第1章控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.1

狀態(tài)空間描述的基本概念1.2狀態(tài)空間描述的建立1.3化高階微分方程為狀態(tài)空間描述1.4狀態(tài)空間方程的線性變換1.5傳遞函數(shù)矩陣1.6離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述1.7用MATLAB進行數(shù)學(xué)建模和模型轉(zhuǎn)換

1.1狀態(tài)空間描述的基本概念

狀態(tài)空間描述是以狀態(tài)、狀態(tài)變量、狀態(tài)空間等概念為基礎(chǔ)建立起來的，其實質(zhì)是將系統(tǒng)運動方程寫成一階微分方程組的方法。下面我們給出相關(guān)概念的定義。

1.狀態(tài)

任何一個系統(tǒng)在特定時刻都有一個特定的狀態(tài)。運動狀況可以用一組獨立的狀態(tài)來描述。以直線運動的質(zhì)點為例，每一時刻的位置和速度就是它的狀態(tài)。

2.狀態(tài)變量

狀態(tài)隨時間的變化可以用狀態(tài)變量來表征。狀態(tài)變量具有如下特點：

(1)只要知道狀態(tài)變量的初值、輸入量和描述動態(tài)系統(tǒng)的微分方程，就能完全確定系統(tǒng)的未來狀態(tài)和輸出響應(yīng)。

(2)狀態(tài)變量是為完全表征系統(tǒng)行為所必需的系統(tǒng)變量的最少個數(shù)，減少變量數(shù)將破壞表征的完全性，而增加變量數(shù)將是完全表征系統(tǒng)行為所不需要的。因此，狀態(tài)變量指的是完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小個數(shù)的一組變量。一個用n階微分方程式描述的系統(tǒng)，有n個獨立的狀態(tài)變量，常寫作x1(t)，x2(t)，…，xn(t)。當(dāng)這n個獨立變量的時間響應(yīng)都求得時，系統(tǒng)的運動狀態(tài)也就被揭示無遺了。

如前面質(zhì)點運動的例子，狀態(tài)變量就是質(zhì)點的位置函數(shù)和速度函數(shù)。需要注意的是，狀態(tài)變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部動態(tài)特性行為的變量。它可以是能直接測量或觀測的量，也可以是不能直接測量或觀測的量；可以是物理的，也可以是沒有實際物理意義的抽象的數(shù)學(xué)變量。另外，描述一個系統(tǒng)的狀態(tài)變量可以有多種不同的選擇方式，究竟選哪一組變量作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，可以視情況而定。

3.狀態(tài)向量

完全描述給定系統(tǒng)行為的n維狀態(tài)變量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)可以看做是向量x(t)的n個分量，向量x(t)就稱為狀態(tài)向量，記作或

4.狀態(tài)空間

以選擇的一組n維狀態(tài)變量x1(t)，x2(t)，…，xn(t)為

基底而構(gòu)成的n維正交空間，稱為狀態(tài)空間。系統(tǒng)在任何時刻的狀態(tài)都可以用狀態(tài)空間中的一點來表示。狀態(tài)向量x(t)在狀態(tài)空間中的變化形成一條軌跡，稱為狀態(tài)軌線。

5.狀態(tài)空間方程當(dāng)一個動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)變量確定后，由系統(tǒng)狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組稱為系統(tǒng)狀態(tài)空間方程，簡稱狀態(tài)方程。假設(shè)有一個n階的多輸入多輸出（MIMO）系統(tǒng)，具有r個輸入量u1(t)，u2(t)，…，ur(t)，它的狀態(tài)方程可寫為(1-1)

6.輸出方程

我們希望從系統(tǒng)中獲得的信息稱為輸出變量（輸出量）。系統(tǒng)輸出量與狀態(tài)變量﹑輸入量的關(guān)系寫成方

程形式就稱為輸出方程。假設(shè)n階的多輸入多輸出系統(tǒng)具有m個輸出量y1(t)，y2(t)，…，ym(t)，輸出方程可以表示為系統(tǒng)輸出方程可以表示為(1-2)式中g(shù)1，g2，…，gm為對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。輸出方程描述了系統(tǒng)外在表現(xiàn)的動態(tài)特性，反映了輸出量與系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量和外部輸入量之間的對應(yīng)關(guān)系。

7.狀態(tài)空間描述動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程的組合，稱為狀態(tài)空間描述或狀態(tài)空間表達式。如果定義向量和矩陣如下

則狀態(tài)空間描述可寫為(1-3)如果動態(tài)系統(tǒng)本身是線性的，則可得到如下方程(1-4)式中，A(t)，B(t)，C(t)，D(t)中元素隨時間而變化，稱這種系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。特別地，如果矩陣A(t)，B(t)，C(t)，D(t)中參數(shù)與時間無關(guān)，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)，此時式(1-4)可寫為方程：

(1-5)其中在狀態(tài)空間描述式（1－5）中，n×n維方陣A稱為系數(shù)矩陣，由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)決定，描述了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)變量之間的關(guān)聯(lián)情況，是系統(tǒng)中最重要的矩陣，故也稱為系統(tǒng)矩陣；n×r維矩陣B稱為輸入矩陣或控制矩陣，描述了輸入量對系統(tǒng)狀態(tài)變化的影響；m×n維矩陣C稱為輸出矩陣，描述了狀態(tài)變量和輸出變量間的線性關(guān)系；m×r維矩陣D稱為

直接傳遞矩陣，也稱關(guān)聯(lián)矩陣，描述輸入對輸出的直接影響。在很多系統(tǒng)中不存在這種直接傳遞關(guān)系，即D=0。

8.狀態(tài)空間描述的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖

狀態(tài)空間描述也可以用圖形來表示，即狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖。狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖是與狀態(tài)空間描述相對應(yīng)，描述系統(tǒng)輸入量、狀態(tài)變量和輸出量之間函數(shù)關(guān)系的一種結(jié)構(gòu)圖，它的建立有助于動態(tài)系統(tǒng)的模擬實現(xiàn)。

狀態(tài)圖只由三種基本結(jié)構(gòu)組成：積分器、加法器和放大器。其符號如圖1－1所示。

8.狀態(tài)空間描述的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖

狀態(tài)空間描述也可以用圖形來表示，即狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖。狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖是與狀態(tài)空間描述相對應(yīng)，描述系統(tǒng)輸入量、狀態(tài)變量和輸出量之間函數(shù)關(guān)系的一種結(jié)構(gòu)圖，它的建立有助于動態(tài)系統(tǒng)的模擬實現(xiàn)。

狀態(tài)圖只由三種基本結(jié)構(gòu)組成：積分器、加法器和放大器。其符號如圖1－1所示。圖1－1狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖中的三種基本結(jié)構(gòu)(a)積分器；(b)加法器；(c)放大器對于實際的狀態(tài)空間模型，可以根據(jù)狀態(tài)變量、輸入變量和輸出變量間的信息傳遞關(guān)系，畫出各變量間的結(jié)構(gòu)圖。例如對一個二階系統(tǒng)用狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖可表示為如圖1－2所示的形式。圖1－2二階系統(tǒng)的狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖對于狀態(tài)空間表達式（1－5），其狀態(tài)結(jié)構(gòu)圖可表示為如圖1－3所示的形式。圖1－3線性定常系統(tǒng)狀態(tài)圖

一般控制系統(tǒng)可分為電氣、機械、機電、液壓、熱力等類型。建立控制系統(tǒng)狀態(tài)空間描述的通常作法是根據(jù)具體系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其研究目的，確定系統(tǒng)的輸入和輸出變量；根據(jù)實際系統(tǒng)的工作機理，比如牛頓定律，基爾霍夫定律等，建立系統(tǒng)運動方程；再選擇適當(dāng)?shù)奈锢砹繛闋顟B(tài)變量，把運動方程轉(zhuǎn)換為一階微分方程組，從而建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。1.2狀態(tài)空間描述的建立圖1-4RLC電路

例1-1

確定圖1-4所示的RLC網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)空間方程。解：此系統(tǒng)有兩個獨立儲能元件，即電容C和電感L，故用二階微分方程式描述該系統(tǒng)，所以應(yīng)有兩個狀態(tài)變量?？梢栽O(shè)uc和i作為此系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量，根據(jù)電工學(xué)原理，寫出兩個含有狀態(tài)變量的一階微分方程式：

亦即取狀態(tài)變量x1=uc，x2=i，則該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

寫成向量矩陣形式為(1-6)若改選uc和作為兩個狀態(tài)變量，即令

,則該系統(tǒng)的狀態(tài)方程為即(1-7)比較式(1-6)和式(1-7)，顯然，同一系統(tǒng)，狀態(tài)變量選取的不同，狀態(tài)方程也不同。控制系統(tǒng)輸出方程中輸出量通常由系統(tǒng)任務(wù)確定或給定。如在圖1-2所示系統(tǒng)中，指定x1=uc作為輸出，用y表示，則有

y=uc

或y=x1寫成矩陣形式為

例1－2考慮如圖1－5所示的彈簧阻尼系統(tǒng)。設(shè)運動物體的質(zhì)量為m，彈簧的彈性系數(shù)為k，阻尼器的阻尼系數(shù)為μ。以系統(tǒng)所受外力為輸入u，以運動物體的位移為系統(tǒng)輸出y，試建立該系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述。例1-2

電樞控制式電機控制系統(tǒng)原理如圖1-5所示，其中R，L和i(t)分別為電樞電路的內(nèi)阻、內(nèi)感和電流，μ為電機軸的旋轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)，u(t)為電樞回路的控制電壓，Kt為電機的力矩系數(shù)，Kb為電機的反電動勢系數(shù)，J為折算到電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量。試建立電機的狀態(tài)空間方程。圖1－5彈簧阻尼系統(tǒng)原理圖

解:設(shè)位移變量為x1，速度變量為x2，由牛頓運動定律可知

u－kx1－μx2=mx2

其中,kx1為彈簧的彈力，μx2為阻尼力，x2為物體運動的加速度。寫成一階微分方程，可得另外由狀態(tài)變量的設(shè)置可知，系統(tǒng)的位移輸出y=x1

寫成狀態(tài)空間描述，即矩陣形式，有

例1－3電樞控制式電機控制系統(tǒng)原理如圖1－6所示，其中R、L和i(t)分別為電樞電路的內(nèi)阻、內(nèi)感和電流，μ為電機軸的旋轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)，u(t)為電樞回路的控制電壓，Kt為

電機的力矩系數(shù)，Kb為電機的反電動勢系數(shù)，J為折算到電機軸上的轉(zhuǎn)動慣量。試建立電機的狀態(tài)空間描述。圖1-6電樞控制式電機控制系統(tǒng)原理圖解：根據(jù)電機原理，電機轉(zhuǎn)動時，將產(chǎn)生反電動勢eb，其大小為

eb=Kbω

在磁場強度不變的情況下，電動機產(chǎn)生的力矩T與電樞電路的電流成正比，即

T=Kti(t)

根據(jù)基爾霍夫定律，電樞電路有下列關(guān)系：對于電機轉(zhuǎn)軸，根據(jù)牛頓定律，有取電樞回路電流i(t)、轉(zhuǎn)角θ及其電機軸角速度ω為系統(tǒng)的三個狀態(tài)變量x1，x2，x3，取電機軸轉(zhuǎn)角θ為系統(tǒng)輸出，電樞控制電壓u(t)為系統(tǒng)輸入，于是有

或這是一個三階系統(tǒng)。

如果我們對電機軸轉(zhuǎn)角θ不感興趣，在本例中我們可以取電樞電路電流i(t)及電機軸角速度ω為系統(tǒng)的兩個狀態(tài)變量x1，x2，取電機軸角速度ω為系統(tǒng)輸出，電樞控制電壓u(t)為系統(tǒng)輸入，于是有或這是一個二階系統(tǒng)。例1-4

設(shè)有一倒立擺安裝在馬達驅(qū)動車上，如圖1-7所示?？刂屏作用于小車上。假設(shè)倒立擺只在圖1-7所在的平面內(nèi)運動，擺桿的重心就是擺球的重心，試求該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。圖1-7倒立擺系統(tǒng)解：設(shè)小車和擺桿的質(zhì)量分別為M和m，擺桿長為l，所以擺桿重心的水平位置為x+lsinθ，垂直位置為lcosθ。按照物理定律，擺桿和小車的運動方程如下：

擺桿的轉(zhuǎn)動方程：

式中J為擺桿的轉(zhuǎn)動慣量。擺桿重心的水平運動：擺桿重心的垂直運動：小車的水平運動：因為我們必須保持倒立擺垂直，所以可假設(shè)θ(t)和的量值很小，因而使得sinθ=0，cosθ=1，并且，擺桿的幾個運動方程可以被線性化。線性化后的方程為由于擺桿的轉(zhuǎn)動慣量很小，可看做J=0。由以上方程，可以推導(dǎo)出系統(tǒng)微分方程數(shù)學(xué)模型：從以上兩式中分別消去和后得到方程(1-8)若定義狀態(tài)變量x1、x2、x3、x4為(1-9)則以擺桿繞點P的轉(zhuǎn)動角度θ和小車的位置x作為系統(tǒng)的輸出量，有：根據(jù)方程組(1-8)和(1-9)，可以得到或1.1.3化高階微分方程為狀態(tài)空間方程

一個系統(tǒng)常常用微分方程描述輸入輸出關(guān)系。在選取合適的狀態(tài)變量后，微分方程可以轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間方程。我們把微分方程分成兩種情況來討論：

(1)微分方程中不含有輸入信號導(dǎo)數(shù)項的情況：(1-10)畫出其狀態(tài)圖如圖1-8所示。1.3化高階微分方程為狀態(tài)空間描述圖1-8微分方程中不含有輸入信號導(dǎo)數(shù)項時的狀態(tài)圖選取每個積分器的輸出

為狀態(tài)量x1，x2，x3，…，xn，即有

(1-11)寫成矩陣形式，即為式(1-11)中系數(shù)矩陣A的形式比較特殊，其特點是主對角線上方的元素一律為1，在最下面一行的元素可以為任意值，其余元素都為0。這種形式的矩陣稱為友矩陣，在控制理論中經(jīng)常遇到。

例1-5

將高階微分方程變換為狀態(tài)空間方程。

解：由式(1-10)可知a0=6，a1=11，a2=6，b0=6，代入式(1-11)可得

(2)微分方程中含有輸入信號導(dǎo)數(shù)項的情況：(1-12)為了使系統(tǒng)狀態(tài)方程中不出現(xiàn)u的導(dǎo)數(shù)項，狀態(tài)變量可以這樣選擇：整理后可得到畫出其狀態(tài)圖如圖1-9所示。圖1-9微分方程中含有輸入信號高階導(dǎo)數(shù)項時的狀態(tài)圖(1-13)式中β0，β1，…，βn是待定系數(shù)，可以由遞推公式求出。為簡便起見，寫成矩陣形式：(1-14)例1-6

已知高階微分方程試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。解：由原式可知a0=640，a1=192，a2=18，b0=640，b1=160，代入式(1-14)得可解得于是由公式(1-13)可寫出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為實際上，由于采用該方法較為繁瑣，通常的做法是將微分方程轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)，再由傳遞函數(shù)來實現(xiàn)。

1.4狀態(tài)空間方程的線性變換

1.4.1狀態(tài)向量線性變換

對于一個給定的定常系統(tǒng)，由于狀態(tài)變量選取的不同，狀態(tài)空間方程也就不同，但它們描述了同一個線性系統(tǒng)，因此在各狀態(tài)空間方程所選取的狀態(tài)向量之間，實際上存在著一種向量的線性變換關(guān)系。

1.等價系統(tǒng)方程

設(shè)給定系統(tǒng)為(1-15)我們總可以找到任意一個非奇異矩陣P，將原狀態(tài)向量x作線性變換，得到另一狀態(tài)向量，設(shè)變換關(guān)系為即，代入式(1-15)，得到新的狀態(tài)空間方程(1-16)其中，，，D=D。這里可以將非奇異矩陣P稱為變換矩陣。從幾何意義上來說，向量之間的線性變換，實際上是變換前后各向量所處的坐標(biāo)系之間的變換。也就是說，通過線性變換x=Px，

原狀態(tài)向量x變換為新坐標(biāo)系中的狀態(tài)向量x，但系統(tǒng)的特征和性質(zhì)并沒有改變。

因此方程（1－16）可稱為原系統(tǒng)方程（1－15）的等價方程。由于P的選擇非唯一，故等價的系統(tǒng)方程也不是唯一的。就可以將式（1－6）變?yōu)槭剑?－7）。

2.線性變換的特性

對于線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)的特征值是一個重要概念，它決定了系統(tǒng)的基本特性。通常常數(shù)λ與單位矩陣的乘積和系數(shù)矩陣之差的行列式稱為特征多項式，即(1-17)該特征多項式的根稱為特征值。對于式(1-15)表示的線性變換前的系統(tǒng)，特征值為|λI－A|=0的根。對于式(1-16)表示的線性變換后系統(tǒng)的特征值為的根，而說明線性變換不改變狀態(tài)方程的特征值，故有等價變換之稱。1.4.2化系數(shù)矩陣A為對角標(biāo)準(zhǔn)形

定理1-1

對于式(1-15)所示的線性定常系統(tǒng)，當(dāng)矩陣A特征值λ1，λ2，…，λn互異時，每一個特征值對應(yīng)一個特征向量，則矩陣A共有n個獨立的特征向量。即

Aqi=λiqi

或(λI－A)qi=0(i=1，2，…，n)(1-18)

此時，令Q=［q1

q2…qn］，取變換矩陣

P=Q－1=［q1

q2…qn］－1

(1-19)

通過變換，可以將A矩陣化為對角標(biāo)準(zhǔn)形Λ：

(1-20)...00例1-7

已知線性定常系統(tǒng)將此狀態(tài)方程化為對角標(biāo)準(zhǔn)形。

解：(1)求系統(tǒng)特征值：可解得A的特征值為λ1=2，λ2=－1，λ3=1。

(2)確定非奇異變換陣P：

當(dāng)λ1=2時，當(dāng)λ2=－1時，當(dāng)λ3=1時，同理可得q3=［101］T。所以可求出線性變換矩陣P(3)求線性變換后的狀態(tài)方程：所以對角標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)方程為定理1-2

對線性定常系統(tǒng)，如果其特征值λ1，λ2，…，λn互異，且系數(shù)A矩陣是友矩陣，即(1-21)則將矩陣A可化為對角標(biāo)準(zhǔn)形。這時由n個獨立的特征向量構(gòu)成的矩陣Q為一個范德蒙矩陣，其形式為(1-22)這時對應(yīng)的線性變換矩陣P=Q－1。例1-8

已知線性定常系統(tǒng)將此狀態(tài)方程化為對角線標(biāo)準(zhǔn)形。

解：(1)求系統(tǒng)特征值：可解得A的特征值為λ1=2，λ2=1，λ3=－1。

(2)確定非奇異變換陣P：由于系統(tǒng)特征值互異，且系數(shù)矩陣為友矩陣，故可由定理1-2求出非奇異變換陣P為

(3)求線性變換后的狀態(tài)方程

所以對角標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)方程為定理1-3

對于式(1-15)所示的線性定常系統(tǒng)，當(dāng)矩陣A具有重特征值，但A獨立的特征向量的個數(shù)仍然為n個時，這時可以通過變換，將矩陣A化為對角標(biāo)準(zhǔn)形。

例1-9

已知矩陣，試化A為對角標(biāo)準(zhǔn)形.

解：(1)求系統(tǒng)特征值：

可解得A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=2，有重根。

(2)確定非奇異變換陣P:

當(dāng)λ1，2=1時，可得q31=0，q11和q21可取任意值。令q11=1，q21=0及q11=0，q21=1，可得到兩組線性無關(guān)解，故對應(yīng)λ1，2=1有兩個獨立的特征向量：當(dāng)λ3=2時，由于系統(tǒng)有3個獨立特征向量，故原系統(tǒng)狀態(tài)空間方程可化為對角標(biāo)準(zhǔn)形。對應(yīng)線性變換陣P可求出為

(3)化對角標(biāo)準(zhǔn)形：1.4.3化系數(shù)矩陣A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形

定理1-4

當(dāng)矩陣A具有m個重特征值，且對應(yīng)于每個互異的特征值，只存在一個獨立的特征向量時，則必存在一個非奇異矩陣P，將矩陣A化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：(1-23)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形J是由約當(dāng)塊Ji組成的準(zhǔn)對角線矩陣。約當(dāng)塊Ji形式為由定理1-4可知，對角陣是一種特殊形式的約當(dāng)矩陣。

為了將一般形式的矩陣A化成式(1-23)形式的約當(dāng)矩陣，必須確定變換矩陣P。其求法如下：假設(shè)系統(tǒng)有n個重特征值，設(shè)為λ1，對應(yīng)特征向量為q1，q2，…，qn。由特征向量的定義，得到將上式展開，可得到可改寫為(1-24)利用方程組(1-24)可以求出n重特征值對應(yīng)的特征向量。其中q2，q3，…，qn稱為對應(yīng)于λ1的廣義特征向量。此時變換矩陣為

(1-25)此法可推廣到多個重特征值的情況。假定n×n矩陣A有m重特征值λ1，n－m個互異特征值λm+1，…，λn－1，λn。為確定線性變換矩陣，可以按上述方法求出對應(yīng)于λ1的m個特征向量q1，q2，…，qm。按前面求對角標(biāo)準(zhǔn)形的方法求出其余對應(yīng)于λm+1,…,λn－1，λn的(n－m)個特征向量qm+1，…，qn－1，qn。故對應(yīng)線性變換矩陣為(1-26)

例1-10

已知矩陣，試化A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。

解：(1)求系統(tǒng)特征值：

可解得A的特征值為λ1=λ2=1，λ3=2。

(2)確定非奇異變換陣P：當(dāng)λ1，2=1時，再將q1代入［λI－A］q2=－q1，有

當(dāng)λ3=2時，所以有

(3)化約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：

定理1-5

如果n×n矩陣A有n重特征值λ1，且為友矩陣，則將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的非奇異矩陣P=Q－1，矩陣Q的形式為(1-27)

如果A為友矩陣，且有m重特征值λ1，(n－m)個互異特征值λm+1，…，λn－1，λn，則將系統(tǒng)狀態(tài)方程化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的非奇異矩陣P=Q－1，矩陣Q的形式為(1-28)

例1-11

已知矩陣，試化矩陣A為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。

解：(1)求系統(tǒng)特征值：可解得A的特征值為λ1=λ2=λ3=－1。

(2)確定非奇異變換陣P：系統(tǒng)有三重特征值，且系數(shù)矩陣為友矩陣，按照式(1-28)可求出變換陣：

(3)化約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形：

1.5傳遞函數(shù)矩陣

線性定常系統(tǒng)初始松弛(初始條件為零)時，輸出量的拉普拉斯變換與輸入量的拉普拉斯變換之比稱為傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程和傳遞函數(shù)是對同一系統(tǒng)的不同數(shù)學(xué)描述，因此可以相互轉(zhuǎn)換。1.5.1由狀態(tài)空間方程轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)矩陣

設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為對上式進行拉普拉斯變換，得化簡后為令初始條件為零，即x(0)=0，有則系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣表達式為(1-29)若系統(tǒng)是單輸入單輸出系統(tǒng)，則Gyu(s)的形式和古典控制理論中的傳遞函數(shù)一樣。

例1-12

系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：利用式(1-29)可求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，可先求出(sI－A)－1。其中，adj(sI－A)表示(sI－A)的伴隨陣；det(sI－A)表示(sI－A)的行列式。代入式(1-29)，可得若系統(tǒng)為r個輸入m個輸出的系統(tǒng)，Gyu(s)是一個m×r矩陣，則系統(tǒng)輸出向量對輸入向量的傳遞函數(shù)矩陣為(1-30)其中各元素gij(s)都是標(biāo)量函數(shù)，它表征第j個輸入對第i個輸出的傳遞關(guān)系。當(dāng)i≠j時，意味著不同標(biāo)號的輸入與輸出又相互關(guān)聯(lián)，稱為耦合關(guān)系，這正是多變量系統(tǒng)的特點。例1-13

試將下列系統(tǒng)狀態(tài)方程變換為傳遞函數(shù)。解：1.5.2子系統(tǒng)串并聯(lián)與閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣

工程中較為復(fù)雜的系統(tǒng)，通常是由多個子系統(tǒng)按照某種方式組合而成的。通常組合的形式有并聯(lián)、串聯(lián)和反饋三種，以下僅以兩個子系統(tǒng)組合連接為例，推導(dǎo)其等效的傳遞函數(shù)矩陣。

1.子系統(tǒng)串聯(lián)

子系統(tǒng)G1(s)和G2(s)串聯(lián)連接如圖1-10所示，前一個子系統(tǒng)的輸出是后一個子系統(tǒng)的輸入。串聯(lián)后系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣可推導(dǎo)如下：所以串聯(lián)后等效傳遞函數(shù)為(1-31)

可見，兩個子系統(tǒng)串聯(lián)時，系統(tǒng)等效的傳遞函數(shù)陣等于兩個子系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣的乘積。注意G2(s)G1(s)的相乘次序是不能隨意改變的，應(yīng)從輸出端依次向前排列。圖1-10子系統(tǒng)串聯(lián)

2.子系統(tǒng)并聯(lián)

子系統(tǒng)G1(s)和G2(s)并聯(lián)連接如圖1-11所示。所謂并聯(lián)連接，是指各子系統(tǒng)的輸入皆相同，輸出是各子系統(tǒng)輸出的代數(shù)和，且各輸出的維數(shù)都一致。圖1-11子系統(tǒng)并聯(lián)由圖1-11

.可知：所以并聯(lián)后等效傳遞函數(shù)為(1-32)

可見，兩個子系統(tǒng)并聯(lián)時，系統(tǒng)等效的傳遞函數(shù)陣等于兩個并聯(lián)子系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣之和。按矩陣加法，顯然應(yīng)要求傳遞函數(shù)陣G1(s)和G2(s)有完全相同的維數(shù)。

3.具有輸出反饋的閉環(huán)系統(tǒng)

子系統(tǒng)G0(s)和H(s)構(gòu)成的反饋連接如圖1-12所示。圖1-12子系統(tǒng)反饋下面推導(dǎo)閉環(huán)系統(tǒng)等效傳遞函數(shù)陣Gyu(s)。(1-33)整理得故所以并聯(lián)后等效傳遞函數(shù)為(1-34)另外，由式(1-33)還可以作如下不同的整理，即即所以并聯(lián)后等效傳遞函數(shù)也可以寫為(1-35)應(yīng)該強調(diào)，在反饋連接的組合系統(tǒng)中，［I+G0(s)H(s)］－1或［I+H(s)G0(s)］－1存在的條件是至關(guān)重要的。否則反饋系統(tǒng)對于某些輸入就沒有一個滿足式(1-34)或式(1-35)的輸出。就這個意義來說，反饋連接就變得無意義了。另外在使用式(1-34)或式(1-35)求傳遞函數(shù)時，切不可將矩陣相乘順序任意顛倒。例1-14

已知系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1-13所示，求該組合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。圖1-13系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：該系統(tǒng)可看做兩個子系統(tǒng)反饋連接。由圖可知，

由式(1-34)可得或者由式(1-35)可得

1.6離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

以上各節(jié)討論的系統(tǒng)均為連續(xù)系統(tǒng)，實際生產(chǎn)生活中還存在另一種變量定義在離散時間上的系統(tǒng)，即離散系統(tǒng)。一般的計算機控制系統(tǒng)或采樣控制系統(tǒng)多屬離散控制系統(tǒng)。本節(jié)討論線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程和脈沖傳遞函數(shù)矩陣。1.6.1離散系統(tǒng)狀態(tài)空間方程

為了方便起見，假定離散時間是等間隔的，采樣周期為T。用u(k)代表u(kT)，y(k)代表y(kT)，k=0，1，2，…，分別表示系統(tǒng)的輸入序列和輸出序列。線性定常離散系統(tǒng)動態(tài)方程一般形式為(1-36)離散系統(tǒng)一般用差分方程表示其輸入輸出信號的關(guān)系，下面分兩種情況討論由差分方程建立狀態(tài)空間方程的方法。

1.差分方程中不含輸入量差分項(1-37)依次選取y(k)，y(k+1)，y(k+2)，…，y(k+n－1)為狀態(tài)變量，采用和1.1.3節(jié)線性連續(xù)系統(tǒng)相同的分析方法，可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(1-38)例1-15

將高階微分方程變換為狀態(tài)空間方程。解：

a0=6，a1=11，a2=6，b0=6，由式(1-38)可得

2.差分方程中含有輸入信號的差分項

(1-39)同樣采用和1.1.3節(jié)線性系統(tǒng)相同的分析方法，可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程為(1-40)式中β0，β1，…，βn同樣可由式(1-14)求取。

例1-16

已知高階微分方程試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。

解：由原式可知a0=1，a1=3，a2=4，b0=3，b1=1，b2=2，b3=1，代入式(1-14)得可解得于是由公式(1-40)可得系統(tǒng)狀態(tài)空間方程為1.6.2脈沖傳遞函數(shù)矩陣

對于描述線性定常離散系統(tǒng)的差分方程，通過Z

變換，在系統(tǒng)初始松弛時，可求出系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。而當(dāng)給出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程時，通過Z變換也可以得到脈沖傳遞函數(shù)矩陣。

將方程(1-36)進行Z變換得

如果[zI－G]－1存在，則可求出狀態(tài)解(1-41)當(dāng)初始松弛時，有x(0)=0，代入式(1-41)有系統(tǒng)輸出為定義系統(tǒng)輸出量對輸入向量的m×r型脈沖傳遞函數(shù)矩陣為(1-42)

例1-17

已知線性定常離散系統(tǒng)方程為求其脈沖傳遞函數(shù)矩陣。

解：由式(1-42)可知

1.7用MATLAB進行數(shù)學(xué)建模和模型轉(zhuǎn)換

MATLAB是美國MathWorksInc.開發(fā)的一個用于科學(xué)和工程計算的大型綜合軟件，具有強大的數(shù)值計算和工程運算功能，完美的圖形可視化數(shù)據(jù)處理能力，標(biāo)準(zhǔn)的開放式可擴充結(jié)構(gòu)，極多的工具箱。目前在工程和非工程領(lǐng)域的科研、教學(xué)和開發(fā)中已得到廣泛的應(yīng)用。對控制領(lǐng)域，MATLAB是應(yīng)用最廣的首選計算機工具。在本節(jié)中，將介紹在自動控制系統(tǒng)設(shè)計和分析中所用到的MATLAB的一些基礎(chǔ)知識。1.7.1MATLAB簡介

1.使用MATLAB的窗口環(huán)境

MATLAB是一個高度集成的語言環(huán)境，在它的窗口環(huán)境中可以編寫、運行并跟蹤調(diào)試程序?；窘缑嫒鐖D1-14所示。圖1-14MATLAB的窗口環(huán)境

1)MATLAB命令窗口

MATLAB安裝好之后，雙擊MATLAB圖標(biāo)，就可以進入命令窗口，此時意味著系統(tǒng)處于準(zhǔn)備接受命令的狀態(tài)，可以在命令窗口中直接輸入命令語句。MATLAB的命令窗口是工作的主要窗口。

MATLAB的菜單命令由File、Edit、View、Window、Help這幾組命令組成。通過菜單命令可以完成保存工作空間中變量，打開M文件編輯/調(diào)試器等操作。

工具欄是MATLAB為用戶提供的常用命令的快捷方式。當(dāng)前路徑是MATLAB搜索命令和函數(shù)的路徑，可以通過當(dāng)前路徑瀏覽器來重新設(shè)置或改變當(dāng)前路徑。

2)MATLAB命令、函數(shù)和文件

MATLAB的程序類型包括腳本文件和函數(shù)(function)文件，它們都是以“.m”為擴展名的文本文件。腳本文件是一些MATLAB的命令和函數(shù)的組合，類似DOS下的批處理文件。函數(shù)文件是有輸入輸出參數(shù)的M文件。函數(shù)接受輸入?yún)?shù)，然后執(zhí)行并輸出結(jié)果。用help命令可以顯示它的注釋說明。文件名必須與函數(shù)名一致。在MATLAB窗口中創(chuàng)建M文件，可以從File菜單中選擇New及Mfile項。這個過程打開一個文本編輯窗口用于輸入MATLAB命令。在其它平臺上也很容易打開一個獨立的終端窗口，選用用戶最熟悉的文本編輯器來生成M文件。M文件中的命令可訪問MATLAB工作空間中的所有變量，且M文件中的變量也成為工作空間的一部分。M文件執(zhí)行時，echoon告訴MATLAB在其讀入和運行時將命令顯示在窗口上，echooff關(guān)閉前述功能。

3)MATLAB使用幫助

MATLAB的命令和函數(shù)很多，容易遺忘。這時可以用help或lookfor加函數(shù)名的方式獲取幫助，也可以打開幫助窗口求助，另外還可以打開示例窗口學(xué)習(xí)。

2.MATLAB基本數(shù)學(xué)運算

1)MATLAB的變量、表達式和運算符

MATLAB的變量不需要在使用前聲明，并且會自動給變量分配適當(dāng)?shù)膬?nèi)存。MATLAB的變量必須用字母開頭，由字母、數(shù)字和下劃線組成(字母區(qū)分大小寫)。

MATLAB的表達式由運算符、變量、函數(shù)和數(shù)字組成。格式形式有兩種：一種是在提示符后直接輸入表達式，運算后的結(jié)果系統(tǒng)會自動地賦給變量ans，并顯示在屏幕上。ans是默認的變量名，會在以后類似的操作中被覆蓋掉；另一種格式是變量＝表達式，等號右側(cè)計算后結(jié)果賦給等號左側(cè)的變量后放入內(nèi)存中并顯示在屏幕上。在運算式中，MATLAB通常不需要考慮空格；多條命令可以放在一行中，它們之間需要用分號隔開。在表達式的末尾加上分號則表示禁止結(jié)果顯示。

表達式在MATLAB中占了很重要的地位，幾乎所有操作都必須借助表達式來進行。

MATLAB的運算符有三種類型：算術(shù)運算符、關(guān)系運算符、邏輯運算符。它們的處理順序依次為算術(shù)運算符、關(guān)系運算符、邏輯運算符。主要的算術(shù)運算符有：＋(加法)、－(減法)、∧(冪)、*(乘)、/(左除)、\(右除)等；關(guān)系運算符有：<(小于)、>(大于)、<=(小于等于)、>=(大于等于)、==(等于)、~=(不等于)等；邏輯運算符有：&(與)、|(或)、~(非)。

2)矩陣的輸入

MATLAB以矩陣為基本運算單元。矩陣輸入時，整個矩陣以方括號［］作為首尾，行和行之間必須以分號或Enter鍵分隔，每行中元素用逗號或空格分隔。

例1-18

輸入矩陣

>>B=［1234；5678；9101112］

回車后得到：

B=

1234

5678

91011121.7.2控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

1.連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)描述

連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有兩種表示形式，即有理函數(shù)形式和零極點形式。

1)有理函數(shù)形式的傳遞函數(shù)模型表示

式中s的系數(shù)均為常數(shù)，且a0不等于零，這時系統(tǒng)在MATLAB中可以方便地由分子和分母系數(shù)構(gòu)成的兩個向量唯一地確定出來，這兩個向量分別用num和den表示，當(dāng)然也可以用其它變量表示。

num=［b0，b1，b2，…，bm－1，bm］

den=［a0，a1，a2，…，an－1，an］

注意：它們都是按s的降冪進行排列的。

由函數(shù)tf(num，den)可輸入并顯示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。

>>num=［211］；den=［4213］；%輸入傳遞函數(shù)模型

>>tf(num，den)％構(gòu)造出有理函數(shù)形式的傳遞對象％用來檢驗輸入是否正確輸出結(jié)果為Transferfunction:2s∧2+s+1----------------------------4s∧3+2s∧2+s+3例1-19

試用MATLAB輸入系統(tǒng)傳遞函數(shù)

2) 零極點形式的傳遞函數(shù)模型表示

可以采用下面的語句輸入：

z=［z1，z2，…，zm］

p=［p1，p2，…，pn］

k=［K］

變量z、p、k分別是系統(tǒng)的零點、極點和增益向量。

由函數(shù)zpk(z，p，k)可輸入并顯示出零極點形式的傳遞函數(shù)。例1-20

試用MATLAB輸入系統(tǒng)傳遞函數(shù)

>>p=[－2－3－4]；k=5；z=［-1］；％輸入傳遞函數(shù)模型

>>zpk(z，p，k)％用zpk()函數(shù)可構(gòu)造出零極點形式的

%傳遞函數(shù)用來檢驗輸入是否正確輸出結(jié)果為 Zero/pole/gain: 5(s+1) -------------------- (s+2)(s+3)(s+4)

3)多變量系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣

多變量系統(tǒng)，只需要先輸入矩陣的各個子傳遞函數(shù)矩陣，再按照常規(guī)矩陣的方式輸入整個傳遞函數(shù)矩陣。

例1-21

試用MATLAB輸入一個多變量傳遞函數(shù)矩陣>>g11=tf(1，［1-32］)；%輸入傳遞函數(shù)陣各個元素>>g12=tf(4，［1-32］)；>>g21=tf(［11］，［1-32］)；>>g22=tf(［2-5］，［1-32］)；>>G=［g11，g12；g21g22］；%由各個元素構(gòu)成傳遞函數(shù)陣

2.狀態(tài)空間描述

對狀態(tài)方程

在MATLAB中，用(A，B，C，D)矩陣組表示。由函數(shù)ss()可輸入并顯示出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程。例1-21

試用MATLAB輸入系統(tǒng)

>>A=[16910；31268；47911；5121314]；%輸入傳遞函數(shù)模型

>>B=[46；24；22；10]；C=[0021；8022]；D=0；

>>ss(A，B，C，D)％用ss()函數(shù)構(gòu)造出系統(tǒng)狀態(tài)空間方程

％用來檢驗輸入是否正確

輸出結(jié)果為a=

x1x2x3x4

x116910

x231268

x347911

x45121314

b=

u1u2

x14

6

x22

4

x32

2

x41

0

c=

x1x2x3x4

y10021

y28022

d=

u1u2

y100

y200

Continuoustimemodel

3.離散時間系統(tǒng)模型

(1)離散傳遞函數(shù)模型通常可表示為和連續(xù)傳遞函數(shù)模型一樣，只需要分別按要求輸入系統(tǒng)分子和分母多項式系數(shù)，就可以利用tf()函數(shù)將其輸入到MATLAB環(huán)境中。唯一的區(qū)別是，同時還需要輸入系統(tǒng)的采樣周期T。具體語句如下：

num=[b0，b1，b2，…，bm－1，bm] den=[a0，a1，a2，…，an－1，an] G=tf(num，den，′Ts′，T)，T即是確定的采樣周期，輸入離散傳遞函數(shù)模型例1-23

假設(shè)離散系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為且已知系統(tǒng)的采樣周期T=0.1s。試輸入MATLAB模型。

>>num=[6－0.6－0.12]；den=[1－10.250.25－0.125]；

>>G=tf(num，den，′Ts′，0.1)結(jié)果為Transferfunction:

6z∧2－0.6z－0.12

--------------------------------------------------

z∧4－z∧3+0.25z∧2+0.25z－0.125

Samplingtime:0.1

(2)離散狀態(tài)方程模型可表示為

x(k+1)=Gx(k)+Bu(k)

y(k)=Cx(k)+Du(k)

可以看出，該模型的輸入應(yīng)該和連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程一樣，只需要輸入G、B、C、D矩陣，就可以用下列格式將其輸入到MATLAB工作空間中。

H=tf(G，B，C，D，′Ts′，T)1.7.3模型的轉(zhuǎn)換

1.不同模型之間轉(zhuǎn)換

在一些場合下需要用到某種模型，而在另外一些場合下可能需要另外的模型，這就需要進行模型的轉(zhuǎn)換。模型轉(zhuǎn)換的函數(shù)包括：

[num，den]=ss2tf(A，B，C，D，iu)：狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型，iu用于指定變換所使用的輸入量。

[z，p，k]=ss2zp(A，B，C，D，iu)：狀態(tài)空間描述轉(zhuǎn)換為零極點增益模型

[A，B，C，D]=tf2ss(num，den)：傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間描述

[z，p，k]=tf2zp(num，den)：傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點增益模型

[A，B，C，D]=zp2ss(z，p，k)：零極點增益模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間描述

[num，den]=zp2tf(z，p，k)：零極點增益模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型例1-24

已知系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為將其變換為傳遞函數(shù)模型。

>>A=[0，1；1-2]；B=[0；1]；C=[1，3]；D=0；％輸入系統(tǒng)狀態(tài)空間描述

>>[num，den]=ss2tf(A，B，C，D)％模型轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換結(jié)果為

num=

031

den=

1.00002.0000－1.0000

即傳遞函數(shù)為

2.狀態(tài)空間描述的線性變換

1)線性變換

MATLAB控制工具箱中提供了函數(shù)ss2ss()來實現(xiàn)狀態(tài)空間描述的線性變換，調(diào)用格式為

[At，Bt，Ct，Dt]=ss2ss(A，B，C，D，T)

T用于指定變換所使用的線性變換矩陣，轉(zhuǎn)換方式為At＝T－1AT，Bt=T－1B，Ct＝CT，Dt=D，注意這與式(1-16)有所不同。

例1-25

已知系統(tǒng)狀態(tài)空間描述為

設(shè)線性變換陣，求系統(tǒng)線性變換后模型。

>>A=[0，1，0；0，0，1；－2，－5，－4]；B=[0；0；1]；C=[6，2，0]；D=0；％輸入原系統(tǒng)狀態(tài)空間描述

>>Q=[1，1，1；－1，0，－2；1，－1，4]；％輸入線性變換矩陣Q

>>[Aq，Bq，Cq，Dq]=ss2ss(A，B，C，D，Q)％線性轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換結(jié)果為

Aq＝－1

1

0

0－1

0

0

0－2

Bq＝

－2

1

1

Cq＝

462

Dq＝

0

2)化對角標(biāo)準(zhǔn)形

如果系數(shù)矩陣A的特征值互異，則必存在非奇異變換矩陣T，使矩陣A化為對角標(biāo)準(zhǔn)形。在MATLAB中求特征值的函數(shù)eig()，當(dāng)返回雙變量格式時，可以完成對矩陣A的對角化。調(diào)用格式為