學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析一、隨機變量的方差與標準差的求法【例1】設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列如下表，試求EX，DX。X—101P1-2qq2思路分析：依題意,先應(yīng)按分布列的性質(zhì)，求出q的數(shù)值后，再計算出EX與DX.解析：由于離散型隨機變量的分布列滿足（1)pi≥0，i=1，2,3，…；(2)p1+p2+…+pn+…=1.故解得q=1-故X的分布列為X—101P∴EX=（-1)×+0×(-1)+1×(）=—+（—）=1—DX=［—1—(1-）］2×+（1—)2×(—1）+［1-（1—）］2×（)=（—2)2×+(—1）3+2（)=—1溫馨提示解本題時,要防止機械地套用均值與方差的計算公式，即EX=（-1)×+0×（1—2q）+1×q2=q2-;DX=[-1-(q2-）］2×+(q2—)2×（1-2q）+［1-(q2—)］2×q2這是由于忽略了隨機變量分布列的性質(zhì)所出現(xiàn)的誤解，求離散型隨機變量的均值與方差，應(yīng)明確隨機變量的分布列，若分布列中的概率值是待定常數(shù)時,應(yīng)先求出待定常數(shù)后，再求其均值與方差.二、兩點分布、二項分布的方差【例2】設(shè)一次試驗的成功率為p,進行100次獨立重復(fù)試驗,求當p為何值時,成功次數(shù)的標準差的值最大？并求其最大值。思路分析:根據(jù)題意，可知本題主要考查服從二項分布的隨機變量的標準差公式，所以解本題的關(guān)鍵就是找出幾個變量之間的關(guān)系.解：設(shè)成功次數(shù)為隨機變量X，由題意可知X—B（100,p）,那么σX=，因為DX=100p（1-p)=100p—100p2(0≤p≤1)把上式看作一個以p為自變量的一元二次函數(shù)，易知當p=時，DX有最大值25。所以的最大值為5，即當p=時,成功次數(shù)的標準差的最大值為5.溫馨提示要求成功次數(shù)標準差的最大值，就需先建立標準差關(guān)于變量p的函數(shù)關(guān)系式，另外要注意利用分布列的性質(zhì)求出定義域0≤p≤1。三、方差的應(yīng)用【例3】海關(guān)大樓頂端鑲有A、B兩面大鐘，它們的日走時誤差分別為X1、X2(單位：s），其分布列如下:X1—2-1012P0。050.050.80。050。05X2-2—1012P0。10。20.40。20.1根據(jù)這兩面大鐘日走時誤差的均值與方差比較這兩面大鐘的質(zhì)量。解：∵EX1=0，EX2=0∴EX1=EX2∵DX1=（—2—0)2×0。05+（-1-0）2×0。05+(0—0)2×0.8+（1-0)2×0.05+（2—0)2×0。05=0。5DX2=（—2-0)2×0。1+（—1-0）2×0。2+(0-0)2×0.4+(1-0）2×0.2+(2-1）2×0。1=1。2∴DX1＜DX2由上可知,A面大鐘的質(zhì)量較好。溫馨提示隨機變量X的方差的意義在于描述隨機變量穩(wěn)定與波動或集中與分散的狀況.標準差σX=則體現(xiàn)隨機變量取值與其均值的偏差，在實際問題中，若有兩個隨機變量X1、X2，且EX1=EX2或EX1與EX2比較接近時，我們常用DX1與DX2來比較這兩個隨機變量,方差值大的,則表明X較為離散，反之則表明X較為集中.同樣，標準差的值較大,則標明X與其均值的偏差較大,反之，則表明X與其均值的偏差較小。各個擊破【類題演練1】若隨機事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為2a。隨機變量ξ表示在一次試驗中發(fā)生的次數(shù).求方差Dξ的最值.解析：由題意得ξ的分布列為ξ01P1—2a2a∴Eξ=0×(1—2a)+1×2a=2a∴Dξ=(0-2a）2(1-2a）+(1—2a）2=(1-2a)2a(2a+1-2a)=2a（1—2a)=-4[a—]2+由分布列的性質(zhì)得0≤1—2a≤1且0≤2a≤1∴0≤a≤∴當a=時Dξ最大值為；當a=0或時Dξ的最小值為0?！咀兪教嵘?】某射擊手進行射擊練習，每射擊5發(fā)子彈算一組，一旦命中就停止射擊,并進入下一組的練習，否則一直打完5發(fā)子彈才能進入下一組練習，若該射手在某組練習中射擊命中一次，并且已知他射擊一次的命中率為0。8，求在這一組練習中耗用子彈數(shù)ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ與方差Dξ（保留兩位小數(shù))。解析：該組練習耗用的子彈數(shù)ξ為隨機變量，ξ可以取值為1，2，3，4，5.ξ≈1表示一發(fā)即中，故概率為P（ξ=1）=0。8ξ=2，表示第一發(fā)未中，第二發(fā)命中，故P（ξ=2）=（1—0。8）×0。8=0。16；ξ=3，表示第一、二發(fā)未中，第三發(fā)命中，故P(ξ=3）=(1-0。8）2×0。8=0。032；ξ=4，表示第一、二、三發(fā)未中,第四發(fā)命中，故P（ξ=4)=（1-0。8）3×0.8=0。0064；ξ=5，表示第一、二、三、四發(fā)未中，第五發(fā)命中，故P(ξ=5）=（1-0.8）4=0.0016，因此，它的分布列為ξ12345P0.80。160.0320.00640。0016Eξ=1×0。8+2×0.16+3×0.032+4×0。0064+5×0.0016=1。25.Dξ=（1-1。25）2×0.8+（2-1.25)2×0.16+(3-1.25)2×0.032+(4-1.25)2×0.0064+（5-1。25)2×0.0016=0.31.【類題演練2】若隨機變量A在一次試驗中發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)，用隨機變量ξ表示A在1次試驗中發(fā)生的次數(shù)。（1）求方差Dξ的最大值；（2）求的最大值.解析:隨機變量ξ的所有可能取值為0，1,并且有P（ξ=1）=p,P（ξ=0）=1—p，從而Eξ=0×(1—p）+1×p=p,Dξ=（0—p)2×(1-p)+（1-p)2×p=p-p2.(1)Dξ=p—p2=-（p—)2+,∵0＜p＜1，∴當p=時，Dξ取得最大值為。（2）=,∵0＜p＜1,∴2p+≥.當且僅當2p=,即p=時，取得最大值2—2.【變式提升2】證明：事件在一次實驗中發(fā)生的次數(shù)的方差不超過14.證明：設(shè)事件在一次試驗中發(fā)生的次數(shù)為ξ,ξ的可能取值為0或1，又設(shè)事件在一次試驗中發(fā)生的概率為p，則p(ξ=0)=1-p，P（ξ=1)=p，Eξ=0×(1-p）+1×p=p，Dξ=(1—p)·（0—p)2+p（1-p）2=p(1—p)≤(）2=。所以事件在一次試驗中發(fā)生的次數(shù)的方差不超過.【類題演練3】甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量ξ與η,且ξ、η的分布列為：ξ10987650P0。50.20。10.10.050。050η10987650P0.10.10。10。10.20。20。2計算ξ、η的期望與方差，并以此分析甲、乙的技術(shù)優(yōu)劣.解析:依題意，有Eξ=10×0。5+9×0.2+8×0。1+7×0。1+6×0。05+5×0。05+0×0=8。85（環(huán)）。Eη=10×0。1+9×0.1+8×0.1+7×0.1+6×0.2+5×0.2+0×0。2=5。6(環(huán)）.Dξ=（10—8。85）2×0。5+(9-8.85)2×0.2+(8—8.85)2×0。1×…+(5—8。85)2×0。05+(0-8。85)2×0=2.2275。Dη=(10—5.6)2×0.1+（9—5.6）2×0.1+（8-5。6)2×0.1+…+（5-5.6)2×0。2+（0—5。6）2×0。2=10.24.所以Eξ＜Eη，說明甲的平均水平比乙高，又因為Dξ＜Dη，說明甲射中的環(huán)數(shù)比較集中，比較穩(wěn)定,而乙射中的環(huán)數(shù)分散較大,技術(shù)波動較大，不穩(wěn)定,所以甲比乙的技術(shù)好.【變式提升3】現(xiàn)要從甲、乙兩個技工中選派一個參加技術(shù)比賽,已知他們在同樣的條件下每天的產(chǎn)量相等，而出次品的個數(shù)的分布列如下：次品數(shù)ξ1012P0。10。50。4甲次品數(shù)ξ20123P0。30.30.20。2乙根據(jù)以上條件，選派誰去合適？解析：Eξ1=0×0。1+1×0.5+2×0。4=1.3，Eξ2=0×0。3+1×0.3+2×0。2+3×0。2=1。3。由于Eξ1=Eξ2，所以甲技工與乙技工出現(xiàn)次品數(shù)