專題1L1相交線與平行線十八大必考點

【人教版】

【考點1同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】....................................................1

【考點2三線八角中的截線問題】..............................................................2

【考點3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進行證明】....................................................3

【考點4直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】...........................................................5

【考點5與垂線有關(guān)的角度計算或證明】.........................................................6

【考點6利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度】....................................................8

【考點7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】.........................................................9

【考點8利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】.........................................11

【考點9平行線的運用（單一輔助線）】........................................................12

【考點10平行線的運用（多條輔助線）】........................................................14

【考點11平行線在折疊問題的運用】............................................................16

【考點12平行線在三角尺中的運用】...........................................................17

【考點13平行線中的規(guī)律問題】...............................................................19

【考點|4平行線中的轉(zhuǎn)角問題】...............................................................21

【題型15生活中的平移現(xiàn)象】..................................................................22

【題型16圖形的平移】........................................................................23

【題型17利用平移的性質(zhì)求解】...............................................................24

【題型18利用平移解決實際問題】.............................................................25

【考點1同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】

【例1】（2022?河南新鄉(xiāng)?七年級期末）如圖所示，下列說法不正確的是（）

A.團1和團2是同旁內(nèi)角B.m1和（33是對頂角

C.明和（34是同位角D.團1和04是內(nèi)錯角

【變式1-1］（2022?青海?中考真題）數(shù)學(xué)課上老師用雙手形象的表示了“三線八角”圖形，如圖所示（兩大

拇指代表被裁直線，食指代表截線）.從左至右依次表示（）

A.同旁內(nèi)角、同位角、內(nèi)錯角

B.同位角、內(nèi)錯角、對頂角

C.對頂角、同位角、同旁內(nèi)角

D.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

【變式1-2］（2022?河北保定?七年級期末）如圖所示，下列說法錯誤的是（

A.（3C與131是內(nèi)錯角

B.團2與03是內(nèi)錯角

C.國A與田B是同旁內(nèi)角

D.鼬與相是同位角

【變式1?3】（2022?河南?商水縣希望初級中學(xué)七年級期末）如圖所示，同位角有a對，內(nèi)錯角有b對，同旁

內(nèi)角有c對，則a+b-c的值是

【考點2三線八角中的截線問題】

【例2】（2022?四川省廣元市寶輪中學(xué)七年級期末）如圖，已知（31和02是內(nèi)錯角，則下列表述正確的是（）

D

E

A.團1和回2是由.直線AD、AC被CE所截形成的

B.（31和（32是由直線AD、4。被8。所載形成的

C.阻和（32是由直線。4、OB被。石所載形成的

D.01和團2是由直線D4、08被AC所截形成的

【變式2?1】（2022?山東濟寧?七年級期末）如圖，乙4BD與，8。。是（）形成的內(nèi)錯角

A.直線4D、BC被直線BD所截B.直線4B、CD被直線BD所截

C.直線4B、CD被直線4C所截D.直線4。、8C被直線4c所截

【變式2-2］（2022?甘肅?隴西縣鞏昌中學(xué)七年級期末）如圖，（32與明是直線、一被第一條直線

所截形成的

【變式2-3］（2022?全國?七年級）如圖所示，從標(biāo)有數(shù)字的角中找出:

⑴直線CD和AB被直線4C所載構(gòu)成的內(nèi)錯角.

⑵直線和AC被直線所截構(gòu)成的同位角.

⑶直線AC和AB被直線BC所截構(gòu)成的同旁內(nèi)角.

【考點3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進行證明】

【例3】（2022?浙江臺州?七年級期末）如圖，已知：乙1=42,〃=〃）.求證：=

證明：0^1=z2（已知），

0II（）.

回乙4=/.BED（）.

（2乙4=4D（已知），

SZ.BED=ZD（等量代換）.

0||（）.

團,8=乙C（）.

【變式3-1］（2022?黑龍江?遜克縣教師進修學(xué)校七年級期末）如圖所示，ABWCD,直線E尸分別交AB,CD

于點G,H,HN是配）HG的平分線.

⑴如果GM是回8GE的平分線，（如圖①）試判斷并證明GM和HN的位置關(guān)系;

證明：04明ICD,

釀6GE=（兩直線平行，同位角相等.）

（3GM是I3BGE的平分線，

0==之乙BGE

-------------------------------2

田HN是（3OHG的平分線

（3==-/.DHG

-------------------------------2

團團MGE=?NHG（等量代換）

回GMRHN的位置關(guān)系是,（）.

⑵如昊GM是財GH的平分線，（如圖②）（1）中的結(jié)論還成立嗎？（不必證明）

⑶如昊GM是團BGH的平分線，（如圖③）（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果不成立，GM與A/N又有怎樣的

位置關(guān)系？請直接寫出你的猜想不必證明.

【變式3?2】（2022?遼寧葫蘆島?七年級期末）如圖已如：AB\\CD,CD\\EF,AE平分即MUAC^CE,有以

下結(jié)論：?AB^EF；@201-04=90°；③2團3-回2=180。；④陽白4=135。，其中，正確的結(jié)論有.（填序

號）

【變式3-3］（2022?廣東?廣州市第四中學(xué)七年級期末）如圖1,在四邊形A8CO中，ADIIBC,SA=0C.

⑴求證：0B=0￡＞；

（2）如圖2,點七在線段上，點G在線段AD的延長線上，連接BG,財七6=213G,求證：8G是團E8C的

平分線；

（3）如圖3,在（2）的條件下，點上在線段AD的延長線上，回EOC的平分線?！ń籅G于點H,若（MBE=66。,

求（38"。的度數(shù).

【考點4直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】

【例4】（2022?河南洛陽?七年級期末）如圖所示是蹺蹺板示意圖，橫板48繞中點。上下轉(zhuǎn)動，立柱OC與

地面垂直，當(dāng)橫板AB的A端著地時，測得404。=28。，則在玩蹺蹺板時，小明坐在A點處，他上下最大可

以轉(zhuǎn)動的角度為（）

B

A.28°B.56°C.62°D.84°

【變式4-1］（2022?山東臨沂?七年級期末）如圖將木條小b與c釘在一起，乙1=75。，要使木條a與b平

行，木條。順時針旋轉(zhuǎn)了35。，回2是（）

A.25°B.35°C.40°D.50°

【變式4?2】（2022?云南昆明?七年級期末）小明把一副三角板擺放在桌面上，如圖所示，其中邊BC,DF

在同一條直線上，現(xiàn)將三角板OE尸繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)E尸第一次與A8平行時，土CDF的度數(shù)是（

A.15°B.30°C.45°D.75°

【變式4-3］（2022?湖南永州?七年級期末）如圖，直線川I%，現(xiàn)將一個含30。角的直角三角板的銳角頂點B放

在直線L上，將三角板繞點B旋轉(zhuǎn)，使直角頂點C落在A與，2之間的區(qū)域，邊AC與直角。相交于點。，若41=

35°,則圖中的乙2的值為（）

A.65°B.75°C.85°D.80°

【考點5與垂線有關(guān)的角度計算或證明】

【例5】（2022?湖南?測試?編輯教研五七年級期末）如圖，已知用1=睡，02=03,FG幽C于G,你能說明8。

與4c互相垂直嗎？

【變式5-1］（2022?安徽合肥?七年級期末）請補充完整下列推理過程及證明過程中的依據(jù).

如圖，已知0G〃B4,EF1BC,41=42.試證明：AD1BC.

解：因為DG〃BA（已知），

所以=.

因為/I=Z2（已知），

所以（等量代換），

所以￡77/（）.

所以（兩直線平行，同位角相等）

因為EF1BC（已知），

所以NE/B=90°（）.

所以乙4D9=90。（等量代換），

所以（垂直的定義）.

【變式5-2］（2022?江蘇鹽城?七年級期末）如圖，AB1AC,垂足為4Nl=30。，zS=60°.

（1）AD與BC平行嗎？為什么？

（2）根據(jù)題中的條件，能判斷48與CO平行嗎？如果能，請說明理由：如果不能，添加一個條件，使它們

平行：不必說明理由）.

【變式5?3】（2022?全國?七年級）己知：直線MN、PQ被AB所截，且MA0PQ,點C是線段A8上一定點,

點。是射線4N上一動點，連接CD

圖1

⑴在圖1中過點。作C￡0CO,與射線交于七點.

①依題意補全圖形；

②求證：0AOC+團8EC=90。；

⑵如圖2所示，點尸是射線BQ上一動點，連接。凡0DCF=a,分別作團NDC與配下。的角平分線交于點G,

請用含有a的代數(shù)式來表示皿）GF,并說明理由.

【考點6利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度】

【例6】（2022?福建福州?七年級期末）如圖，在△ABC中，點。，E分別在A8,AC上，點F,G在上,

E尸與0G交于點O,41+乙2=180。，LB=Z.3.

⑴判斷OE與的位置關(guān)系，并證明；

⑵若乙4ED+NE尸C=118。，求乙4的度數(shù).

【變式6-1］（2022?河南漂河?七年級期末）已知：如圖，EL4=a4DE,0C=0E.

（1）若0EOC=3（3C,求團。的度數(shù);

⑵判斷BE與CO的位置關(guān)系，并證明你的猜想.

【變式6-2］（2022.廣東湛江?七年級期末［如圖所示，已知射線。叫04AC=Z.OAB=110°,￡、r在上,

且滿足匕尸08=，4。8,0￡平分“0F,根據(jù)上述條件，解答下列問題：

（1）證明：0CII4B；

⑵求，E08的度數(shù)；

⑶若立行移動AB,那么NO8C:4OFC的值是否隨之變化？若不變，求出這個比值；若變化,請說明理由.

【變式6-3］（2022?北京密云?七年級期末）已知：點C是幽OB的04邊上一點（點C不與點O重合），

點。是0AO8內(nèi)部一點，射線CO不與03相交.

圖1圖2

（1）如圖1,0408=90。，團000=120。，過點0作射線0E,使得OE〃C?（其中點E在0AO8內(nèi)部）.

①依據(jù)題意，補全圖1：

②直接寫出團BOE的度數(shù).

（2）如圖2,點尸是射線0B上一點，且點尸不與點O重合，當(dāng)乙403=履0。＜。工180。）時，過點尸作射線

FH,使得"/〃C。（其中點”在0AOB的外部），用含a的代數(shù)式表示I3OC。與魴"/的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【考點7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】

【例7】（2022?湖北武漢?七年級期末）如圖線段AB和CD表示兩面鏡子，且直線AB回直線CD,光線EF經(jīng)

過鏡子AB反射到鏡子CD,最后反射到光線GH.光線反射時，回1=團2,03=04,下列結(jié)論：①直線EF平行于

直線GH；②回FGH的角平分線所在的直線垂直于直線AB：③回BFE的角平分線所在的直線垂直于團4的角平

分線所在的直線；④當(dāng)CD繞點G順時針旋轉(zhuǎn)90時，直線EF與直線GH不一定平行，其中正確的是（）

AJ.①②③④rB.①②③C.②③D.①③

【變式7-1］（2022?江蘇宿遷?七年級期末）實驗證明：平面鏡反射光線的規(guī)律是：射到平面鏡上的光線和

被反射出的光線與平面鏡所夾的銳角相等，如圖有兩塊互相垂直的平面鏡MMNP,一束光線4B射在其中一

塊MN上，經(jīng)另外一塊NP反射，兩束光線會平行嗎？若不平行，請說明理由，若平行，請給予證明

【變式7-2］（2022?浙江杭州?七年級期末）（1）若組成N1和N2的兩條邊互相平行，且41是N2的2倍小15。,

求的度數(shù).

（2）如圖，放置在水平操場上的籃球架的橫梁EF始終平行于48,EF與上拉桿CF形成的"=145。，主柱4D

垂直于地面，通過調(diào)整CF和后拉桿的位置來調(diào)整籃筐的高度.當(dāng)4CDB=25。時，點H,D,8在同一直

線上，求NH的度數(shù).

【變式7-3］（2022?湖南?師大附中梅溪湖中學(xué)七年級期末）梅溪湖公園某處湖道兩岸所在直線（4B0CD）如

圖所示，在湖道兩岸安裝探照燈P和。，若燈P射線自力逆時針旋轉(zhuǎn)至PB便立即回轉(zhuǎn)，燈Q射線自Q。

逆時針旋轉(zhuǎn)至OC便立即回轉(zhuǎn)，每天晚間兩燈同時開啟不停交叉照射巡視.設(shè)燈P轉(zhuǎn)動的速度是10度/秒,

燈Q轉(zhuǎn)動的速度是4度/秒，湖面上點M是音樂噴泉的中心.

（1）若把燈P自力轉(zhuǎn)至PB,或者燈Q自。。轉(zhuǎn)至ac稱為照射一次，請求出P、Q兩燈照射一次各需要的

時間：

（2）12秒時，兩光束恰好在M點匯聚，求團PMQ；

（3）在兩燈同時開啟后的35秒內(nèi)，請問開啟多長時間后，兩燈的光束互相垂直？

（備用圖）

【考點8利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】

【例6】（2022?河北唐山?七年級期末）己如二角形ABC,交直線48于點K,0尸||43交直線AC于點￡>.

圖1備用圖

⑴如圖1,若點、F在邊BC上,直接寫出NB4c與NEFD的數(shù)量關(guān)系；

⑵若點尸在邊BC的延長線上，（1）中的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，給子證明；若不成立，又有怎樣的

數(shù)量關(guān)系，請在備用圖中畫出圖形并說明理由.

【變式8-1］（2022?湖北襄陽?七年級期末）如圖，已知AMIIBN,尸是射線AM上一動點（不與點A重合），

BC,8。分別平分0AB尸與團PBN,分別交射線AM于點C,D.

⑴若U=50。，求4C3D的度數(shù)；

⑵在點P的運動過程中，團加4與團8D4的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請

求山自與團瓦乂的數(shù)量關(guān)系：

⑶當(dāng)點P運動到使財C6=a4B。時，探究西8c與配）BN的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【變式8?2】（2022?安徽合肥?七年級期末）已知：直線4例￡。,經(jīng)過直線42上的定點P的直線EP交CD于點

。，點M,N為直線CO上的兩點，且點M在點。右側(cè)，點N的左側(cè)時，連接PM,PN,滿足乙MPN=々MNP.

⑵如圖2,射線PQ為乙MPE的角平分線，用等式表示乙NPQ與乙P0M之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【變式8-3］（2022?湖北孝感?七年級期末）在三角形ABC中，點O在線段AC上，DEIIBC交AB于點區(qū)

點尸在線段4B上（點尸不與點4,E,B重合），連接DF,過點。作FG1FD交射線CB于點G.

⑴如圖1,點尸在線段8E上，

①用等式表示缶EZ）尸與團BG尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②如圖，求證：/.ABC+/-BFG-/-EDF=90°；

⑵當(dāng)點尸在線段AE上時，依題意,在圖2中補全圖形，請直接用等式表示E1ED產(chǎn)與（3BG產(chǎn)的數(shù)量關(guān)系，不

需證明.

【考點9平行線的運用（單一輔助線）】

【例9】（2022?四川德陽?七年級期末）已知：AB||CD,點P、Q分別在A3、CD上，在兩直線間取一點￡

圖3

(1)如圖1,求證：LE=LAPE+LCQEx

⑵將線段EQ沿OC平移至R7,4CG尸的平分線和乙4PE的平分線交于直線AB、C。內(nèi)部一點”.

①如圖2,若/E=90。，求NH的度數(shù)；

②如圖3,若點/在直線AB、CO內(nèi)部，且P/平分4BPE,連接H/,若〃一乙H=m。,zE=n°,請直接

寫出小與〃的數(shù)量關(guān)系，不必證明.

【變式9-1](2022?廣東梅州?八年級期末)已知：^AOB=a(0°<a<90°),一塊三角板CQ七中，0CED

=90。，0CDE=30%將三角板CQE如圖所示放置，使頂點C落在。8邊上，經(jīng)過點。作直線MNH08交

OA邊于點M，且點M在點。的左側(cè).

圖2

⑴如圖1,若C￡0OA,EF^MN,團V0E=45。，求a的度數(shù);

⑵若IWOC的平分線。尸交。8邊于點兄如圖2,當(dāng)。朋OA,且a=60。時，證明：CE3OA.

【變式9?2】(2022?陜西西安?八年級期末)在綜合與實踐課上，同學(xué)們以“?個含30。的直角三角尺和兩條

平行線”為背景開展數(shù)學(xué)活動如圖1，已知兩直線a,b,且allb和直角三角形ABC,乙BCA=90°,^BAC=30°.

(1)在圖1中,01=46°,求眨的度數(shù);

⑵如圖2,創(chuàng)新小組的同學(xué)把直線。向上平移,并把國2的位置改變，發(fā)現(xiàn)匕2-41=120。，說明理由;

⑶競賽小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論的基礎(chǔ)上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3,當(dāng)AC平分團84M時，此時

發(fā)現(xiàn)電與團2又存在新的數(shù)量關(guān)系，請寫出團1與國2的數(shù)量關(guān)系并證明.

【變式9?3】（2022.遼寧葫蘆島.七年級期末）如圖1.點4在直線上，點8在直線ST上，點。在MM

ST之間，且滿足@M4C+a4C8+aS8C=360。.

⑴證明：MNHST；

⑵如圖2,若1aAe8=60。，ADWCB,點E在線段8C上，連接AE,^DAE=2XBT,試判斷團C4E與E）C4N

的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

⑶如圖3,若0AC8=45。，點E在線段BC上，連接AE,若酎必E=4回C87,直接寫出回C4E：團CAN的值.

【考點10平行線的運用（多條輔助線）】

【例10】（2022?云南普洱?七年級期末）已知三角板A8C中，^BAC=60°,（38=30°,回。=90°,長方形DEFG

中，DEIIGF.如圖（1）,若將三角板48c的頂點4放在長方形的邊G尸上，BC與OE相交于點M,AB^DE

于點N.

⑴請你直接寫出：0CAF=。，0EA/C=。.

⑵若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與OE不垂直），請你猜想田EMC與E1C4產(chǎn)的數(shù)量關(guān)系？并

說明理由.

⑶請你總結(jié)（1）,（2）解決問題的思路，在圖（2）中探究回BAG與的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

【變式10-1】（2022?湖北武漢?七年級期末）直線A3IICE,8E-EC是一條折線段，5P平分乙4BE.

圖1圖2

(1)如圖1,若BPIICE,求證：ZSFC4-ZDCF=180°；

(2)。。平分N0CE,直線5P,CQ交于點、F.

①如圖2,寫出NBEC和NBFC的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②當(dāng)點E在直線AB,CO之間時，若43￡。=40。，直接寫出4BFC的大小.

【變式10-2】(2022?廣東?新豐縣教育局教研室七年級期末)細(xì)觀察，找規(guī)律.

(1)下列各圖中的與平行.

②圖②中的乙11+4&+々13=度.

③圖③中的上力】+￡A2+々I3+^4=度?

④圖④中的4Al+2力2+4人3+4^4+45=度.

⑤第⑩個圖中的乙41+乙42+^3+…+乙411=度.

⑥第n個圖中的N&+Z-A2+Z-A3+…+44n+1=度.

(2)下列各圖中4B〃CD.

①圖甲中乙8、乙C、NBEC的數(shù)量關(guān)系是

②圖乙中乙氏乙E,NG,乙F,乙。的數(shù)量關(guān)系是.

③圖丙中/B,zF,zF,AG,Z.H,zM./C的數(shù)量關(guān)系是.

【變式10?3】（2022?北京師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)分校七年級期末）已知，如圖1,射線PE分別與直線A以

CD相交于E、尸兩點，附尸。的平分線與直線AB相交于點M,射線PM交CD于點M設(shè)團PFM=a。，^EMF

=B。，且＜80-2。+|夕-40|=0

⑵如圖2,若點G、”分別在射線M4和線段M尸上，R^MGH=^PNF,試找出囹/MN與團G”尸之間存在的

數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

⑶若將圖中的射線PM繞著端點P逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3）,分別與AB、CD相交于點M/和點N/時，作

回尸M1B的角平分線M1Q與射線產(chǎn)M相交于點Q,問在旋轉(zhuǎn)的過程中等的值是否改變？若不變，請求出其

值；若變化，請說明理由.

【考點11平行線在折疊問題的運用】

【例11】（2022?山東濰坊?七年級期末）將一張邊沿互相平行的紙條如圖折疊后，若邊AD//BC,則翻折角乙1

與m2一定滿足的關(guān)系是（）

A.乙1=242B.41+42=90°C.Z.1-Z.2=30°D.241-342=30°

【變式11-1】（2022?山東?滕州市龍泉街道滕東中學(xué)七年級期末）如圖，四邊形A8CO中，點M、N分別在

AB.BC上，將E1BMN沿MN翻折，得EIFMM若MHMO,FN^DC,則138=（）

D

iiir

A.60°B.70°C.80°D.90°

【變式11-2]（2022?全國?七年級單元測試）如圖，在三角形ABC中，0ACB=9O%將三角形ABC向下翻折,

使點A與點C重合，折痕為DE.試說明：DE0BC.

A

BC

【變式11-3】（2022?江蘇?常州市第二十四中學(xué)七年級期末）在0ABC中，（3BAC=90。，點、D是BC上一點,

將0ABD沿A。翻折后得到（MED,邊AE交8C于點F.

（1）如圖①，當(dāng)AEI3BC時，寫出圖中所有與（3B相等的角：：所有與（3C相等的角：.

⑵若配一團8=50°,（3B4O=x0（0V.H45）.

①求E1B的度數(shù)；

②是否存在這樣的x的值，使得（3DE尸中有兩個角相等.若存在，并求x的值；若不存在，請說明理由.

【考點12平行線在三角尺中的運用】

【例12】（2022?浙江寧波?七年級期末）兩塊不同的三角板按如圖1所示擺放，AC邊重合，^BAC=45°,

^-DAC=30。.接著如圖2保持三角板ABC不動，將三角板ACO繞著點C按順時針以每秒15。的速度旋轉(zhuǎn)90。后

停止.在此旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間￡=秒時，三角板AC。'有一條邊與三角板ABC的一條邊

恰好平行.

【變式12-1】（2022?河北?青縣教育局教研室七年級期末）把一副直角三角尺按如圖方式擺放，點C與點E重

合，BC邊與EF邊都在直線2上，若直線MMMC,且MN經(jīng)過點D,則4CDN=

【變式12-2】（2022?四川達州?八年級期末）一副三角板AOE和A8C按如圖1所示放置，點8在斜邊

上，其中OE=13BAC=9O°,回。=45。，0C=3O°.現(xiàn)將三角板4DE固定不動，三角板ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)

a（0°<a<180°）,使兩塊三角板至少有一組邊互相平行，如圖2,當(dāng)團B4￡）=15。時，BCIIDE,則閉BA。其

他所有可能符合條件的度數(shù)為.

【變式12-3】（2022?江蘇蘇州?七年級期末）在一次課外活動中，小明將一副直角三角板如圖放置，E在AC

上，LC=Z-DAE=90°,/-B=60°,4。=45。.小明將AAOE從圖中位置開始，繞點4按每秒6。的速度順

時針旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)過程中，第秒時，邊4B與邊DE平行.

【考點13平行線中的規(guī)律問題】

【例13】（2022?山東泰安?期末）如圖，ABWCD,點E為兩直線之間的一點

圖1圖2圖3圖4

⑴如圖1,若234￡=35。，Z.DCE=20°,則乙4EC=；

（2）如圖2,試說明，Z-BAE+LAEC+Z-ECD=360°；

（3）①如圖3,若NBAE的平分線與4DCE的平分線相交于點凡判斷乙4EC與乙4FC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②如圖4,若設(shè)NE=m,乙BAF=：乙FAE,4DCF=：乙FCE,請直接用含m、n的代數(shù)式表示NF的度數(shù).

【變式13-1】（2022?山東煙臺?七年級期末）問題情境：

如圖1,AB^CD,團以8=130。，0PCD=120°.求財PC的度數(shù).小明的思路是：過戶作/^皿從通過平行

線性質(zhì)，可得隨PCMMPE+EICPEMSOO+GOOMIIO。.

問題解決：

（1）如圖2,AB0CD,直線/分別與AB、8交于點M、N,點P在直線/上運動，當(dāng)點P在線段MN上運

動時：不與點M、N重合），^PAB=a,0PCD=p,判斷（MPC、a、B之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由；

（2）在（1）的條件下，如果點P在線段MN或NM的延長線上運動時.請直接寫出MPC、a、B之間的數(shù)

量關(guān)系；

（3）如圖3,AB^CDt點?是48、C力之間的一點（點尸在點A、C右側(cè)），連接孫、PC,4P和團0cp

的平分線交于點Q.若財PC=116。，請結(jié)合（2）中的規(guī)律，求財QC的度數(shù).

圖1圖3

【變式13-2】（2022?四川?樹德中學(xué)七年級期末）（1）如圖①，已知A8IICD,圖中乙1,42,N3之間有什

么關(guān)系？

（2）如圖②，已知ABIIC。，圖中/?1,乙2,乙3,乙4之間有什么關(guān)系？

（3）如圖③，已知A8IIC。，請直接寫出圖中乙1,N2,N3,乙4,45之間的關(guān)系

（4）通過以上3個問題，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

【變式13-3】（2022?北京市第一零一中學(xué)溫泉校區(qū)七年級期末）喜歡思考的小澤同學(xué)，設(shè)計了一種折疊紙

條的游戲.如圖1,紙條的一組對邊PN團QM（紙條的長度視為可延伸），在PN,QM上分別找一點A,B,

使得0ABM=a.如圖2,將紙條作第一次折疊，使BAT與BA在同一條直線上，折痕記為8%.

Q

解決下面的問題:

（1）聰明的小白想計算當(dāng)a=90。時，團8&N，的度數(shù)，于是他將圖2轉(zhuǎn)化為下面的幾何問題，請幫他補全

問題并求解：如圖3,PN0QM,A,B分別在PN,QM上，且（3ABM=90。，由折疊：8%平分,BM，⑦％—

求國8%”的度數(shù).

（2）嗯穎的小桐提出了一個問題：按圖2折疊后，不展開紙條，再沿ARi折疊紙條（如圖4）,是否有可

能使〃團BRi?如果能，請直接寫出此時a的度數(shù)；如果不能，請說明理由.

（3）笑笑看完此題后提出了一個問題：當(dāng)0。6490。時，將圖2記為第一次折疊：將紙條展開，作第二次折

疊，使與BRi在同一條直線上，折痕記為BR2（如圖5）；將紙條展開，作第三次折疊，使與BR?

在同一條直線上,折痕記為BR3：…以此類推.

①第二次折疊時，（用a的式子表示）；

②第n次折疊時，MRnM=（用a和n的式子表示）.

【考點14平行線中的轉(zhuǎn)角問題】

【例14]（2022?黑龍江?綏棱縣綏中鄉(xiāng)學(xué)校匕年級期末）將兩個等邊二角形（每個內(nèi)角都等于60。）如圖1

疊放在一起，現(xiàn)將團CDE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a（旋轉(zhuǎn)角0。＜1＜360。，請?zhí)骄肯铝袉栴}：

⑴如圖2,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足（TVa460。時，請寫出團5co與國4CE的關(guān)系，并說明理由；

⑵如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)角滿足60。VaW120。時，請寫出國8CE與0ACO的關(guān)系，并說明理由；

⑶當(dāng)DE〃B。時請直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù).

【變式14-1]（2022?福建泉州?七年級期末）現(xiàn)有一塊含30。角的直角三角板力。8,其直角頂點。在直線，上,

將三角板4。8繞著點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)22的度數(shù)（0。＜42V360。）.

請你解決下列問題:

⑴當(dāng)42的度數(shù)為多少時，ABWI（不必說理）；

⑵如右圖，作ACJ.2于點C,BD工1于點、D,試探究：圖中提供的字母或數(shù)字能表示的所有角（不包含該圖

中的直角）中，是否存在相等的角？若存在，試寫出所有相等的角，并說明理由；若不存在，請舉例說明.

【變式14-2】（2022?河南?溪河市邸城區(qū)邸城初級中學(xué)七年級期末）如圖1,已知PQIIMN,點4B分別

在MN,PQ上，且/BAN=45。，射線AM繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即逆時針回轉(zhuǎn)（速度是//秒），射線

8P繞點8順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即逆時針回轉(zhuǎn)（速度是67秒）、且。、〃滿足|。一3|+3-1）2=0,

（l）a=>b=；

⑵如圖2,兩條射線同時旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為/秒（tV60）,兩條旋轉(zhuǎn)射線交于點C,過C作CD1AC交PQ

于點O,求48/1C與NBCD的數(shù)量關(guān)系；

⑶若射線BP先旋轉(zhuǎn)20秒，射線AM才開始旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線力M旋轉(zhuǎn)時間為，秒（tV160）,若旋轉(zhuǎn)中AM||BP,

求，的值.

【變式14-3】（2022?浙江湖州?七年級期末）如圖1,已知直線ABIICD,zCM,V=60°,射線ME從MD出發(fā),

繞點M以每秒a度的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，到達MC后立即以相同的速度返回，到達MD后繼續(xù)改變方向，

繼續(xù)按上述方式旋轉(zhuǎn)；射線N尸從NA出發(fā)，繞點N以每秒b度的速度按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，到達NB后停止運動,

此時ME也同時停止運動.其中a,b滿足方程組｛；?廣女:，.

⑴求a,b的值；

⑵若N尸先運動30秒，然后ME一起運動，設(shè)ME運動的時間為3當(dāng)運動過程中MEIINF時，求￡的值；

（3）如圖2,若ME與N尸同時開始轉(zhuǎn)動，在ME第一次到達MC之前，ME與N尸交于點P,過點P作PQ_LME于

點P,交直線4B于點Q,則在運動過程中，若設(shè)NNME的度數(shù)為m,請求出乙NPQ的度數(shù)（結(jié)果用含m的代

數(shù)式表示）.

【題型15生活中的平移現(xiàn)象】

【例15】（2022春?浙江湖州?七年級統(tǒng)考期末）下列現(xiàn)象中屬于平移的是（）

①方向盤的轉(zhuǎn)動；②打氣筒打氣時，活塞的運動：③鐘擺的擺動；④汽車雨刷的運動

A.①②B.②③C.①②④D.②

【變式15-1】（2022春?重慶璧山?七年級校聯(lián)考期中）今年4月，被稱為“豬兒蟲”的璧山云巴正式運行.云

巴在軌道上運行可以看作是（）

A.對稱B.旋轉(zhuǎn)C.平移D.跳躍

【變式15-2】（2022春?湖北宜昌?七年級統(tǒng)考期末）如圖，兩只螞蟻以相同的速度沿兩條不同的路徑，同時

從點A出發(fā)爬到點8,只考慮路徑、時間、路程等因素，下列結(jié)論正確的為C）

A.乙比甲先到B.甲比乙先到

C.甲和乙同時到D.無法確定哪只螞蟻先到

【變式15-3]（2022春?廣東廣州?七年級統(tǒng)考期末）如圖，人民公園內(nèi)一塊長方形草地上原有一條1m寬的

筆直小路，現(xiàn)要將這條小路改造成彎曲小路，小路的上邊線向下平移1m就是它的下邊線，那么改造后小路

的面積（）

A.變大了B.變小了C.沒變D.無法確定

【題型16圖形的平移】

【例16】（2022春?內(nèi)蒙古興安盟?七年級統(tǒng)考期末）2022年，中國舉辦了第二十四屆冬季奧林匹克運動會,

如圖，通過平移吉祥物“冰墩墩〃可以得到的圖形是（）

*】

AJ

A.B.

?,

，

【變式16-1】（2022春?全國?七年級期末）卜列汽車標(biāo)志中可以看作是由某圖案平移得到的是（）

【變式16-2】（2022春?八年級單元測試）觀察下列五幅圖案，在②③④⑤中可以通過①平移得到的圖

案是：）

【題型17利用平移的性質(zhì)求解】

【例17】（2022春?廣東江門?七年級統(tǒng)考期末）如圖，長方形48co的長為8,寬A。為6,將這個長

方形向上平移3個單位，再向左平移2個單位，得到長方形EFG”,則陰影部分的面積為（）

A.30B.32C.36D.40

【變式17-1】（2022春?全國?七年級專題練習(xí)）如圖，直角三角形ABC的周長為2021,在其內(nèi)部有5個小直

角三角形，且這5個小直角三角形都有一條邊與8C平行，則這5個小直角三角形周長的和為

【變式17-2】（2022秋?山東臨沂?八年級?？计谥校┤鐖D，將△ABC沿直線力B向右平移到達ABDE的位置,

若ZCAB=55°,4ABC=100°,則NC8E的度數(shù)為

【變式17-3】（2022春?廣東韶關(guān)?七年級統(tǒng)考期中）如圖，把邊長為2的正方形的局部進行圖①~圖④的

變換，拼成圖⑤，則圖⑤的面積是（）

【題型18利用平移解決實際問題】

【例18】（2022春?北京西城?七年級北京市西城外國語學(xué)校校考期中）如圖，公園里長為20米寬為10米

的長方形草地內(nèi)修建了寬為1米的道路，則草地面積是,，平方米.

【變式18-1】（2022春?廣東東莞?七年級東莞市光明中學(xué)?？计谥校┤鐖D，某酒店重新裝修后，準(zhǔn)備在大廳

主樓梯上鋪設(shè)紅色地毯，其側(cè)面如圖所示，則需地毯一米.

【變式18-2】（2022春?全國?七年級專題練習(xí)）如圖（單位，m）,一塊長方形草坪中間有兩條寬度相等的

石子路（每條石子路間距均勻），請你求出草坪（陰影部分）的面積.

【變式18-3】（2022春?全國?七年級專題練習(xí)）圖形操作：（本題圖1、圖2、圖3中的長方形的長均為10

個單位長度，寬均為5個單位長度）

在圖1中，將線段48向上平移1個單位長度到A夕，得到封閉圖形（陰影部分）；

在圖2中，將折線4BC（其中點B叫做折線ABC的一個“折點”）向上平移1個單位長度到折線ABC得

到封閉圖形AABC'CB（陰影部分）.

Cf小路

圖1圖2國3圖4

問題解決:

⑴在圖3中，請你類似地畫一條有兩個“折點〃的折線，同樣向上平移1個單位長度，從而得到一個封閉圖

形，并用斜線畫出陰影部分：

⑵設(shè)圖L圖2中除去陰影部分后剩下部分的面積分別為品、S2,則&=平方單位；并比較大?。篠】

S2（填或"V"）；

⑶聯(lián)想與探索：如圖4.在一塊長方形草地上，有一條彎曲的柏油小路（小路的寬度是1個單位長度），長

方形的長為寬為b,請你直接寫出空白部分表示的草地的面積是平方單位.（用含小力的式

子表示）

專題1L1相交線與平行線十八大必考點

【人教版】

【考點1同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】...................................................27

【考點2三線八角中的截線問題】..............................................................29

【考點3根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)進行證明】...................................................31

【考點4直線旋轉(zhuǎn)中的平行線的判定】.........................................................37

【考點5與垂線有關(guān)的角度計算或證明】.......................................................40

【考點6利用平行線的判定與性質(zhì)計算角度1..............................................................................44

【考點7平行線的性質(zhì)在生活中的應(yīng)用】.......................................................48

【考點8利用平行線的判定與性質(zhì)探究角度之間的關(guān)系】........................................54

【考點9平行線的運用（單一犍助線）】.......................................................60

【考點10平行線的運用（多條軸助線）】.......................................................67

【考點11平行線在折疊問題的運用】............................................................76

【考點12平行線在三角尺中的運用】............................................................80

【考點13平行線中的規(guī)律問題】................................................................84

【考點14平行線中的轉(zhuǎn)角問題】................................................................92

【題型15生活中的平移現(xiàn)象】..................................................................99

【題型16圖形的平移】.......................................................................101

【題型17利用平移的性質(zhì)求解】...............................................................103

【題型18利用平移解決實際問題】.............................................................105

?力注，?三

【考點1同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的判斷】

[例1]（2022?河南新鄉(xiāng)?七年級期末）如圖所示，下列說法不正確的是（）

A.和02是同旁內(nèi)角B.團1和團3是對頂角

C.團3和回4是同位角