不等式與集合第2章31目錄2.1不等式的性質(zhì)與解集2.2一元一次不等式（組）2.3一元二次不等式2.4含有絕對(duì)值的不等式32學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握不等式的基本性質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行等價(jià)變換.2.理解集合、元素的概念，會(huì)判斷集合與元素的關(guān)系；掌握常用數(shù)集及空集的表示：理解區(qū)間的概念并寫出對(duì)應(yīng)的符號(hào)表示，會(huì)進(jìn)行數(shù)集與區(qū)間的互化；會(huì)用區(qū)間表示不等式的解集，并在數(shù)軸上表示出來.3.會(huì)解一元一次不等式（組），會(huì)用集合（區(qū)間）表示解集及在數(shù)軸上表示出解集，理解交集的概念并會(huì)求集合的交集.4.能描述一元二次方程、二次函數(shù)和一元二次不等式的關(guān)系，會(huì)用“數(shù)形結(jié)合”方法求解一元二次不等式，并用集合（區(qū)間）表示其解集.5.理解含有絕對(duì)值不等式及其幾何意義，會(huì)解含有絕對(duì)值的不等式并用集合（區(qū)間）表示其解集.332.1不等式的性質(zhì)與解集34實(shí)例考察同學(xué)們，觀察下圖中左右兩個(gè)天平，你發(fā)現(xiàn)了什么？通過本次課的學(xué)習(xí)，我們就可以解釋這一規(guī)律.352.1.1不等式的性質(zhì)從實(shí)數(shù)的大小關(guān)系出發(fā)，可以得到不等式的基本性質(zhì)：性質(zhì)1

不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)實(shí)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變.即性質(zhì)2

不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變.即36性質(zhì)3不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.即性質(zhì)4不等式具有傳遞性，即如果a>b且b>c，那么a>c.372.1.2集合實(shí)例考察（1）求出滿足不等式x<3的全體自然數(shù).（2）求出滿足不等式x+3<5的全體實(shí)數(shù)，并用數(shù)軸表示.我們知道滿足不等式x<3的全體自然數(shù)有0，1，2.由不等式的性質(zhì)1可知，滿足不等式x+3<5的全體實(shí)數(shù)即為滿足x<2的全體實(shí)數(shù)，如圖所示.38所謂解集就是解的集合.一般地，某些指定的對(duì)象組成的全體叫做集合（簡(jiǎn)稱集）.集合通常用大寫英文字母A，B，C，…表示.集合中的每個(gè)對(duì)象都稱為這個(gè)集合的元素.集合的元素通常用小寫英文字母a，b，c，…表示.集合中的元素必須是確定的.如果給定一個(gè)集合，則任何一個(gè)對(duì)象是否為其中的元素應(yīng)可明確判斷.如果a是集合A

的元素，就說元素a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A

的元素，就說元素a不屬于集合A，記作a?A.39集合中的元素是互異且無(wú)序的，可以是字母、數(shù)字，甚至是圖形.如果集合中的元素是數(shù)，那么這樣的集合叫做數(shù)集.常用數(shù)集及其符號(hào)見下表.40常用數(shù)集表我們把不含任何元素的集合叫做空集，記作?.集合的表示方法通常有兩種：列舉法和描述法.通過在大括號(hào)內(nèi)一一列舉集合中的所有元素表示集合的方法叫做列舉法.用列舉法表示集合，元素之間要用逗號(hào)分隔.{x|x<2}.像這樣用集合中元素的公共屬性來表示集合的方法叫做描述法.描述法的一般形式為{x|x具有的公共屬性}.使不等式成立的數(shù)的全體組成的集合，就是不等式的解集.412.1.3區(qū)間不等式的解集往往是數(shù)集.例如：{x丨-1≤x≤2}，{x丨-4<x<1}，{x丨0<x≤3}，{x丨x≥7}，{x丨x≤-3}等.像這樣的數(shù)集經(jīng)常用區(qū)間來表示.設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且a<b，我們規(guī)定：1.數(shù)集{x丨a≤x≤b}稱為閉區(qū)間，用符號(hào)[a，b]表示.2.數(shù)集{x丨a<x<b}稱為開區(qū)間，用符號(hào)（a，b）表示.3.數(shù)集{x丨a≤x<b}稱為左閉右開區(qū)間，用符號(hào)[a，b）表示.4.數(shù)集{x丨a<x≤b}稱為左開右閉區(qū)間，用符號(hào)（a，b]表示.42上面的這些數(shù)集都稱為區(qū)間，其中[a，b）和（a，b]統(tǒng)稱為半開半閉區(qū)間.這里的實(shí)數(shù)a，b分別稱為區(qū)間的左端點(diǎn)和右端點(diǎn).區(qū)間在數(shù)軸上可以用一條以a，b為端點(diǎn)的線段表示，區(qū)間閉的一端用實(shí)心點(diǎn)表示，區(qū)間開的一端用空心點(diǎn)表示.435.實(shí)數(shù)集R可用區(qū)間（-∞，+∞）表示，“+∞”

讀作

“正無(wú)窮大”，“-∞”讀作

“負(fù)無(wú)窮大”.數(shù)集{x|x≥a}，{x|x≤b}，{x|x>a}，{x|x<b}則分別用區(qū)間[a，+∞），（-∞，b]，（a，+∞），（-∞，b）表示，其中a，b也稱為區(qū)間的端點(diǎn).442.2一元一次不等式（組）45實(shí)例考察某公司為了擴(kuò)大經(jīng)營(yíng)，決定購(gòu)進(jìn)6臺(tái)機(jī)器用于生產(chǎn)某種螺絲刀的把手.現(xiàn)有甲、乙兩種機(jī)器供選擇，其中每種機(jī)器的價(jià)格（單位：萬(wàn)元/臺(tái)）和每臺(tái)機(jī)器日生產(chǎn)把手的數(shù)量（單位：個(gè)）如下表所示.根據(jù)公司預(yù)算，本次購(gòu)買機(jī)器所耗資金不能超過40萬(wàn)元.（1）按該公司要求可以有幾種購(gòu)買方案？（2）若該公司購(gòu)進(jìn)的6臺(tái)機(jī)器的日生產(chǎn)能力不低于370個(gè)，那么為了節(jié)約資金應(yīng)選擇哪種購(gòu)買方案？46只含有一個(gè)未知數(shù)）并且未知數(shù)的次數(shù)是一次的不等式叫做一元一次不等式.我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)過一元一次不等式的解法，利用不等式的性質(zhì)，將不等式逐步化成x<a（或x>a）的形式.基本步驟如圖所示.由于實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀地表示出來.472.2.2一元一次不等式組含有相同未知數(shù)的幾個(gè)一元一次不等式所組成的不等式組叫做一元一次不等式組.

不等式組中各不等式的解集的公共部分叫做不等式組的解集.一般地，由屬于集合A

且屬于集合B

的所有元素組成的集合，稱為A

與B

的交集，記作A∩B，讀作

“A

交B”，即A∩B={x丨x∈A

且x∈B}.48如圖所示，圖中的陰影部分即表示A∩B.由交集的定義可知，對(duì)于任意兩個(gè)集合A，B，都有A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A.由此可知，求不等式組的解集即求不等式組的各不等式的解集的交集.49兩個(gè)一元一次不等式所組成的一元一次不等式組的解集情況，可以歸結(jié)為以下四種基本類型（設(shè)a<b）.502.3一元二次不等式51實(shí)例考察受各種成本和銷售策略的影響，隨著商品銷量提升，工廠的利潤(rùn)并非總是均勻增加的.請(qǐng)研究以下案例：某技工院校學(xué)生畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，開辦工廠生產(chǎn)金屬模具并銷售.已知工廠每天銷售產(chǎn)品數(shù)量x（單位：件）與利潤(rùn)y（單位：元）之間滿足關(guān)系式y(tǒng)=-10x2+400x.若該廠希望每天的利潤(rùn)在3000元以上，那么一天大約應(yīng)銷售多少產(chǎn)品?52根據(jù)題意得不等式-10x2+400x>3000，整理得x2-40x+300<0.這是一個(gè)關(guān)于x的不等式，求出滿足這個(gè)不等式的解集是問題的關(guān)鍵.53不等式都只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為二次，我們把這樣的不等式稱為一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c>0（a>0），或ax2+bx+c<0（a>0）.需要注意的是，一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)不等于0.54

二次函數(shù)y=x2-3x-4的圖像是一條開口向上的拋物線，因此：（1）當(dāng)y=0時(shí)，即得到一元二次方程x2-3x-4=0，解得方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1=-1，x2=4.（2）由圖可知，二次函數(shù)y=x2-3x-4的圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-1，0），（4，0）.（3）當(dāng)y<0時(shí)，x

的取值范圍是（-1，4），即不等式x2-3x-4<0的解集為（-1，4）.（4）當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍是（-∞，-1）或（4，+∞）.55一般地，由屬于集合A或?qū)儆诩螧的所有元素組成的集合，稱為A

與B

的并集，記作A∪B，讀作

“A

并B”，即A∪B={x|x∈A

或x∈B}.下圖中的陰影部分即表示A∪B.因此，不等式x2-3x-4>0的解集為（-∞，-1）∪（4，+∞）.56上述方法可以推廣到任意的一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0），或ax2+bx+c<0（a>0）.我們知道，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0（a>0），方程根的判別式為Δ=b2-4ac.它的根按照Δ>0，Δ=0，Δ<0可分為三種情況.相應(yīng)地，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的位置關(guān)系也可分為三種情況.因此，我們分三種情況來討論對(duì)應(yīng)的一元二次不等式的解集，見下表.57582.4含有絕對(duì)值的不等式59實(shí)例考察在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會(huì)接觸到注明誤差范圍的技術(shù)要求.如圖所示是一工件加工圖樣，要求加工過程中，三角形的高為30mm，其中誤差范圍在±0.042mm.若一名學(xué)生加工的工件高為dmm，則d必須滿足什么條件工件才合格？60設(shè)學(xué)生實(shí)際加工的工件高與30mm之間