學(xué)年福建師大附中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷時(shí)間：120分鐘滿分：150分試卷說(shuō)明：（1）本卷共四大題，19小題，解答寫(xiě)在答卷的指定位置上，考試結(jié)束后，只交答卷.（2）考試過(guò)程中不得使用計(jì)算器或具有計(jì)算功能的電子設(shè)備.第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角是的直線方程是（）A. B.C. D.2.已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.3.在圓的所有經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的弦中，最短的弦的長(zhǎng)度為（）A.1 B.2 C. D.44.如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.5.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（）A. B. C. D.6.光線通過(guò)點(diǎn)，在直線上反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則反射光線所在直線方程為（）A. B.C. D.7.若直線與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C. D.8.設(shè)，是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，圓與圓有2條公切線B.當(dāng)時(shí)，是圓與圓的一條公切線C.當(dāng)時(shí)，圓與圓相交D.當(dāng)時(shí)，圓與圓的公共弦所在直線的方程為10.如圖，邊長(zhǎng)均為1的兩個(gè)正方形和正方形所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)，分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.，使B.線段存在最小值，最小值為C.直線與平面所成角恒為D.，都有，，共面11.平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，點(diǎn)，則稱為點(diǎn)到點(diǎn)的“曼哈頓距離”.已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則B.的最大值是C.的最小值是2D.的最小值是Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓與圓交于，兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程為_(kāi)___________.13.在空間直角坐標(biāo)系中已知，，，為三角形邊上的高，則__________．14.在對(duì)角線的正方體中，正方形所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到直線、的距離之和為，則的取值范圍是_________.四、解答題：5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求滿足下列條件的直線方程.（1）直線與直線平行；（2）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等.16.如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，且平面.求：（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）點(diǎn)A到平面的距離.17.已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、，且圓的圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）若點(diǎn)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線、，切點(diǎn)為、，求四邊形面積的最小值，并出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).18.如圖1，在直角中，，點(diǎn)，分別為邊，的中點(diǎn)，將沿著折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，如圖2，且二面角的大小為.（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19.已知橢圓：，連接橢圓上任意兩點(diǎn)的線段叫作橢圓的弦，過(guò)橢圓中心的弦叫做橢圓的直徑.若橢圓的兩直徑的斜率之積為，則稱這兩直徑為橢圓的共軛直徑.特別地，若一條直徑所在的斜率為0，另一條直徑的斜率不存在時(shí)，也稱這兩直徑為共軛直徑.現(xiàn)已知橢圓：.（1）已知點(diǎn)，為橢圓上兩定點(diǎn)，求的共軛直徑的端點(diǎn)坐標(biāo).（2）過(guò)點(diǎn)作直線與橢圓交于?兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，直徑與直徑是否共軛，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）設(shè)和為橢圓的一對(duì)共軛直徑，且線段的中點(diǎn)為.已知點(diǎn)滿足：，若點(diǎn)在橢圓的外部，求的取值范圍.2024學(xué)年福建師大附中高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷時(shí)間：120分鐘滿分：150分試卷說(shuō)明：（1）本卷共四大題，19小題，解答寫(xiě)在答卷的指定位置上，考試結(jié)束后，只交答卷.（2）考試過(guò)程中不得使用計(jì)算器或具有計(jì)算功能的電子設(shè)備.第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角是的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得直線的斜率為，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.因?yàn)樗笾本€的傾斜角為，可得直線的斜率為，又因?yàn)樗笾本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，可得直線方程為.故選：B2.已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的方程及橢圓焦點(diǎn)位置，列出不等式求解即得.由方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A3.在圓的所有經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的弦中，最短的弦的長(zhǎng)度為（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【分析】利用配方法化簡(jiǎn)圓的方程，結(jié)合垂徑定理與勾股定理，可得答案.由，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，如下圖：圖中，，為圓的圓心，為直線與圓的交點(diǎn)，易知為所有經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的弦中的最短弦，.故選：B.4.如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，可以用正方體模型補(bǔ)形解題，通過(guò)平移找出線線所成的角度借助余弦定理解題即可.根據(jù)題意，可以補(bǔ)充成一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體.如圖所示.取的三等分點(diǎn),連接，根據(jù)正方體性質(zhì)，知道.則為直線與所成角或補(bǔ)角.連接，.根據(jù)正方體性質(zhì)，知道．在中，余弦定理知道，,則直線與所成角的余弦值為.故選：C．5.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與連線的斜率，利用圓的切線方程的求法可求得斜率的取值范圍，進(jìn)而得到最大值.由得：，點(diǎn)的軌跡是以2,1為圓心，為半徑的圓，的幾何意義為該圓上的點(diǎn)與連線的斜率，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，即為時(shí)，與圓顯然不相切；設(shè)過(guò)點(diǎn)的圓的切線為，即，圓心到切線的距離，解得：，，則的最大值為.故選：C.6.光線通過(guò)點(diǎn)，在直線上反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則反射光線所在直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，從而得到反射光線所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和對(duì)稱點(diǎn)，從而得到反射光線所在直線方程.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，故.由于反射光線所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，所以反射光線所在直線的方程為，即.故選：C.7.若直線與曲線有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)曲線即為，利用直線與圓的位置關(guān)系求解.解：曲線即為，表示以為圓心，以2為半徑的半圓，其圖象如圖所示：由圓心到直線距離等于半徑，得，解得或，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，因?yàn)橹本€與曲線有公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：A8.設(shè)，是橢圓（）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與交于，兩點(diǎn)，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，，，根據(jù)橢圓的定義及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出與的關(guān)系，即可求出離心率.不妨設(shè)，，，則，．又，所以，化簡(jiǎn)得，顯然，所以，解得，，所以，，故，解得，故的離心率為．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，圓與圓有2條公切線B.當(dāng)時(shí)，是圓與圓的一條公切線C.當(dāng)時(shí)，圓與圓相交D.當(dāng)時(shí)，圓與圓的公共弦所在直線的方程為【答案】BD【解析】【分析】由兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得它們的圓心和半徑，再根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系判斷出兩圓的位置關(guān)系，即可得出公切線條數(shù)，可判斷AC錯(cuò)誤；利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系可得B正確，將兩圓方程相減可得它們的公共弦所在直線的方程為，即D正確.由可知圓心為，半徑為1；由可知圓心為，半徑為，兩圓圓心距為；對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，圓與圓相離，有4條公切線，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，與圓相切，圓心到的距離為2，即與圓也相切，所以是圓與圓的一條公切線，即B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，圓與圓相離，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)兩圓相交，圓的一般方程為，與圓的方程相減可得，化簡(jiǎn)可得圓與圓的公共弦所在直線的方程為，即D正確.故選：BD10.如圖，邊長(zhǎng)均為1的兩個(gè)正方形和正方形所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)，分別在正方形對(duì)角線和上移動(dòng)，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A.，使B.線段存在最小值，最小值為C.直線與平面所成角恒為D.，都有，，共面【答案】AD【解析】【分析】以為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，用空間向量法判斷各選項(xiàng)．由已知平面，以為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，在坐標(biāo)平面上，直線的方程為，，則，在坐標(biāo)平面上，直線的方程為，，則,，，易知，當(dāng)時(shí)，，A正確；，所以時(shí)，，B錯(cuò)；平面的一個(gè)法向量是，，所以與平面所成角的正弦值為，這個(gè)值不是恒為，因此角的大小不可能恒為，C錯(cuò)；，，所以，，共面，D正確，故選：AD．11.平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)，點(diǎn)，則稱為點(diǎn)到點(diǎn)的“曼哈頓距離”.已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在直線上，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則B.的最大值是C.的最小值是2D.的最小值是【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可判斷；對(duì)于B，利用基本不等式即可判斷；對(duì)于C，D，利用絕對(duì)值放縮和絕對(duì)值不等式性質(zhì)應(yīng)用即可判斷.對(duì)于A，把代入中，可得，則，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，則，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值是，故B正確；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)，，，則，其中，故只需當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵之一是對(duì)“曼哈頓距離”的理解，根據(jù)新定義，寫(xiě)出曼哈頓距離；關(guān)鍵之二是含有絕對(duì)值的式子的處理，可根據(jù)絕對(duì)值的放縮和絕對(duì)值不等式，去掉絕對(duì)值的符號(hào)再求相關(guān)最值.Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓與圓交于，兩點(diǎn)，則線段的垂直平分線的方程為_(kāi)___________.【答案】【解析】【分析】線段的垂直平分線的方程即為兩圓圓心所在直線的方程，求出兩圓圓心坐標(biāo)，即可求出直線方程.圓圓心坐標(biāo)為O0,0，圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，兩圓公共弦的垂直平分線恰為過(guò)兩圓圓心的直線，由，則直線的方程為，即.故答案為：.13.在空間直角坐標(biāo)系中已知，，，為三角形邊上的高，則__________．【答案】3【解析】【分析】應(yīng)用空間向量法求點(diǎn)到直線距離.，，則，，所以，故答案為：314.在對(duì)角線的正方體中，正方形所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到直線、的距離之和為，則的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】將點(diǎn)到直線、的距離轉(zhuǎn)化為和，可得，結(jié)合橢圓的定義可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，建立平面直角坐標(biāo)系得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)橢圓方程和平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示可求出結(jié)果.因?yàn)?，所以，在正方體中，平面，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，所以，且，所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓，這里，，所以，，，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，的中垂線為軸建立平面直線坐標(biāo)系，所以點(diǎn)的軌跡方程為，設(shè)，因?yàn)?，，則，，所以，因?yàn)椋?故答案為：四、解答題：5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求滿足下列條件的直線方程.（1）直線與直線平行；（2）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由直線平行，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)可得解；（2）當(dāng)直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，代入點(diǎn)即可，，當(dāng)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，可得直線方程為.【小問(wèn)1詳解】由已知直線與直線平行，則設(shè)直線，又直線過(guò)點(diǎn)，即，解得，則直線方程為，即；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為，則，解得，即直線方程為，即；當(dāng)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，直線方程為，即，綜上所述直線方程為或.16.如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，且平面.求：（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）點(diǎn)A到平面的距離.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接建立空間直角坐標(biāo)系，先求法向量，再求兩法向量夾角的余弦值，再求正弦值即可；（2）直接用空間向量法求點(diǎn)到面的距離.【小問(wèn)1詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量，則，令，則，，所以，取平面法向量為，所以，故面與面夾角的余弦值為；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，平面法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離.17.已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)、，且圓的圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）若點(diǎn)為直線：上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線、，切點(diǎn)為、，求四邊形面積的最小值，并出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）（2）；【解析】【分析】（1）根據(jù)圓上的兩個(gè)已知點(diǎn)求得其對(duì)稱軸，聯(lián)立方程求得圓心，利用兩點(diǎn)距離公式，可得答案；（2）根據(jù)題意，作圖，結(jié)合切線的性質(zhì)以及動(dòng)點(diǎn)與直線的性質(zhì)，可得答案.【小問(wèn)1詳解】由與，則直線的斜率，其中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以的對(duì)稱軸為直線，易知圓心在直線上，聯(lián)立，解得，則，半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】根據(jù)題意，作圖如下：由圖可知：四邊形的面積為，且，，在中，，因?yàn)?，所以?dāng)最小時(shí)，最小，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)最小，此時(shí)，，，所以四邊形面積的最小值為，由直線，則其斜率，直線的斜率，則直線的方程為，整理可得，聯(lián)立，解得，則.18.如圖1，在直角中，，點(diǎn)，分別為邊，的中點(diǎn)，將沿著折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，如圖2，且二面角的大小為.（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）或．理由見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）證明平面，由平行得證平面，再由面面垂直的判定定理得證面面垂直；（2）先證明是已知二面角的平面角，得，取中點(diǎn)，證明平面，然后以為原點(diǎn)，為軸，過(guò)平行的直線為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量，設(shè)，求得，再根據(jù)線面角的向量求法求線面角，從而可得結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】由題意，，平面，所以平面，又因?yàn)閳D1中，分別是中點(diǎn)，所以，所以平面，而平面，所以平面平面；【小問(wèn)2詳解】由題意，所以是二面角的平面角，二面角的大小為.則，又由已知，所以等邊三角形，取中點(diǎn)，連接，則，由（1）知平面，而平面，所以，，平面，所以平面，以為原點(diǎn)，為軸，過(guò)平行的直線為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，,，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，設(shè)，，，與平面所成角的正弦值為，則，解得或．所以的值為或．19.已知橢圓：，連接橢圓上任意兩點(diǎn)的線段叫作橢圓的弦，過(guò)橢圓中心的弦叫做橢圓的直徑.若橢圓的兩直徑的斜率之積為，則稱這兩直徑為橢圓的共軛直徑.特別地，若一條直徑所在的斜率為0，另一條直徑的斜率不存在時(shí)，也稱這兩直徑為共軛直徑.現(xiàn)已知橢圓：.（1）已知點(diǎn)，為橢圓上兩定點(diǎn)，求的共軛