吉林省東北師大附屬中2025屆高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線交雙曲線的漸近線于兩點(diǎn)，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．一個(gè)盒子里有4個(gè)分別標(biāo)有號(hào)碼為1，2，3，4的小球，每次取出一個(gè)，記下它的標(biāo)號(hào)后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有（）A．17種 B．27種 C．37種 D．47種3．正項(xiàng)等比數(shù)列中的、是函數(shù)的極值點(diǎn)，則（）A． B．1 C． D．24．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線E上的一點(diǎn)，且.若直線與雙曲線E的漸近線交于點(diǎn)M，且M為的中點(diǎn)，則雙曲線E的漸近線方程為()A． B． C． D．5．若，，，則（）A． B．C． D．6．函數(shù)（），當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，則的范圍為（）A． B． C． D．7．中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”意思為有一個(gè)人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了六天恰好到達(dá)目的地，請(qǐng)問(wèn)第二天比第四天多走了（）A．96里 B．72里 C．48里 D．24里8．已知函數(shù)，關(guān)于x的方程f（x）＝a存在四個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（0，1）∪（1，e） B．C． D．（0，1）9．記的最大值和最小值分別為和．若平面向量、、，滿足，則（）A． B．C． D．10．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),則A． B．C． D．11．若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（）A．0 B．3 C．－1 D．412．在中，，，，為的外心，若，，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲、乙兩人同時(shí)參加公務(wù)員考試，甲筆試、面試通過(guò)的概率分別為和；乙筆試、面試通過(guò)的概率分別為和．若筆試面試都通過(guò)才被錄取，且甲、乙錄取與否相互獨(dú)立，則該次考試只有一人被錄取的概率是__________．14．已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，雙曲線的漸近線上存在點(diǎn)滿足，則的最大值為________．15．在中，角，，所對(duì)的邊分別邊，且，設(shè)角的角平分線交于點(diǎn)，則的值最小時(shí)，___.16．設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,若，則的值是______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為、,且點(diǎn)、與橢圓的上頂點(diǎn)構(gòu)成邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓相切于點(diǎn),且分別與直線和直線相交于點(diǎn)、．試判斷是否為定值,并說(shuō)明理由．18．（12分）橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別是，，離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為，.過(guò)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為1.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)、（不與點(diǎn)、重合），直線與直線相交于點(diǎn)，求證：、、三點(diǎn)共線.19．（12分）已知函數(shù).（1）若對(duì)任意x0，f（x）0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2（x1x2），證明：.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程以及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線、曲線在第一象限交于兩點(diǎn)，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的面積.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)且，，，.求證：平面平面以；求二面角的大小.22．（10分）已知函數(shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為和，且，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

先求出直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得A，B的縱坐標(biāo)，利用，求出a，b的關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率．【詳解】雙曲線1（a＞b＞0）的漸近線方程為y＝±x，∵直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，∴kl，∴直線l的方程為y（x﹣c），與y＝±x聯(lián)立，可得y或y，∵，∴2?，∴ab，∴c＝2b，∴e．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查向量知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．2、C【解析】

由于是放回抽取,故每次的情況有4種,共有64種；先找到最大值不是4的情況,即三次取出標(biāo)號(hào)均不為4的球的情況,進(jìn)而求解.【詳解】所有可能的情況有種,其中最大值不是4的情況有種,所以取得小球標(biāo)號(hào)最大值是4的取法有種,故選:C【點(diǎn)睛】本題考查古典概型,考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為，得出，再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】解：依題意、是函數(shù)的極值點(diǎn)，也就是的兩個(gè)根∴又是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以∴.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)以應(yīng)用，屬于中檔題.4、C【解析】

由雙曲線定義得，，OM是的中位線，可得，在中，利用余弦定理即可建立關(guān)系，從而得到漸近線的斜率.【詳解】根據(jù)題意，點(diǎn)P一定在左支上.由及，得，，再結(jié)合M為的中點(diǎn)，得，又因?yàn)镺M是的中位線，又，且，從而直線與雙曲線的左支只有一個(gè)交點(diǎn).在中.——①由，得.——②由①②，解得，即，則漸近線方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線漸近線方程，涉及到雙曲線的定義、焦點(diǎn)三角形等知識(shí)，是一道中檔題.5、C【解析】

利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個(gè)數(shù)與和的大小關(guān)系，進(jìn)而可得出、、三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】對(duì)數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則，即；指數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù)，則；指數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù)，則.綜上所述，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪與對(duì)數(shù)式的大小比較，一般利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法來(lái)比較，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

首先由，可得的范圍，結(jié)合函數(shù)的值域和正弦函數(shù)的圖像，可求的關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解不等式即可求得范圍.【詳解】因?yàn)椋?，若值域?yàn)椋灾恍?，?故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).7、B【解析】

人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為，計(jì)算，代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，設(shè)此人第一天走的路程為，則，解得，從而可得，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.8、D【解析】

原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有四個(gè)不同的實(shí)根，換元處理令t，對(duì)g（t）進(jìn)行零點(diǎn)個(gè)數(shù)討論.【詳解】由題意，a＞2，令t，則f（x）＝a????．記g（t）．當(dāng)t＜2時(shí)，g（t）＝2ln（﹣t）（t）單調(diào)遞減，且g（﹣2）＝2，又g（2）＝2，∴只需g（t）＝2在（2，+∞）上有兩個(gè)不等于2的不等根．則?，記h（t）（t＞2且t≠2），則h′（t）．令φ（t），則φ′（t）2．∵φ（2）＝2，∴φ（t）在（2，2）大于2，在（2，+∞）上小于2．∴h′（t）在（2，2）上大于2，在（2，+∞）上小于2，則h（t）在（2，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減．由，可得，即a＜2．∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（2，2）．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查方程的根與函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵在于等價(jià)轉(zhuǎn)化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為通過(guò)導(dǎo)函數(shù)討論函數(shù)單調(diào)性解決問(wèn)題.9、A【解析】

設(shè)為、的夾角，根據(jù)題意求得，然后建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得出點(diǎn)的軌跡方程，將和轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.【詳解】由已知可得，則，，，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，由，可得，即，化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為，則，則轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，，，，轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標(biāo)化，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值問(wèn)題是解答的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.10、D【解析】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以,則,即.故選D．11、C【解析】

計(jì)算，由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復(fù)數(shù)概念得：，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念.12、B【解析】

首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出，，即可求出的值.【詳解】如圖所示過(guò)做三角形三邊的垂線，垂足分別為，，，過(guò)分別做，的平行線，，由題知，則外接圓半徑，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，，由題可知，所以，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì)，正弦定理，平面向量分解定理，屬于一般題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

分別求得甲、乙被錄取的概率，根據(jù)獨(dú)立事件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】甲被錄取的概率；乙被錄取的概率；只有一人被錄取的概率.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立事件概率的求解問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

設(shè)，由可得，整理得，即點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上．又點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為，所以當(dāng)雙曲線的漸近線與圓相切時(shí)，取得最大值，此時(shí)，解得．15、【解析】

根據(jù)題意，利用余弦定理和基本不等式得出，再利用正弦定理，即可得出.【詳解】因?yàn)?，則，由余弦定理得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)椋?，所?故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，以及基本不等式求最值，考查計(jì)算能力.16、1【解析】

由題得，解不等式得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以c=1.故答案為1【點(diǎn)睛】本題主要考查正態(tài)分布的圖像和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）為定值．【解析】

（1）根據(jù)題意,得出,從而得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）根據(jù)題意設(shè)直線方程：,因?yàn)橹本€與橢圓相切,這有一個(gè)交點(diǎn),聯(lián)立直線與橢圓方程得,則,解得①把和代入,得和,,的表達(dá)式,比即可得出為定值．【詳解】解：（1）依題意,,,．所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）為定值.①因?yàn)橹本€分別與直線和直線相交,所以,直線一定存在斜率．②設(shè)直線：,由得,由,得．①把代入,得,把代入,得,又因?yàn)?所以,,②由①式,得,③把③式代入②式,得,,即為定值．【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義、方程、和性質(zhì),主要考查橢圓方程的運(yùn)用,考查橢圓的定值問(wèn)題,考查計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.18、（1）；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)已知可得，結(jié)合離心率和關(guān)系，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率不為零，設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到縱坐標(biāo)關(guān)系，求出方程，令求出坐標(biāo)，要證、、三點(diǎn)共線，只需證，將分子用縱坐標(biāo)表示，即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由于，將代入橢圓方程，得，由題意知，即.又，所以，.所以橢圓的方程為.（2）解法一：依題意直線斜率不為0，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程，消去得，由題意，得恒成立，設(shè)，，所以，直線的方程為.令，得.又因?yàn)椋?，則直線，的斜率分別為，，所以.上式中的分子，.所以，，三點(diǎn)共線.解法二：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由題意，得的方程為，代入橢圓的方程，得，，直線的方程為.則，，，所以，即，，三點(diǎn)共線.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，，，聯(lián)立方程消去，得.由題意，得恒成立，故，.直線的方程為.令，得.又因?yàn)?，，則直線，的斜率分別為，，所以.上式中的分子所以.所以，，三點(diǎn)共線.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與橢圓的位置關(guān)系，要熟練掌握根與系數(shù)關(guān)系，設(shè)而不求方法解決相交弦問(wèn)題，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）證明見解析.【解析】

（1）求出，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值，即求的范圍；（2）由（1）可知，.對(duì)分和兩種情況討論，構(gòu)造函數(shù)，利用放縮法和基本不等式證明結(jié)論．【詳解】（1）由，得.令.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.對(duì)任意恒成立，.（2）證明：由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，.若，則，令在上單調(diào)遞增，，.又，在上單調(diào)遞減，.若，則顯然成立.綜上，.又以上兩式左右兩端分別相加，得，即，所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.20、（1）的極坐標(biāo)方程為，的直角坐標(biāo)方程為（2）【解析】

（1）先把曲線的參數(shù)方程消參后，轉(zhuǎn)化為普通方程，再利用求得極坐標(biāo)方程.將，化為，再利用求得曲線的普通方程.（2）設(shè)直線的極角，代入，得，將代入，得，由，得，即，從而求得，，從而求得，再利用求解.【詳解】（1）依題意，曲線，即，故，即.因?yàn)?，故，即，?（2）將代入，得，將代入，得，由，得，得，解得，則.又，故，故的