PAGEPAGE12．2.1綜合法與分析法1.了解干脆證明的基本方法．2.理解綜合法和分析法的思索過程及特點(diǎn)．3.會(huì)用綜合法與分析法解決數(shù)學(xué)問題．1．干脆證明(1)定義：從命題的條件或結(jié)論動(dòng)身，依據(jù)已知的定義、公理、定理，干脆推證結(jié)論的真實(shí)性．(2)常用方法：綜合法、分析法．2．綜合法(1)定義：是從緣由推導(dǎo)到結(jié)果的思維方法(由因?qū)Ч?，即從已知條件動(dòng)身，經(jīng)過逐步的推理，最終達(dá)到待證結(jié)論．(2)推證步驟：P0(已知)?P1?P2?…?Pn(結(jié)論)．3．分析法(1)定義：是從結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的緣由的思維方法(執(zhí)果索因)，即從待證結(jié)論動(dòng)身，一步一步尋求結(jié)論成立的充分條件，最終達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)．(2)步驟：B(結(jié)論)?B1?B2?…?Bn?A(已知)．1．推斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)綜合法是執(zhí)果索因的逆推證法．()(2)分析法就是從結(jié)論推向已知．()(3)分析法與綜合法證明同一個(gè)問題時(shí)，一般思路恰好相反，過程相逆．()答案：(1)×(2)√(3)√2．欲證eq\r(2)－eq\r(3)＜eq\r(6)－eq\r(7)，只需證明()A．(eq\r(2)－eq\r(3))2＜(eq\r(6)－eq\r(7))2B．(eq\r(2)－eq\r(6))2＜(eq\r(3)－eq\r(7))2C．(eq\r(2)＋eq\r(7))2＜(eq\r(6)＋eq\r(3))2D．(eq\r(2)－eq\r(3)－eq\r(6))2＜(－eq\r(7))2答案：C3．函數(shù)f(x)＝ax＋b在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________．答案：(0，＋∞)綜合法的應(yīng)用如圖，在四棱錐P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求證：DC⊥平面PAC.(2)求證：平面PAB⊥平面PAC.【證明】(1)因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以PC⊥DC.又因?yàn)镈C⊥AC，且PC∩AC＝C，所以DC⊥平面PAC.(2)因?yàn)锳B∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC.因?yàn)镻C⊥平面ABCD，所以PC⊥AB.又因?yàn)镻C∩AC＝C，所以AB⊥平面PAC.又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC.eq\a\vs4\al()綜合法證明問題的步驟已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)>6abc.證明：因?yàn)閍、b、c是正數(shù)，所以b2＋c2≥2bc，所以a(b2＋c2)≥2abc.①同理，b(c2＋a2)≥2abc，②c(a2＋b2)≥2abc，③因?yàn)閍、b、c不全相等，所以b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab三式中不能同時(shí)取到“＝”．所以①②③式相加得a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)>6abc.分析法的應(yīng)用在銳角△ABC中，求證：tanA·tanB>1.【證明】要證tanAtanB>1，只需證eq\f(sinAsinB,cosAcosB)>1，因?yàn)锳、B均為銳角，所以cosA>0，cosB>0.即證sinAsinB>cosAcosB，即cosAcosB－sinAsinB<0，只需證cos(A＋B)<0.因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，所以90°<A＋B<180°，所以cos(A＋B)<0，因此tanAtanB>1.eq\a\vs4\al()分析法證明數(shù)學(xué)問題的方法若a>0，證明eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2.證明：要證eq\r(a2＋\f(1,a2))－eq\r(2)≥a＋eq\f(1,a)－2，只需證eq\r(a2＋\f(1,a2))＋2≥a＋eq\f(1,a)＋eq\r(2).只需證eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(\r(a2＋\f(1,a2)))＋2))eq\s\up12(2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)＋\r(2)))eq\s\up12(2)，即證a2＋eq\f(1,a2)＋4＋4eq\r(a2＋\f(1,a2))≥a2＋eq\f(1,a2)＋2＋2＋2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))，只需證eq\r(a2＋\f(1,a2))≥eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))，只需證a2＋eq\f(1,a2)≥eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)＋2))，即證a2＋eq\f(1,a2)≥2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))eq\s\up12(2)≥0，明顯成立，所以原不等式成立．綜合法與分析法的綜合應(yīng)用△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，其角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，求證(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.【證明】法一：(分析法)要證(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1成立，即證eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)成立，即eq\f(a＋b＋c,a＋b)＋eq\f(a＋b＋c,b＋c)＝3，化簡，得eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1，又需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即c2＋a2＝b2＋ac，又△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B＝60°.由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1,2)，所以a2＋c2－b2＝ac，所以原命題成立．法二：(綜合法)因?yàn)椤鰽BC三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B＝60°.由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即c2＋a2＝ac＋b2，兩邊同時(shí)加ab＋bc，得c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，兩邊除以(a＋b)(b＋c)，得eq\f(c,a＋b)＋eq\f(a,b＋c)＝1.所以(eq\f(c,a＋b)＋1)＋(eq\f(a,b＋c)＋1)＝3，即eq\f(1,a＋b)＋eq\f(1,b＋c)＝eq\f(3,a＋b＋c)，所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.eq\a\vs4\al()在解決問題時(shí)，我們常常把綜合法和分析法綜合起來運(yùn)用．依據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論，得到中間結(jié)論P(yáng)；依據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件，得到中間結(jié)論Q，若由Q可以推出P成立，就可證明結(jié)論成立．1.設(shè)a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求證：a3＋b3＞a2b＋ab2.證明：法一：(分析法)要證a3＋b3＞a2b＋ab2成立，即需證(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．又因a＋b＞0，故只需證a2－ab＋b2＞ab成立，即需證a2－2ab＋b2＞0成立，即需證(a－b)2＞0成立．而依題設(shè)a≠b，則(a－b)2＞0明顯成立．由此不等式得證．法二：(綜合法)a≠b?a－b≠0?(a－b)2＞0?a2－2ab＋b2＞0?a2－ab＋b2＞ab.因?yàn)閍＞0，b＞0，所以a＋b＞0，所以(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．所以a3＋b3＞a2b＋ab2.2．在某兩個(gè)正數(shù)x，y之間插入一個(gè)數(shù)a，使x，a，y成等差數(shù)列，插入兩數(shù)b，c，使x，b，c，y成等比數(shù)列，求證：(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．證明：由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝x＋y，,b2＝cx，,c2＝by，))所以x＝eq\f(b2,c)，y＝eq\f(c2,b)，即x＋y＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，從而2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b).要證(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)，只需證a＋1≥eq\r((b＋1)(c＋1))成立．只需證a＋1≥eq\f((b＋1)＋(c＋1),2)即可．也就是證2a≥b＋c.而2a＝eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)，則只需證eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,b)≥b＋c成馬上可，即證b3＋c3＝(b＋c)(b2－bc＋c2)≥(b＋c)bc，即證b2＋c2－bc≥bc，即證(b－c)2≥0成立，上式明顯成立，所以(a＋1)2≥(b＋1)(c＋1)．1．分析法解題方向較為明確，有利于找尋解題思路；綜合法條理清楚，宜于表述，因此，在實(shí)際解題時(shí)，通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述過程．2．綜合法和分析法是證明數(shù)學(xué)問題的基本方法．在解決問題時(shí)既能單獨(dú)運(yùn)用也可以交替運(yùn)用．1．利用綜合法證明問題時(shí)，要把產(chǎn)生某結(jié)果的詳細(xì)緣由寫完整，不行遺漏．2．用分析法書寫證明過程時(shí)，格式要規(guī)范，一般為“欲證…，只需證…，只需證…，由于…明顯成立(已知，已證…)，所以原結(jié)論成立．”其中的關(guān)聯(lián)詞語不能省略．1．干脆證明中最基本的兩種證明方法是()A．類比法與歸納法B．綜合法與分析法C．反證法和二分法D．換元法和配方法解析：選B．干脆證明的方法包括綜合法與分析法．2．函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，若當(dāng)x≤1時(shí)，f(x)＝(x＋1)2－1，則當(dāng)x>1時(shí)，f(x)的解析式為__________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對(duì)稱，所以有f(x)＝f(2－x)，當(dāng)x>1時(shí)，有2－x<1，則f(2－x)＝[(2－x)＋1]2－1＝(3－x)2－1＝(x－3)2－1＝f(x)．答案：f(x)＝(x－3)2－13．設(shè)a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，則a，b，c的大小關(guān)系是________．解析：要比較b與c的大小，只需比較eq\r(7)＋eq\r(2)與eq\r(3)＋eq\r(6)的大小，只需比較(eq\r(7)＋eq\r(2))2與(eq\r(3)＋eq\r(6))2的大小，即比較eq\r(14)與eq\r(18)的大小，明顯eq\r(14)<eq\r(18)，從而eq\r(7)－eq\r(3)<eq\r(6)－eq\r(2)，即b<c，類似可得a>c，所以a>c>b.答案：a>c>b[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．分析法是從要證的結(jié)論動(dòng)身，逐步尋求結(jié)論成立的()A．充分條件 B．必要條件C．充要條件 D．等價(jià)條件解析：選A．由分析法的要求知，應(yīng)逐步尋求結(jié)論成立的充分條件．2．要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要證明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a(chǎn)2＋b2－1－eq\f(a2＋b2,2)≤0C．eq\f((a＋b)2,2)－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0解析：選D．要證：a2＋b2－1－a2b2≤0，只需證：a2b2－a2－b2＋1≥0，只需證：(a2－1)(b2－1)≥0，故選D．3．若a＞1，0＜b＜1，則下列不等式中正確的是()A．a(chǎn)b＜1 B．ba＞1C．logab＜0 D．logba＞0解析：選C．a(chǎn)b＞a0＝1，ba＜b0＝1，logab＜loga1＝0，logba＜logb1＝0.4．若a<b<0，則下列不等式中成立的是()A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．a(chǎn)＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a)C．b＋eq\f(1,a)>a＋eq\f(1,b)D．eq\f(b,a)<eq\f(b＋1,a＋1)解析：選C．因?yàn)閍<b<0，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b).由不等式的同向可加性知b＋eq\f(1,a)>a＋eq\f(1,b).5．下列函數(shù)f(x)中，滿意“對(duì)隨意x1，x2∈(0，＋∞)，當(dāng)x1＜x2時(shí)，都有f(x1)＞f(x2)成立”的是()A．f(x)＝eq\f(1,x)B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝exD．f(x)＝ln(x＋1)解析：選A．本題就是找哪一個(gè)函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，A項(xiàng)中，f′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))′＝－eq\f(1,x2)＜0，所以f(x)＝eq\f(1,x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)．6．設(shè)a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)，則a，b的大小關(guān)系為________．解析：a＝eq\r(3)＋2eq\r(2)，b＝2＋eq\r(7)，兩式的兩邊分別平方，可得a2＝11＋4eq\r(6)，b2＝11＋4eq\r(7)，明顯，eq\r(6)<eq\r(7).所以a<b.答案：a<b7．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2eq\r(3)，則△ABC的面積等于________．解析：如圖所示，在△ABC中，由正弦定理得eq\f(2\r(3),sin60°)＝eq\f(4,sinB)，解得sinB＝1，所以B＝90°，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×2eq\r(3)＝eq\f(1,2)×eq\r(42－(2\r(3))2)×2eq\r(3)＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)8．假如aeq\r(a)＞beq\r(b)，則實(shí)數(shù)a，b應(yīng)滿意的條件是________．解析：要使aeq\r(a)＞beq\r(b)成立，只需(aeq\r(a))2＞(beq\r(b))2，只需a3＞b3＞0，即a，b應(yīng)滿意a＞b＞0.答案：a＞b＞09．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC．推斷△ABC的形態(tài)．解：因?yàn)锳＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)．又2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0.又A與B均為△ABC的內(nèi)角，所以A＝B.又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，a2＋b2－c2＝ab.又由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得a2＋b2－c2＝2abcosC.所以2abcosC＝ab，cosC＝eq\f(1,2)，所以C＝60°.又因?yàn)锳＝B，所以△ABC為等邊三角形．10．求證：當(dāng)一個(gè)圓和一個(gè)正方形的周長相等時(shí)，圓的面積比正方形的面積大．證明：設(shè)圓和正方形的周長為L，故圓的面積為πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)，正方形的面積為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))eq\s\up12(2)，則本題即證πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))eq\s\up12(2).要證πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))eq\s\up12(2)，即證eq\f(πL2,4π2)＞eq\f(L2,16)，即證eq\f(1,π)＞eq\f(1,4)，即證4＞π，因?yàn)?＞π明顯成立，所以πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,2π)))eq\s\up12(2)＞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,4)))eq\s\up12(2).故原命題成立．[B實(shí)力提升]11．在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到∠A為鈍角的結(jié)論，三邊a，b，c應(yīng)滿意什么條件()A．a(chǎn)2<b2＋c2 B．a(chǎn)2＝b2＋c2C．a(chǎn)2>b2＋c2 D．a(chǎn)2≤b2＋c2解析：選C．由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)<0，所以b2＋c2－a2<0，即b2＋c2<a2.12．如圖所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱垂直于底面，滿意________時(shí)，BD⊥A1C(寫上一個(gè)條件即可)．解析：要證BD⊥A1C，只需證BD⊥平面AA1C.因?yàn)锳A1⊥BD，只要再添加條件AC⊥BD，即可證明BD⊥平面AA1C，從而有BD⊥A1C.答案：AC⊥BD(答案不唯一)13．如圖，幾何體E-ABCD是四棱錐，△ABD為正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.(1)求證：BE＝DE；(2)若∠BCD＝120°，M為線段AE的中點(diǎn)，求證：DM∥平面BEC.證明：(1)取BD的中點(diǎn)O，連接CO，EO，則由CB＝CD知，CO⊥BD.又EC⊥BD，EC∩CO＝C，所以BD⊥平面OCE，所以BD⊥EO，又O為BD的中點(diǎn)，所以BE＝DE.(2)取AB的中點(diǎn)N，連接MN，DN，DM.因?yàn)镸，N分別是AE，AB的中點(diǎn)，所以MN∥BE.又MNeq\o(?,\s\up0(/))平面BEC，BE?平面BEC，所以MN∥平面BEC.因?yàn)椤鰽BD為正三角形，所以DN⊥AB.由∠BCD＝120