、B相互獨立,相互不影響,∴P(B｜A）=P(B）.答案:0P(B）類題演練2甲、乙兩人獨立地解開一密碼,甲完成的概率是,乙完成的概率是，則甲、乙都完不成的概率是多少？解析：A、B獨立,則A、B獨立.甲完成設為事件A，乙完成設為事件B，則P(A·B)=P(A)·P(B）=［1—P（A）]［1-P（B）］=.變式提升2分別擲兩枚均勻硬幣,令A=｛甲出現(xiàn)正面｝，B={乙出現(xiàn)正面}。驗證：事件A、B是獨立的.證明：這時樣本空間Ω={（正、正）,（正、反),(反、正),（反、反）}共含4個基本事件，它們是等可能的,它們概率均為.則A={(正、正)，（正、反）}，B=｛（正、正)，(反、正)｝,AB=｛（正、正）｝.∴P(A）=P（B)=.故P(AB)==P(A）·P(B）,∴A、B相互獨立。類題演練3某種產(chǎn)品用滿6000小時未壞的概率為75％，用滿10000小時未壞的概率為50％.現(xiàn)有這樣的一個元件,已用過6000小時未壞，求它能用10000小時的概率是多少.解析：設A=｛用滿10000小時未壞}，B={用滿6000小時未壞｝，P（B)=，P（A)=，由于AB，AB=A，因而P(AB）=P（A)=，P(A|B)=。變式提升3設某種動物由出生算起活到20歲的概率為0。8,活到25歲的概率為0。4，現(xiàn)有一個20歲的這種動物，它能活到25歲的概率是___