2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)試題2024.11一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知平面的一個法向量為，直線的一個方向向量為，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的垂直關(guān)系即可求解.【詳解】因為，所以，所以，解得．故選:B2.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，設(shè)“第一枚硬幣正面朝上”為事件A，“第二枚硬幣反面朝上”為事件B，則下述正確的是（）.A.A與B對立 B.A與B互斥C. D.A與B相互獨立【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，列舉出拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果，再逐一分析判斷各個選項即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣的所有結(jié)果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），則事件包含的結(jié)果有：（正，正），（正，反），事件包含的結(jié)果有：（正，反），（反，反），顯然事件，事件都包含“（正，反）”這一結(jié)果，即事件，事件能同時發(fā)生，所以，事件，事件既不互斥也不對立，故AB錯誤.又因為，而，，所以，，故C錯誤，D正確.故選：D3.已知圓經(jīng)過兩點，且圓心在直線，則圓的標準方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先設(shè)圓心的坐標為，根據(jù)點在線上及兩點間距離得出，再求出半徑，得出圓的標準方程.【詳解】設(shè)圓心的坐標為.因為圓心在直線上，所以①，因為是圓上兩點，所以，根據(jù)兩點間距離公式，有，即②，由①②可得.所以圓心的坐標是），圓的半徑.所以，所求圓的標準方程是.故選:C.4.甲、乙二人下圍棋，若甲先著子，則甲勝的概率為0.6，若乙先著子，則乙勝的概率為0.5，若采取三局兩勝制（無平局情況），第一局通過擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣確定誰先著子，以后每局由上一局負者先著子，則甲通過前兩局獲得勝利的概率（）A.0.5 B.0.6 C.0.357 D.0.275【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件的概率公式及相互獨立事件的概率公式計算即可.【詳解】由題意，第一局甲先著子，甲前兩局獲勝的概率為，第一局乙先著子，甲前兩局獲勝的概率為，故甲前兩局獲勝的概率為.

故選：D.5.在正方體中，是棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，運用向量的方法求解即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2，則，所以設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線與平面所成角為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.【點睛】6.若直線與圓，圓都相切，切點分別、，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線交軸于點，推導(dǎo)出為的中點，為的中點，利用勾股定理可求得.【詳解】如下圖所示，設(shè)直線交軸于點，由于直線與圓，圓都相切，切點分別為、，則，，，，為的中點，為的中點，，由勾股定理可得.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解本題的關(guān)鍵在于推導(dǎo)出為的中點，并利用勾股定理進行計算，此外，在直線與圓相切的問題時，要注意利用圓心與切點的連線與切線垂直這一幾何性質(zhì).7.已知點，．若直線與線段無公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件及直線的點斜式方程求出定點，直線與線段無公共點，結(jié)合圖形可得直線斜率的范圍，利用直線的斜率公式即可求解.【詳解】由，得，所以直線的方程恒過定點，斜率為.因為，，所以，.如圖所示，由圖象可知，，即時，直線與線段無公共點，所以實數(shù)的取值范圍為，故選：A.8.在棱長為1的正方體中，分別是的中點，則直線到平面的距離為（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，，所以,設(shè)平面的法向量為，則，令，則，因為，平面，平面，所以平面，所以直線到平面的距離即為點到平面的距離，所以直線到平面的距離為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知事件，發(fā)生的概率分別為，則下列說法正確的是（）A.B.若與互斥，則C.若與相互獨立，則D.若，則與相互獨立【答案】CD【解析】【分析】由交事件的定義可判斷A選項；利用互斥事件的概率公式可判斷B選項；利用獨立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判斷C選項；利用獨立事件的概念可判斷D選項；【詳解】對于A選項，若，則，所以，A錯誤；對于B選項，若與互斥，則，B錯誤；對于C選項，若與相互獨立，則，所以，，C正確；對于D選項，若，且，所以事件與相互獨立，則事件與相互獨立，D正確；故選：CD.10.在平面直角坐標系中，已知圓與圓，分別為圓和圓上的動點，下列說法正確的是（）A.過點作圓M的切線有且只有一條B.若圓和圓恰有3條公切線，則C.若PQ的最小值為1，則D.若，則直線的斜率的最大值為【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，分別求得圓和圓的圓心坐標和半徑，結(jié)合圓與原的位置關(guān)系，逐項判定，即可求解.【詳解】由圓，可得圓心為，半徑為，圓，可得圓心為，半徑為，對于A中，由點在圓外，所以過點的切線有2條，所以A不正確；對于B中，若圓和圓恰有3條公切線，則圓和圓相外切，所以，即，解得，所以B正確；對于C中，當圓和圓外離時，可得PQ的最小值為，此時；當圓和圓內(nèi)含時，可得PQ的最小值為，此時，所以C不正確；對于D中，當時，則直線的斜率的最大值是斜率為正的內(nèi)公切線斜率，如圖所示，，且，所以，在直角，可得，所以，即直線PQ的斜率的最大值為，所以D正確.故選：BD.11.已知正方體的棱長為2，如圖，為棱上的動點，平面，則下列說法正確的是（）A.直線AB與平面所成角的正弦值范圍為B.當點與點重合時，平面截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大C.當點為的中點時，若平面經(jīng)過點，則平面截正方體所得的截面圖形是等腰梯形D.已知為的中點，當?shù)暮妥钚r，則【答案】ACD【解析】【分析】以點D為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷A選項的正誤；證明出平面，分別取棱,,,,,的中點，比較和六邊形的周長和面積的大小，可判斷B選項的正誤；利用空間向量法找出平面與棱、的交點，判斷四邊形的形狀可判斷C選項的正誤；將矩形與矩形延展為一個平面，利用三點共線得知最短，利用平行線分線段成比例定理求得,可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，以點D為坐標原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則點A2,0,0、、設(shè)點，平面，則為平面的一個法向量，且，，，所以，直線與平面所成角的正弦值范圍為，A選項正確；對于B選項，當與重合時，連接，在正方體中，平面，平面，，∵四邊形是正方形，則，，平面，平面，平面，，同理可證，，平面，平面，易知是邊長為的等邊三角形，其面積為，周長為.分別取棱,,,,,的中點，易知六邊形是邊長為的正六邊形，且平面平面，正六邊形的周長為，面積為，則的面積小于正六邊形的面積，它們的周長相等，B選項錯誤；對于C選項，設(shè)平面交棱于點，點，，平面，平面，，即，得，，所以，點為棱的中點，同理可知，點為棱的中點，則，，而，，且，由空間中兩點間的距離公式可得，，，所以，四邊形為等腰梯形，C選項正確；對于D選項，將矩形與矩形沿攤平為一個平面，如下圖所示：若最短，則三點共線，，，又，，D選項正確.故選：ACD.【點睛】本題考查線面角正弦值的取值范圍，同時也考查了平面截正方體的截面問題以及折線段長的最小值問題，考查空間想象能力與計算能力，屬于難題.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線（其中k為常數(shù)），圓，直線l與圓O相交于A，B兩點，則AB長度的最小值為________.【答案】【解析】【分析】求出直線過的定點，求出圓的圓心和半徑，當直線與垂直時弦長最小，求出AB長度的最小值.詳解】由題意得直線過定點，圓圓心為，半徑為，在圓內(nèi)，當直線與垂直時，弦長最小，此時，所以AB長度的最小值為.故答案為：.13.已知向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標運算可求，再結(jié)合投影向量的定義運算求解.【詳解】因為，，則，所以向量在向量上的投影向量為.故答案為：.14.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點、的距離之比為定值（且）的點所形成的圖形是圓.后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點、間的距離為，動點滿足，當、、不共線時，面積的最大值是___________.【答案】【解析】【分析】以經(jīng)過、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，設(shè)點，利用已知條件求出點的軌跡方程，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)可求得面積的最大值.【詳解】以經(jīng)過、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系，則、，設(shè)，因，所以，兩邊平方并整理得：，即，所以面積的最大值是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.口袋中有質(zhì)地、大小完全相同的5個球，編號分別為1，2，3，4，5，甲、乙兩人玩一種游戲：甲先摸出一個球，記下編號，放回后乙再摸一個球，記下編號，如果兩個編號的和為偶數(shù)算甲贏，否則算乙贏.（1）求甲贏且編號的和為6的事件發(fā)生的概率；（2）請用甲、乙獲勝的概率說明這種游戲規(guī)則是否公平.【答案】（1）（2）這種游戲規(guī)則不公平【解析】【分析】（1）由古典概率計算即可；（2）列出甲勝的情況，再有古典概率求出甲勝的概率，然后根據(jù)概率之和為1求出乙勝的概率，再判斷即可；【小問1詳解】設(shè)“甲勝且編號的和為6”為事件．甲編號為，乙編號為，表示一個基本事件，則兩人摸球結(jié)果包括共25個基本事件；包括基本事件有共5個．∴．甲勝且編號的和為6的事件發(fā)生的概率為．【小問2詳解】這種游戲不公平．設(shè)“甲勝”為事件，“乙勝”為事件．甲勝即兩個編號的和為偶數(shù)所包含基本事件數(shù)為以下13個：．所以甲勝的概率為，乙勝的概率為，∵，∴這種游戲規(guī)則不公平．16.已知直線過定點（1）若到直線的距離為，求直線的方程；（2）若直線分別與軸，軸的負半軸交于兩點，求（為坐標原點）面積的最小值及此時直線的方程.【答案】（1）或（2）最小值為，直線l的方程為.【解析】【分析】（1）就斜率是否存在分類討論后結(jié)合點到直線的距離公式可求直線方程；（2）設(shè)直線為，則可用斜率表示面積，結(jié)合基本不等式可求面積的最小值，從而可求直線方程.【小問1詳解】當直線斜率不存在時，由過得，滿足到的距離為3，當直線斜率存在時，設(shè)直線方程為即，點到直線的距離為，解得.此時直線的方程為即，綜上所述，所求的直線方程為或.【小問2詳解】若直線分別與軸，軸的負半軸交于兩點，則設(shè)直線為，，則，.，當且僅當時取等號，故面積的最小值為12，此時直線l的方程為.17.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)棱底面，，是的中點.（1）求證：平面；（2）已知點在棱上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長.【答案】（1）證明見解析（2）或【解析】【分析】（1）連結(jié)，交于點，連結(jié)，由三角形中位線的性質(zhì)，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）建立如圖所示坐標系，求出平面的法向量和用表示，代入空間向量的線面角公式求解即可；小問1詳解】連結(jié)，交于點，連結(jié)，點是的中點，點是的中點，所以，平面，平面，所以平面；【小問2詳解】如圖，以向量，，為軸的正方向建立空間直角坐標系，，，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，，，所以平面的法向量，，，，，設(shè)直線與平面的夾角為，則，解得或，又，則或18.已知點為圓上的動點，點，延長至點使得為的中點．（1）求點的軌跡方程．（2）過圓外點向圓引兩條切線，且切點分別為兩點，求最小值．（3）若直線l：與圓交于兩點，且直線的斜率分別為，則是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）的值為定值，且定值為【解析】【分析】（1）根據(jù)動點軌跡方程利用中點坐標公式可得點的軌跡方程是；（2）利用數(shù)量積定義以及基本不等式并結(jié)合即可得最小值；（3）聯(lián)立直線和圓方程并利用韋達定理即可得的表達式，整理即可得出為定值.【小問1詳解】設(shè)，動點，由中點的坐標公式解得，，又在圓上，可得，即可得，∴點的軌跡方程是．【小問2詳解】設(shè)．則，，，所以：，當且僅當，即時，等號成立，所以最小值為．【小問3詳解】如下圖所示：聯(lián)立方程組，得，設(shè)，，則，∴，故的值為定值，且定值為．19.空間中，兩兩互相垂直且有公共原點的三條數(shù)軸構(gòu)成直角坐標系，如果坐標系中有兩條坐標軸不垂直，那么這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．現(xiàn)有一種空間斜坐標系，它任意兩條數(shù)軸的夾角均為60°，我們將這種坐標系稱為“斜60°坐標系”．我們類比空間直角坐標系，定義“空間斜60°坐標系”下向量的斜60°坐標：分別為“斜60°坐標系”下三條數(shù)軸（軸、軸?軸）正方向的單位向量，若向量，則與有序?qū)崝?shù)組相對應(yīng)，稱向量的斜60°坐標為，記作．（1）若，，求的斜60°坐標；（2）在平行六面體中，，，N為線段D1C1的中點．如圖，以為基底建立“空間斜60°坐標系”．①求的斜60°坐標；②若，求與夾角的余弦值．【答案】（1）（