第三篇思想方法篇思想03數(shù)形結(jié)合思想（講）考向速覽方法技巧典例分析一．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：（1）等價(jià)性原則．在數(shù)形結(jié)合時(shí)，代數(shù)性質(zhì)和幾何性質(zhì)的轉(zhuǎn)換必須是等價(jià)的，否則解題將會(huì)出現(xiàn)漏洞．有時(shí)，由于圖形的局限性，不能完整的表現(xiàn)數(shù)的一般性，這時(shí)圖形的性質(zhì)只能是一種直觀而淺顯的說明，要注意其帶來的負(fù)面效應(yīng)．（2）雙方性原則．既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行幾何分析容易出錯(cuò)．（3）簡單性原則．不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合．具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利；二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系、做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線．二．特別提醒數(shù)形結(jié)合思想是解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解選擇題、填空題時(shí)發(fā)揮著奇特功效，這就要求我們?cè)谄綍r(shí)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練，以提高解題能力和速度．具體操作時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：（1）準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域；（2）用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）的解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解；利用數(shù)形結(jié)合探究方程解的問題應(yīng)注意兩點(diǎn)（3）在解答題中數(shù)形結(jié)合思想是探究解題的思路時(shí)使用的，不可使用形的直觀代替相關(guān)的計(jì)算和推理論證．三.命題規(guī)律1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想在高考試題中主要有以下幾個(gè)常考點(diǎn)（1）集合的運(yùn)算及Venn圖；（2）函數(shù)及其圖象；（3）平面向量（4）數(shù)列通項(xiàng)及求和公式的函數(shù)特征及函數(shù)圖象；（5）方程（多指二元方程）及方程的曲線；（6）對(duì)于研究距離、角或面積的問題，往往涉及直線與圓、立體幾何、圓錐曲線等，利用幾何圖形或形數(shù)轉(zhuǎn)換求解；（7）對(duì)于研究函數(shù)、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數(shù)的圖象求解（函數(shù)的零點(diǎn)、頂點(diǎn)是關(guān)鍵點(diǎn)），做好知識(shí)的遷移與綜合運(yùn)用【與函數(shù)方程思想相結(jié)合】．2．?dāng)?shù)形結(jié)合思想常用模型：一次、二次函數(shù)圖象；“對(duì)勾函數(shù)”應(yīng)用單調(diào)性或基本不等式；三角函數(shù)圖象和性質(zhì)；斜率公式；兩點(diǎn)間的距離公式（或向量的模、復(fù)數(shù)的模）；點(diǎn)到直線的距離公式等．01研究圖形的形狀、位置關(guān)系、性質(zhì)等【核心提示】1.函數(shù)圖象與性質(zhì)應(yīng)用問題：即通過函數(shù)圖象來分析和解決函數(shù)問題的方法，對(duì)于高中數(shù)學(xué)函數(shù)貫穿始終，因此這種方法是最常用的，破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：①分析數(shù)理特征，一般解決問題時(shí)不能精確畫出圖象，只能通過圖象的大概性質(zhì)分析問題，因此需要確定能否用函數(shù)圖象解決問題；②畫出函數(shù)圖象，畫出對(duì)應(yīng)的函數(shù)、轉(zhuǎn)化的函數(shù)或構(gòu)造函數(shù)的圖象；③數(shù)形轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化實(shí)際是借助函數(shù)圖象將難以解決的數(shù)理關(guān)系明顯化；④得出結(jié)論，通過觀察函數(shù)圖象得出相應(yīng)的結(jié)論．2.熟練掌握函數(shù)圖像的變換：由函數(shù)圖象的變換能較快畫出函數(shù)圖象，應(yīng)該掌握平移(上下左右平移)、翻折(關(guān)于特殊直線翻折)、對(duì)稱(中心對(duì)稱和軸對(duì)稱)等基本轉(zhuǎn)化法與函數(shù)解析式的關(guān)系．【典例分析】典例1.（河南省普高聯(lián)考2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期測評(píng)（四））函數(shù)SKIPIF1<0的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性即可排除選項(xiàng)SKIPIF1<0；再利用特殊值即可排除選項(xiàng)SKIPIF1<0，進(jìn)而求解.【詳解】函數(shù)SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除SKIPIF1<0選項(xiàng)，只需研究SKIPIF1<0的圖象，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，排除SKIPIF1<0選項(xiàng).故選：SKIPIF1<0．點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的識(shí)辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性．(4)利用函數(shù)值考察特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．（5）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考察圖象升降的快慢、極值點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)圖象差別.利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)．典例2.（2022·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如圖1所示，則圖2對(duì)應(yīng)的函數(shù)有可能是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用分類討論思想，根據(jù)函數(shù)值的符號(hào)，及變化，分別對(duì)四個(gè)選項(xiàng)判斷即可求解.【詳解】對(duì)于SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項(xiàng)SKIPIF1<0錯(cuò)誤；對(duì)于SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項(xiàng)SKIPIF1<0錯(cuò)誤；對(duì)于SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故選項(xiàng)SKIPIF1<0正確；對(duì)于SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故選項(xiàng)SKIPIF1<0錯(cuò)誤，故選：SKIPIF1<0.典例3.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓SKIPIF1<0的左焦點(diǎn)．若橢圓C上存在兩點(diǎn)A，B滿足SKIPIF1<0，且A，B，O三點(diǎn)共線，則橢圓C的離心率的取值范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．由橢圓的性質(zhì)分析出以SKIPIF1<0為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)，得到SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，即可求出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0．由橢圓的性質(zhì)得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即橢圓上存在點(diǎn)A，滿足SKIPIF1<0，即以SKIPIF1<0為直徑的圓與橢圓有公共點(diǎn)．設(shè)橢圓C的半焦距為SKIPIF1<0，所以只需SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以橢圓C的離心率的取值范圍為SKIPIF1<0．故選：C02構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍【核心提示】含有參數(shù)的分類討論問題主要包括:(1)含有參數(shù)的不等式的求解;(2)含有參數(shù)的方程的求解;(3)函數(shù)解析式中含參數(shù)的最值與單調(diào)性問題;(4)二元二次方程表示曲線類型的判定等.求解這類問題的一般思路是:結(jié)合參數(shù)的意義及參數(shù)對(duì)結(jié)果的影響進(jìn)行分類討論.討論時(shí),應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況,參數(shù)有幾何意義時(shí)還要考慮適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想.【典例分析】典例4.（全國·高考真題（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則a的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】作出函數(shù)SKIPIF1<0的圖像，和函數(shù)SKIPIF1<0的圖像，結(jié)合圖像可知直線SKIPIF1<0介于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸之間，利用導(dǎo)數(shù)求出直線SKIPIF1<0的斜率，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】由題意可作出函數(shù)SKIPIF1<0的圖像，和函數(shù)SKIPIF1<0的圖像.由圖像可知：函數(shù)SKIPIF1<0的圖像是過原點(diǎn)的直線，當(dāng)直線介于SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸之間符合題意，直線SKIPIF1<0為曲線的切線，且此時(shí)函數(shù)SKIPIF1<0在第二象限的部分的解析式為SKIPIF1<0，求其導(dǎo)數(shù)可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，故只需直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立求出參數(shù)取值范圍，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.典例5.（2020·天津高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0若函數(shù)SKIPIF1<0恰有4個(gè)零點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】注意到SKIPIF1<0，所以要使SKIPIF1<0恰有4個(gè)零點(diǎn)，只需方程SKIPIF1<0恰有3個(gè)實(shí)根即可，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象有SKIPIF1<0個(gè)不同交點(diǎn).因?yàn)镾KIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，此時(shí)SKIPIF1<0，如圖1，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0有SKIPIF1<0個(gè)不同交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，如圖2，此時(shí)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0個(gè)不同交點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，如圖3，當(dāng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切時(shí)，聯(lián)立方程得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（負(fù)值舍去），所以SKIPIF1<0.綜上，SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：D.典例6.（2015·全國·高考真題（理））設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若存在唯一的整數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)SKIPIF1<0使得滿足SKIPIF1<0，求導(dǎo)可得出函數(shù)SKIPIF1<0的極值，數(shù)形結(jié)合可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，由此可得出實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意知，函數(shù)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0下方的圖象中只有一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為整數(shù)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.所以，函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.直線SKIPIF1<0恒過定點(diǎn)SKIPIF1<0且斜率為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與極值，涉及數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化，屬于中等題.03構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象研究量與量之間的大小關(guān)系【核心提示】熟練掌握常見函數(shù)的圖象以及函數(shù)圖象的變換：由函數(shù)圖象的變換能較快畫出函數(shù)圖象，應(yīng)該掌握平移(上下左右平移)、翻折(關(guān)于特殊直線翻折)、對(duì)稱(中心對(duì)稱和軸對(duì)稱)等基本轉(zhuǎn)化法與函數(shù)解析式的關(guān)系．【典例分析】典例7.【多選題】（2022秋·福建泉州·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)為SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)為SKIPIF1<0，則下列不等式中成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】把問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)問題，根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)、基本不等式進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】令SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，在同一坐標(biāo)系中分別繪出函數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的圖像，因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)為SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0的零點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解方程組SKIPIF1<0，因?yàn)楹瘮?shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0互為反函數(shù)，所以由反函數(shù)性質(zhì)知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0對(duì)稱，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，等號(hào)成立，所以A、D錯(cuò)誤，B、C正確.故選：BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于零點(diǎn)關(guān)系問題，往往把函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化方程的根，再轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)關(guān)系問題，另外本題要注意函數(shù)SKIPIF1<0與函數(shù)SKIPIF1<0是反函數(shù)，故兩個(gè)交點(diǎn)A、B關(guān)于點(diǎn)SKIPIF1<0中心對(duì)稱.典例8.（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)已知關(guān)系式的特征可構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，利用導(dǎo)數(shù)可求得SKIPIF1<0單調(diào)性，并確定SKIPIF1<0的圖象，根據(jù)SKIPIF1<0，結(jié)合圖象可確定SKIPIF1<0的大小關(guān)系.【詳解】令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0恒成立，可得SKIPIF1<0圖象如下圖所示，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；綜上所述：SKIPIF1<0.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛；本題考查構(gòu)造函數(shù)比較函數(shù)值大小的問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)已知關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值大小關(guān)系的比較問題，從而利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性和圖象來進(jìn)行求解.典例9.（2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為函數(shù)SKIPIF1<0的極大值點(diǎn)，則（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否變號(hào)，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)進(jìn)行分類討論，畫出圖象，即可得到SKIPIF1<0所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為單調(diào)函數(shù)，無極值點(diǎn)，不符合題意，故SKIPIF1<0.SKIPIF1<0有SKIPIF1<0和SKIPIF1<0兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在SKIPIF1<0左右附近是不變號(hào)，在SKIPIF1<0左右附近是變號(hào)的.依題意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0左右附近都是小于零的.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，畫出SKIPIF1<0的圖象如下圖所示：由圖可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，畫出SKIPIF1<0的圖象如下圖所示：由圖可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.綜上所述，SKIPIF1<0成立.故選：D04構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式【核心提示】向量、復(fù)數(shù)、圓錐曲線等數(shù)學(xué)概念具有明顯的幾何意義，可利用圖形觀察求解有關(guān)問題；靈活應(yīng)用一些幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，如斜率、距離公式等．應(yīng)用幾何意義法解決問題需要熟悉常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式，主要有：①比值——可考慮直線的斜率；②二元一次式—可考慮直線的截距；③根式分式——可考慮點(diǎn)到直線的距離；④根式——可考慮兩點(diǎn)間的距離.【典例分析】典例10.（2021·天津·高考真題）在邊長為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0且交AB于點(diǎn)E．SKIPIF1<0且交AC于點(diǎn)F,則SKIPIF1<0的值為____________；SKIPIF1<0的最小值為____________．【答案】1SKIPIF1<0【分析】設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可求出；將SKIPIF1<0化為關(guān)于SKIPIF1<0的關(guān)系式即可求出最值.【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊長為1的等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為邊長為SKIPIF1<0的等邊三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：1；SKIPIF1<0.典例11.（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=23，BC=2，AA1=27，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上動(dòng)點(diǎn)，AP+PC1【答案】

SKIPIF1<0

47?29##?2+47【解析】【分析】以SKIPIF1<0為軸，將四邊形SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)到與四邊形ABB1A1同在一個(gè)平面內(nèi)，利用當(dāng)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、C1三點(diǎn)共線時(shí)，可求得AP+PC1的最小值；設(shè)BP=t0≤t≤27，則B1P=27?t，利用基本不等式可求得tan∠PAB+∠PC1B1，利用等號(hào)成立的條件求出t的值，即可求得【詳解】由已知條件知AB=A以SKIPIF1<0為軸，將四邊形SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)到與四邊形ABB1A1同在一個(gè)平面內(nèi)，連接AC1交SKIPIF1<0于點(diǎn)T，此時(shí)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、C1三點(diǎn)共線距離最小，點(diǎn)T滿足使AP+PC1最小，易得AC設(shè)BP=t0≤t≤27，則在Rt△ABP中，tan在Rt△B1所以，tan=8令x=47?t，則令f≤2當(dāng)且僅當(dāng)x=47?t=8時(shí)，即當(dāng)此時(shí)BPB故答案為：SKIPIF1<0；47?29.典例12.（2023·全國·高三對(duì)口高考）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)證明：當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；(2)若存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域?yàn)镾KIPIF1<0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）作出函數(shù)SKIPIF1<0的大致圖象，結(jié)合SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，及函數(shù)的單調(diào)性知，SKIPIF1<0，再結(jié)合函數(shù)的解析式化簡及基本不等式可證明SKIPIF1<0；（2）分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0三種情況分別討論求解m的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果可得答案.【詳解】（1）證明：函數(shù)SKIPIF1<0的圖象可由SKIPIF1<0的圖象向上平移1個(gè)單位，然后保留x軸上交點(diǎn)以及其上方部分不變，將x軸下方部分翻折到x軸上方得到，其圖象如圖示：由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，（因?yàn)镾KIPIF1<0，故等號(hào)不成立），故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.（2）由題意存在實(shí)數(shù)SKIPIF1<0，使得函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的值域?yàn)镾KIPIF1<0，可知SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0可知當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，則必有SKIPIF1<0，不合題意；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，與SKIPIF1<0矛盾；∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0是減函數(shù)知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，不合題意，舍去；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0是增函數(shù)知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩個(gè)不相等實(shí)根，且這兩根均大于1，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是SKIPIF1<0.05構(gòu)建幾何模型研究代數(shù)問題【核心提示】1.在解決問題的過程中對(duì)題目中的一些代數(shù)式進(jìn)行幾何意義分析，將其轉(zhuǎn)化為與幾何結(jié)構(gòu)相關(guān)的問題，通過解決幾何問題達(dá)到解決代數(shù)問題的目的．此方法適用于難以直接解決的抽象問題，可利用圖形使其直觀化，再通過圖形的性質(zhì)快速解決問題．破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：①分析特征，一般從圖形結(jié)構(gòu)、性質(zhì)等方面分析代數(shù)式是否具有幾何意義．②進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把要解決的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題．③得出結(jié)論，將幾何問題得出的結(jié)論回歸到代數(shù)問題中，進(jìn)而得出結(jié)論．2.幾何圖形有關(guān)的最值問題，若通過代數(shù)方法計(jì)算則小題大做，計(jì)算繁雜，解題時(shí)要充分考慮幾何關(guān)系，充分利用“三角形兩邊之和大于第三邊”、“兩點(diǎn)之間線段最短”等幾何結(jié)論.【典例分析】典例13.（2023春·河南·高三河南省淮陽中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用數(shù)量積和模長的坐標(biāo)表示求得SKIPIF1<0點(diǎn)的軌跡即可求解.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓上，或所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.故選：C典例14.（2022·浙江新昌·高三期末）如圖，正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是側(cè)面SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.記SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】利用作圖，構(gòu)造出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，分別求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，比較后，即可判斷選項(xiàng).【詳解】如圖，取SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)棱長為2，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以點(diǎn)SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0最小，此時(shí)SKIPIF1<0最大，最大值是SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合時(shí)，SKIPIF1<0最大，此時(shí)SKIPIF1<0最小，最小值是SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的中點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合時(shí)，SKIPIF1<0最小，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D典例15.（2022·全國·高三專題練習(xí)）求方程SKIPIF1<0的實(shí)根個(gè)數(shù)．【答案】2【分析】將方程根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求解即可．【詳解】方程SKIPIF1<0的實(shí)根個(gè)數(shù)就是函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0圖象的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，SKIPIF1<0表示的SKIPIF1<0的上半部分，在平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的圖象，可知有2個(gè)交點(diǎn)，故方程SKIPIF1<0的實(shí)根個(gè)數(shù)為2.06構(gòu)建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值等問題【核心提示】1.在解析幾何的解題過程中，通常要數(shù)形結(jié)合，挖掘題中所給的代數(shù)關(guān)系式和幾何關(guān)系式，構(gòu)建解析幾何模型并應(yīng)用模型的幾何意義求最值或范圍；常見的幾何結(jié)構(gòu)的代數(shù)形式主要有：①比值——可考慮直線的斜率；②二元一次式——可考慮直線的截距；③根式分式——可考慮點(diǎn)到直線的距離；④根式——可考慮兩點(diǎn)間的距離.2.圓錐曲線數(shù)形結(jié)合法：是根據(jù)圓錐曲線中許多對(duì)應(yīng)的長度、數(shù)式等都具有一定的幾何意義，挖掘題目中隱含的幾何意義，采用數(shù)形結(jié)合思想，快速解決某些相應(yīng)的問題．破解此類題的關(guān)鍵點(diǎn)：①畫出圖形，畫出滿足題設(shè)條件的圓錐曲線的圖形，以及相應(yīng)的線段、直線等；②數(shù)形求解，通過數(shù)形結(jié)合，利用圓錐曲線的定義、性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、圓與圓錐曲線的位置關(guān)系等進(jìn)行分析與求解；③得出結(jié)論，結(jié)合題目條件進(jìn)行分析，得出所要求解的結(jié)論．3.破解圓錐曲線問題的關(guān)鍵是畫出相應(yīng)的圖形，注意數(shù)和形的相互滲透，并從相關(guān)的圖形中挖掘?qū)?yīng)的信息進(jìn)行研究．直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化有兩種：①通過數(shù)形結(jié)合建立相應(yīng)的關(guān)系式；②通過代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為二元二次方程組的解的問題進(jìn)行討論．【典例分析】典例16.（2022·安徽省舒城中學(xué)高二階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】判斷函數(shù)SKIPIF1<0的奇偶性和單調(diào)性，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用直線和圓的位置關(guān)系，結(jié)合數(shù)形結(jié)合和SKIPIF1<0的幾何意義即可得到結(jié)論.【詳解】由題意可知，SKIPIF1<0的定義域?yàn)镾KIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為奇函數(shù)，SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)即SKIPIF1<0的取值區(qū)域如下圖陰影部分所示：

∴SKIPIF1<0表示直線SKIPIF1<0在過圖中陰影部分的點(diǎn)時(shí)斜率SKIPIF1<0，即問題轉(zhuǎn)化為直線與陰影區(qū)域有交點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0的取值范圍，當(dāng)與半圓相切，SKIPIF1<0取最大值，而此時(shí)圓心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；當(dāng)交半圓于右端點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取最小值為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍SKIPIF1<0.故選：A.典例17.（2023春·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,i為虛數(shù)單位,則SKIPIF1<0的最大值是_______．【答案】4【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知:復(fù)數(shù)z表示以SKIPIF1<0為圓心的半徑為1的圓C,而SKIPIF1<0表示圓C上的點(diǎn)到SKIPIF1<0的距離,結(jié)合圖形即可得SKIPIF1<0的最大值.【詳解】解:記SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以復(fù)數(shù)z表示以SKIPIF1<0為圓心,半徑為1的圓C,而SKIPIF1<0,表示圓C上的點(diǎn)到SKIPIF1<0的距離,所以距離最大為圓心到SKIPIF1<0的距離再加上半徑,故SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故答案為:4典例18.（2023·吉林·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0圖象上不同的兩個(gè)點(diǎn)，則SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)）的取值范圍是___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】作出函數(shù)SKIPIF1<0的圖形，求出過點(diǎn)過原點(diǎn)且與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象相切的直線的方程，以及函數(shù)SKIPIF1<0的漸近線方程，結(jié)合兩角差的正切公式，數(shù)形結(jié)合可得出SKIPIF1<0的取值范圍.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上為增函數(shù)；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，作出函數(shù)SKIPIF1<0的圖象如下圖所示：設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象相切的直線的方程為SKIPIF1<0，設(shè)切點(diǎn)為SKIPIF1<0，所以，切線方程為SKIPIF1<0，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入切線方程可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，而函數(shù)SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，設(shè)直線SKIPIF1<0的傾斜角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，結(jié)合圖形可知，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于求出設(shè)過原點(diǎn)且與函數(shù)SKIPIF1<0的圖象相切的直線的方程以及函數(shù)SKIPIF1<0的漸近線方程，再利用兩角差的正切公式以及數(shù)形結(jié)合思想求解.07構(gòu)建方程模型或函數(shù)模型，結(jié)合其圖象研究零點(diǎn)的范圍與個(gè)數(shù)問題【核心提示】討論方程的解(或函數(shù)零點(diǎn))的問題一般可以構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，將方程解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩條曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù).構(gòu)造函數(shù)時(shí)，要先對(duì)方程進(jìn)行變形，盡量構(gòu)造兩個(gè)比較熟悉的函數(shù).方程解的個(gè)數(shù)問題可通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題；fx<gx可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y＝fx和函數(shù)y＝gx圖象的位置關(guān)系問題.【典例分析】典例19.【多選題】（2023春·廣東韶關(guān)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，的零點(diǎn)分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱建立的關(guān)系，由圖象判斷所在區(qū)間，逐項(xiàng)判斷.【詳解】對(duì)A，，由的圖象向右向上各平移一個(gè)單位得到圖象，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，即可知點(diǎn)A，B關(guān)于直線對(duì)稱.，故A不正確；對(duì)B，由，故B正確；對(duì)C，，等號(hào)不成立，，故C正確；對(duì)D，由圖知，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故D不正確.故選：BC.典例20.（2023春·北京大興·高三?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為___________.【答案】【分析】當(dāng)時(shí)直接求解函數(shù)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，轉(zhuǎn)化為與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求解即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，得，易得，作出函數(shù)，的圖象，如圖，所以，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)性質(zhì)，函數(shù)，在有兩個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為故答案為：典例21.（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)SKIPIF1<0，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恰有2個(gè)零點(diǎn)；②存在負(fù)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有1個(gè)零點(diǎn)；③存在負(fù)數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3個(gè)零點(diǎn)；④存在正數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0恰有3個(gè)零點(diǎn)．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是_______．【答案】①②④【分析】由SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，考查直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于①，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，①正確；對(duì)于②，考查直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相切于點(diǎn)SKIPIF1<0，對(duì)函數(shù)SKIPIF1<0求導(dǎo)得SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0只有一個(gè)零點(diǎn)，②正確；對(duì)于③，當(dāng)直線SKIPIF1<0過點(diǎn)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0