PAGE1-第3節(jié)圓的方程考試要求駕馭確定圓的幾何要素，駕馭圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.知識梳理1.圓的定義和圓的方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要條件：D2＋E2－4F＞0圓心坐標(biāo)：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|＞r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|＜r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).[常用結(jié)論與微點(diǎn)提示]1.圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為r的圓的方程為x2＋y2＝r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.診斷自測1.推斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.()(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓.()(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓.()(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.()解析(2)當(dāng)a＝0時(shí)，x2＋y2＝a2表示點(diǎn)(0，0)；當(dāng)a＜0時(shí)，表示半徑為|a|的圓.(3)當(dāng)(4m)2＋(－2)2－4×5m＞0，即m＜eq\f(1,4)或m＞1時(shí)表示圓.答案(1)√(2)×(3)×(4)√2.(老教材必修2P124A1改編)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()A.(2，3)，3 B.(－2，3)，eq\r(3)C.(－2，－3)，13 D.(2，－3)，eq\r(13)解析圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標(biāo)是(2，－3)，半徑r＝eq\r(13).答案D3.(老教材必修2P120例3改編)過點(diǎn)A(1，－1)，B(－1，1)，且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是()A.(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B.(x＋3)2＋(y－1)2＝4C.(x－1)2＋(y－1)2＝4 D.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4解析設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，半徑為r.因?yàn)閳A心C在直線x＋y－2＝0上，所以b＝2－a.又|CA|2＝|CB|2，所以(a－1)2＋(2－a＋1)2＝(a＋1)2＋(2－a－1)2，所以a＝1，b＝1.所以r＝2.所以方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.答案C4.(2024·合肥模擬)已知A(1，0)，B(0，3)兩點(diǎn)，則以AB為直徑的圓的方程是()A.x2＋y2－x－3y＝0 B.x2＋y2＋x＋3y＝0C.x2＋y2＋x－3y＝0 D.x2＋y2－x＋3y＝0解析|AB|＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，半徑r＝eq\f(\r(10),2)，∴圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(10,4)，化為一般方程為x2＋y2－x－3y＝0.答案A5.(2024·佛山一中期末)若k∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，\f(4,5)，3))，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0不表示圓，則k的取值集合中元素的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4解析方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圓的條件為(k－1)2＋(2k)2－4k>0，即5k2－6k＋1>0，解得k>1或k<eq\f(1,5)，又知該方程不表示圓，所以k的取值范圍為eq\f(1,5)≤k≤1，又因?yàn)閗∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－2，0，\f(4,5)，3))，所以滿意條件的k＝eq\f(4,5)，即k的取值集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))，故選A.答案A6.(2024·銀川模擬)方程|y|－1＝eq\r(1－（x－1）2)表示的曲線是()A.一個(gè)橢圓 B.一個(gè)圓C.兩個(gè)圓 D.兩個(gè)半圓解析由題意知|y|－1≥0，則y≥1或y≤－1，當(dāng)y≥1時(shí)，原方程可化為(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)為圓心、1為半徑、直線y＝1上方的半圓；當(dāng)y≤－1時(shí)，原方程可化為(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)為圓心、1為半徑、直線y＝－1下方的半圓.所以方程|y|－1＝eq\r(1－（x－1）2)表示的曲線是兩個(gè)半圓.故選D.答案D考點(diǎn)一圓的方程【例1】(1)(一題多解)已知圓E經(jīng)過三點(diǎn)A(0，1)，B(2，0)，C(0，－1)，且圓心在x軸的正半軸上，則圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,4) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,16)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,16) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,4)(2)(2024·豫西五校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(0，1)為圓心且與直線x－by＋2b＋1＝0相切的全部圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x2＋(y－1)2＝4 B.x2＋(y－1)2＝2C.x2＋(y－1)2＝8 D.x2＋(y－1)2＝16解析(1)法一(待定系數(shù)法)設(shè)圓E的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，,1－E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－\f(3,2)，,E＝0，,F＝－1.))所以圓E的一般方程為x2＋y2－eq\f(3,2)x－1＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,16).法二(幾何法)因?yàn)閳AE經(jīng)過點(diǎn)A(0，1)，B(2，0)，所以圓E的圓心在線段AB的垂直平分線y－eq\f(1,2)＝2(x－1)上.又圓E的圓心在x軸的正半軸上，所以圓E的圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0)).則圓E的半徑為|EB|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(3,4)))\s\up12(2)＋（0－0）2)＝eq\f(5,4)，所以圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(25,16).(2)由直線x－by＋2b＋1＝0可得該直線過定點(diǎn)A(－1，2)，設(shè)圓心為B(0，1)，由題意可知要使所求圓的半徑最大，則rmax＝|AB|＝eq\r(（－1－0）2＋（2－1）2)＝eq\r(2)，所以半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝2.故選B.答案(1)C(2)B規(guī)律方法求圓的方程時(shí)，應(yīng)依據(jù)條件選用合適的圓的方程.一般來說，求圓的方程有兩種方法：(1)幾何法，通過探討圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量.確定圓的方程時(shí)，常用到的圓的三特性質(zhì)：①圓心在過切點(diǎn)且垂直切線的直線上；②圓心在任一弦的中垂線上；③兩圓內(nèi)切或外切時(shí)，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線；(2)代數(shù)法，即設(shè)出圓的方程，用待定系數(shù)法求解.【訓(xùn)練1】(1)(2024·成都診斷)若圓C：x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,2m)))eq\s\up12(2)＝n的圓心為橢圓M：x2＋my2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，且圓C經(jīng)過M的另一個(gè)焦點(diǎn)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.(2)已知圓C經(jīng)過P(－2，4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，且在x軸上截得的弦長等于6，則圓C的方程為________.解析(1)∵圓C的圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2m)))，∴eq\r(\f(1,m)－1)＝eq\f(1,2m)，m＝eq\f(1,2).又圓C經(jīng)過M的另一個(gè)焦點(diǎn)，則圓C經(jīng)過點(diǎn)(0，1)，從而n＝4.故圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y＋1)2＝4.(2)設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，將P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20，①,3D－E＋F＝－10.②))又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③設(shè)x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6，得D2－4F＝36，④聯(lián)立①②④，解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8，或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0.故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.答案(1)x2＋(y＋1)2＝4(2)x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0考點(diǎn)二與圓有關(guān)的最值問題多維探究角度1利用幾何意義求最值【例2－1】已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求x＋y的最大值和最小值；(3)求eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值.解(1)eq\f(y,x)可視為點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，eq\f(y,x)的最大值和最小值就是與該圓有公共點(diǎn)的過原點(diǎn)的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的斜率.設(shè)過原點(diǎn)的直線的方程為y＝kx，由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即eq\f(|2k＋3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－2＋eq\f(2\r(3),3)或k＝－2－eq\f(2\r(3),3)，∴eq\f(y,x)的最大值為－2＋eq\f(2\r(3),3)，最小值為－2－eq\f(2\r(3),3).(2)設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，∴x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)在y軸上的截距.由直線與圓相切得圓心到直線的距離等于半徑，即eq\f(|2＋（－3）－t|,\r(2))＝1，解得t＝eq\r(2)－1或t＝－eq\r(2)－1.∴x＋y的最大值為eq\r(2)－1，最小值為－eq\r(2)－1.(3)eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝eq\r(（x＋1）2＋（y－2）2)，求它的最值可視為求點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(－1，2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為求圓心(2，－3)到定點(diǎn)(－1，2)的距離與半徑的和或差.又圓心到定點(diǎn)(－1，2)的距離為eq\r(34)，∴eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值為eq\r(34)＋1，最小值eq\r(34)－1.規(guī)律方法把有關(guān)式子進(jìn)行轉(zhuǎn)化或利用所給式子的幾何意義解題，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其中以下幾類轉(zhuǎn)化較為常見：(1)形如m＝eq\f(y－b,x－a)的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題；(2)形如m＝ax＋by的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值問題，可轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的平方的最值問題.角度2利用對稱性求最值【例2－2】已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動點(diǎn)，P為x軸上的動點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為()A.5eq\r(2)－4 B.eq\r(17)－1C.6－2eq\r(2) D.eq\r(17)解析P是x軸上隨意一點(diǎn)，則|PM|的最小值為|PC1|－1，同理|PN|的最小值為|PC2|－3，則|PM|＋|PN|的最小值為|PC1|＋|PC2|－4.作C1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)C′1(2，－3).所以|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝5eq\r(2)，即|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5eq\r(2)－4.答案A規(guī)律方法求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路：(1)“動化定”，把與圓上動點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；(2)“曲化直”，即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同始終線上的兩線段之和，一般要通過對稱性解決.角度3建立函數(shù)關(guān)系求最值【例2－3】(2024·重慶模擬)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動點(diǎn)，定點(diǎn)A(2，0)，B(－2，0)，則eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最大值為________.解析由題意，知eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于點(diǎn)P(x，y)是圓上的點(diǎn)，故其坐標(biāo)滿意方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.由圓的方程x2＋(y－3)2＝1，易知2≤y≤4，所以，當(dāng)y＝4時(shí)，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值為6×4－12＝12.答案12規(guī)律方法依據(jù)題中條件列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式，再依據(jù)函數(shù)學(xué)問或基本不等式求最值.【訓(xùn)練2】(1)(多填題)(角度1)已知實(shí)數(shù)x，y滿意方程x2＋y2－4x＋1＝0，則x2＋y2的最大值為________，最小值為________.(2)(角度2)已知A(0，2)，點(diǎn)P在直線x＋y＋2＝0上，點(diǎn)Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________.(3)(角度3)已知圓O：x2＋y2＝9，若過點(diǎn)C(2，1)的直線l與圓O交于P，Q兩點(diǎn)，則△OPQ的面積最大值為()A.2B.2eq\r(5)C.eq\f(9,2)D.5解析(1)x2＋y2表示圓(x－2)2＋y2＝3上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何學(xué)問知，在原點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值(如圖).又圓心到原點(diǎn)的距離為eq\r(（2－0）2＋（0－0）2)＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq\r(3))2＝7－4eq\r(3).(2)因?yàn)閳AC：x2＋y2－4x－2y＝0，故圓C是以C(2，1)為圓心，半徑r＝eq\r(5)的圓.設(shè)點(diǎn)A(0，2)關(guān)于直線x＋y＋2＝0的對稱點(diǎn)為A′(m，n)，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(－4，－2).連接A′C交圓C于Q，由對稱性可知|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq\r(5).(3)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，l的方程為x＝2，則P，Q的坐標(biāo)為(2，eq\r(5))，(2，－eq\r(5))，所以S△OPQ＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(5)＝2eq\r(5).當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為y－1＝k(x－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k≠\f(1,2)))，則圓心到直線PQ的距離d＝eq\f(|1－2k|,\r(1＋k2))，由平面幾何學(xué)問得|PQ|＝2eq\r(9－d2)，S△OPQ＝eq\f(1,2)·|PQ|·d＝eq\f(1,2)·2eq\r(9－d2)·d＝eq\r(（9－d2）d2)≤eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9－d2＋d2,2)))\s\up12(2))＝eq\f(9,2)，當(dāng)且僅當(dāng)9－d2＝d2，即d2＝eq\f(9,2)時(shí)，S△OPQ取得最大值eq\f(9,2).因?yàn)?eq\r(5)<eq\f(9,2)，所以S△OPQ的最大值為eq\f(9,2).答案(1)7＋4eq\r(3)7－4eq\r(3)(2)2eq\r(5)(3)C考點(diǎn)三與圓有關(guān)的軌跡問題【例3】已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：(1)(一題多解)直角頂點(diǎn)C的軌跡方程；(2)直角邊BC的中點(diǎn)M的軌跡方程.解(1)法一設(shè)C(x，y)，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以y≠0.因?yàn)锳C⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝eq\f(y,x＋1)，kBC＝eq\f(y,x－3)，所以eq\f(y,x＋1)·eq\f(y,x－3)＝－1，化簡得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).法二設(shè)AB的中點(diǎn)為D，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得D(1，0)，由直角三角形的性質(zhì)知|CD|＝eq\f(1,2)|AB|＝2.由圓的定義知，動點(diǎn)C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點(diǎn)不共線，所以應(yīng)除去與x軸的交點(diǎn)).所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0).(2)設(shè)M(x，y)，C(x0，y0)，因?yàn)锽(3，0)，M是線段BC的中點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得x＝eq\f(x0＋3,2)，y＝eq\f(y0＋0,2)，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，點(diǎn)C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此動點(diǎn)M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0).規(guī)律方法求與圓有關(guān)的軌跡問題時(shí)，依據(jù)題設(shè)條件的不同常采納以下方法：(1)干脆法，干脆依據(jù)題目供應(yīng)的條件列出方程；(2)定義法，依據(jù)圓、直線等定義列方程；(3)幾何法，利用圓的幾何性質(zhì)列方程；(4)代入法，找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿意的關(guān)系式等.【訓(xùn)練3】已知過原點(diǎn)的動直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點(diǎn)A，B.(1)求圓C1的圓心坐標(biāo)；(2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程.解(1)由x2＋y2－6x＋5＝0得(x－3)2＋y2＝4，所以圓C1的圓心坐標(biāo)為(3，0).(2)設(shè)M(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，所以C1M⊥AB，所以kC1M·kAB＝－1，當(dāng)x≠3時(shí)可得eq\f(y,x－3)·eq\f(y,x)＝－1，整理得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(9,4)，又當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，代入上式成立.設(shè)直線l的方程為y＝kx，與x2＋y2－6x＋5＝0聯(lián)立，消去y得：(1＋k2)x2－6x＋5＝0.令其判別式Δ＝(－6)2－4(1＋k2)×5＝0，得k2＝eq\f(4,5)，此時(shí)方程為eq\f(9,5)x2－6x＋5＝0，解上式得x＝eq\f(5,3)，因此eq\f(5,3)<x≤3.所以線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋y2＝eq\f(9,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)<x≤3)).A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1.若點(diǎn)(1，1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(－1，1) B.(0，1)C.(－∞，－1)∪(1，＋∞) D.a＝±1解析因?yàn)辄c(diǎn)(1，1)在圓的內(nèi)部，所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.答案A2.經(jīng)過點(diǎn)(1，0)，且圓心是兩直線x＝1與x＋y＝2的交點(diǎn)的圓的方程為()A.(x－1)2＋y2＝1 B.(x－1)2＋(y－1)2＝1C.x2＋(y－1)2＝1 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2解析由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,x＋y＝2，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即所求圓的圓心坐標(biāo)為(1，1)，又由該圓過點(diǎn)(1，0)，得其半徑為1，故圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1.答案B3.(2024·荊州模擬)若圓(x－1)2＋(y－1)2＝2關(guān)于直線y＝kx＋3對稱，則k的值是()A.2 B.－2 C.1 D.－1解析由題意知直線y＝kx＋3過圓心(1，1)，即1＝k＋3，解得k＝－2.答案B4.點(diǎn)P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是()A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1解析設(shè)圓上隨意一點(diǎn)為(x1，y1)，中點(diǎn)為(x，y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(x1＋4,2)，,y＝\f(y1－2,2)，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝2x－4，,y1＝2y＋2，))代入x2＋y2＝4，得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化簡得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.答案A5.(2024·河北九校聯(lián)考)圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為()A.x2－y2－2x－3＝0 B.x2＋y2＋4x＝0C.x2＋y2－4x＝0 D.x2＋y2＋2x－3＝0解析由題意設(shè)所求圓的方程為(x－m)2＋y2＝4(m>0)，則eq\f(|3m＋4|,\r(32＋42))＝2，解得m＝2或m＝－eq\f(14,3)(舍去)，故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，故選C.答案C二、填空題6.(多填題)已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標(biāo)是________，半徑是________.解析由已知方程表示圓，則a2＝a＋2，解得a＝2或a＝－1.當(dāng)a＝2時(shí)，方程不滿意表示圓的條件，故舍去.當(dāng)a＝－1時(shí)，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓.答案(－2，－4)57.已知圓C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，當(dāng)m改變時(shí)，圓C上的點(diǎn)與原點(diǎn)O的最短距離是________.解析圓C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1表示圓心為C(2，－m＋4)，半徑r＝1的圓，則|OC|＝eq\r(22＋（－m＋4）2)，所以當(dāng)m＝4時(shí)，|OC|的最小值為2，故當(dāng)m改變時(shí)，圓C上的點(diǎn)與原點(diǎn)的最短距離是|OC|－r＝2－1＝1.答案18.在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi)，過點(diǎn)E(0，1)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為______.解析圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－3)2＝10，則圓心(1，3)，半徑r＝eq\r(10)，圓心(1，3)與E(0，1)距離eq\r(（1－0）2＋（3－1）2)＝eq\r(5)，由題意知AC⊥BD，且|AC|＝2eq\r(10)，|BD|＝2eq\r(10－5)＝2eq\r(5)，所以四邊形ABCD的面積為S＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|＝eq\f(1,2)×2eq\r(10)×2eq\r(5)＝10eq\r(2).答案10eq\r(2)三、解答題9.已知以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A(－1，0)和B(3，4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點(diǎn)C和D，且|CD|＝4eq\r(10).(1)求直線CD的方程；(2)求圓P的方程.解(1)由題意知，直線AB的斜率k＝1，中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，2).則直線CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.(2)設(shè)圓心P(a，b)，則由點(diǎn)P在CD上得a＋b－3＝0.①又因?yàn)橹睆絴CD|＝4eq\r(10)，所以|PA|＝2eq\r(10)，所以(a＋1)2＋b2＝40.②由①②解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝6))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－2.))所以圓心P(－3，6)或P(5，－2).所以圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.10.(2024·全國Ⅱ卷)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8.(1)求l的方程；(2)求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程.解(1)由題意得F(1，0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－1），,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq\f(4k2＋4,k2).由題設(shè)知eq\f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程為y＝x－1.(2)由(1)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y0＝－x0＋5，,（x0＋1）2＝\f(（y0－x0＋1）2,2)＋16.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝3，,y0＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝11，,y0＝－6.))因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.B級實(shí)力提升11.(2024·西安調(diào)研)圓(x－2)2＋y2＝4關(guān)于直線y＝eq\f(\r(3),3)x對稱的圓的方程是()A.(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝4B.(x－eq\r(2))2＋(y－eq\r(2))2＝4C.x2＋(y－2)2＝4D.(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4解析設(shè)圓(x－2)2＋y2＝4的圓心(2，0)關(guān)于直線y＝eq\f(\r(3),3)x對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－2)·\f(\r(3),3)＝－1，,\f(b,2)＝\f(\r(3),3)·\f(a＋2,2)，))解得a＝1，b＝eq\r(3)，從而所求圓的方程為(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝4.故選D.答案D12.(2024·全國Ⅲ卷)直線x＋y＋2＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是()A.[2，6] B.[4，8]C.[eq\r(2)，3eq\r(2)] D.[2eq\r(2)，3eq\r(2)]解析設(shè)圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為C，半徑為r，點(diǎn)P到直線x＋y＋2＝0的距離為d，則圓心C(2，0)，r＝eq\r(2)，所以圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離為2eq\r(2)，可得dmax＝2eq\r(2)＋r＝3eq\r(2)，dmin＝2eq\r(2)－r＝eq\r(2).由已知條件可得