大學微積分l知識點總結(jié)【第一部分】大學階段準備知識1、不等式：引申引申雙向不等式：兩側(cè)均在雙向不等式：兩側(cè)均在ab≥0或ab≤0時取等號柯西不等式：設(shè)a1、a2、。.。an,b1、b2、。。.bn均是實數(shù)，則有：2、函數(shù)周期性和對稱性的常用結(jié)論1、若f（x+a）=±f（x+b）,則f（x)具有周期性;若f(a+x）=±f(b-x)，則f（x)具有對稱性?？谠E：“內(nèi)同表示周期性,內(nèi)反表示對稱性”2、周期性（1）若f（x+a）=f（b+x），則T=|b—a|（2）若f（x+a）=-f（b+x)，則T=2｜b—a｜（3）若f（x+a)=±1/f（x）,則T=2a（4)若f（x+a）=【1—f（x）】/【1+f（x）】,則T=2a（5）若f（x+a)=【1+f（x）】/【1—f（x）】，則T=4a3、對稱性（1）若f（a+x）=f（b-x），則f（x）的對稱軸為x=（a+b)/2（2）若f(a+x)=—f（b—x)+c，則f(x）的圖像關(guān)于（（a+b）/2,c/2）對稱4、函數(shù)圖象同時具備兩種對稱性，即兩條對稱軸,兩個對稱中心，一條對稱軸和一個對稱中心,則函數(shù)必定為周期函數(shù)，反之亦然。(1)若f(x）的圖像有兩條對稱軸x=a和x=b，則f（x）必定為周期函數(shù)，其中一個周期為2|b-a｜。(2）若f（x）的圖像有兩個對稱中心（a，0）和（b,0）,（a≠b)，則f（x）必定為周期函數(shù),其中一個周期為2|b—a｜。（3)若f（x）的圖像有一個對稱軸x=a和一個對稱中心（b，0），（a≠b），則f(x)必定為周期函數(shù)，其中一個周期為4|b—a|。3、三角函數(shù)mLmLαnαn倒數(shù)關(guān)系：商的關(guān)系:平方關(guān)系：平常針對不同條件的兩個常用公式:一個特殊公式:二倍角公式：半角公式：三倍角公式：萬能公式：兩角和公式：和差化積公式:積化和差公式：口訣：奇變偶不變，符號看象限4、數(shù)學歸納法數(shù)學上證明與自然數(shù)N有關(guān)的命題的一種特殊方法，它主要用來研究與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學問題,在高中數(shù)學中常用來證明等式成立和數(shù)列通項公式成立。例如：前n個奇數(shù)的總和是n2，那么前n個偶數(shù)的總和是：n2+n最簡單和最常見的數(shù)學歸納法證明方法是證明當n屬于所有正整數(shù)時一個表達式成立,這種方法由下面兩步組成：①遞推的基礎(chǔ)：證明當n=1時表達式成立②遞推的依據(jù):證明如果當n=m時成立，那么當n=m+1時同樣成立（1）第一數(shù)學歸納法①證明當n取第一個值n0時命題成立，n0對于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況②假設(shè)n=k（k≥n0，k為自然數(shù))時命題成立,證明當n=k+1時命題也成立第二數(shù)學歸納法對于某個與自然數(shù)有關(guān)的命題P（n）①驗證n=n0時P(n）成立②假設(shè)n0≤n＜k時P（n）成立，并在此基礎(chǔ)上，推出P(k+1)成立（3）倒推歸納法①驗證對于無窮多個自然數(shù)n命題P（n）成立②假設(shè)P（k+1）成立,并在此基礎(chǔ)上,推出P（n）成立（4）螺旋式歸納法對兩個與自然數(shù)有關(guān)的命題①驗證n=n0時P（n）成立②假設(shè)P(k）（k＞n0)成立，能推出Q（k）成立，假設(shè)Q(k)成立,能推出P(k）成立.5、初等函數(shù)的含義概念：初等函數(shù)是由冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算以及有限次數(shù)函數(shù)復合所產(chǎn)生，并且能用一個解析式表示的函數(shù)。【有理運算:加、減、乘、除、有理數(shù)次乘方、有理數(shù)次開方】【基本初等函數(shù)：對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)】二項式定理：即二項展開式，即（a+b）n的展開式7、高等數(shù)學中代換法運用技巧①倒代換把原式中的一個變元或原式中的一部分用另一個變元的倒數(shù)來代替,此種方法被稱為“倒代換”法②增量代換若題目中已知x＞m，則引入輔助元x=m+a（a＞0),再將輔助元代入題中解題.此種代換方法稱為“增量代換法"③三角代換④雙代換：引入兩個輔助元進行代換：引入兩個輔助元進行代換8、其他一些知識點（1）0不是正數(shù)，不是負數(shù)。是自然數(shù)。0是偶數(shù),偶數(shù)分為：正偶數(shù)、負偶數(shù)和0正偶數(shù)稱為“雙數(shù)”正常數(shù):常數(shù)中的正數(shù)質(zhì)數(shù)：又稱“素數(shù)".一個大于1的自然數(shù)，如果除了1和它自身以外,不能被其他自然數(shù)整除的數(shù)，否則稱為“合數(shù)”.最小的質(zhì)（素）數(shù)是2。1既不是素數(shù)，也不是合數(shù)。exp：高等數(shù)學中，以自然對數(shù)e為底的指數(shù)函數(shù)在數(shù)學符號中，sup表示上界；inf表示下界≡:表示恒等于0的階乘是1.階乘是一個遞推定義,遞推公式為:n！=n（n—1）！因為1的階乘為1，即1！=1×0！，故0!=1【第二部分】函數(shù)與極限常用結(jié)論（等價無窮小很重要）其中,，e為初等函數(shù),又稱“冪指函數(shù)”，e即根據(jù)此公式得到，e≈2.718一些重要數(shù)列的極限：另一些重要的數(shù)列極限:列舉一些趨向于0的函數(shù):柯西極限存在準則：柯西極限存在準則又叫柯西收斂原理。給出了極限收斂的充分必要條件是：對于任意給定的正數(shù)ε，存在這樣的正整數(shù)N，使得當m＞N，n＞N時就有｜xn-xm｜＜ε。這個準則的幾何意義表示，數(shù)列{Xn}收斂的充分必要條件是：該數(shù)列中足夠靠后的任意兩項都無限接近。夾逼定理的兩個條件：①左右極限存在；②左右極限相等【極限計算的技巧總結(jié)(不包含教材介紹的方法以及公式）：】（1）洛比達法則設(shè)函數(shù)f(x)和F(x)滿足下列條件：①x→a時，f（x)=0，F(xiàn)（x）=0；②在點a的某HYPERLINK”http：///doc/6898566.html”\t"http：///doc/_blank"去心鄰域內(nèi)f（x）與F(x）都可導，且F(x）的導數(shù)不等于0；③x→a時，（f’(x）/F'(x））存在或為無窮大則x→a時，(f(x）/F（x))=(f'（x）/F’(x）)（2）等價無窮小一般要將變量的取值變?yōu)橼呄蛴?的代數(shù)式，如x—∞，令t=1/x無窮小的概念:①高階無窮小:當=0時，如果（B/A)=0，就說B是比A高階的無窮?、诘碗A無窮?。寒?0時，如果（B/A)=∞，就說B是比A低階的無窮小③如果(B/A)=K(K≠0,1）,就說B是A的同階非等價無窮?、艿葍r無窮小：（B/A）=1，就說B為A的等價無窮小(3）斯托爾茨定理設(shè)數(shù)列單調(diào)增加到無窮大，則求兩個數(shù)列之商的極限，在兩數(shù)列都具有高次項的情況下，可以直接比較最高次項而忽略較低次項，該原理僅僅限于無窮數(shù)列，對于有窮數(shù)列不能直取.分母趨近于0，而分子不為0，其極限不存在或無窮在計算極限題目中，若題目中同時出現(xiàn)、、或者、時，令t=或在求極限的過程中如果遇到n次項等高次項而無法解題時，一般可以通過借助進行消去高次項的運算，有的也可以使用泰勒公式.計算極限時出現(xiàn)出現(xiàn)或者的形式，應(yīng)用泰勒公式計算。三個重要的結(jié)果（12）有的題目涉及遞推公式、數(shù)列問題如：函數(shù)的連續(xù)性和間斷點問題（1）如何討論并確定函數(shù)的連續(xù)性？①若該函數(shù)是初等函數(shù),則該函數(shù)在其定義域區(qū)間均連續(xù)②若是一元函數(shù),則可對其求導，其導數(shù)在某點上有意義則函數(shù)在該點必然連續(xù)（可導必連續(xù)）③求助極限,函數(shù)在該點極限等于函數(shù)在該點函數(shù)值，計算時注意左右極限（2）間斷點問題間斷點的分類：(3）一致連續(xù)與不一致連續(xù)【第三部分】導數(shù)與微分法線斜率和切線斜率相乘等于-1（切線與法線垂直)反函數(shù)求導：反函數(shù)導數(shù)×原函數(shù)導數(shù)=1或?qū)懗桑撼Ｒ姷暮瘮?shù)的導數(shù)(基礎(chǔ)函數(shù)求導）：：y=f（x）亦稱為“零階導數(shù)”(函數(shù)的零階導數(shù)就是其本身）隱函數(shù):F（x，y）=0，y=f（x）帶入即可得到F【x,f(x）】=0，滿足該恒等式即為隱函數(shù)國際數(shù)學通用標記：易錯點：求導時，不能將y與f(x）等同。二者導數(shù)未必一致【帶有絕對值的函數(shù)該如何求導?】帶有絕對值的函數(shù)脫掉絕對值符號后是一個分段函數(shù)，應(yīng)當分段求導.特別應(yīng)注意的是，分段點的導數(shù)嚴格來講，應(yīng)當按定義來求?！窘?jīng)典題型總結(jié)】設(shè)函數(shù)f（x)在x≠0時可導，且對任何非零數(shù)x，y均有f（x·y）=f(x)+f（y）,又f（1)存在。證明當x≠0時，f(x）可導。證：令x=1，由f(x·y）=f(x）+f(y）得:f(y)=f(1）+f（y），所以：f（1)=0對任何x≠0，由題設(shè)及導數(shù)定義知,高階導數(shù)：（1）高階導數(shù)的運算法則【淺談高階導數(shù)的求法】高階導數(shù)求法一般包括6種方法，即①根據(jù)高階導數(shù)定義求之;②利用高階導數(shù)公式求之;③利用萊布尼茨公式求之；④用復合函數(shù)的求導法則求之；⑤用泰勒公式求之；⑥交叉法，等等。①定義法：運用求導公式,求導法則求導，n階導數(shù)一般比較其規(guī)律性②高階求導公式：把高階求導公式化為代函數(shù)之和,分別求之③萊布尼茨公式求導:當所求導數(shù)的函數(shù)是兩個函數(shù)的乘積時，宜用萊布尼茨公式求之。特別地，當其中一個函數(shù)的高階導數(shù)為0，可以用此公式求之；兩個因子中，其中有一個函數(shù)的各階導數(shù)有明顯的規(guī)律性時，可以用此公式。④復合函數(shù)求導法:復合函數(shù)求導法則還可以推廣到多次復合的情形。在求導時，能從外層向內(nèi)層逐層求導，一直求到對自變量求導數(shù)為止。若存在單值反函數(shù),常用復合函數(shù)求導法則，求其反函數(shù)的高階導數(shù)?！久~釋義】單值反函數(shù):若對定義域每一個自變量x,其對應(yīng)的函數(shù)值f(x)是唯一的，則稱f（x）是單值函數(shù)。反過來，對于任何一個函數(shù)值y，都有唯一的一個自變量x與之相對應(yīng)，則此時稱y=f（x）為單值反函數(shù)。⑤泰勒公式求導法證明題:①證明一函數(shù)(隱函數(shù))處處可導：則應(yīng)先根據(jù)題意找出幾個關(guān)鍵的點，然后根據(jù)導數(shù)的基本公式：進行判定②證明f（x）=a，即證F（x)=f（x）-a=0（3）部分初等函數(shù)的高階導數(shù)一階導數(shù)：切線斜率二階導數(shù)：曲線曲率關(guān)于曲線凹凸性的兩個定理及應(yīng)用【經(jīng)典題型總結(jié)】X=f’（t）Y=t·f’（t）-f（t）（1）設(shè) f’''X=f’（t）Y=t·f’（t）-f（t）（2）函數(shù)的二階導數(shù)等于原函數(shù)，求該函數(shù)表達式f（x）、g（x）都可導,且滿足：①f(x）=g’(x）、f’（x）=g（x)②f（0）=0;g(0)=1。證明:g2（x)—f2(x）=1證：由上可知，f’'（x）=f（x)【微分：】自變量的改變量等于自變量的微分導數(shù)又稱“微商”.微分四則運算：設(shè)u=u(x）、v=v（x)在點x處均可微,則u±v、u×v、u/v（v≠0）在x處都可微，且：截距的性質(zhì)：截距不是距離，所以截距是有正負的拐點：在數(shù)學上，拐點是指改變曲線向上或者向下方向的點.直觀地說,拐點是使切線穿越曲線的點(即曲線的凹凸分界點）.若該曲線的圖形函數(shù)在拐點有二階導數(shù)，則二階導數(shù)必為零或者不存在駐點:函數(shù)的導數(shù)為0的點稱為函數(shù)的駐點可導、可微、連續(xù)、極限之間的關(guān)系？可導〈==>可微

可導(可微）==〉連續(xù)==>極限存在〈==>左極限、右極限都存在且相等

（箭頭反方向的話不一定成立）

可導==>左導數(shù)、右導數(shù)都存在且相等

連續(xù)==>左連續(xù)且右連續(xù)+極限值等于函數(shù)值

連續(xù)〈==〉極限存在且等于函數(shù)值

極限存在〈==>左極限、右極限都存在且相等

在某點處（左、右)極限是否存在與該點處函數(shù)是否有定義無關(guān)【第四部分】微分中值定理及導數(shù)的應(yīng)用（1）費馬定理設(shè)f（x)在點x0處取到極值，且f’（x0)存在,則f（x0）=0。（2）羅爾定理如果函數(shù)f(x)滿足：在閉區(qū)間[a，b］上連續(xù)；在HYPERLINK”/doc/6802533—7019404。html”\t"http：///doc/_blank"開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導;在區(qū)間端點處的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a，b)內(nèi)至少有一點ξ（a<ξ〈b），使得f'（ξ)=0.（3）拉格朗日中值定理如果函數(shù)f（x）滿足:(1）HYPERLINK”http：///doc/7589391-7863486。html"\t”/doc/_blank”閉區(qū)間[a，b］上連續(xù)（2）HYPERLINK”/doc/6802533-7019404.html”\t"/doc/_blank”開區(qū)間（a,b)內(nèi)可導。那么:在(a,b）內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ<b），使等式f（b）-f（a）=f′(ξ）(b-a）成立。(4)柯西中值定理如果函數(shù)f(x）及F（x）滿足：（1）在http：///doc/_blank"閉區(qū)間[a，b］上連續(xù);（2）在HYPERLINK”/doc/6802533—7019404。html”開區(qū)間(a，b）內(nèi)可導;（3）對任一x∈(a,b），F(xiàn)'(x）≠0。那么在（a，b)內(nèi)至少有一點ξ，使等式[f(b)-f（a）]/［F(b)—F(a）］=f’(ξ）/F’（ξ)成立。（5）泰勒公式與麥克勞林公式泰勒公式：若函數(shù)f(x)在\t"http：///doc/_blank"開區(qū)間（a,b）有直到n+1階的導數(shù)，則當函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時，可以展開為一個關(guān)于(x—x。)多項式和一個余項的和：f（x)=f(x。)+f’(x。）（x—x.）+f’'(x.）/2！·(x—x。)^2,+f''’(x。)/3！·（x-x。)^3+……+f(n）(x.）/n!·(x-x.）^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/（n+1）!·(x-x。）^（n+1)，這里ξ在x和x.之間,該余項稱為拉格朗日型的余項.麥克勞林公式：若函數(shù)f（x)在開區(qū)間（a，b）有直到n+1階的導數(shù),則當函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)時，可以展開為一個關(guān)于x多項式和一個余項的和:f（x)=f(0)+f'(0）x+f’'（0)/2!·x^2,+f'’'(0）/3!·x^3+……+f（n）（0)/n!·x^n+Rn其中Rn=f(n+1)(θx）/(n+1）！·x^(n+1）,這里0<θ〈1。兩個重要且特殊的麥克勞林公式：（6）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值單調(diào)區(qū)間：設(shè)f（x）在區(qū)間I（I可以是開區(qū)間，可以是閉區(qū)間,也可以是半開半閉區(qū)間）上連續(xù)，在區(qū)間I內(nèi)部可導①若x∈I內(nèi)部，f’（x）≥0，則f（x）在區(qū)間I上遞增②若x∈I內(nèi)部，f’（x）≤0，則f（x）在區(qū)間I上遞減③若x∈I內(nèi)部，f'（x）≡0，則f(x）在區(qū)間I上是一個常值函數(shù)極限與極值:判定極限的方法：f'（x)=0，f'’(x）≠0,則f（x）一定是極限①f’(x）=0，f’’（x)＜0，則f（x）取極大值②f'（x）=0，f’’（x)＞0，則f(x）取極小值【誤點解析】：使用洛必達法則之后極限不存在，不能直接說原極限不存在雙階乘：相隔的兩個數(shù)相乘：如5！！=5×3×1不動點：g（t）=t的點叫做不動點f（x）g（x）滿足此條件，即可證明f（x）、g（x）在x0滿足此條件，即可證明f（x）、g（x）在x0處n階相切f’（x）=g’(x）f''（x）=g'’(x）...f（n）(x）=g（n)（x）曲率：（4）圓的各個位置的曲率是相同的，都是半徑的倒數(shù)反函數(shù)：如果函數(shù)的導數(shù)不為0，那么該函數(shù)在定義域區(qū)間上有反函數(shù)☆【例談微分中值定理輔助函數(shù)的構(gòu)造模式與方法一】☆輔助函數(shù)是解決許多數(shù)學問題的有效工具，中值定理及推導過程中用到了演繹、分析分類等數(shù)理邏輯方法和一些具體的方法。如構(gòu)造輔助函數(shù)等等,下面就介紹幾種重要的構(gòu)造輔助函數(shù)的方法.（1）湊導數(shù)法例如：設(shè)函數(shù)f（x）在【a、b】上連續(xù)，在（a、b)內(nèi)可導,證明：存在ξ∈（a、b），使得2ξ【f（b）-f(a）】=（b2—a2）·f’（ξ）證明：令F(x)=x2【f(b）—f（a）】—（b2—a2）·f(x）即可(2）幾何直觀法例如：如果f（x)在【0、1】上可導，且0＜f（x）＜1，對于任何x∈（0，1）都有f’（x）≠1，試證在(0,1）有且僅有一點ξ，使得f（ξ）=ξ證：①令g（x)=f（x)-x②再用反證法證明其唯一性（3）常數(shù)值法（K)在構(gòu)造函數(shù)時，若表達式關(guān)于端點處的函數(shù)值具有對稱性,通常用常數(shù)K值法來構(gòu)造輔助函數(shù)。這種方法一般選取所政等式中含ξ的部分作為K，即將常數(shù)部分分離出來令其得K，恒等式變形，令一端為a與f（a）的代數(shù)式，另一端為b與f(b）的代數(shù)式，將所證等式中的端點值（a或b）改為變量x，移項即為輔助函數(shù)F（x）。再用中值定理，待定系數(shù)法等方法確定K。一般來說，當問題涉及到高階導數(shù)時，往往考慮多次運用中值定理，更多時要考慮運用泰勒公式。例如：設(shè)f（x）在【a、b】上連續(xù)，在（a、b）上可導。0＜a＜b.試證明證:（4）倒推法這種證明方法從要證的結(jié)論出發(fā),借助與邏輯關(guān)系導出已知的條件和結(jié)論.例如:設(shè)f(x）在【a、b】（0＜a＜b）上連續(xù)，在(a,b）內(nèi)可導，且證：構(gòu)造函數(shù):f’（ξ）·ξ+f(ξ）=0即可（5)乘積因子法對于某些要證明的結(jié)論,往往出現(xiàn)函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)之間關(guān)系的證明。直接構(gòu)造函數(shù)往往比較困難,將所證的結(jié)論兩端同時乘以或除以一個恒為正或負的函數(shù)，證明的結(jié)論往往不受影響。例如：若f（x）在【a、b】上連續(xù),在(a、b）內(nèi)可導，且f(a)=f（b）（6）介值法證明中，引入輔助函數(shù)g（x)=f(x)-η·x.將原問題轉(zhuǎn)化為【a、b】內(nèi)可導函數(shù)g(x)的最大值或最小值至少有1個必在內(nèi)點達到，從而可通過g(x）在【a，b】上的可導條件，直接運用費馬定理完成證明.例如：證明若f（x）在【a，b】上可導，則f（x）可取到f（a）與f(b）之間的一切值(7）分離變量法拉格朗日與柯西中值定理常用來解決多個中值的問題。以兩個中值的情況為例說明如下：若要證明存在ξ、η∈（a,b），使得f(a，b，ξ，η)=0.則通常應(yīng)將函數(shù)f（a，b,ξ，η）=0改寫成“變量分離”的形式,即h（a，b）=δ（ξ）·δ（η）或者h（a,b）=δ（ξ）+δ(η）的形式,然后觀察δ（ξ)、δ（η）是否分別拉格朗日公式的右側(cè)?！睢纠勎⒎种兄刀ɡ磔o助函數(shù)的構(gòu)造模式與方法二】☆(1)使用羅爾定理時用“積分法"或“解微分方程法”構(gòu)造輔助函數(shù)。使用“積分法"構(gòu)造輔助函數(shù)的基本步驟：①將結(jié)論等式中的ξ換成x;②對第一步的結(jié)果進行變形，使兩邊求積分；③兩邊求不定積分;④把第三步的結(jié)果化成C=F（x）的形式，其中C為任意常數(shù)，且f（x）中不含有C；⑤最后的F(x）就是所要構(gòu)造的輔助函數(shù)。使用拉格朗日定理用“單邊積分法"構(gòu)造輔助函數(shù)。所謂的單邊積分法就是:①若所要證明的等式中只含有ξ，就是把有ξ的函數(shù)式與常數(shù)項分離到兩邊,將ξ換成x后進行單側(cè)積分求出原函數(shù)即為輔助函數(shù)。②若所要證明的等式中含有ξ和η，就把含有ξ的函數(shù)式與含有η的函數(shù)式分離到等式兩邊，將ξ換成x后進行單側(cè)積分求出原函數(shù)即為輔助函數(shù)；將η換成x后進行單側(cè)積分求出原函數(shù)即為另一輔助函數(shù)。（3）使用柯西中值定理時用“