2024-2025學年福建省福州市高二上學期期中考試數(shù)學檢測試卷試卷說明：（1）本卷共四大題，19小題，解答寫在答卷的指定位置上，考試結束后，只交答卷.（2）考試過程中不得使用計算器或具有計算功能的電子設備.第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.經(jīng)過點，傾斜角是的直線方程是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，求得直線的斜率為，結合直線的點斜式方程，即可求解.因為所求直線的傾斜角為，可得直線的斜率為，又因為所求直線經(jīng)過點，可得直線方程為.故選：B2.已知方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)給定的方程及橢圓焦點位置，列出不等式求解即得.由方程表示焦點在軸上的橢圓，得，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A3.在圓的所有經(jīng)過坐標原點的弦中，最短的弦的長度為（）A.1 B.2 C. D.4【正確答案】B【分析】利用配方法化簡圓的方程，結合垂徑定理與勾股定理，可得答案.由，則圓的標準方程為，如下圖：圖中，，為圓的圓心，為直線與圓的交點，易知為所有經(jīng)過坐標原點的弦中的最短弦，.故選：B.4.如圖，在直三棱柱中，，，點是線段上靠近的三等分點，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)題意，可以用正方體模型補形解題，通過平移找出線線所成的角度借助余弦定理解題即可.根據(jù)題意，可以補充成一個棱長為3的正方體.如圖所示.取的三等分點,連接，根據(jù)正方體性質，知道.則為直線與所成角或補角.連接，.根據(jù)正方體性質，知道．在中，余弦定理知道，,則直線與所成角的余弦值為.故選：C．5.已知實數(shù)滿足，則的最大值是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】將問題轉化為圓上的點與連線的斜率，利用圓的切線方程的求法可求得斜率的取值范圍，進而得到最大值.由得：，點的軌跡是以2,1為圓心，為半徑的圓，的幾何意義為該圓上的點與連線的斜率，當過點的直線斜率不存在，即為時，與圓顯然不相切；設過點的圓的切線為，即，圓心到切線的距離，解得：，，則的最大值為.故選：C.6.光線通過點，在直線上反射，反射光線經(jīng)過點，則反射光線所在直線方程為（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】先求出關于直線的對稱點，從而得到反射光線所在直線經(jīng)過點和對稱點，從而得到反射光線所在直線方程.設點關于直線的對稱點為，則，解得，故.由于反射光線所在直線經(jīng)過點和，所以反射光線所在直線的方程為，即.故選：C.7.若直線與曲線有公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)曲線即為，利用直線與圓的位置關系求解.解：曲線即為，表示以為圓心，以2為半徑的半圓，其圖象如圖所示：由圓心到直線距離等于半徑，得，解得或，當直線過點時，，因為直線與曲線有公共點，所以實數(shù)的取值范圍是，故選：A8.設，是橢圓（）的左、右焦點，過的直線與交于，兩點，若，，則的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】設，，，根據(jù)橢圓的定義及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出與的關系，即可求出離心率.不妨設，，，則，．又，所以，化簡得，顯然，所以，解得，，所以，，故，解得，故的離心率為．故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知圓，則下列說法正確的是（）A.當時，圓與圓有2條公切線B.當時，是圓與圓的一條公切線C.當時，圓與圓相交D.當時，圓與圓的公共弦所在直線的方程為【正確答案】BD【分析】由兩圓的標準方程可得它們的圓心和半徑，再根據(jù)圓心距與半徑的關系判斷出兩圓的位置關系，即可得出公切線條數(shù)，可判斷AC錯誤；利用圓心到直線的距離與半徑的關系可得B正確，將兩圓方程相減可得它們的公共弦所在直線的方程為，即D正確.由可知圓心為，半徑為1；由可知圓心為，半徑為，兩圓圓心距為；對于A，當時，，圓與圓相離，有4條公切線，所以A錯誤；對于B，當時，與圓相切，圓心到的距離為2，即與圓也相切，所以是圓與圓的一條公切線，即B正確；對于C，當時，，圓與圓相離，即C錯誤；對于D，當時，，此時兩圓相交，圓的一般方程為，與圓的方程相減可得，化簡可得圓與圓的公共弦所在直線的方程為，即D正確.故選：BD10.如圖，邊長均為1的兩個正方形和正方形所在的平面互相垂直，動點，分別在正方形對角線和上移動，且，則下列說法正確的是（）A.，使B.線段存在最小值，最小值為C.直線與平面所成角恒為D.，都有，，共面【正確答案】AD【分析】以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，寫出各點坐標，用空間向量法判斷各選項．由已知平面，以為軸建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，在坐標平面上，直線的方程為，，則，在坐標平面上，直線的方程為，，則,，，易知，當時，，A正確；，所以時，，B錯；平面的一個法向量是，，所以與平面所成角的正弦值為，這個值不是恒為，因此角的大小不可能恒為，C錯；，，所以，，共面，D正確，故選：AD．11.平面直角坐標系中，若點，點，則稱為點到點的“曼哈頓距離”.已知點為坐標原點，點在圓上，點在直線上，則下列說法正確的是（）A.若點的橫坐標為，則B.的最大值是C.的最小值是2D.的最小值是【正確答案】ABD【分析】對于A，求出點的坐標即可判斷；對于B，利用基本不等式即可判斷；對于C，D，利用絕對值放縮和絕對值不等式性質應用即可判斷.對于A，把代入中，可得，則，故A正確；對于B，設，則，于是，當且僅當時等號成立，即的最大值是，故B正確；對于C，設點，則，當時，等號成立，即的最小值是，故C錯誤；對于D，設點，，，則，其中，故只需當時，取得最小值為，此時，故D正確.故選：ABD.關鍵點點睛：本題的關鍵之一是對“曼哈頓距離”的理解，根據(jù)新定義，寫出曼哈頓距離；關鍵之二是含有絕對值的式子的處理，可根據(jù)絕對值的放縮和絕對值不等式，去掉絕對值的符號再求相關最值.Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.圓與圓交于，兩點，則線段的垂直平分線的方程為____________.【正確答案】【分析】線段的垂直平分線的方程即為兩圓圓心所在直線的方程，求出兩圓圓心坐標，即可求出直線方程.圓圓心坐標為O0,0，圓化成標準方程為，圓心坐標為，兩圓公共弦的垂直平分線恰為過兩圓圓心的直線，由，則直線的方程為，即.故答案為.13.在空間直角坐標系中已知，，，為三角形邊上的高，則__________．【正確答案】3【分析】應用空間向量法求點到直線距離.，，則，，所以，故314.在對角線的正方體中，正方形所在平面內(nèi)的動點到直線、的距離之和為，則的取值范圍是_________.【正確答案】【分析】將點到直線、的距離轉化為和，可得，結合橢圓的定義可得點的軌跡是以為焦點的橢圓，建立平面直角坐標系得橢圓的標準方程，根據(jù)橢圓方程和平面向量數(shù)量積坐標表示可求出結果.因為，所以，在正方體中，平面，平面，因為平面，所以，，所以，且，所以點的軌跡是以為焦點的橢圓，這里，，所以，，，以的中點為原點，為軸，的中垂線為軸建立平面直線坐標系，所以點的軌跡方程為，設，因為，，則，，所以，因為，，.故四、解答題：5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知直線經(jīng)過點，求滿足下列條件的直線方程.（1）直線與直線平行；（2）直線在兩坐標軸上的截距相等.【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）由直線平行，設直線方程為，代入點可得解；（2）當直線不過坐標原點時，設直線方程為，代入點即可，，當直線過坐標原點時，可得直線方程為.【小問1詳解】由已知直線與直線平行，則設直線，又直線過點，即，解得，則直線方程為，即；【小問2詳解】當直線不過坐標原點時，設直線方程為，則，解得，即直線方程為，即；當直線過坐標原點時，直線方程為，即，綜上所述直線方程為或.16.如圖，已知四棱錐的底面是直角梯形，，，且平面.求：（1）求平面與平面夾角的余弦值；（2）點A到平面的距離.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）直接建立空間直角坐標系，先求法向量，再求兩法向量夾角的余弦值，再求正弦值即可；（2）直接用空間向量法求點到面的距離.【小問1詳解】以為坐標原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，，，，，，所以，，設平面的法向量，則，令，則，，所以，取平面法向量為，所以，故面與面夾角的余弦值為；【小問2詳解】因為，平面法向量為，所以點到平面的距離.17.已知圓經(jīng)過兩點、，且圓的圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）若點為直線：上的動點，過點作圓的切線、，切點為、，求四邊形面積的最小值，并出此時點的坐標.【正確答案】（1）（2）；【分析】（1）根據(jù)圓上的兩個已知點求得其對稱軸，聯(lián)立方程求得圓心，利用兩點距離公式，可得答案；（2）根據(jù)題意，作圖，結合切線的性質以及動點與直線的性質，可得答案.【小問1詳解】由與，則直線的斜率，其中點坐標為，所以的對稱軸為直線，易知圓心在直線上，聯(lián)立，解得，則，半徑，所以圓的標準方程為.【小問2詳解】根據(jù)題意，作圖如下：由圖可知：四邊形的面積為，且，，在中，，因為，所以當最小時，最小，當時，最小，此時最小，此時，，，所以四邊形面積的最小值為，由直線，則其斜率，直線的斜率，則直線的方程為，整理可得，聯(lián)立，解得，則.18.如圖1，在直角中，，點，分別為邊，的中點，將沿著折起，使得點到達點的位置，如圖2，且二面角的大小為.（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）證明見解析；（2）或．理由見解析．【分析】（1）證明平面，由平行得證平面，再由面面垂直的判定定理得證面面垂直；（2）先證明是已知二面角的平面角，得，取中點，證明平面，然后以為原點，為軸，過平行的直線為，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，得各點坐標，求出平面的一個法向量，設，求得，再根據(jù)線面角的向量求法求線面角，從而可得結論．【小問1詳解】由題意，，平面，所以平面，又因為圖1中，分別是中點，所以，所以平面，而平面，所以平面平面；【小問2詳解】由題意，所以是二面角的平面角，二面角的大小為.則，又由已知，所以等邊三角形，取中點，連接，則，由（1）知平面，而平面，所以，，平面，所以平面，以為原點，為軸，過平行的直線為，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則，，,，，，，，設平面的一個法向量為，則，取，則，設，，，與平面所成角的正弦值為，則，解得或．所以的值為或．19.已知橢圓：，連接橢圓上任意兩點的線段叫作橢圓的弦，過橢圓中心的弦叫做橢圓的直徑.若橢圓的兩直徑的斜率之積為，則稱這兩直徑為橢圓的共軛直徑.特別地，若一條直徑所在的斜率為0，另一條直徑的斜率不存在時，也稱這兩直徑為共軛直徑.現(xiàn)已知橢圓.（1）已知點，為橢圓上兩定點，求的共軛直徑的端點坐標.（2）過點作直線與橢圓交于?兩點，直線與橢圓的另一個交點為，直線與橢圓的另一個交點為.當?shù)拿娣e最大時，直徑與直徑是否共軛，請說明理由.（3）設和為橢圓的一對共軛直徑，且線段的中點為.已知點滿足：，若點在橢圓的外部，求的取值范圍.【正確答案】（1）和；（2）直徑與直徑共軛，理由見解析；（3）或.【分析】（1）設所求直線方程為：依題意可得，即可得到直線方程，再聯(lián)立直線與橢圓方程求出交點坐標即可；（2）設：，?，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，則，再利用基本不等式求出面積最大值，即可求出參數(shù)的值，即可判斷；（3）設點，，設：，則：，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出交點坐標，從而得到點坐標，再由在橢圓內(nèi)部，即可得到不等式，解得即可；解：（1）由題設知，設所求直線方程為：，則，則.故共軛直徑所在直線方程為.聯(lián)立橢圓與，即可得：，.故端點坐標為和.（2）由題設知，不與軸重合，故設：，?聯(lián)立方程：，則，，，.當且僅當，即時取等號，此時，故直徑與直