第9章多邊形

9.1三角形

9.1.1認(rèn)識(shí)三角形

第1課時(shí)三角形的有關(guān)概念

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.認(rèn)識(shí)三角形的邊、內(nèi)角、頂點(diǎn)、外角，能用符號(hào)語言表示三角形;

2.了解三角形按邊分類的原則和結(jié)論.

重點(diǎn)：三角形的構(gòu)成要索、表示法及分類.

難點(diǎn)：三角形的分類.

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

畫一個(gè)三角形，觀察回憶你所學(xué)過或知道的三角形的有關(guān)知識(shí)，并寫出來.

二、新知預(yù)習(xí)

1.根據(jù)小學(xué)認(rèn)識(shí)的三角形判斷，是三角形的在括號(hào)內(nèi)打7”,不是三角形的打入”.

ZAAA

()()()()()

2.自主歸納：D

(1)三角形的概念：由不在問一直線上的三條線段首尾連結(jié)所組成的平面圖形.Av

(2)三角形的構(gòu)成：如圖，

邊：__________條,分別為線段_____、______、______;/\

頂點(diǎn)：個(gè)，點(diǎn)A、B、C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；['—-一C

內(nèi)角：個(gè)，每兩條邊所組成的角，叫做三角形的內(nèi)角，如、、;

外角：個(gè)，三角形中內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角，叫做三角形的外角，

如：

頂點(diǎn)是4,B,C的三角形記作：,讀作：.

3.三角形按角分類，可以分為三角形，三角形和—三角形；按邊分類，可分為不等

邊三角形和三角形(含等邊三角形).

三、自學(xué)自測

如圖，其中有一個(gè)三角形，分別記作:

BDC

四、我的疑惑

合作探究

一、要點(diǎn)探究

探亮點(diǎn)1:三角形的相關(guān)概念

找一找：

(1)圖中有兒個(gè)三角形？用符號(hào)表示出這些三角形;

(2)以A8為邊的三角形有哪些？

(3)以上為頂點(diǎn)的三角形有哪些？

(4)以ND為角的三角形有哪些？

(5)說出△4CO的三個(gè)角和三條邊.

方法總結(jié)：數(shù)三角形的個(gè)數(shù)時(shí)，抵住不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)能組成一個(gè)三角形；再按字母的順序去數(shù).

探究點(diǎn)2：三角形的分類

問題1：觀察下列三角形，說一說，按照內(nèi)角的情形，二角形可以分為哪幾類？

問題2：如果以三角形邊的元素的不同，三角形該如何分類呢？觀察圖形作答.

(1)等腰三角形和等邊三角形的區(qū)別和聯(lián)系是什么？

(2)從邊上來說，除了等腰三角形和等邊三角形還有什么樣的三角形?

(3)根據(jù)上面的內(nèi)容思考：怎樣對三角形進(jìn)行分類？

按角分：

三角形｛______________

按邊分：

三角形

I典例精析

例如圖，△ABC中，4,A2,A3,…，4為AC邊上不同的〃個(gè)點(diǎn)，首先連結(jié)84，圖中出現(xiàn)了3個(gè)不同

的三角形；再連結(jié)84,圖中便有6個(gè)不同的三角形…

（1）完成下表：

連結(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)123456

出現(xiàn)三角形的個(gè)數(shù)

（2）若出現(xiàn)了45個(gè)三角形，則共連結(jié)了多少個(gè)點(diǎn)？

（3）若一直連結(jié)到A,”則圖中共有個(gè)三角形【提示：將三角形的個(gè)數(shù)依次乘以2,觀察其中

存在的規(guī)律工

方法總結(jié)：當(dāng)三角形的個(gè)數(shù)存在規(guī)律時(shí)，就要從列出的部分?jǐn)?shù)據(jù)中找出規(guī)律，再去求解.

針對訓(xùn)練:

（1）圖②有3個(gè)三角形，圖③有5個(gè)三角形，圖④有7個(gè)三角形，…，猜測圖⑦中共有個(gè)三角形;

（2）按上面的方法繼續(xù)下去，第〃個(gè)圖形中有個(gè)三角形（用含”的代數(shù)式表示）.

二、課堂小結(jié)

三角形的定義圖形構(gòu)成表示方法分類數(shù)三角形的個(gè)數(shù)

由不在同一直線頂點(diǎn)△ABC（1）按角分類1.非規(guī)律型；

/

上的三條線段首邊（2）按邊分類2.規(guī)律型.

尾順次連結(jié)組成內(nèi)角

AB

的平面圖形叫做外角

三角形

參考答案

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

三角形有三條邊，三個(gè)角，S=，X底X高.

2

二、新知預(yù)習(xí)

1.7xxxx

2.(1)順次

(2)3ABBCAC33ZBZCZBAC3NDACZXABC三角形ABC

3.銳角直角鈍角不等腰等腰

三、自學(xué)自測

3aABC、Z^ADC、，ABD

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：三角形的相關(guān)概念

找一找：

解：(1)其中有5個(gè)三角形，分別為aABC、AABEsABEC>ADCEsADBC

(2)AABC^AABE

(3)AABE>Z\BEC、ADCE

(4)ADCE>ADBC

(5)△SCO的三個(gè)角為NDBC、/BCD、ZD,三條邊分別為BC、BD、CD

探究點(diǎn)2：三角形的分類

問題1：

可以分為銳角三角形，直角三角形和鈍角三角形三類.

問題2：

(1)等腰三角形只有兩條邊相等，而等邊三角形三條邊都相等，等邊三角形是特殊的等腰三角形

(2)不等邊三角形

(3)銳角三角形直角三角形鈍角三角形

不等埠三角形等腰三角形等腰不等邊三角形等邊三角形

典例精

例(1)3610152128

(2)8個(gè)點(diǎn).

⑶(，?+1)(〃+2)

針對訓(xùn)練

(1)13(2)(2/7-1)

二、課堂小結(jié)

三角形的定義圖形構(gòu)成表示方法分類數(shù)三角形的個(gè)數(shù)

點(diǎn)

頂

由不在同一直線(1)按角分類1.非規(guī)律型；

邊

上的三條線段首(2)按邊分類2.規(guī)律型.

內(nèi)

角

尾順次連結(jié)組成

外

角

的平面圖形叫做AB

三角形

當(dāng)堂檢測

1.B2.A

3.AABD（或△ABC）AACD（或△?￡（：）AC

4.（1）3（2）6

第9章多邊形

9.1三角形

9.1.1認(rèn)識(shí)三角形

第2課時(shí)三角形中的重要線段

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.理解三角形的高、中線與角平分線的概念，了解三角形的穩(wěn)定性.

2.會(huì)用工具準(zhǔn)確畫出三角形的高、中線與角平分線.

重點(diǎn)：三角形的高、中線與角平分線的特征.

難點(diǎn)：三角形的高、中線與角平分線的應(yīng)用.

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

如圖.按要求作圖：

（1）在左圖中，過點(diǎn)尸作線段的垂線PD和45的中點(diǎn)E.則有=.

（2）在右圖中，作出NAOB的平分線0D,則有/=Z_____=ZAOB.

二、新知預(yù)習(xí)

1.三角形的高：

（I）小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)過三角形的高，在圖①中作出△48C的高AQ.

（2）自主歸納：

①從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作，頂點(diǎn)與垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱

三角形的高；

②一個(gè)三角形有條高，請?jiān)趫D①中作出△48C的另外兩條高；

③三角形的高是一條.

圖①圖②圖③

畫圖略。

2.三角形的中線：

（1）如圖②，連結(jié)AA8c的頂點(diǎn)A和它的邊8C的中點(diǎn)。，類比二角形高線的定義，則所得的線段AO應(yīng)

叫做ZX/WC的邊4c上的,并畫出△ABC的其他中線.

（2）自主歸納：

①在三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)與它對邊的中點(diǎn)的線段，叫做這個(gè)三角形的：

②一個(gè)三角形有一條中線，每條中線都是一條.

3.三角形的角平分線：

（1）如圖③，你能用同樣的方法畫出任意一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角的平分線嗎？

（2）自主歸納

①三角形角平分線定義：.

②三角形的角平分級與角的平分線的區(qū)別是：_______________________________________________________

③一個(gè)三角形有一條角平分線.

4.用幾何語言表示三角形的高、中線、角平分線:

幾何推理圖例

TA。是△A8C的高，A

???①______±______,

三角形的高

@ZADB=_____=_____°.

"/KDC

TCE是△ABC的中線，A

/.AE=_____=_____AB.

三角形的中線八

BC

?.?8尸為△A8C的角平分線，

???①/1=Z____=______ZABC.

三角形的角平分線

@ZABC=_____Zl=______Z2.

BAC

三、自學(xué)自測

按要求畫出下列三角形的中線、高線、角平分線.

畫角平分線GM,HN,IP

四、我的疑惑

合作探究

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：三角形的高

做一做：請?jiān)谙聢D中分別畫出△ABC的高線.

【歸納總結(jié)】三角形的高或其延長線相交于一點(diǎn)，銳角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，直角三角

形的三條高的交點(diǎn)在直角三角形的頂點(diǎn)上，鈍角三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形的外部.

典例精析

例1如圖所示，在△48C中，AB=AC=5,BC=6,AD_L8C于點(diǎn)。，且AO=4,若點(diǎn)。在邊AC上移動(dòng),

求BP的最小值.

方法總結(jié)：面積法的應(yīng)用：若涉及兩條高求長度，一般需結(jié)合面積（但不求出面積），利用三角形面積的兩

種不同表示方法列等式求解.

探究點(diǎn)2：三角形的中線

問題1：任意作一個(gè)三角形，畫出它的三條中線，觀察它們的交點(diǎn)，有什么結(jié)論？

問題2：如圖，AO為△ABC的中線，猜想△A3。與△ACO的面積關(guān)系，并證明.

問題3：求△ABD與△AC。的周長之差，你有什么發(fā)現(xiàn)？

【歸納總結(jié)】①三角形的三條中線相交于一點(diǎn)；②三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分：③三角

形的中線將三角形分成兩個(gè)小三角形，它們的周長之差等于它們與大三角形的公共邊的邊長之差.

典例精析

例2如圖，在△A8C中，E是上的一點(diǎn)，EC=28E,點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，設(shè)△ABC,AADF和ABEF

的nn積分別為S“ABC，S&ADF和S&bEF，且Sz\BC=12,求S^ADF^S^BEF的值.

方法總結(jié)：三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；高相等時(shí)，面積的比等于底邊的比；底相等時(shí),

面枳的比等于高的比.

探究點(diǎn)3：三角形的角平分線

例3如圖，QC平分NAC8,DE//13C,NAED=80。，求NEC。的度數(shù).

二、課堂小結(jié)

'三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對邊作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段.

三角

三角形的中線：在三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線段.一條中線把三角形分為面積

形的

相等的兩個(gè)小三角形，它們的周長之差等于它們與大三角形的公共邊的邊長之差.

有關(guān)

三角形的角平分線：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對邊相交，連結(jié)這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)

線段

I的線段.

當(dāng)堂檢測

1.畫△ABC中4B邊上的高，下列畫法中正確的是（）（建議作為第1題）

2.如圖，△ABC中NAC8=90。，CDA.AB,圖中線段中可以作為△ABC的高的有（

A.2條B.3條C.4條D.5條

3.在△AUC中，AO為中線，"Z?為角平分線，有以下等式：①/BAD=/CAD；②/ADE=NCBE；?BD=DC；

?AE=EC.其中正確的是（）

A.①②B.③④C.0@D.②③

4.下列說法正確的是（）

A.三角形三條高都在三角形內(nèi)

B.三角形三條中線相交于一點(diǎn)

C.三角形的三條角平分線可能在三角形內(nèi)，也可能在三角形外

D.三角形的角平分線是射線

5.看圖填空：

（1）?.?8七是△回0的角平分線，，==1

2

（2）/是△人BC的角平分線，???NACB=2=2,

6.如圖，A。是aABC的中線，CE是△ACZ）的中線，Wc=3cm2,則5必改=cm2.

7.在△ABC中，CO是中線，已知8C-AC=5cm,△Q8C的周長為25cm,求△AOC的周長.

A

B

答案

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

(1)作圖略.AE,BE

(2)作圖略.AOD,BOD,-

2

二、新知預(yù)習(xí)

(1)作圖略.①垂線②3③作圖略.垂線段

2(1)中線(2)①中線②3線段

3.三角形的角平分線：

(I)作圖略.

(2)三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對邊相交，連接這個(gè)年的頂點(diǎn)和交點(diǎn)的線段叫三角形的角平分線

③3

4.AD,BCNADB,ZADC,90°BE,-Z2,-22

22

三、自學(xué)自測

解圖略.

合作探究

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：三角形的高

解：圖略.

典例精析

例I解：根據(jù)垂線段最短，當(dāng)BP_LAC時(shí)，BP的值最小.根據(jù)三角形的面積法可知：

-XBCXAD=-XACXBP,所以有上義6乂4='X5XBP,得BP=4.8.即BP的最小值是4.8.

2222

探究點(diǎn)2：三角形的中線

問題I：三角形的三條中線相交于一點(diǎn).

問題2解：面積相等。因?yàn)锳D為AABC的中線，所以有BD=CD.又因?yàn)閍ABD與4ACD同底等高，所以

△ABD與AACD的面積相等.

問題3：解：因?yàn)?ABD的周長為AB+AD+BD.AACD的周長為AD+CD+AC.因?yàn)锽D=CD,所以4ABD與

△ACD的周長之差為AB—AC.

典例精析

例2解:???點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，AAD=AC,VSAABC=12,

/.SAABD=SAABC=-X12=6.VEC=2BE,SAABC=12,

2

.\SAABE=SAABC=-X12=4,VSAABD-SAABE=(SAADF+SAABF)-(SAABF+SABEF)

3

=SAADF-SABEF

即SAADF-SABEF=SAABD-SAABE=6-4=2.

探究點(diǎn)3：三角形的角平分線

解:因?yàn)镈E〃BC,所以NAED=NACB=80°.乂因?yàn)镈C平分NACB,所以NACD=NDCB.所以/ECD=40°.

當(dāng)堂檢測

1.C

2.B

3.B

4.D

5.(1)ZABEZCBEZABC

(2)ZACFZBCF

6.12

7.解:因?yàn)锳DBC的周長=DB+DC+BCZXADC的周長為DA+AC+DC,所以4DBC的周長一AADC的周長

為DB+DC+BC-(DA+AC+DC).又因?yàn)镃D是中線，所以AD=BD.所以ZXDBC的周長一ZXADC的周長=

BC-AC=5cm.所以.Z^ADC的周長=ADBC的周長-5cm=20cm.

第9章多邊形

9.1三角形

9.1.2三角形的內(nèi)角和與外角和

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形兩銳角的關(guān)系、外角的性質(zhì)及外角和；

2.會(huì)用平行線的性質(zhì)與平角的定義證明三角形內(nèi)角和等于180°；

3.能運(yùn)用二角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行簡單的證明或計(jì)算.

重點(diǎn)：三角形的內(nèi)角和定理與外角的性質(zhì).

難點(diǎn)：三角形的內(nèi)角和定理的推導(dǎo)過程.

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.三角形按角的分類，可以分為、、

2.畫圖說明什么是三角形的內(nèi)角，什么是三角形的外角.

3.分別用量角器展出下面三個(gè)三角形的內(nèi)角度數(shù)，并填表：

三角形形狀每個(gè)內(nèi)用的度數(shù)三個(gè)內(nèi)角的和

銳角三角形

直角三角形

鈍角三角形1

二、新知預(yù)習(xí)

1.在小學(xué)我們通過拼接、測量就已經(jīng)知道三角形的內(nèi)角和為與其形狀、大小—(填“有關(guān)”或“無關(guān)”).

2.直角三角形的兩個(gè)銳角.

3.三角形的一個(gè)外角等于的和，并且大于.

4.三角形的外角和等于.

三、自學(xué)自測

1.在△A/3C中，若NA=35。，ZB=65°,則NC=.

2.如圖，/ACO是△ABC的外角，若NAC￡>=120。，ZA=80°,則N8=.

四、我的疑惑

合作探究

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：三角形的內(nèi)角和定理及其證明

活動(dòng)：在紙上任意畫一個(gè)三角形，將它的三個(gè)內(nèi)角撕開拼合在一起，使它們共一個(gè)頂點(diǎn).

結(jié)論：三角形的三個(gè)內(nèi)角拼到一起恰好構(gòu)成一個(gè)，這說明三角形的內(nèi)角和為.

問題1：觀測的結(jié)果不一定可靠，還需要通過數(shù)學(xué)知識(shí)來說明.根據(jù)上面的操作思路，完成下面的證明過程.

已知：△ABC如圖所示.

求證：ZA+ZB+ZC=180°.

證法1：延氏8c到。，過點(diǎn)C作CE〃區(qū)4,

證法2：過點(diǎn)4作/〃8C,

問題2：根據(jù)三角形的內(nèi)角和，你能推導(dǎo)出直角三角形中兩銳角之間的關(guān)系嗎？

要點(diǎn)歸納：借助平行線的“移角”的功能，將三個(gè)角轉(zhuǎn)化成一個(gè)平角，就能證明三角形的內(nèi)角和定理;

三角形的內(nèi)角和為,直角三角形的兩銳角.

探究點(diǎn)2：三角形的外角的性質(zhì)

問題1：如圖，△ABC的外角與其相鄰的內(nèi)角NACO有什么關(guān)系？

問題2：如圖，△A/3C的外角N8CQ與其不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角（N/1和N/3）有什么關(guān)系？

問題3：你能證明問題2中的結(jié)論嗎？

要點(diǎn)歸納：三角形的外角等于的和.

|典例精析

例1如圖，NA=42。，NA8D=28。，ZACE=I8°,求N8/。的度數(shù).

例2如圖，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，ZBPC=150°,N4BP=20。，NACP=30。，求NA的度數(shù).

【變式題】如圖，NA=60。，Z5=20°,ZC=30°,求N8QC的度數(shù).（提示：延長BQ與AC相交）

方法總結(jié)：關(guān)鍵是正確的構(gòu)造三角形，利用三角形外角的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化的思想，把未知角與已知角聯(lián)系起來

求解.

例3（1）如圖①，試比較N2、/I的大??；人A

（2）如圖②，試比較N3、N2、Z1的大小.—>/\

方法總結(jié)：三角形的外角與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角（填“小于、等于"或“大于”）.

針對訓(xùn)練：

說出下列圖形中N1和N2的度數(shù):

探究點(diǎn)3：三角形的外角和

想一想：/BAE,/CBF,NACD是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？

解法一：由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得

解法二：N84E+N1=180°,ZCfiF+Z2=180°,ZACD+Z3=180°,

解法三：如圖，過點(diǎn)A作AM平行于8c.

要點(diǎn)歸納：三角形的外角和等于。

探究點(diǎn)4：三角形內(nèi)角和定理與外角性質(zhì)的應(yīng)用

典例精析

例5如圖，C。是NACB的平分線，DE//BC,NA=50。，NB=70。，求NEDC,NBDC的度數(shù).

方法總結(jié)：平行線、角平分線與三角形的內(nèi)角和定理相結(jié)合時(shí)，找到相等的角是關(guān)鍵.

二、課堂小結(jié)

內(nèi)角和三角形的內(nèi)角和為應(yīng)；直角三角形的兩個(gè)銳角互余.

1.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.如/ACD=

外角的Z4+ZB.

性質(zhì)與2.三角形的外角大于與它不相鄰的任意一個(gè)內(nèi)角.如NACD>

..z\D,

外角和N4NACD>NB.Bc

三角形的外角和等于迦.

當(dāng)堂檢測

1.求下列各圖中的x值.

2.判斷下列說法的對錯(cuò).（對的打“錯(cuò)誤的打“X”）

（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和.（）

（2）三角形的外角和等于它的內(nèi)角和的2倍.（）

（3）三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和.（）

（4）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.（）

（5）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角.（）

3.如圖，AB//CD,NA=37。，ZC=63°,那么NF等于（）

A.26°B.63。C.37°D,60°

第3題圖第4題圖

4.如圖，則/1+/2+/3+/4=.

5.如圖，ZB=45°,ZBAE=36Q,ZBCE=20°,試求NAECH勺度數(shù).

6.如圖，四邊形ABCO中，點(diǎn)E在B。上，NA+/AOE=180。，NB=78。,ZC=60°,求NEDC的度數(shù).

參考答案

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.銳角三角形直角三角形鈍角三角形

2.解：略。

3.填表略.

二、新知預(yù)習(xí)

1.180°無關(guān)

2.互余

3.與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角

4.360°

三、自學(xué)自測

1.180°

2.40。

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：三角形的內(nèi)角和定理及其證明

結(jié)論：平角180°

問題1：

證明：因?yàn)镃E〃2所以4A=ZACE,NB=/ECD.

又因?yàn)镹ACE+/ECD+NACB=180°,箭以N4+〃+NC=180°

證法2：

證明：因?yàn)?〃8C,所以N/=NB,N2=NC.又因?yàn)?/+N2+N4=/80°,歷以NA+/8+NC=l80°.

問題2：

要點(diǎn)歸納：180°互余

探究點(diǎn)2：三角形的外角的性質(zhì)

問題1：

ZXCB=1800-ABCD.

問題2：

ZBCD=ZA+ZB.

問題3：

證明：因?yàn)镹AC8+N5CO=NAO>,詼/4+//，+/人。4=180°,所以NBCD=NA+NB.

要點(diǎn)歸納，與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角

典例精析

例1解:因?yàn)镹A+/ABC+/4C8=/80。,而NA=42。，所以/48。+/4。8=/80。-42。=138°.

又因?yàn)閆ABC=ZABD+ZCBD,ZACB=ZACE+ZBCF,/ff^ZCBD+BCF=ZABC+ZACB-ZABD-

ZZCE=I38°-28°-18。=92°.在△BFC聲，色發(fā)180°,所以N8/T=180°-92°=88°.

【變式題】解:因?yàn)镹3PC+NP8c+NPCB=180°,N4PC=150。,所以/P4C+NPCB=180°—Z

BPC=30°.又因?yàn)镹A+NABC+NACB=/80。，所以ZA+ZABP+ZPBC+ZACP+ZPCB=180°,所

以ZA=1800-ZABP-ZPBC-ZACP-ZPCB=18020°-30°-300=100a.

【例2】解：延長BD交AC于H,ZBDC=ZDHC+ZC,ZDHC=ZA+ZB???Z

BDC=ZA+ZB+ZC=60°+20°+30°=110°.

例3.解：(1)VZ2=Z1+ZB,/.Z2>Z1.

(2)VZ3=ZD+Z2,Z2=Z1+ZB,AZ3>Z2>Z1.

方法總結(jié)：大于

針對訓(xùn)練：

解：(1)Z2=140°,Zl=40°(2)Zl=18°,Z2=I3O°

探亮點(diǎn)3：三角形的外角和

想一想：

解法一：由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得

NBAE=N2+N3,ZCZ?F=Z1+Z3,ZACD=Z1+Z2,

又因?yàn)镹1+N2+N3=18O°,而N8AE+NC8F+NACO=26Z1-Z2+Z37=180X2=360°.

解法二：ZBAE+Z1=180°,ZCBF+Z2=180°,ZACD+Z3=180°,

ZZ1+ZCZJF+Z2+ZACD+Z3=180°X3=540°,而Nl+/2+N3=18O°,所以NCZ?〃+N

ACD=540°-180°=360°.

解法三：過點(diǎn)A作4M平行于8c.

解：因?yàn)锳M〃BC,所以NEAM二ZACD,ZCBF=N皮/又;N1+N4+NJ〃必=360°.Z.ZBAE+ZCBF+Z

ACD=360°

要點(diǎn)歸納：36

探亮點(diǎn)4：三角形內(nèi)角和定理與外角性質(zhì)的應(yīng)用

幽精析

例5解：'：DE//BC,：?/EDC=NDCB,NBDE+/B=180°./A=50°,Z^=70°,.\ZACB=18O0-ZA-Z

B=1800-50。-70。=60°又TCD是NAC8的平分線，AZACD=ZBCD=-ZACB=30°./.ZEDC=30°.

2

NBDC+NEDC+

/B=180°,???/BDC=180°-30°-70°=80°

二、課堂小結(jié)

180互余360°

當(dāng)堂檢測

1.解(1)x=70(2)x=60(3)x=30(4)x=50

2(1)X(2)V(3)X(4)V(5)X3A

4.280°

5.解：VZB=45°,ZBCE=20c,,工N8QC=/80°?45。?20。=115°.又=N8OC=NBAE+NA￡Q=〃5°.

:?NAED=NBDC-NBAE=U5°-36。=79°：.ZAEC=18()0-79°=101°.

6.解：VZA+ZADE=180°,:.AB//DE.N8=NDEC=1S°.又;ZC=60°,?.ZEDC=180°-ZDEC-Z

C=180o-60o-78°=42°.

第9章多邊形

9.1三角形

9.1.3三角形的三邊關(guān)系

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握三角形三邊的關(guān)系定理，能利用定理及其推論進(jìn)行簡單的證明；

2.了解三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性；

3.體會(huì)三角形的穩(wěn)定性在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

重點(diǎn)：理解二角形的二邊美系.

難點(diǎn)：運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系解題.

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

兩點(diǎn)之間，最短.

二、新知預(yù)習(xí)

1.與同學(xué)一起，每人畫一個(gè)任意的三角形，分別用尺子量一量三邊的長度，通過比較任意兩邊長的和與第

三邊長的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn).

2.自行車支架往往做成三角形，是因?yàn)?；伸縮門的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)成很多的小

四邊形是利用了.

3.自主歸納：

(1)三角形任何兩邊的和第三邊；

(2)三角形穩(wěn)定性，四邊形穩(wěn)定性.

三、自學(xué)自測

下列長度的各組線段能否組成三角形？

(1)Icm,2cm,3cm；(2)2cm,3cm,4cm；(3)1.5cm,2.5cm,3.5cm.

四、我的疑惑

合作探究

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：三角形的三邊關(guān)系

1.做一做：

在A點(diǎn)的小狗，為了盡快吃到8點(diǎn)的香腸，它選擇力-3路線，而不選擇A-C-4路線，難道小狗也懂

數(shù)學(xué)？

答：理由是.

2.議一議：

（I）在同一個(gè)三角形中，任意兩邊之和與第三邊有什么大小關(guān)系?

（2）在同一個(gè)三角形中，任意兩邊之差與第三邊有什么大小關(guān)系?

要點(diǎn)歸納：三角形任何兩邊的和第三邊.

拓展：三角形任何兩邊的差______第三邊.

典例精析

例1:判斷下列長度的三條線段能否拼成三角形？為什么？

（1）3cm、8cm、4cm；（2）5cm、6cm、11cm；（3）5cm、6cm、10cm.

方法總結(jié)；判斷二條線段足否可以組成二角形，只需說明兩條較短線段之和大于第二條線段陣可.

例2：用一條長為18cm的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形.

（1）如果腰長是底邊長的2倍，那么各邊的長是多少？

（2）能圍成有一邊的長是4cm的等腰三角形嗎？為什么?

方法總結(jié)：等腰三角形與三角形的三邊關(guān)系結(jié)合時(shí)，若腰和底不明確時(shí)，需要分類討論，再檢驗(yàn)是否符合

三邊關(guān)系.

針對訓(xùn)練

I.下列每組數(shù)分別是三根木棒的長度，能用它們擺成三角形的是（）

A.3cm,4cm,8cmB.8cm,7cm,15cm

C.5cm,5cm>11cmD.13cm,12cm,20cm

2.若一個(gè)三角形的兩邊長分別為3和7,則第三邊長可能是（）

A.6B.3C.2D.I1

3.三角形的三邊長分別為5,l+2x,8,則x的取值范圍是.

4.一等腰三角形的腰長是6,底邊長為3,周長為.

5.一根木棒長為7,另一根木棒長為2,那么用長度為4的木棒能和它們拼成三角形嗎？長度為II的木棒呢？

若不能拼成，則第三條邊的長度x應(yīng)在什么范圍呢？

探究點(diǎn)2：三角形的穩(wěn)定性

活動(dòng)：把三根木條用釘子釘成一個(gè)三角形木架，然后扭動(dòng)它，它的形狀會(huì)改變嗎？用四根木條用釘子釘成

一個(gè)四邊形木架，然后扭動(dòng)它，它的形狀會(huì)改變嗎？探索思考，并與同學(xué)交流.

區(qū)n

現(xiàn)象：三角形木架形狀改變，四邊形木架形狀改變（填“會(huì)”或“不會(huì)”）.

結(jié)論：三角形具有性，四邊形具有性.

交流：舉出生活中利用三角形穩(wěn)定性和四邊形不穩(wěn)定性的實(shí)例：

針對訓(xùn)練

1.不是利用三角形穩(wěn)定性的是（

A.自行車的三角形車架B.三角形房架

C.照相機(jī)的三腳架D.矩形門框的斜拉條

2.下列圖形中哪些具有穩(wěn)定性.

⑶

二、課堂小結(jié)

1.三角形的兩邊之和大于第三邊:

2.三角形具有穩(wěn)定性，四邊形沒有穩(wěn)定性.

當(dāng)堂檢測_________

1.用木棒釘成一個(gè)三角架，兩根小棒分別是7cm和10cm,第三根小棒可?。ǎ?/p>

A.20cmB.3cmC.11cmD.2cm

2.下列關(guān)于三角形穩(wěn)定性和四邊形不穩(wěn)定性的說法正確的是（）

A.穩(wěn)定性總是有益的，而不穩(wěn)定性總是有害的

B.穩(wěn)定性有利用價(jià)值，而不穩(wěn)定性沒有利用價(jià)值

C.穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性均有利用價(jià)值

D.以上說法都不對

3.己知等腰三角形的兩邊長分別為8cm,3cm,則這個(gè)三角形的周長為.

4.如圖是用六條鋼管連接成的鋼架，為使這一鋼架穩(wěn)固，可以用三條鋼管連接使它不變形，你能想出辦法

解決這個(gè)問題嗎？多多益善.

5.若三角形的兩邊長分別是2和7,第三邊長為奇數(shù)，求第三邊的長.

【拓展題】已知：a,b,c為三角形的三邊長，化簡：|b+cp|+|Z?-〃-加

參考答案

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

線段

二、新知預(yù)習(xí)

1.三角形的任意兩邊之和大于第三邊

2.三角形具有穩(wěn)定性四邊形的不穩(wěn)定性

3.自主歸納：

(1)大于

(2)具有不具有

三、自學(xué)自測

(1)解：(I)不能(2)能(3)能

合作探究

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：三角形的三邊關(guān)系

1.做一做：兩點(diǎn)之間，線段最短

2.議一議：(1)任意兩邊之和大于第二邊；(2)任意兩邊之差小于第二邊

要點(diǎn)歸納：大于拓展：小于

典例精析

例1：解：(1)不能.因?yàn)?+4V8(2)不能.因?yàn)?+6VU(3)能，因?yàn)?+6>10

例2：解：⑴當(dāng)腰長是底邊長的2倍時(shí)，底邊長為3.6,腰長為7.2

(2)當(dāng)4是底邊長時(shí)，腰為(18-4)4-2=7,所以三邊長為7,7,4,能夠構(gòu)成三角形.當(dāng)腰長為4時(shí)，底邊長為

10,此時(shí)三角形的邊長是4410.,不能構(gòu)成三角形.

針對訓(xùn)練

1.D2.A3.l<x<64,15

5.解：當(dāng)長度為4時(shí)，不能拼?成三角形.當(dāng)長度為11時(shí)，也不能拼成三角形.三角形第三邊的長度x應(yīng)滿足在

5<x<9

探究點(diǎn)2：三角形的穩(wěn)定性

活動(dòng)：現(xiàn)象：不會(huì)會(huì)

結(jié)論：穩(wěn)定性不穩(wěn)定性

交流：自行車的支架往往會(huì)做成三角形；學(xué)校里的伸縮門通常會(huì)做成四邊形.

針對訓(xùn)練

1.C2解：(1)(4)(6)

二、課堂小結(jié)

大于

當(dāng)堂檢測

1.C2.C3.19cm4.解：略.

5.解：第三邊滿足的條件是大于5小于9,即第三邊可以為6,7,8.又因?yàn)榈谌呴L為奇數(shù)，所以第三邊長為.

【拓展題】解：：〃力,。為三角形的三邊長，：.b+c>a,b-c<a,c-a<b,a-b<c.

化簡原式得，b+c~a―(b-c-a)+c-a-b-(a~b+c)=2c-2a.

第9章多邊形

9.2多邊形的內(nèi)角和與外角和

第1課時(shí)多邊形的內(nèi)角和

學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解多邊形及其相關(guān)概念，理解正多邊形及其概念.

2.會(huì)求多邊形的對角線的條數(shù).

3.能通過不同的方法探索多邊形的內(nèi)角和公式.

4.會(huì)應(yīng)用多邊形的內(nèi)角和公式進(jìn)行有關(guān)計(jì)算.

重點(diǎn)：多邊形的內(nèi)角和公式.

難點(diǎn)：多邊形的內(nèi)角和公式的推導(dǎo).

自主學(xué)習(xí)

一、知識(shí)鏈接

1.什么是三角形？

由不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形，這三條線段就是三角形的邊.

2.觀察下面的圖片，你能找到哪些我們熟悉的圖形？

略.

3.三角形的內(nèi)角和是多少？

180°

二、新知預(yù)習(xí)

自主歸納：

（1）多邊形的概念：類比三角形的概念，在平面內(nèi)，由一些線段相接組成的封閉圖形叫做.

（2）多邊形的有關(guān)概念：

①多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……三角形是最簡單的多邊形，如果一

個(gè)多邊形由〃條線段組成，那么這個(gè)多邊形就叫做.

②多邊形兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角，如圖，NA,NB,ZC,ND,NE是五邊形ABCOE的5

個(gè)內(nèi)角，多邊形的邊與它的鄰邊_______________組成的角叫做多邊形的外角.連結(jié)多邊形的兩

一、要點(diǎn)探究

探究點(diǎn)1：多邊形的定義及相關(guān)概念

做一做：下列圖形不屬于多邊形的是（）

cD

要點(diǎn)歸納：由不在同一直線上的一些線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形稱為多邊形，由〃條線段組成的多

邊形就叫做〃邊形.三角形是邊數(shù)最少的多邊形.

例1六邊形紙片剪去一個(gè)角后，得到的多邊形的邊數(shù)可能是多少？畫出圖形說明.

根據(jù)如圖所示：可能為七邊形，五邊形或者六邊形.

方法總結(jié)：一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條.

探究點(diǎn)2：多邊形的對角線

概念：連結(jié)多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線.

畫一畫：（1）畫出下列多邊形的全部對角線.

（2）請畫出下列圖形從某一頂點(diǎn)出發(fā)的對角線的條數(shù)，并填表:

三角形四邊形五邊形六邊形八邊形

多邊形三角形四邊形五邊形六邊形八邊形???〃邊形

從同一頂點(diǎn)引出

???

的對角線的條數(shù)

分割出的三角形

???

的個(gè)數(shù)

要點(diǎn)歸納：從〃（〃23）邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作出條對角線.將多邊形分成個(gè)三角形.

例2過多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)的所有對角線的條數(shù)與這些對角線分該多邊形所得三角形的個(gè)數(shù)的和為21,求

這個(gè)多邊形的邊數(shù).

探究點(diǎn)3：正多邊形

想一想：下列多邊形是正多邊形嗎？如不是，請說明理由？

（四條邊都相等）（四個(gè)角都相等）

方法總結(jié)：判斷一個(gè)多邊形是不是正多邊形，各邊都相等，各角都相等，兩個(gè)條件必須同時(shí)滿足.

探究點(diǎn)2：多邊形的內(nèi)角和

問題1：從四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引條對角線，它們將四邊形分成一個(gè)三角形，那么四邊形的內(nèi)

角和等于度.你能用以前學(xué)過的知識(shí)證明一下你的結(jié)論嗎？

已知：四邊形A8CD.

求證：四邊形A8CQ的內(nèi)角和為180°.

證法1：如圖，連接AC,則該四邊形被分為兩個(gè)三角形，

證法2：如圖，在C。邊上任取一點(diǎn)E,連接4E,。巴則該四邊形被分成三個(gè)三角形,

證法3：如圖，在四邊形A4C。內(nèi)部取一點(diǎn)E連接BE,CE,DE,

則該四邊形被分成四個(gè)三角形.

方法總結(jié)：這三種方法都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，把四邊形分割成三角形，轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的三角形內(nèi)角和求解.

問題2：從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引條對角線，它們將五邊形分成個(gè)三角形，那么五邊形的

內(nèi)角和等于度；

問題3：從〃邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可以引幾條對角線？它們將〃邊形分成幾個(gè)三角形？那么〃邊形的內(nèi)角和

等于多少度？填表回答：

多邊形的分割出的三

多邊形的內(nèi)角和

邊數(shù)角形個(gè)數(shù)

4

a

5

6

????????????

Q

n

要點(diǎn)歸納：〃邊形的內(nèi)角和等于

例3一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比四連形的內(nèi)角和多720°,并且這個(gè)多邊形的各內(nèi)角都相等，這個(gè)多邊形的每個(gè)

內(nèi)角是多少度？

針對訓(xùn)練

1.若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于720。，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是_____

2.五邊形的內(nèi)角和為,十邊形的內(nèi)角和為.

3.下列度數(shù)中，不可能是某個(gè)多邊形的內(nèi)角和的是（）

A.180°B.270°C.2700°D.720°

二、課堂小結(jié)

內(nèi)容圖例

在平面內(nèi)，由不在同一條直線上的線段

多邊形的定義_______